莆田一中2015届高三数学(理科)模拟考试卷及答案
福建省莆田市2015届高中毕业班教学质量检查数学理试题(扫描版)
2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．{}11<<-x x 12．7.5 13．3414．1 15．②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：1(2)n =≥，所以是首项为1，公差为1的等差数列，………1分－1)1=n ，……………2分从而S n =n 2．…………………3分当n=1时，a 1=S 1=1，当n>1时，a n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2 =2n －1．因为11a =也符合上式，所以a n =2n －1．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，……………8分 所以1211111111(1)()()2323522121n b b b n n +++=-+-++--+ 11(1)22121n n n =-=++，……………10分 由122125n n >+，解得n>12．………………12分 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．………1 分1cos 21()222x f x x ωω+=-+………3分12cos 2sin(2)226x x x πωωω=-=-．………4分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．………5分 因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤， 从而得到)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………7 分 （Ⅱ）因为()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<所以7666A πππ<+<， 得62A ππ+=，3A π=．………9分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos 3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即2243bc =-，所以3bc =．………11分所以 ABC ∆的面积11sin 322==⨯=S bc A ．………13 分 18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙．8381937978848894858+++++++==x 甲，8998777487787988858+++++++==x 乙．……………… 2分222222222165[(8385)(8185)(9385)(7985)(7885)(8485)(8885)(9485)]82=-+-+-+-+-+-+-+-=s 甲，2222222221[(8985)(9885)(7785)(7485)(8785)(7885)(8985)(8885)]568=-+-+-+-+-+-+-+-=s 乙． ………………4分 因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．………………5分（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B 成功”，则P(C)=34, P(D)=14,且事件C 与事件D 相互独立．………………6分 记甲按AB 顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0,100,400．P(ξ=0)=P(C )=14,P(ξ=100)=P(CD )=3394416⨯=,P(ξ=400)=P(CD )=3134416⨯=．即ξ的分布列为：所以甲按AB 顺序获得奖品价值的数学期望0100400416164E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………9分记甲按BA 顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0,300,400．P(η=0)=P(D )=34,P(η=300)=P(DC )=1114416⨯=,P(η=400)=P(DC )=3134416⨯=，即η的分布列为：所以甲按BA 顺序获得奖品价值的数学期望0300400416164E η=⨯+⨯+⨯=．………………12分 因为E ξ>E η，所以甲应选择AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．(Ⅰ)证明：正方形ABCD 中，CD //BA ，正方形ABEF 中，EF //BA ．…………2分∴EF //CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE//DF ．…………3分又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE//平面ADF ． …………5分(Ⅱ)解： BE=BC=2，CE=22，∴222BE BC CE +=， ∴∆BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，……………6分又BE ⊥BA ，BC ⋂BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． ……………7分以B 为原点，BC 、BA 、BE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，2），A （0，2，0），)0,2,2(=，)2,2,0(=．设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为),,(z yx =．由0=⋅BD n ，0=⋅BF n ，得220,220,+=⎧⎨+=⎩x y y z 可取)1,1,1(-=n ，………… …9分又),2,0(m -=，于是sin =ϕ=2432m m+⋅+，︒︒≤≤4530ϕ，∴22sin 21≤≤ϕ，即⎧⎪⎨⎪⎩…………11分 结合20<<m ，解得3240-≤<m ，即BK 的取值范围为（0，324-]．………… …13分20．本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由题意得222222,,⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a b a b c 解得a=2，b=1，…………………………………3分 所以椭圆方程为2214x y +=．………………………………………………………………3分 （Ⅱ）（i ）解法一：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++，又3||2=PD ．……5分所以S △PMN =12|PD|·|x 1－x 26分==7分 令t22316t k -= 所以S △PMN =223661312(14)16==-+++⋅t t t t t t ，………………………………………………8分 令h(t)=1t t +，t ∈+∞),则22211'()1t h t t t-=-=>0，所以h(t)在+∞)单调递增， 则tk=0时，h(t)的最小值，为h=3， 所以△PMN面积的最大值为2．……………………9分 解法二：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++．…………………5分 所以|MN|==点P （0，1）到直线MN 的距离=．………6分所以S △PMN =12|MN|·=．…………………………………7分 以下同解法一．（ii ）假设存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．（1）当P 在y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则M ，N 关于y 轴对称，MN 的中点Q 在y 轴上．又O 为△PMN 的中心，所以2PO OQ =，可知111(0,),(),)222Q M N ---． 从而|MN|=，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾． （2）当P 在x 轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．……………10分 （3）当P 不在坐标轴时，设P （x 0，y 0），MN 的中点为Q ，则k OP =00y x ， 又O 为∆PMN 的中心，则2PO OQ =，可知00(,)22--x y Q ． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1202+==-Q x x x x ，1202+==-Q y y y y ，又x 12+4y 12=4，x 22+4y 22=4，两式相减得k MN =01212121212120111444-++=-=-⋅=-⋅-++x y y x x x x x x y y y y y ，……11分 从而k MN =0014-⋅x y ．……12分所以k OP ·k MN =00y x ·（0014x y -⋅）=14-≠ －1， 所以OP 与MN 不垂直，与等边△PMN 矛盾．……13分综上所述，不存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．………………………14分21．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由已知得1(1)1,2(1)10,f a b f a ⎧=+=-⎪⎨⎪'=+=⎩解得1,1.2a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩…………… 2分 此时211()ln 22f x x x =--，1(1)(1)()x x f x x x x-+'=-=-（x>0）． 令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：（Ⅱ）211()ax f x ax x x+'=+=（x>0）． （1）当a≥0时，()0f x '>恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．………5分（2）当a<0时，令()0f x '=，得x =f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0+∞）．……………… 7分 要使函数f(x)在区间(m ，+∞)，即210a m -<<． 所以对任意给定的正数m ，只须取满足210a m -<<的实数a ，就能使得函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调．…… 8分 （Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '．………… 9分证明如下：令g(x)=lnx －x+1（x>0），则1()1g x x '=-， 易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)≤0，从而得lnx≤x －1． （*）……… 10分由21021()()()f x f x f x x x -'=-，得21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=+-．……………… 11分 令211()()2p x a x x ax =+-，2121ln ln 1()x x q x x x x-=--，则p(x)，q(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增． 且12112111()()()022p x a x x ax a x x =+-=-<，22121211()()()022p x a x x ax a x x =+-=->， 结合（*）式可得，2221111211211211ln1ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x --=-=-<-=---，1121222212212212ln(1)ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x ----=-=->-=---． 令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h(x 1)<0，h(x 2)>0，…… 13分 所以函数h(x)在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0， 即21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=--成立，从而命题成立．…………… 14分 （注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）。
莆田一中2015年高考数学考前模拟试卷(理科) 含解析
2015年福建省莆田一中高考数学考前模拟试卷（理科)一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设a∈R，且（a﹣i)•2i(i为虚数单位)为正实数，则a等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣12．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的(）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）A．B．C．D．4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（)A．10 13 B．12.5 12 C．12。
5 13 D．10 155．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是(）A．B．C．D．6．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A．i≤5？B．i≤4？C．i≥4？D．i≥5？7．在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=（2，4），=（1，3），则等于（）A．（2，4) B．（3，5） C．(﹣3，﹣5）D．（﹣2，﹣4）8．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为,设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是(）A．公差为a的等差数列B．公差为﹣a的等差数列C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列9．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f(x）在点p（x0,f(x0））处的切线为l:y=g(x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F(x）=f（x）﹣g（x)，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么(）A．F′（x0)=0,x=x0是F（x）的极大值点B．F′(x0)=0,x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0)≠0，x=x0不是F(x)极值点D．F′（x0）≠0,x=x0是F（x）极值点10．设函数f（x)的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f(x），则称f（x)为I上的l高调函数,如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=｜x﹣a2｜﹣a2，且函数f（x）为R上的1高调函数,那么实数a的取值范围为（）A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）11．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆,那么该几何体的体积是．12．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度,但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1。
福建省莆田一中2015届高三上学期期中试数学理试卷
福建省莆田一中2015届高三上学期期中试数学理试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A ={x |-2<x <3},B ={x |x ≤1或x ≥4}.若全集U =R ,则A ∩C U B = ( ) A.{x |1<x ≤3} B.{x |1<x <3} C.{x |1≤x <3} D.{x |x ≤1或x ≥3}2.若z =1-i(i 为虚数单位),则z (z -1)等于 ( ) A.-1-i B.-1+i C.2i D.-2i3.下列函数f (x )中,满足“对定义域内的任意一个x 都有f (-x )+f (x )=0,且在区间(0,+∞)上恒有 f '(x )>0”的是 ( )A.f (x )=1x B.f (x )=x ² C.f (x )=x 3 D.f (x )=e x4.设函数f (x )=13x -ln x (x >0),则y =f (x ) ( )A 在区间(1e ,1),(1,e )内均有零点；B 在区间(1e ,1),(1,e )内均无零点；C 在区间(1e ,1)内有零点,在区间(1,e )内无零点；D 在区间(1e ,1)内无零点,在区间(1,e )内有零点. 5.给出下列结论,其中错误的是 ( ) A.若命题p ：∃x 0∈R, x 0²+x 0+1<0,则¬p ：∀x ∈R, x 2+x +1≥0； B. ∀x ∈R,2x >x 2； C.“若am ²≤bm ²,则a ≤b ”是假命题； D.“a >1,b >1”是“ab >1”的充分条件.6.若函数f (x )与函数g (x )=2x互为反函数,且f (a )+f (b )=4,则1a +1b 的最小值为 ( )A.1B.12C.13D.147.给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在(-π6,π3)上是增函数.则同时具有上述性质的一个函数是 ( )A.y =sin(x 2+π6)B.y =cos(x 2-π6)C. y =sin(2x -π6)D.y =cos(2x +π3)8.已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y -4≥0x +2y -7≤0ax -y -2≤0,且x ²+y ²的最小值为8,则正实数a 的取值范围是 ( )A.(0,5]B.[2,5]C.[3,+∞)D.(0,2]9.已知a 是实数,则函数f (x )=1|a ·2x +1|-2的图象不可能是( )A B C D10.一次研究性课常上,老师给出了函数f (x )=x1+|x |(x ∈R ),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题： ①函数f (x )的值域为(-1,1)； ②若x 1≠x 2,则一定有f (x 1)≠f (x 2)③若规定f 1(x )= f (x ), f n (x )=f (f n -1(x )),则f n (x )=x1+n |x |对任意的n ∈N *恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)11.曲线y =x 3-x +3在点(1,1)处的切线方程为 .12.计算定积分⎠⎛-11(x ²+sin x )dx = 13.已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为 .14.设ΔABC 的三边长分别为a ,b ,c ,ΔABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c ,类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1, S 2, S 3, S 4,内切球半径为r ,四面体S -ABC 的体积为V ,则r =15.已知数列{a n }的通项公式为a n =sin 2n π3+n cos 2n π3,其前n 项的和为S n ,则S 3n = .三、解答题：(本大题共6个小题,共80分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.) 16.(本小题满分13分)已知在等差数列{a n }中,a 1=2,a 4=11,在等比数列{b n }中,b 1=a 32,b 4=a 11, (Ⅰ)求等比数列{b n }的通项公式b n ； (Ⅱ)求证数列{b n +1}不可能是等比数列.17.(本小题满分13分)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ²+4x +1， (x ∈[-4,0])A sin(ωx +ϕ)，( x ∈(0,5π3]))(其中|ϕ|<π2)在区间(0,5π3]上的图象如下图所示,则： (Ⅰ)求f (x )的在区间(0,5π3]上的解析式； (Ⅱ)若f (x )=m 恒有实数解,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分13分)已知向量→a =(1+sin2x ,sin x -cos x ),→b =(1,sin x +cos x ),函数f (x )=→a ·→b (Ⅰ)求f (x )的最大值及相应的x 的值；(Ⅱ)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A ,B ,C 所对边,若f (A 2)=2,a =2,求△ABC 面积的最大值.((20.(本小题满分14分)已知函数f (x )=ln(x +1a )-ax ,其中a ∈R 且a ≠0(Ⅰ)讨论f (x )的单调区间； (Ⅱ)若直线y =ax 的图像恒在函数f (x )图像的上方,求a 的取值范围;(Ⅲ)若存在-1a <x 1<0, x 2>0,使得f (x 1)=f (x 2)=0,求证：x 1+x 2>0.21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与点(0,-2), (Ⅰ)求矩阵M ； (Ⅱ)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :x -2y =4,求直线l 的方程.(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t y =1+2t (t 为参数)和圆的极坐标方程ρ=22sin(θ+π4).(Ⅰ)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程为直角坐标方程； (Ⅱ)判断直线l 和圆C 的位置关系.(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲已知不等式x ²-5ax +b >0的解集为{x |x >4或x <1} (Ⅰ)求实数a ,b 的值；(Ⅱ)若0<x <1, f (x )=a x +b1-x ,求f (x )的最小值.莆田一中2014-2015学年度上学期第一学段考试卷答案2014-11高三数学理科一、选择题（共50分） BACD BBCD CD 二、填空题（共20分）11.2x -y +1=0 12.23 13.-24 14.3V S 1+S 2+S 3+S 415.3n2三、解答题：(共80分) 16.(本小题满分13分) 解：(Ⅰ)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则 ∵a 1=2,a 4=11,∴d =a 4-a 14-1=3,∴a n = a 1+(n -1)d =3n -1,∴b 1=a 32=4,b 4=32∴q 3=8即q =2 ∴b n = b 1q n -1=4×2n -1=2n +1 .................................................. 6分 (Ⅱ)若{b n +1}是等比数列,则b 1+1, b 2+1, b 3+1是等比数列, 由(Ⅰ)可得b 1=4, b 2=8, b 3=16,显然{b n +1}的前3项依次为5, 9, 17, 由于5×17=85, 9²=81∴b 1+1, b 2+1, b 3+1不是等比数列,∴数列{b n +1}不可能是等比数列. ................................ 13分 证法二：假设{b n +1}是等比数列,则： (b n +1+1)(b n -1+1)=(b n +1)²(n ∈N *) ∴b n +1b n -1+b n +1+b n -1+1= b n ²+2b n +1 ∴b n +1+b n -1=2b n ∴q ²-2q +1=0解得q =1,这与已知矛盾,即假设不成立,∴数列{b n +1}不可能是等比数列. ................................ 13分17.解：(Ⅰ)由图象可知A =2,T =4(5π3-2π3)=4π,∴ω=2πT =12,∴f (x )=2sin(12x +ϕ), x ∈(0,5π3],又图象过点(2π3,2)即sin(π3+ϕ)=1,∵|ϕ|<π2,∴ϕ=π6,∴f (x )=2sin(12x +π6), x ∈(0,5π3], ............................................ 6分 法二：上同由图象知：(2π3,2)是五点法作图中的第二点, ∴12×2π3+ϕ=π2即ϕ=π6,∴f (x )=2sin(12x +π6), x ∈(0,5π3], ............................................ 6分(Ⅱ)方程f (x )=m 恒有实数解⇔m ∈{f (x )|x ∈[-4,5π3]},①当x ∈(0,5π3]时,由图象可知f (x )∈[0,2], ②当x ∈[-4,0]时,f (x )=x ²+4x +1=(x +2)²-3, ∴f (x )min =f (-2)=-3, f (x )max =f (-4)=f (0)=1, ∴此时f (x )∈[-3,1],综上所述,函数f (x )的值域为[-3,2], ∴f (x )=m 恒有实数解时,实数m 的取值范围为[-3,2]. .... 13分解法二：方程f (x )=m 恒有实数解⇔m ∈{f (x )|x ∈[-4,5π3]}, 在同一坐标系中作出函数f (x )在x ∈[-4,0]上的图象如下,由图象可知函数f (x )的值域为[-3,2], ∴f (x )=m 恒有实数解时,实数m 的取值范围为[-3,2]. .... 13分 18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)∵→a =(1+sin2x ,sin x -cos x ),→b =(1,sin x +cos x ), ∴f (x )=→a ·→b =1+sin2x +sin²x -cos²x , ................................... 2分 =1+sin2x -cos2x ,=1+2sin(2x-π4), ............................................................... 4分∴当2x-π4=2k π+π2即x =3π8+k π,k ∈Z 时,函数取得最大值1+ 2. .......................................................................................... 6分(Ⅱ)由(I)知f (A 2)=2时,sin(A-π4)=22, .................................. 7分∴A -π4=2k π+π4或A -π4=2k π+3π4,即A =π2+2k π或A =π+2k π,k ∈Z , ......................................... 9分 ∵A 是三角形的一个内角,∴A =π2,即△ABC 是直角三角形. ∵a =2,∴b ²+c ²=4,∴S △ABC =12bc ≤b ²+c ²4=1(当且仅当b =c =2时,取得最大值), ∴△ABC 面积的最大值为1............................................. 13分分分分分2分3分分分3分分 Δ≤0或⎩⎨⎧Δ>0a 2≤2f '(2)=8-4a -2a ≥0,即-4≤a ≤0或⎨⎧a <-4或a >0a ≤44,解：(Ⅰ)f (x )的定义域为(-1a ,+∞).其导数f '(x )=1x +1a-a =-a ²xax +1 ............................................... 1分①当a <0时, f '(x )>0,函数在(-1a ,+∞)上是增函数; ........... 2分②当a >0时,在区间(-1a ,0)上, f '(x )>0;在区间(0,+∞)上, f '(x )<0.所以f (x )在(-1a ,0)是增函数,在(0,+∞)是减函数. .............. 4分(Ⅱ)当a <0时,取x =e -1a ,则f (e -1a )=1-a (e -1a )=2-ae >ae -1=a (e -1a ),不合题意.当a >0时, 令h (x )=ax -f (x ),则h (x )=2ax -ln(x +1a ) ............. 6分 问题化为求h (x )>0恒成立时a 的取值范围.由于h'(x )=2a -1x +1a =2a (x +12a )x +1a ...........................................7分∴在区间(-1a ,-12a )上, h'(x )<0;在区间(-12a ,+∞)上, h'(x )>0.∴h (x )的最小值为h (-12a ),所以只需h (-12a )>0,即2a ·(-12a )-ln (-12a +1a )>0∴ln 12a <-1即a >e2 ............................................................. 9分(Ⅲ)由于当a <0时函数在(-1a ,+∞)上是增函数,不满足题意, 所以a >0构造函数g (x )=f (-x )-f (x )( -1a <x <0)∴g (x )=ln(1a -x )-ln(x +1a )+2ax .............................................. 11分则g (x )= 1x -1a -1x +1a =2ax ²x ²-1a ²<0所以函数g (x )在区间(-1a ,0)上为减函数. ∵-1a <x 则g (x 1)>g (0)=0,于是f (-x 1)-f (x 1)>0-f (x ),又f (x 1)=0, f (-x 1)>0=f (x 2),由f (x )在(0+∞)上为减函数可知x 2>-x 1.即x 1+x 2>0 ........ 14分21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解：(Ⅰ)设矩阵M =⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ,则： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ⎝ ⎛⎭⎪⎫-21=⎝ ⎛⎭⎪⎫0-2， 即⎩⎨⎧a -b =-1c -d =-1-2a +b =0-2c +d =-2，解得⎩⎨⎧a =1b =2c =3d =4∴M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1 23 4， .................................................................. 3分 (Ⅱ)设(x ,y )经M 的变换作用后变为(x',y')则： ⎩⎨⎧x'=x +2y y'=3x +4y 又x'-2y'=4∴(x +2y )-2(3x +4y )=4即l ：5x +6y +4=0 .......................... 7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程 解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为y =2x +1, ........................... 2分ρ=22sin(θ+π4)可化为ρ²=2ρsin θ+2ρcos θ ∴x ²+y ²=2y +2x即圆C 直角坐标方程为(x -1)²+(y -1)²=2 ......................... 4分 (Ⅱ)圆心(1,1)到直线2x -y +1=0的距离为 d =|2-1+1|2²+1²=25<2,∴直线与圆相交 .............................................................. 7分 (3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)依题意可得⎩⎨⎧4+1=5a 4×1=b 即⎩⎨⎧a =1b =4 ............................. 2分(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=1x +41-x∵0<x <1,∴0<1-x <1, 1x >0,41-x >0, ∴1x +41-x =(1x +41-x )[x +(1-x )]≥(1x ×x +21-x×1-x )²=9当且仅当1x x =21-x 1-x即x =13时,等号成立。
2015年高考理科数学福建卷-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵234{i }{i ,i ,i ,i ,1,}i,1A ==--，}1{1,B =-， ∴{i }{}{}1i 11111A B =---=-I I ，，，，，．【提示】利用虚数单位i 的运算性质化简A ，然后利用交集运算得答案． 【考点】虚数单位i 及其性质，交集及其运算． 2.【答案】D【解析】A ．函数的定义域为[0,)+∞，定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数． B ．()|()|||()f x sin x sinx f x -=-==，则()f x 为偶函数． C ．cos y x =为偶函数．D ．()e e (e e ())x x x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数 【提示】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【考点】函数奇偶性的判断，余弦函数的奇偶性． 3.【答案】B【解析】由题意，双曲线22:1916x y E -=中3a = ∵3a =，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得21|||6|PF PF -=，∴2||9PF =【提示】确定P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 【考点】双曲线的简单性质 4.【答案】B【解析】由题意可得(8.28.610.011.311.9)1501x ++++==，(6.27.58.08.5915.8)8y ++++==， 代入回归方程可得80.76100.4a =-⨯=， ∴回归方程为0.760.4y x =+，把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=【提示】由题意可得x 和y ，可得回归方程，把15x =代入方程求得y 值即可． 【考点】线性回归方程5.【答案】D【解析】由约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立20220x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴2z x y =-的最小值为152(1)22⨯--=-．【提示】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【考点】简单线性规划 6.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得AGB ∠，0S =πcos 2S =，i 2=不满足条件i 5>，πcoscos π2S =+，i 3= 不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos 22S =++，i 4=不满足条件i 5>，π3πcos cos πcoscos2π22S =+++，i 5= 不满足条件i 5>，π3π5πcos cos πcoscos2πcos 010100222S =++++=-+++=+，i 6= 满足条件i 5>，退出循环，输出S 的值为0【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当i=6时满足条件i>5，退出循环，输出S 的值为0 【考点】循环结构 7.【答案】B【解析】l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“l α∥”也可能l α⊂，反之，“l α∥”一定有“l m ⊥”所以l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件． 【提示】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 8.【答案】D【解析】由题意可得：a b p ab q +==，， ∵00p q >>，， 可得00a b >>，，又2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得224b a ab =-⎧⎨=⎩①或224a b ab =-⎧⎨=⎩②．解①得：41a b =⎧⎨=⎩；解②得：14a b =⎧⎨=⎩．∴5144p a b q =+==⨯=，，则9p q += 【考点】等比数列的性质，等差数列的性质．【提示】由一元二次方程根与系数的关系得到a b p ab q +==，，再由2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a b ，的方程组，求得a b ，后得答案． 9.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【提示】建系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化1144(1)4PB PC t t t t ⎛⎫⎛⎫=----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由基本不等式可得．【解析】由题意建立如图所示的坐标系， 可得1(0,0),0(0,)t A B C t ⎛⎫⎪⎝⎭，，，∵4||||AB AC AP AB AC =+，∴(1,4)P ，∴11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,4)C t P -=-，∴114(1)1744t t t PB t PC ⎛⎫⎛⎫---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭-，由基本不等式可得144t t +≥， ∴117417413t t ⎛⎫-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当14t t =即12t =时取等号， ∴PB PC 的最大值为13，10.【答案】C【解析】解；∵lim 0()(0)(0)0x f x f f x →-'=-()1f x k '>>，∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>， 当11x k =-时，1111111f k k k k ⎛⎫+>⨯= ⎪---⎝⎭，即1111111f k k k ⎛⎫>-= ⎪---⎝⎭ 故1111f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭，所以1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭，一定出错， 另解：设()()1g x f x kx =-+，0(0)g =，且()()0g x f x k ''=->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C 错．【提示】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x ->>，用11x k =-代入可判断出1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，即可判断答案．【考点】函数的单调性与导数的关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】80【解析】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=，令52r -=，求得3r =，可得展开式中2x 项的系数为335280C =， 【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 项的系数．【考点】二项式定理 12.【答案】7【解析】因为锐角ABC △的面积为5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=，所以sin A =所以60A =︒， 所以1cos 2A =，所以7BC = 【提示】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ． 【考点】余弦定理的应用 13.【答案】512【解析】由已知，矩形的面积为4(21)4⨯-=，阴影部分的面积为22321115(4)433x dx x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512； 【提示】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 【考点】定积分的简单应用，几何概型 14.【答案】(1,2]【解析】由于函数6,2()(01)3log ,2a x c f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4,)+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，∴log 1a x ≥，∴log 21a ≥，∴12a <≤ 综上可得，12a <≤，【提示】当2x ≤时，满足()4f x ≥．当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，即log 1a x ≥，故有log 21a ≥， 由此求得a 的范围，综合可得结论． 【考点】对数函数的单调性与特殊点 15.【答案】5【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101， ①若1k =，则12345670101101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得45671x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671001101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671111101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671100101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671101001x x x x x x x =======，，，，，，，从而由校验方程组，得4567236713570,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=， 故5k =符合题意；⑥若6k =，则12345671101111x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故6k ≠；⑦若7k =，则123456110110x x x x x x ======，，，，，，70x =， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠； 综上，k 等于5【提示】根据二元码127x x x L 的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则， 将k 的值从1至7逐个验证即可． 【考点】通讯安全中的基本问题 三、解答题 16.【答案】52【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式． 【提示】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X 的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解析】（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则5431()=6542P A =⨯⨯． （2）有可能的取值是1，2，3 又则1(1)6P X ==， 511(2)656P X ==⨯=，542(3)653P X ==⨯=1236632EX =⨯+⨯+⨯=17.【答案】（1）见解析 （2）23【解析】解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， ∵G 是BE 的中点，∴GH AB ∥，且12GH AB =， 又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴DF AB ∥，且12DF AB =，即GH DF ∥，且GH DF =， ∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF DH ∥，又∵DH ADE ⊂平面，GF ADE ⊄平面，∴GF ADE ∥平面． （2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ CE ∥， ∵BE EC ⊥，∴BQ BE ⊥，又∵AB BEC ⊥平面，∴AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以BE ，BQ ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则(0,0,2)(0,0,0)2,0,0)(2,2,1)(A B E F ，，，∵AB BEC ⊥平面，∴(0,0,2)BA =为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =r为平面AEF 的法向量．又(2,0,2)BE =-，(2,2,1)AF =-由垂直关系可得220220n AE x z n AF x y z ⎧==-=⎪⎨==+-=⎪⎩，取2z =可得(2,1,2)n =-r ．∴2cos ,3||||n BA n BA n BA 〈〉>=∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23． 解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ， 又G 是BE 的中点，可知GM AE ∥，且12GM AE = 又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ， ∴GM ∥平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点可得MF AD ∥． 又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，∴MF ADE ∥平面． 又∵GM MF M =I ，GM ⊂平面GMF ，MF GMF ⊂平面 ∴平面GMF ADE ∥平面，∵GF GMF ⊂平面，∴GF ADE ∥平面 （2）同解法一．【提示】解法一：（1）取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF DH ∥，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以BE ，BQ ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，通过证明平面GMF ∥平面ADE 来证明GF ∥平面ADE ； （2）同解法一．【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定．18.【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】解法一：（1）由已知得222b c aa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩E 的方程为22142x y +=． （2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00)(,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，∴12222my y m +=+，12232y y m -=+，∴022m y m =+． 9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴222222200000095525||(1)44216GH x y my y m y my ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．222222212121212012()()(1)[()4]||(1)()444x x y y m y y y y AB m y y y -+-++-===+-， 故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++. ∴2||||2AB GH >，故G 在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，则119,4GA x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为222)230(m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212525(1)()416m y y m y y =++++22222253(1)2517202(2)21616(2)m m m m m m ++=-+=>+++ ∴0GA GB >又GA ，GB 不共线， ∴AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外．【提示】解法一：（1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得即可得出椭圆E 的方程．（2）设点11)(,A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00(),H x y ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=， 利用根与系数的关系中点坐标公式可得：022m y m =+．222009||4GH x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．2221212(1)[()4]||44m y y y y AB ++-=，作差22|||4|AB GH -即可判断出． 解法二：（1）同解法一．（2）设点1122(,(,))A x y B x y ，，则119=,4GA x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，229=,4GB x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，计算12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即可得出AGB ∠，进而判断出位置关系． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 19.【答案】（1）()2sin f x x =ππ()2x k k =+∈Z（2）（i ）(（ii ）见解析【解析】（1）将c (s )o x g x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移π2个单位长度后得到π2cos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故()2sin f x x =， 从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为ππ()2x k k =+∈Z ．（2）（i ）()()2sin cos )f xg x x x x x x ϕ⎫+=+==+⎪⎭（其中sin ϕ=，cos ϕ= 依题意，in )(sx ϕ+=在区间[0,2π)内有两个不同的解αβ，，1<，故m 的取值范围是(．（ii ）因为αβ，)x m ϕ+=在区间[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin()αϕ+=sin()βϕ+=．当1m ≤<时，π22αβϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2()αββϕ-=-+；当1m <时，23π2αβϕ+=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3π2()αββϕ-=-+； 所以2222cos()cos2()2sin ()12115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-． 【提示】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）（i ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得：()())f x g x x ϕ++（其中sinϕ=，cos ϕ=， 1<，即可得解． （ii ）由题意可得sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当1m ≤π2()αββϕ-=-+，当0m <时，可求3π2()αββϕ-=-+，由2cos()2sin ()1αββϕ-=+-，从而得证．【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．20.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）见解析【解析】（1）证明：令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥ 则有1()111x f x x x '=-=-++， ∵0x ≥，∴()0f x '≤，∴()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，有()(0)0f x f =＜，∴0x >时，()f x x <；（2）证明：令()()ln(1())g x f x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞， 则有1(1)()11kx k g x k x x -+-'=-=++， 当0k ≤时，()0g x '>，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，∴()(0)0g x g >=，故对任意正实数0x 均满足题意．当01k <<时，令()0g x '=，得1110k x k k -==->． 取011x k=-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，∴()g x 在0(0,)x 上单调递增，()(0)0g x g >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意的0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >；（3）解：当1k >时，由（1）知，对于任意,()0x ∈+∞，()()x g x f x >>，故()()g x f x >，()()()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+，令2ln(1)()M x kx x x =-+-，,()0x ∈+∞，则有212(2)1()211x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++，故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，()0M x '>，()M x在0⎡⎢⎣⎢⎭上单调递增， 故()(0)0M x M >=，即2()()||f x x g x ->，∴满足题意的t 不存在．当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的0(0,)()()f x x x g x ∈>，．此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-令2ln(1)0(),)[N x kx x x x =+--∈+∞，，则有212(2)121(1)x x k x k N k x x x --+-+'=--=++，故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，0()N x '>，()N x在⎡⎢⎢⎭⎣上单调递增，故()(0)0N x N >=， 即2()()x f x g x ->，记0x中较小的为1x ， 则当1)(0,x x ∈时，恒有2()()||f x x g x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =，由（1）知，当,()0x ∈+∞时，()()|()|()ln(1)f x g x g x f x x x =-=-+-，令2ln(1)([0),)H x x x x x =-+-∈+∞，，则有2121)121(x x H x x x x --'=--=++， 当0x >，()0H x '<，∴()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=，故当0x >时，恒有2()()||f x x g x -<，满足0t >的实数t 存在．综上，1k =【提示】（1）令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥，求导得到()0f x '≤，说明()f x 在[0,)+∞上单调递减，则0x >时，()f x x <；（2）令(()ln (1))()f x g x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，可得0k ≤时，()0g x '>，说明()g x 在(0,)+∞上单调递增，存在00x >，使得对任意0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >；当01k <<时，由()0G x '=求得1110k x k k -==->． 取011x k=-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，()g x 在上单调递增， ()0)0(g x g >=，即()()f x g x >；（3）分1k >、1k <和1k =把不等式2|()()|f x g x x -<的左边去绝对值，当1k >时，利用导数求得2|()()|f x g x x ->，满足题意的t 不存在．当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的任意0()0,x x ∈，()()f x g x >．令2()(ln 1)N x x x x k =+--，,[)0x ∈+∞，求导数分析满足题意的t 不存在．当1k =，由（1）知，当,[)0x ∈+∞时，()|()()()n |l (1)g x f x x f x x x g -=-=-+，令2()ln(1)H x x x x =-+-，,[)0x ∈+∞，则有0x >，()0H x '<，()H x 在[0,)+∞上单调递减， 故()(0)0H x H =＜，说明当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，满足0t >的实数t 存在．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用21.【答案】（1）312221⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（2）32223⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭【解析】（1）因为||23142A =⨯-⨯=， 所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由AC B =得11()A A C A B --=， 故1313112222012123C B A -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭． 【提示】（1）求出矩阵的行列式，即可求A 的逆矩阵1A -；（2）由AC B =得11()A A C A B --=，即可求矩阵C ，使得AC B =．【考点】逆变换与逆矩阵22.【答案】（1）22(1)(2)9x y -++=0x y m -+=（2）3-±【解析】（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=， 所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=.（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线0l x y m -+=:的距离等于2，2=，解得3m =-±． 【提示】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．【考点】圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程．23.【答案】（1）4（2）87【解析】（1）因为|()|||||()()||f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，又00a b >>，，所以||a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++，所以4a b c ++=；（2）由（1）知4a b c ++=， 由柯西不等式得，2222211(491)231()164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即222118497a b c ++≥ 当且仅当1132231b a c ==，即87a =，187b =，27c =时，等号成立． 所以2221149a b c ++的最小值为87． 【提示】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【考点】一般形式的柯西不等式。
福建省莆田第一中学2015届高三第三次月考数学(理)试卷
莆田一中2014－2015学年度高三第三次月考试卷 理科数学 2015.5.4 命题人：高三备课组审核人：高三备课组Ⅰ卷Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合A={-1,1,2,3},集合B={x|x?A,?A},则集合B中元素的个数为( )A.1B. 2C.3D.4 2.已知z=1-i(i是虚数单位), 表示的点落在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.将函数f (x)=sin2x+cos2x(x?R)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数 4.为了考查两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立做了8次和10次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l1,l2,已知两人得到的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都分别相等,则下列说法正确的是( )A.直线l1和l2必定重合B.必有l1//l2C.直线l1和l2不一定相交D.直线l1和l2一定有公共点 5.已知等数列{an}满足a201+a2015=,那么a2014(a2012+2a2014+a2016)的值为( )A.?B.2?C.?2D.4?2 6.已知三个正态分布密度函数?i(x)=e(x?R,i=1,2,3)的图象如图所示,则( ) A.?1?3 B.?1>?2=?3, ?1=?2<?3 C.?1=?2<?3, ?1<?2=?3 D.?1<?2=?3, ?1=?2<?3 第6题图 7.函数f(x)=ln(x-)的图象大致是( ) 8.如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,+y,则x+y的值为( ) A.- B.- C. D.- 9.若相互垂直的两条异面直线l1与l2满足条件: l1?α, l2//α,且平面α内的动点P到l1与l2的距离相等,则点P的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 10.定义[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中对于0≤x≤316时,函数f(x)=sin2[x]+sin2{x}-1和函数g(x)=[x]·{x}--1的零点个数分别为m,n则( )A.m=101,n=314B.m=101,n=313C.m=100, n=313D.m=100,n=314 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置) 11.已知命题p:?x?R, ex0)的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为π, (1)求m和ω的值, (2)求函数的单调增区间, (3)问：试否存在实数,使得函数f(x)的图象与直线x+y+=0相切,若能,请求出的值,若不能,请说明理由. 17. (本小题13分) 点P是△ABC所在的平面外一点P,连结PA,PB,PC,且有 PB=PC=,AB=AC=2,?BAC=90?,G为△PAB的重心. (1)试判断直线G与A的位置关系,并说明理由. (2)当PA=,求直线HG与平面PAC所成角的正弦值. 18. (本小题13分) 已知椭圆C1：+=1(a>)的离心率为,抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点F是椭圆C1的右焦点. (1)求抛物线C2的方程； (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C2相交于A,B两点,当动点D在直线x=-2上移动时,试求△ABD周长的最小值.19.(本小题满分1分) 金老师为投资理财,考虑了两种投资计划,计划A:从2015年初开始购买投资产品,每个月1号投资1500元钱,用于购买“余额宝”,“余额宝”的月收益率为0.5%(类似于银行存款,月底结算利息);计划B:从2015年初开始购买投资产品,每个月1号投资1000元钱,用于购买同一只股票,到201年底(201年12月31日),这只股票收益0%的概率为,亏损的概率为.两计划的收益均不考虑手续费(1)求计划B到201年底的收益的期望值;(2)根据201年年底的收益,试问你将选择何种投资? (注：收益率=，参考数据1.00524≈1.13, ≈0.0875, ≈0.0625)20.(本小题14分) 已知函数f(x)是在(0,+∞)上处处可导的函数,若xf ′(x)>f(x)在x>0上恒成立： (1)判断函数g(x)=在(0,+∞)上的单调性； (2)当x1>0,x2>0时,证明f(x1)+f(x2). 21.本题设有(1)(2),(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换 设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标保持不变的伸缩变换. (Ⅰ)求矩阵M； (Ⅱ)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. (2)选修4-4 参数方程与极坐标(本小题满分7分) 过P(2,0)作倾斜角为α的直线与曲线E：(θ为参数)交于A,B两点. (Ⅰ)求曲线E的普通方程及的参数方程； (Ⅱ)求α的取值范围. (3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)试证明柯西不等式：2+b2)(x2+y2)?(ax+by)2(a,b,x,y?R)； (Ⅱ)若2+y2=2且|x|?|y|,求+的最小值.。
福建省莆田一中2014-2015学年5月高三第三次月考理科综合试题(含答案)
莆田一中2015届高三月考理科综合试卷（5.5）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷为必考题，第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分满分300分，考试时间150分钟相对原子质量（原子量）：H-1，C-12，O-16，Na-23，Al-27，Cl-35.5，Ba-137第Ⅰ卷（选择题共108分）本卷共18题，每小题6分，共108分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．生物体的生命活动离不开水。
下列关于水的叙述，错误的是（）A．在最基本生命系统中，H2O有自由水和结合水两种存在形式B．由氨基酸形成多肽链时，生成物H2O中的氢来自氨基和羧基C．有氧呼吸时，生成物H2O中的氢来自线粒体中丙酮酸的分解D．H2O在光下分解，产生的[H]将固定的CO2还原成(CH2O)2．图a、b分别为农村和城市生态系统的生物量（生命物质总量）金字塔示意图。
下列叙述正确的是（）A.两个生态系统均可通过信息传递调节种间关系B.两个生态系统的营养结构均由3个营养级组成C.城市生态系统不具有自我调节能力，抵抗力稳定性低D.流经两个生态系统的总能量均是其植物所固定的太阳能3．下表中有关人体细胞化合物的各项内容，正确的是（）A ．①B．②C．③D．④4．MRSA菌是一种引起皮肤感染的“超级细菌”，对青霉素等多种抗生素有抗性。
为研究人母乳中新发现的蛋白质H与青霉素组合使用对MRSA菌生长的影响，某兴趣小组的实验设计及结果如下表。
下列说法正确的是( )A.细菌死亡与否是通过光学显微镜观察其细胞核的有无来确定B.第2组和第3组对比表明，使用低浓度的青霉素即可杀死MRSA菌C.实验还需设计有2μg/mL青霉素做处理的对照组D.蛋白质H有很强的杀菌作用，是一种新型抗生素5．以下为某植物生殖细胞形成过程中某些时期的示意图，正确的描述是（）A．①纺锤丝牵引着姐妹染色单体分开B．②纺锤丝牵引着同源染色体向细胞两极移动C．③同源染色体排列在赤道板上D．④减数第一次分裂染色体排列在赤道板上6．下列物质性质与应用及其对应关系均正确的是（）选项性质应用A 碳酸氢钠可与烧碱反应可用碳酸氢钠作糕点膨松剂B AgCl难溶于稀硝酸可用稀硝酸和AgNO3溶液检测Cl一C 浓硫酸具有强氧化性，而稀硫酸的可用浓硫酸替代稀硫酸与锌反应快速氧化性较弱制氢气D 碳单质性质稳定可在纯铁中加入少量炭增强抗腐蚀性7．下列叙述正确的是（）A．煤焦油、石油、花生油都属于烃B．蛋白质、脂肪、葡萄糖在一定条件下都能水解C．甲烷、乙烯、苯都可通过石油分馏得到D．乙醇既能与有机化合物反应又能与无机化合物反应8．甲、乙是两种氮的氧化物且所含元素价态均相同，某温度下相互转化时的量变关系如图所示。
福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期联考期末试卷数学(理) Word版含答案
俯视图泉州五中、莆田一中、漳州一中2015届高三上学期期末考试 理科数学试卷(全卷满分150分，考试时间120分钟.)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.)1、设集合A ={x |0<x <2}，集合2{|log 0}B x x =>，则A B ⋂等于( )A.{|2}x x <B.{|0}x x >C.{|02}x x <<D.{|12}x x << 2、已知函数()sin(2)()4f x x x R π=+∈的最小正周期为π，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只要将()y f x =的图象( )A.向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度3、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A.D.4、已知向量a = (m 2，4)，b =(1，1)则“m= -2”是“a //b ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =,则下列结论正确的是 ( )A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a <<6、已知数列{}n a 满足1n n a a n ++=，若11,a =则84a a -=( )A. —1B. 1C. 2D. 47、若实数a ,b 满足a 2+b 2≤1，则关于x 的方程x 2-2x +a +b =0无．实数根的概率为 ( )A.14 B.34 C.3π24π+ D.π24π- 8、双曲线错误！未找到引用源。
的渐近线与抛物线错误！未找到引用源。
相切，则该双曲线的离心率等于 ( ) A.错误！未找到引用源。
福建省莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学(理)试卷
福建省莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试卷（满分：150分，答卷时间: 120分钟）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分） 1. 设为向量，则“a b a b ⋅=”是“//”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2．已知正角α的终边上一点的坐标为（32cos,32sinππ），则角α的最小值为( ) A ．65π B ．32π C ．35π D ．611π3.下列命题中是假命题．．．的是 （ ） A ．上递减B ．C ．;D ．都不是偶函数4．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ）A ．7B ．17C ．7-D ．17-6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.3()的值域为函数x x x f 3123)(.7-+-=A.[1，2] B[1，2] C.[1,3] D[1,23]8．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ． 8C ． 4D ．69.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为（ ）1211+10. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f，当[]1,0∈x时，;2142)(--=xxf当1＞x时，()()aRaxafxf,,1∈-=为常数.下列有关函数()x f的描述：①当2=a时，423=⎪⎭⎫⎝⎛f；②当，＜1a函数()x f的值域为[]2,2-；③当0＞a时，不等式()212-≤x axf在区间[)+∞,0上恒成立；④当01-＜＜a时，函数()x f的图像与直线()*-∈=Nnay n12在[]n，0内的交点个数为()211nn-+-.其中描述正确的个数有( ) A.4 B.3 C.2 D.1二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．定义在R上的奇函数)(xf，当0<x时，xxexf-=)(，则当0>x时，=)(xf______.分别为67，12.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位。
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莆田一中2015届高三数学（理科）模拟考试卷 2015-3-27第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．复数)1(i i z +=在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．已知b a ,是实数，则“||||||b a b a +=-”是“0<ab ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列}{n a 是等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．6 4. 函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是( )5．已知函数)sin()(π-=x x f ，)cos()(π+=x x g ，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数)()(x g x f y ⋅=的最小正周期为π2B ．函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为2C ．将函数()y f x =的图象向右平移2π单位后得()g x 的图象 D ．将函数()y f x =的图象向左平移2π单位后得()g x 的图象6．6个人排成一排，其中甲必须排在两端， 乙与丙必须相邻，则不同的排列方法共有（ ） A ． 34种 B ．48种 C ．96种 D ．144种 7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试 成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项 测试成绩的标准差，则有( )A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =>C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =<8．已知实数,x y 满足010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值时的最优解(,)x y 有无数个，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．1-9．已知有相同两焦点1F 、2F 的椭圆1522=+y x 和双曲线1322=-y x ，P 是它们的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．410.定义在区间[]b a ,上的函数)(x f y =, )(x f '是函数)(x f 的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ，则称ξ为[]b a ,上的“中值点”.下列函数：①12)(-=x x f ②1)(2+-=x x x f ③ )cos()(x x f π= ④3)21()(-=x x f ，其中在区间[]1,0上的“中值点”多于一个的函数是( ) A ．②③ B ．③④ C ．①③④ D ．①②③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将把答案填在答题卷的相应位置．11．已知向量b a ,满足1=a ，2=b ，a b a ⊥-)(，向量a 与b的夹角为 .12．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的 正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积 为 .13．圆222π=+y x 内的曲线x y sin -=与x 轴围成的阴影部分区域记为M （如图），随机往圆内投掷一个点A ，则点A 落 在区域M 的概率为________.14．在A B C ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c A b B a 21c o s co s =-，当)t a n (B A -取最大值时，角C 的值为________.15．动圆M与定圆1O 外切，与另一个定圆2O 内切，则动圆M 的圆心轨迹可能是：:①直线；②圆；③椭圆；④双曲线的一支，其中正确的是 。
(写出序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卷相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）甲、乙、丙三人独立作答同一道题，已知甲、乙、丙各自正确解出的概率分别为1123p 、、，且他们是否正确解出互不影响.若三人中只有甲正确解出的概率为41. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人正确解出的概率；（Ⅱ）设甲、乙、丙三人中正确解出的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .17．（13分）已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >）的右顶点为M ，点P 是椭圆C 上的动点，定点A 的坐标为(2,0)。
⑴若3m =，求||PA 的最大值与最小值；⑵若||PA 的最小值为||MA ，求m 的取值范围。
18．（13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，2==DC PD ，E 是PC 的中点，（1）证明://PA 平面BDE . （2）求二面角D PB C --的大小.（3）试确定过D 点的平面α使直线PB 与平面α所成的角θ达到最大？（写出确定平面α的过程，并指出角θ最大值，不必证明）19．（13分）已知函数x x a x f ln 2)2)(2()(---=，（1）若)(x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为：032=-+-a y x a ，求a 的值；（2）若函数)(x f 在)1,0(上没有零点，求a 的最小值；20．（14分）外国邮轮（简称外轮）除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域。
如图所示，我国某海岛是由半径为10海里的一段圆弧ABC （43圆周）和线段AC 所围的区域（A 、B 、C 分别位于圆心O 的正西、正东和正北的位置），又分别在A 、B 设有观察点，现发现在P 点处停有一外轮，并测得030=∠BAP ，0120=∠ABP （1）该外轮是否已进入我领海主权范围的内？(2) 该外轮因故障向我方求助，我方停泊在A 处的救助船紧急起航，首先沿正北方向AN 行驶一段至点M 位置，再从M （“拐点”）向右拐头沿直线MP 前往出事点，记“拐角”NMP ∠的大小为θ。
由于水域的原因，救助船沿AN 方向的行船最大速度是MP 方向行船最大速度的λ倍，试确定θcos 的值，使我救助船到达P 点的时间最短。
21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵 ⎝⎛-=11A⎪⎪⎭⎫b a ，A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求直线2y x =在矩阵A 所对应的线性变换下的像的方程（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22,cos 22r y r x （θ为参数，0r >）．以O 为极点， x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()42πρθ+=。
（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标和极坐标；（Ⅱ）求当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知c b a ,,为正实数，且36111=++cb a ,且c b a 94++的最小值为m ， （Ⅰ）求m ；（Ⅱ）求证：m x x ≤--+|21||21|对R x ∈∀恒成立.莆田一中2015届高三数学（理科）模拟考试 答案B. B. B. A. D ．C.D. A. C. C ．11．4π 12．23π 13．34π14．2π 15．○2○2○3○3○4○416．解：记“甲、乙、丙三人各自正确解出”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人正确解出的概率为：121()P A A -⋅1221233=-⨯=.……4分 （Ⅱ）设“三人中只有甲正确解出”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=，所以1134p -=，14p =. ……………………6分则X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………7分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯=. ……………………11分 X 分布列为：X0 1 2 3P14 1124 14 124所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分17．解：⑴ 3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则222222891||(2)(2)1()(33)9942x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤∴ 94x =时min 2||2PA =； 3x =-时max ||5PA =。
⑵设动点(,)P x y ，则222222222222124||(2)(2)1()5()11x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤-- ∵ 当x m =时，||PA 取最小值，且2210m m ->，∴ 2221m m m ≥-且1m >解得112m <≤+。
18（1）证明：连接AC 与BD 交于M ，ABCD 为正方形，M ∴为AC 中点. E 为PC 中点，//EM PA ∴又EM ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB PA ∴//平面EDB（2）如图，分别以DA 、DC 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(D ,)2,0,0(P ,)0,2,2(B ,)0,2,0(C ∴)2,2,2(-=PB ,)2,2,0(-=PC设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PC n PB n ⇒⎩⎨⎧=-=-+00z y z y x 取)1,1,0(=n 显然)0,2,2(-=AC 为平面PBD 的法向量∴21822,cos =⋅>=<AC n ∴二面角D PB C --的大小为3π。