江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(七) 含答案

南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺（七） 数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟.参考公式锥体体积公式13V Sh =, 其中S 为底面积，h 为高.第I 卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复平面内，复数20132iz i +=，则复数z 的共轭复数z 对应的点所在象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则R A C B = ( ) A ．[)2,1- B ．[]2,1- C ．[]2,2- D ．),2[+∞-3. 若()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=21 ,211 ,sin 3x x x x x f ，则()=⎰-dx x f 21( )A ．0B ．1C ．2D ．34. 若(0,)2πα∈，且21sin cos24αα+=，则tan α= ( )A B C D 5. 有以下命题：①命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是：“2,20x R x x ∀∈--<”； ②已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，(4)0.79,P X ≤=则(2)0.21P X ≤-=；③函数131()()2x f x x =-的零点在区间11(,)32内；其中正确的命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个6. 观察下列各式：=，=，=，…．若=n m -=（） A.43 B ．57 C ．73 D ．917. 已知一组正数1234,,,x x x x 的方差为2222212341(16)4S x x x x =+++-，则数据122,2,x x ++342,2x x ++的平均数为( )A.2B.4C.-2D.不确定 8. 已知函数()f x 是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差 数列，3a ＞0，则135()()()f a f a f a ++的值 ( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负9. 已知()[]23,0,31xf x x x+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且122010670a a a +++= ，则122010()()()f a f a f a +++ ( )A . 有最大值6030B . 有最小值6030 C.有最大值6027 D . 有最小值6027 10.如图,已知正方体1111ABCD A BCD -的棱长为1,动点P 在此第Ⅱ卷二 、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则其外接球的表面积是______；12.已知11(1,a dx -=⎰则61()2a x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦展开式中的 常数项为 ；13. 设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为4π的等差数列，12()()f a f a ++3()f a =3π，则1210()()......()f a f a f a ++= ；14. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为 .三．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分。

本题共5分。

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(,)ρθ(02)θ<≤π中，曲线(cos sin )2ρθθ+=与(sin cos )2ρθθ-=的交点的极坐标为________(2) （不等式选讲选做题）对于任意≥-+-∈3sin 2sin ,θθθR aa 2+恒成立，则实数a 的取值范围______四、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）左视图16.(本小题满分12分) 某人上楼梯，每步上一阶的概率为23，每步上二阶的概率为13，设该人从台阶下的平台开始出发，到达第n 阶的概率为n P . (1)求2P ；;(2)该人共走了5步，求该人这5步共上的阶数ξ的数学期望.17.（本题满分12分） 已知函数n m x f ⋅=)(, 其中)cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=)sin 2,sin (cos x x x ωωω-=，其中,0>ω若)(x f 相邻两对称轴间的距离不小于.2π（1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3,3=+=c b a ，当ω最大时，,1)(=A f 求ABC ∆的面积.18. （本题满分12分） 在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n+=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .19. （本题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1）证明：BN ⊥平面11NB C （2）求平面1CNB 与平面11NB C 所成角的余弦值；20. (本小题满分13分)过点)1,0(B 的直线1l 交直线2=x 于),2(0y P ，过点)1,0(-'B 的直线2l 交x 轴于)0,(0x P '点，1200=+y x ，M l l =21 . （1）求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线l 与C 相交于不同的两点S 、T ，已知点S 的坐标为(－2,0)，点Q (0，m )在线段ST 的垂直平分线上且⋅≤4，求实数m 的取值范围.21. （本题满分14分）设3x =是函数()()()23,xf x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。

（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （2）设()2250,4xa g x a e ⎛⎫>=+⎪⎝⎭，若存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，求实数a 的取值范围。

2013届高三模拟试卷（07）数学（理）参考答案四、解答题（本大题共6小题，共75分）16. 解：(1) 从平台到达第二阶有二种走法：走两步，或一步到达，………………2分 故概率为P 2=32×32+9731= ………………6分 (2)该人走了五步，共上的阶数ξ取值为5，6，7，8，9，10……………………….8分……………………………………………………10分()E ξ=5×(32)5+6×3202431620311031093410838107316555555==⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯ …………12分 17. 解：（1）x x x x n m x f ωωωωsin cos 32sin cos )(22⋅+-=⋅= )62sin(22sin 32cos πωωω+=+=x x x .0>ω,∴函数)(x f 的周期ωπωπ==22T ，由题意可知22π≥T ，即22πωπ≥，解得10≤<ω，即ω的取值范围是{}10|≤<ωω.……………………6分 （2）由（1）可知ω的最大值为1，()2sin(2)6f x x π∴=+1()1,sin(2)62f A A π=∴+=而132666A πππ<+<，52663A A πππ∴+=⇒=……………8分 由余弦定理知A bc c b a cos 2222-+=，223b c bc ∴+-=，又3b c +=.联立解得2bc =，1sin 2ABC S bc A ∆∴==. ………………12分 18. 解：（1）由条件得1221(1)2n na a n n +=⋅+，又1n =时，21n a n =， 故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而2112n n a n -=，即212n n n a -= (6)分（2）由22(1)21222n n n nn n n b ++=-=得23521222n n n S +=+++ ， 231135212122222n n n n n S +-+⇒=++++ ， 两式相减得 ： 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ， 所以 2552n nn S +=- (12)分设()2,,n x y z =为平面1NCB 的一个法向量,则()()()()221,,4,4,40000,,4,4,000x y z n CN x y z x y x y z n NB ⎧⋅-=⎧⋅=+-=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅-=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩, 所以可取()21,1,2n = ．则121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>====⋅．∴所求二面角C －NB 1－C 1………………12分20. 解 (1)由题意，直线1l 的方程是1210+--=x y y ，∵1200=+y x，∴1l 的方程是14+-=x x y 若直线2l 与y 轴重合，则)1,0(M ，若直线2l 不与y 重合，可求得直线2l 的方程是110-=x x y ，与1l 的方程联立消去0x 得1422=+y x ，因1l 不经过)1,0(-，故动点动M 的轨迹C 的方程是1422=+y x )1-≠y （…………6分 (2)设T (x 1，y 1)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2))21-≠k （于是S 、T 两点的坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 由方程消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0由－2x 1＝2241416k k +-得x 1＝224182k k +-，从而y 1＝2414k k +设线段ST 的中点为N ，则N (22418kk +-，2412k k+)…………8分以下分两种情况：①当k ＝0时，点T 的坐标为(2,0)，线段ST 的垂直平分线为y 轴，于是),2(),,2(m m -=--=，由⋅≤4得：－22≤m ≤2 2.②当k ≠0时，线段ST 的垂直平分线方程为y －2412k k +＝－k 1(x ＋22418kk +)令x ＝0， 得m ＝2416k k +-∵21-≠k ，∴23≠m ，由⋅＝－2x 1－m (y 1－m )＝2241822-kk +-）（＋ 2416k k +(2414k k +＋2416k k +)＝2224)41()11516(4k k k +-+≤4 解得－147≤k ≤147且k ≠0 ∴m ＝2416kk +-＝k k416+-………………11分 ∴当－147≤k <0时，k k41+≤－4当0<k ≤147时，k k41+≥4∴－32≤m ≤32，且m ≠0综上所述，－32≤m <32，且m ≠0.…13分21. 解：（1）∵()()23x f x x ax b e -=++∴()()()()''32321x x fx x a e x ax b e --=++++- ()232xx a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦2分 由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =-- 3分∴()()2323x f x x ax a e -=+--且()()()'331xf x x x a e -=--++令()'0f x =得13x =，21x a =--∵3x =是函数()()()23,xf x x ax b e x R -=++∈的一个极值点∴12x x ≠，即4a ≠-故a 与b 的关系式()23,4b a a =--≠- 5分①当4a <-时，213x a =-->，由()'0fx >得单增区间为：()3,1a --；由()'0f x <得单减区间为：(),3-∞、()1,a --+∞；②当4a >-时，213x a =--<，由()'0f x >得单增区间为：()1,3a --；由()'0f x <得单减区间为：(),1a -∞--、()3,+∞； 8分（2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，()()(){}()3min min 0,423f x f f a e ==-+，()()max 36f x f a ==+∴()f x 在[]0,4上的值域为()323,6a e a ⎡⎤-++⎣⎦ 10分易知()2254x g x a e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,4上是增函数∴()g x 在[]0,4上的值域为2242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12分 由于()222516042a a a ⎛⎫⎛⎫+-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵要存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立， ∴必须且只须()202525644a a a >⎧⎪⎨⎛⎫+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩解得：03a <<所以：a 的取值范围为()0,3 14分。