数据包络分析新

我们限定所有的值 h j （ j 1,2,3 ）不超过1，即 max h j 1 。这意 味着，若第 k 个企业 hk 1 ，则该企业相对于其他企业来说生产 率最高，或者说这一生产系统是相对有效的；若 hk 1 ，那么该企 业相对于其他企业来说，生产率还有待提高，或者说这一生产系统还不是 有效的。 ， 根据上述分析，可以建立确定任一个企业（如第3个企业即丙企业）的 相对生产率的最优化模型如下：
数据包络分析简介
数据包络分析:是研究同类型企业或部门经营好坏的一个 方法，也可用于研究同一企业不同时期的经营效果。
所谓相对有效性是指在同类型的企业部门 （称为决策单元）各投入 一定数量的资源、资 金或劳动力后，对其生产的产品的数值、经济 效益或社会效益相互间进行比较而言，评价同 类企业或部门的相对有效性是衡量一个企业或 部门的科学管理水平的一个重要标记。
(P)
T X j T Y j 0, j 1,2,, n s.t. T X 0 1, 0, 0.
定理1 分式规划 (P) 和线性规划 (P) 在下述意义下等价： 0 0 ⑴ 若 V ,U 为 (P) 的最优解，则 0 t 0V 0 , 0 t 0U 0 为 (P) 的最优解，并且最优值相等，其中
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这是一个分式规划模型，利用查尼斯-库珀变换后，可以把它转化为一个 等价的线形规划模型，然后利用线形规划模型的知识进行求解即可。
DEA方法是运筹学的一个较新的研究领域，它的众多优点吸引了许多 应用工作者。在国外，应用范围已扩展到军用飞机的飞行、城市建设、银 行信贷等方面。同时还可用它研究多种方案之间的相对有效性，甚至可以 用来进行政策评价。目前我国正在进行的各行各业的评价中，DEA方法是 一个较为理想的方法。 本节，只简单介绍 C 2 R 模型，其他几个模型请参考有关的资料。
x1 （万元） x 2 （万元）
x 3 （万元）
60 22 24 12 6 8 由于投入指标与产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合指 标值和产出指标值。设 v i 为第 i 个投入指标 x i 的权重， 为第 ur 3 个产出指标 y r的权重，则第j 个企业投入的综合值为 vi xij，产出的综合值为
n
x1n x2n
x mn
1 2
v1 v2
vm
x11 x12 x 21 x 22
x m1 x m 2
m
输 出
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .
1 2 p
解 ⑴ 甲企业对应的DEA模型为： VD , min
1.51 2 33 s1 1.5 41 3 2 73 s 2 4 s.t. 51 4 2 83 s3 5 0, j 1,2,3, s 0, s 0, s 0. 1 2 3 j
U 为变量， hj 1
max h j 0
u y
r 1 m r
p
rj 0
v x
i 1
,
i ij 0
p u r yrj r 1 1, j 1,2, , n. m vx i ij i 1 V v1 , v2 , , vm T 0 T U u1 , u 2 , , u p 0.
u1
u2
y11 y12
y 21 y 22
y p1 y p 2
... ...

up
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .
y1 j y2 j
y pj
y1n
y2n
y pn
... ...
其中： x ij 表示第 y rj 表示第 v i 表示第 u 表示第
r
j j i r
个决策单元关于第 i 种类型投入的总量，xij y 个决策单元关于第 r 种类型产出的总量， rj 种类型输入的度量（也称为权系数）； 种类型输出的度量（也称为权系数）；
0; o;
i 1,2,, m; j 1,2,, n; r 1,2,, p.
y1 （万元） y 2 （万元）
r
u
r 1
2
r
y rj
，其效率定义为
hj
u y
r 1 3 r
2
i 1
rj
v x
i 1
i ij
于是问题实际上是确定一组最佳的权变量 v1 , v 2 , v3 和 u1 , u 2 , 使第 j 个企业的效率值 h j 最大，这个最大的效率评价值是该 企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。
min V p ,
min V p ,
D
X 0 X j j j 1 n s.t. Y j j Y0 j 1 j 0, j 1,2, , n 无约束.
n
D
n X j j S X 0 j 1 n Y S Y s.t. j j 0 j 1 j 0, j 1,2, , n S 0, S 0,无约束.
T T
其中
X j x1 j , x 2 j , , x mj , Y j y1 j , y 2 j ,, y pj , j 1,2, , n.
(P) 是一个分式规划，使用查尼斯-库珀变换，可以转化为一个等价的线性 规划问题。为此，令
1 t T , tV , tU , V X0
r
y rj
ij
v x
i
从理论上来说，我们总是可以选取适当的权数和，使其满足：
h j 1, j 1,2,, n.
现在对第 j 0 个对策单元进行效率评价 1 j0 n ，以权系数 V和 j0 以第 个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指标 为约束，构成如下的最优化模型：
实例 自然，评价一个决策单元，其主要依据是“投入量”（或称“输入数据”） 和“产出量”（或称“输出数据”）。 例如，评价一所高等院校，输入数据是学校的全年经费、教职员工的总人 数、各类职称的教师人数、教学用房总面积以及图书、设备、仪器等；输 出数据则应是每年培养的学生人数、毕业生的质量、教师的教学质量和科 研成果的数量和质量等，然后根据这些“投入量”与“产出量”评价这所 高校的优劣。这里的优劣是通过与其他学校相互比较而言的。 起源: 1978年著名的运筹学家查尼斯（A.Charnes）、库珀（W.W.Cooper）及罗 兹（E.Rhodes）首先提出了一个评价部门间相对有效性的数据包络分析法 （the method of data envelopment analysis），简称DEA方法。它是根据一 组输入和输出的观察值来估计有效生产前沿面。他们的第一个DEA模型称 2 为C R 模型，是用来评价部门间的相对“规模有效”的。1985年提出了单 C 2 GS 纯评价“技术有效”性的 1986年根据研究具有无穷多个决策单元 的情况，提出了 模型。1987年给出具有“偏好”的锥比率的 C 2W C 2WH 。 模型。这些模型已经在实际中得到成功的运用。
(D)
0 0 (D) 的最优解为 0 0,1.25,0T , 0 0.93, s10 0.15, s2 s3 0. 由于 0 1, 所以甲企业不是DEA有效。
⑵ 乙企业对应的DEA模型为
min VD ,
(D)
1.51 2 33 s1 41 3 2 73 s 2 3 s.t. 51 4 2 83 s3 4 0, j 1,2,3, s 0, s 0, s 0. 1 2 3 j
为了说明DEA模型建模的基本思路，下面看一个例子。 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到 x 反映其投入（固定资产年净值 1 ，流动资金x 2 ，职工人数 x 3 ） 和产出（总产值 y1 ，利税总额 y 2 ）的有关数据如下表所示。 企业 指标 甲 4 15 8 乙 15 4 2 丙 27 5 4
设有 n 个同类型的部门（又称决策单元），对每个部门都有 m p 不同的输入以及 p 种不同的输出（即投入 种“资源”，产出 “产品”），它们由下表给出
C 2 R 模型
m
种 种
部门 指标 权数
输 入
1
2
... ... ...
... ...
j
x1 j x2 j
x mj
... ...
... ... ...
例 题 已知甲、乙、丙三个同行企业，为评价其相对生产 率，取投入要素为固定资产 K （亿元）和职工人数 L （千 人），产出项目为净产值 Y （亿元），有关数据如下表。试 比较它们的有效性。
部门 指标 输 入 输 出 权数 甲 1.5 4 5 乙 1 3 4 丙 3 7 8
K L
Y
v1 v2 u1
则有
U T Y0 T Y0 T V X 0 U TY TYj j T 1, j 1,2, , n T V X j X j T X 1, 0, 0. 0
因此分式规划 (P) 变为
max V p T Y0
t0 1 . 0T V X0
0 , 0 为(P) 的最优解，则V 0 ,U 0 也为 (P) 的最优解，并且最优 ⑵若
值相等。
(P) 的最优解 0 , 0 满足V p 0T Y0 1, 则 定义1 若线性规划 称决策单元 j 0 为弱DEA有效。 0 0, 0 0 满足 定义2 若线性规划 (P) 的最优解中存在 V p 0T Y0 1, 则称决策单元 j 0 为DEA有效。 由上面的定义知，若决策单元 j 0 为DEA有效，则必若DEA有效。 显然线性规划 (P) 的对偶规划为
，
max H h3 , h。j 1, j 1,2,3 s.t. u r 0, r 1,2, vi 0, i 1,2,3.
24u1 8u 2 h3 27 v1 5v 2 4v3
其中
60u1 12u 2 22u1 6u 2 h1 h2 40v1 15v 2 8v3 15v1 4v 2 8v3
不难看出，利用上述模型评价决策单元 j 0 是不是有效，是相对于其他 yrj X 所有决策单元而言的。为方便起见， 0 记为 r 0 ，0 为0 ，同样j 0 Y j 0 , y xij xi 记为 X 0 Y0 , ， 使用矩阵符号，有
U T Y0 max V p T V X0
， (P)
U TYj 1, j 1,2,, n T s.t.V X j V 0,U 0.
定理 2 线性规划 (P) 及其对偶线性规划 D 都存在最优解且最 优值 VD VP 1.
定理 3 对于对偶线性规划 D 有
⑴ 若 D 的最优值 VD 1，则决策单元 j 0 为弱DEA有效；
反之亦然。 0 , ⑵ 若 D 的最优值 VD 1 ，并且它的最优解 0 , S 0 , S 0 , 都 有 S 0 0, S 0 0, 则决策单元 j 0 为DEA有效；反之亦然。
x ij 和 y rj 为已知的数据，它可以根据历史的资料或预测的数据得到；v i 和 u r 是变量。 T V v1 , v 2 ,, vm 与 U u , u ,, u T ，每个决策单 对应于权系数 1 2 p
元都有相应的效率评价指数
hi
u
r 1 m i 1
p