一维低密度低压力多介质流动问题的高精度数值方法
基于一维流动的低张力泡沫驱数值模拟关键参数研究
基于一维流动的低张力泡沫驱数值模拟关键参数研究
近年来，低张力泡沫驱(LTFD)技术已经被广泛应用于油田水平井中的油气提取。
它具有低能耗、抗堵塞性强的优点，可以极大地提高水平井的产能。
在此基础上，建立一维流动LTFD数值模型已经成为进行低张力泡沫驱效果研究、参数调优和比较不同技术参数组合性能变化的重要方法。
LTFD技术参数在工艺运行稳定性及泡沫驱效率变化方面具有很大的影响力。
若参数选取不当或者由于外部环境的变化导致参数变化时，可能会对LTFD的运行稳定性及效率产生负面影响。
因此，对参数在表层、深层井段LTFD技术性能变化关系进行准确计算和分析是改进LTFD技术效果和提高水平井产能的重要途径。
在构建LTFD数值模型基础上，可以采用有限体积法完成现有低张力泡沫驱参数敏感性研究。
有限体积法主要分析流体状态参数、体积分数、质量流量等参数之间的关系。
若采用统一的流体状态参数、压力信息等，可以研究增量电压、增量质量流量和气驱剂体积分数以及泡沫母液流动状况参数之间的变化关系。
此外，可以研究由各种参数带来的低张力泡沫驱效率低和高的概率变化，并基于此优化LTFD所用参数组合。
总之，采用有限体积法对一维流动LTFD参数进行敏感性分析可以给出精确的参数变化关系，并通过多变量模拟分析出最佳参数组合，有助于提高泡沫驱效率。
一维多介质可压缩流动数值方法
一维多介质可压缩流动数值方法
一维多介质可压缩流动数值方法
应用高精度界面追踪方法计算一般状态方程的多介质可压缩流动问题;应用Level Set技术捕捉界面位置,在界面附近采用守恒数值离散,用双波近似求解一般状态方程Riemann问题,并采用统一高阶PPM格式进行内点和交界面点的计算.一维算例表明,该方法对于光滑区域以及多介质交界面具有二阶精度,能准确地模拟交界面的位置,交界面计算无数值振荡和数值耗散,并能处理一般状态方程的多介质可压缩流动问题.
作者：马东军孙德军尹协远作者单位：中国科技大学力学和机械工程系,安徽,合肥,230027 刊名：计算物理 ISTIC EI PKU 英文刊名： CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS 年，卷(期)： 2003 20(2) 分类号： O354 O241 关键词：多介质可压缩流动一般状态方程界面追踪方法高阶Godunov格式。
dimov方法
dimov方法
Dimov方法是一种用于计算多相流问题的数值方法。
该方法由保加利亚数学家Dimov等人于1986年提出。
Dimov方法基于有限差分法和有限体积法的思想，将多相流问题建模为一组偏微分方程，并使用数值技巧进行离散化求解。
Dimov方法的主要特点是在计算过程中考虑了多相流中各相之间的相互作用和界面的动态变化。
它采用了两步计算的策略，首先通过求解连续相方程来确定相的流动速度和压力场，然后通过求解相的运动方程来更新相界面的位置和形状。
Dimov方法的优点是可以较准确地模拟多种多相流现象，如气泡运动、液滴碰撞等。
它在计算效率和精度上都有较好的表现。
然而，Dimov方法也存在一些限制，如对网格的依赖性较强、计算稳定性较差等。
Dimov方法是一种适用于多相流问题求解的数值方法，具有一定的优点和局限性。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和需求来选择合适的数值方法。
求解一维对流方程的高精度紧致差分格式___
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):635-642求解一维对流方程的高精度紧致差分格式侯波,葛永斌(宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021)摘要：本文提出数值求解一维对流方程的一种两层隐式紧致差分格式,采用泰勒级数展开法以及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散.格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.利用von Neumann方法分析得到该格式是无条件稳定的.通过数值实验验证了本文格式的精确性和稳定性.关键词：对流方程;高精度;紧致格式;无条件稳定;有限差分法中图分类号：O241.82AMS(2000)主题分类：65M06;65M12文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0635-081.引言对流方程在生物数学、能源开发、空气动力学等许多领域都具有十分广泛的应用,因此求解该类方程具有非常重要的理论价值和实际意义.然而,由于实际问题通常十分复杂,往往难以求得精确解,因此研究其精确稳定的数值解法是十分必要的.针对对流方程国内外很多学者提出了很多的数值方法.如张天德和孙传灼[1]针对一维对流方程采用待定系数法,得到了两层四点格式和四阶六点格式,并且是无条件稳定的,该方法适用于在点数确定的前提下,得到精度高的差分格式;于志玲和朱少红[2]针对一维问题建立了中间层为两个节点的三层显格式,其截断误差为O(τ2+h2);曾文平[3]针对一维对流方程推导出了一种两层半显式格式，其截断误差为O(τ2+h2),该格式是无条件稳定的.姚朝辉等人[5]将二阶的迎风格式和中心差分格式进行加权得到了WSUC格式,该格式是无条件稳定的;但该格式时间方向和空间方向仅有二阶精度.汤寒松等人[6]通过立方插值拟质点方法(CIP方法),给出了一些保单调的CIP格式;Erdogan[9]针对一维的对流方程推导出了一种指数拟合的差分格式,其截断误差为O(τ2+h2);Bourchtein[10]构造了对流方程的三层五点中心型蛙跳格式,该格式的截断误差为O(τ4+h4);即该格式时间和空间均具有四阶精度,但是该格式是三层的,空间方向需要五个点,并且是条件稳定的;Kim[11]构造了多层无耗散的迎风蛙跳格式,即时间和空间分别具有二阶、四阶、六阶精度,但格式为三层甚至是四层的,并且六阶格式空间方向最多需要五个点,给靠近边界的内点的计算带来困难.综上所述,文献中已经有的数值计算方法大多为低阶精度的,而高精度方法涉及多个时间层,需要一个或多个时间启动步,或者空间方向的网格节点多于三个,这都给计算造成困难或不便.为此本文将构造一种紧致格式,这里紧致格式的定义为对时间导数项的离散采用不超过∗收稿日期：2018-08-10基金项目：国家自然科学基金(11772165,11361045),宁夏自然科学基金重点项目(2018AAC02003),宁夏自治区重点研发项目(2018BEE03007)作者简介：侯波,男,汉族,河南人,研究方向：偏微分方程数值解法.通讯作者：葛永斌.636应用数学2019三个时间层,而对空间导数项的离散采用不超过三个网格点,时间和空间即可以达到高阶精度（三阶及三阶以上）的格式.本文拟构造的格式时间方向仅用到两个时间层上的函数值,在每个时间层上仅涉及到三个空间网格点,格式时间和空间具有整体的四阶精度.该格式的优点是无须启动步的计算,并且在对靠近边界点的计算时,不会用到计算域以外的网格节点.此外该格式为无条件稳定的,可以采用比较大的时间步长进行计算.最后通过数值实验验证本文格式的精确性和稳定性.2.差分格式的建立考虑如下一维对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=f,b≤x≤c,t≥0,(2.1)给定初始条件为:u(x,0)=φ(x),b≤x≤c,(2.2)给定周期性边界条件为:u(b,t)=u(c,t),t≥0,(2.3)其中,u(x,t)为未知函数,f为非齐次项,a为对流项系数,φ(x)为已知函数.将求解区域[b,c]等距剖分为N个子区间：b=x0,x1,···,x N−1,x N=c,并且定义h=c−bN,时间也采用等距剖分,步长用τ表示.在本文中,我们利用u ni ,u n+1i,u n+12i分别表示u在(x i,t n),(x i,t n+1)和(x i,t n+12)点处的函数值.假设方程(2.1)在点(x i,t n+12)成立,简写表示为:(∂u ∂t )n+12i+a(∂u∂x)n+12i=f n+12i.(2.4)将u n+1i 和u ni在点(x i,t n+12)处做泰勒级数展开,可得:u n+1i=u n+12i+τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i+(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.5)u ni=u n+12i−τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i−(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4).(2.6)(2.5)-(2.6)可得:(∂u∂t)n+12i=δt u n+12i−τ224(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.7)其中,δt u n+12i =u n+1i−u n iτ.同理可得:(∂u∂x)n+12i=δx u n+12i−h26(∂3u∂x3)n+12i+O(h4),(2.8)其中,δx u n+12i =un+12i+1−u n+12i−12h.将(2.7)和(2.8)代入(2.4)整理可得:δt u n+12i −τ224(∂3u∂t3)n+12i+aδx u n+12i−ah26(∂3u∂x3)n+12i=f n+12i+O(τ4+h4).(2.9)为了使该格式在时间方向和空间方向上均达到四阶精度,须对(2.9)式中的∂3u∂t3和∂3u∂x3项进行二阶的离散,同时为了保证本文格式的紧致性,即空间方向不超过三个网格点,我们对(2.1)式进行如下变形:∂u ∂t =−a∂u∂x+f,∂2u∂t2=a2∂2u∂x2−a∂f∂x+∂f∂t,第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式637∂3u ∂t 3=a 2∂3u ∂x 2∂t −a ∂2f ∂x∂t +∂2f ∂t 2,∂3u ∂x 3=−1a ∂3u ∂x 2∂t +1a ∂2f ∂x 2.(2.10)将上述∂3u ∂t 3和∂3u∂x 3的表达式(2.10)代入(2.9)并整理可得：δt u n +12i+aδx u n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.11)如果对上式中的δx u n +12i 项采用时间方向算术平均,即δx u n +12i =δx u n +1i+u n i 2,则会导致格式时间退化为二阶精度,为此利用(2.5)+(2.6)可得：u n +12i =12(u n +1i +u n i )−τ28(∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.12)从而可得:δx u n +12i =12δx (u n +1i +u n i )−τ28δx (∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.13)将(2.13)代入(2.11)得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28δx (∂2u ∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.14)由于δx (∂2u ∂t 2)n +12i =(∂3u ∂x∂t 2)n +12i+O (h 2),所以可得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(∂3u ∂x∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).又因为∂3u ∂x∂t 2=−a ∂3u∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t ,所以有:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(−a ∂3u ∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t )n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),即,δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )+(a 2τ212+h 26)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i −aτ212(∂2f ∂x∂t )n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).由于(∂3u ∂x 2∂t )n +12i=δ2x (∂u ∂t )n +12i +O (h 2),所以有:u n +1i −u n i τ+a 4h(u n +1i +1−u n +1i −1+u ni +1−u n i −1)+(h 26+a 2τ212)δ2x u n +1i −u n i τ−τ224(f n +1i −2f n +12i +f n −1i (τ2)2)−h 212[(∂2f ∂x 2)n +1i +(∂2f ∂x 2)n −1i ]−aτ12[(∂f ∂x )n +1i −(∂f ∂x)n −1i ]=f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),其中,δ2xu i =u i +1−2u i +u i −1h 2,舍去O (τ4+τ2h 2+h 4),等式两边同时乘以τ,并令λ=τ/h ,整理可得:u n +1i +aλ4(u n +1i +1−u n +1i −1)+(16+a 2λ212)(u n +1i +1−2u n +1i +u n +1i −1)638应用数学2019=u n i−aλ4(u n i +1−u n i −1)+(16+a 2λ212)(u n i +1−2u n i +u ni −1)+τ6(f n +1i −2f n +12i +f n i )+τ12(f n +1i +1−2f n +1i +f n +1i −1+f n i +1−2f n i +f n i −1)+aτλ24(f n +1i +1−f n +1i −1−f n i +1+f ni −1)+τf n +12i,即,(23−a 2λ26)u n +1i +(16+aλ4+a 2λ212)u n +1i +1+(16−aλ4+a 2λ212)u n +1i −1=(23−a 2λ26)u n i +(16−aλ4+a 2λ212)u n i +1+(16+aλ4+a 2λ212)u n i −1+(τ12+aλτ24)f n +1i +1(τ12−aλτ24)f n +1i −1+(τ12−aλτ24)f n i +1+(τ12+aλτ24)f n i −1+2τ3f n +12i .(2.15)由推导过程可知,该格式的截断误差为O (τ4+τ2h 2+h 4),即格式(2.15)在时间和空间上均可达到四阶精度.我们注意到,格式为两层格式,并且格式每层仅用到三个网格点,形成的代数方程组系数矩阵为循环三对角矩阵,可采用追赶法进行求解[8],同时由于要求未知时间层上(第n +1层)中间点的系数不能等于0,即23−a 2λ26=0,因此aλ=2.3.稳定性分析下面采用von Neumann 方法分析本文所推导的差分格式(2.15)的稳定性.对于(2.15)式,舍掉非齐次项f ,即假设f 项精确成立,令u n i =ηn e Iσx i,其中,η为振幅,σ为波数,I =√−1为虚数单位,有(23−a 2λ26)ηn +1e Iσx i +(16+aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i +1+(16−aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i −1=(23−a 2λ26)ηn e Iσx i +(16−aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i +1+(16+aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i −1.(3.1)两边同时约掉e Iσx i ,并整理可得：(23−a 2λ26)ηn +1+(16+a 2λ212)ηn +1(e Iσh +e −Iσh )+aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh )=(23−a 2λ26)ηn+(16+a 2λ212)ηn (e Iσh +e −Iσh )−aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh ).(3.2)利用Euler 公式,即e Iσh =cos σh +I sin σh,e −Iσh =cos σh −I sin σh ,可得:(23−a 2λ26)ηn +1+[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn +1+(aλI 2sin σh )ηn +1=(23−a 2λ26)ηn +[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn −(aλI 2sin σh )ηn .(3.3)对上式进行化简整理有[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh 2]ηn +1=[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh 2]ηn .(3.4)从而可得格式(2.15)的误差放大因子为:G =ηn +1ηn =(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh2(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh2.(3.5)由von Numann 稳定性定理可知当|G |≤1时,格式是稳定的,由(3.5)可得|G |=1,因此,格式(2.15)是无条件稳定的.4.数值实验第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式639为了验证本文格式(2.15)的精确性和稳定性,现考虑以下三个具有精确解的初边值问题.分别采用Crank-Nicolson(C-N)格式,文[7]中格式和本文格式(2.15)进行计算;其中,最大绝对误差及收敛阶的定义为:L∞=maxi |u n i−u(x i,t n)|,Rate=log[L∞(h1)/L∞(h2)]log(h1/h2)L∞(h1)和L∞(h2)为空间网格步长分别为h1和h2时的最大绝对误差.问题1[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=sin(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=sin[π(x−t)].表1问题1当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 2.217(-1) 4.865(-2) 1.993(-3)1/1020 5.752(-2) 1.95 1.263(-2) 1.95 1.208(-4) 4.041/2040 1.450(-2) 1.99 3.199(-3) 1.987.490(-6) 4.011/4080 3.631(-3) 2.008.038(-4) 1.99 4.672(-7) 4.001/801609.082(-4) 2.00 2.014(-4) 2.00 2.919(-8) 4.001/160320 2.271(-4) 2.00 5.041(-5) 2.00 1.824(-9) 4.00表2问题1当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文献[7]本文格式1/160.050000000.8 5.290(-2) 1.292(-2) 1.574(-5) 0.10000000 1.69.013(-2) 5.095(-2) 3.198(-3) 0.20000000 3.2 2.307(-1) 1.941(-1) 6.055(-2) 0.40000000 6.4 6.874(-1) 6.597(-1) 1.746(-2)1/320.025000000.8 1.330(-2) 3.230(-3)9.814(-7) 0.20000000 6.4 2.041(-1) 1.950(-1) 1.575(-3) 0.4000000012.8 6.668(-1) 6.601(-1) 1.916(-2)图1问题1当N=32,τ=0.03125,t=0.2时刻的数值解与精确解640应用数学2019表1给出了针对问题1三种格式在不同空间步长h下,当λ=τ/h=0.5,t=1时的最大绝对误差和收敛阶.我们发现C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,由于文[7]格式时间具有二阶精度,空间具有四阶精度,因此当取τ=O(h)时,格式空间仅有二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.图1给出N=32,τ=0.03125,t=0.2数值解与精确解对比图,可以看出数值解与精确解吻合的很好.表2给出了当h=1/16和h=1/32时,τ=λh,t=2时刻对问题1采用三种格式计算的最大绝对误差.可以看出网格比λ最大取到12.8,计算仍然是稳定的,因此本文格式是无条件稳定的.并且本文格式在所有参数下,其计算结果比C-N格式和文[7]格式计算结果更加精确.问题2[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=e cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=e cos[π(x−t)].表3问题2当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 6.754(-1) 1.428(-1) 5.567(-2)1/1020 2.310(-1) 1.55 3.099(-2) 2.20 3.041(-3) 4.191/2040 6.027(-2) 1.94 6.825(-3) 2.18 1.904(-4) 4.001/4080 1.492(-2) 2.01 1.658(-3) 2.04 1.165(-5) 4.031/80160 3.705(-3) 2.01 4.115(-4) 2.017.252(-7) 4.011/1603209.250(-4) 2.00 1.028(-4) 2.00 4.527(-8) 4.00表4问题2当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文[7]本文格式1/160.050000000.8 2.171(-1) 5.372(-2) 3.897(-4) 0.10000000 1.6 3.450(-1) 2.056(-1)7.795(-3) 0.20000000 3.2 6.810(-1) 6.111(-1) 3.416(-1) 0.40000000 6.4 1.220 1.198 2.017(-1)1/320.025000000.8 5.575(-2) 1.325(-2) 2.449(-5) 0.20000000 6.4 6.302(-1) 6.109(-1) 2.350(-2) 0.4000000012.8 1.204 1.199 2.201(-1)表3和表4给出了针对问题2利用本文格式和C-N格式以及文[7]格式的计算结果.表3考察了格式的精度,表4验证了格式的稳定性.可以看出本文格式在时间和空间上均可达到四阶精度,并且是无条件稳定的.问题3∂u ∂t +a∂u∂x=f,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,f=π(1−a)sin[π(x−t)],该问题的精确解为:u(x,t)=cos[π(x−t)].第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式641表5问题3当λ=τ/h=0.5,a=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate1/510 1.124(-1) 4.244(-4)1/1020 3.520(-2) 1.67 2.744(-5) 3.951/20409.957(-3) 1.82 1.739(-6) 3.981/4080 2.551(-3) 1.96 1.134(-7) 3.941/80160 6.413(-4) 1.99 1.351(-8) 3.07问题3为非齐次问题,由于文[7]的方程模型为齐次方程,不能计算非齐次问题,因此该问题我们采用本文格式和C-N进行计算和比较,表5给出了两种格式在不同空间步长h下,当t=1时的最大绝对误差和收敛阶.可以看出当λ=τ/h=0.5,a=0.5时,C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.5.结论本文针对一维对流方程提出了一种两层隐式高精度紧致差分格式,时间和空间均采用泰勒级数展开法以及截断误差余项修正法进行处理,格式截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.并通过von Neumann方法分析得到该格式为无条件稳定的.最后通过三个数值算例验证了格式的精确性和稳定性.通过上述研究,我们可以得出如下结论:1.文献(如[10-11])中的高精度格式往往是时间多层格式,需要另外构造启动步的计算格式,如果采用低精度格式启动,必然会影响以后时间层的计算精度.而本文格式仅为两层格式,无须启动步的计算,时间即可达到四阶精度.2.文献(如[1,10-11])中的高精度格式空间方向上往往超过三个网格节点,导致靠近边界的内点计算困难,需要采用特殊处理,而本文格式仅用到三个网格节点,可以有效避免这一问题.3.尽管本文格式要求aλ=2,这是本文格式的一个缺陷,但是由于本文格式是无条件稳定的,从理论上讲可以采用任意网格比,因此可以很容易避开aλ=2的条件限制,使得这一缺陷并不太影响格式的使用.4.由于本文方法推导过程中涉及到∂2u∂t2,∂3u∂t3,∂3u∂x3的计算,需要用原方程进行多次求导并进行反复代入计算,在考虑对流项为变系数问题时,将涉及到a(x,t)关于x和t的二阶导数,由于我们考虑在时间半点处,即(x i,t n+12)处的函数值,即要用到(∂2a∂t2)n+12i,如果采用中心差分,则时间仅具有二阶精度,因此本文方法不适用于变系数问题.5.本文方法可直接推广到二维和三维问题中去,我们将另文报道.参考文献：[1]张天德,孙传灼.对流方程的差分格式[J].计算物理,1995,12(2):191-195.[2]于志玲,朱少红.关于对流方程一类三层显格式[J].南开大学学报(自然科学版),1998,31(3):27-30.[3]曾文平.解对流方程的加耗散项的差分格式[J].应用数学,2001,14(S1):154-158.[4]陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].北京:北京大学出版社,1987.[5]姚朝晖,张锡文,任玉新等.一种低耗散、无伪振荡的实用差分格式[J].水动力学研究与进展(A辑),2001,16(02):195-199.[6]汤寒松,张德良,李椿萱.对流方程保单调CIP格式[J].水动力学研究与进展(A辑),1997(02):181-187.[7]赵飞,蔡志权,葛永斌.一维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分公式[J].江西师范大学学报(自然科学版),2014,38(4):413-418.642应用数学2019[8]李青,王能超.解循环三对角线性方程组的追赶法[J].小型微型计算机系统,2002(23):1393-1395.[9]ERDOGAN U.Improved upwind discretization of the advection equation[J].Numer.Meth.PartDiffer.Equ.,2014,30:773-787.[10]BOURCHTEIN A,BOURCHTEIN L.Explicitfinite schemes with extended stability for advectionequations[J]put.Appl.Math.,2012,236:3591-3604.[11]KIM C.Accurate multi-level schemes for advection[J].Int.J.Numer.Methods Fluids.,2003,41:471-494.A High-Order Compact Difference Scheme for Solving the1DConvection EquationHOU Bo,GE Yongbin(School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Yinchuan750021,China)Abstract:In this paper,a two-level implicit compact difference scheme for solving the one-dimensional convection equation is proposed.Taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme are used for the discretization of time and space.The local truncation error of the scheme is O(τ4+τ2h2+h4),i.e.,it has the fourth-order accuracy in both time and space.The unconditional stability is obtained by the von Neumann method. The accuracy and the stability of the present scheme are validated by some numerical experiments.Key words:Convection equation;High accuracy;Compact difference scheme;Unconditional sta-bility;Finite difference method。
有限体积WENO格式及其应用
有限体积WENO格式及其应用在数值模拟领域，有限体积WENO（Weighted EssentiallyNon-Oscillatory）格式是一种广泛使用的非线性数值逼近方法，适用于解决流体力学中的各种问题。
由于其具有高精度、低振荡和低数值弥散等优点，有限体积WENO格式在气象预报、气候模拟、流体动力学等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍有限体积WENO格式的定义、特点、应用、优势、不足以及结论。
有限体积WENO格式是一种基于有限体积方法的气象预报和流体动力学数值模拟算法。
该方法通过非线性加权差分函数，在每个控制体网格中心进行积分，进而得到流体的宏观量如速度、压力等在该网格中心的数值近似。
高精度：有限体积WENO格式具有高精度的特点，能够准确捕捉到流体的详细变化特征。
低振荡：由于有限体积WENO格式采用非线性加权差分函数，因此能够有效避免数值振荡现象，提高模拟结果的稳定性。
低数值弥散：有限体积WENO格式在模拟过程中产生的数值弥散较小，能够更好地保持流场的结构特征。
有限体积WENO格式在气象预报、气候模拟、流体动力学等领域中得到了广泛应用。
例如，在气象预报领域，有限体积WENO格式被广泛应用于天气预报和气候预测。
在流体动力学领域，有限体积WENO格式被用于模拟湍流、燃烧等复杂流动现象。
在这些应用中，有限体积WENO格式都展现出了其高精度、低振荡和低数值弥散等优点。
有限体积WENO格式在实际应用中具有以下优势：高精度：有限体积WENO格式能够准确捕捉到流体的变化特征，提高模拟结果的精度。
适用范围广：有限体积WENO格式适用于各种复杂流动现象的模拟，能够适应不同领域的需求。
稳定性好：由于有限体积WENO格式采用非线性加权差分函数，能够有效避免数值振荡现象，提高模拟结果的稳定性。
计算效率高：有限体积WENO格式的计算效率较高，适用于大规模并行计算，能够处理大规模问题。
虽然有限体积WENO格式具有许多优点，但也存在一些不足之处：计算成本较高：由于有限体积WENO格式需要进行非线性加权差分函数的计算，因此需要消耗更多的计算资源，导致计算成本较高。
多介质流体力学计算的谱体积方法
多介质流体力学计算的谱体积方法刘娜;陈艺冰【摘要】针对高维及多物理耦合计算耗费大等困难,设计适合多介质流动模拟的模板紧致、易于并行、高阶精度、计算耗费小的谱体积方法.该方法是求解双曲型守恒率谱体积方法的直接推广,针对多介质流动物质界面捕捉的困难,利用拟守恒格式的思想避免物质界面处的非物理振荡.数值模拟结果表明,本方法具有高阶精度、高分辨率,且节约计算量,并且可以有效避免物质界面处非物理振荡.【期刊名称】《爆炸与冲击》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】6页(P114-119)【关键词】流体力学;谱体积方法;高精度;刚性气体;多介质;模板紧致【作者】刘娜;陈艺冰【作者单位】北京应用物理与计算数学研究所,北京100088;中国工程物理研究院高性能数值模拟软件中心,北京100088;北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室,北京100088;北京应用物理与计算数学研究所,北京100088;北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室,北京100088【正文语种】中文【中图分类】O357.4多介质流体力学的模型可以用扩展欧拉方程组描述。
早期，使用守恒格式直接求解，但在接触间断（物质界面）附近，会产生非物理的压力和速度振荡。
随后，很多学者对此进行分析，并提出各种补救措施［1－2］，其中R.Abgrall等提出的拟守恒型格式，由于其简单、健壮得到了广泛应用。
此后，K.M.Shyue［3－4］、Y.B.Chen等［5］进一步发展了这个方法。
这些工作通常采用MUSCL限制器，精度不超过二阶。
当前，实际工程问题中对精细化设计提出越来越高的要求，不少更高阶（高于2阶）精度的格式被应用于求解多介质问题。
其中，E.Johnsen等［6］将WENO格式推广于求解扩展欧拉方程组，取得成功。
他的算法极大提高了对物质界面的分辨率，但WENO格式进行重构时，需要利用目标单元及其周围单元的信息，随着格式阶数的增大，需要不断扩展模板，在高维情形复杂度将急剧增加。
连续介质力学中的数值计算方法研究
连续介质力学中的数值计算方法研究连续介质力学旨在研究物质的力学行为，通过数学模型和计算方法来描述和解析实际工程和科学问题。
在计算力学的研究中，连续介质力学的数值计算方法起着关键作用。
本文将探讨连续介质力学中的数值计算方法的研究和应用。
数值计算方法是通过近似的数学算法来解决实际问题的方法。
在连续介质力学中，数值计算方法用于求解物质的力学行为方程，例如弹性、塑性、流体力学等。
这些方程通常是非线性和偏微分方程，很难通过解析方法得到解析解。
因此，数值计算方法成为解决这些方程的有效工具。
在连续介质力学的数值计算方法中，最常用的方法之一是有限元法。
有限元法通过将连续介质分割成小的离散单元来近似求解力学问题。
这些小单元的行为通过局部数学模型进行描述和分析，从而获得整个物质的力学行为。
有限元法具有广泛的适用性。
它可以用于求解静态和动态问题，以及线性和非线性问题。
此外，有限元法还可以模拟复杂的几何形状并考虑各向异性和多物理场的耦合问题。
有限元法的基本思想是利用虚功原理建立力学方程，并将物质分割成更小的离散单元。
在每个离散单元内，采用近似函数来描述位移、应力和应变等场量，并通过求解代数方程组得到离散单元的解。
通过组合所有离散单元的解，可以得到整个物质的力学行为。
目前，有限元法已广泛应用于结构力学、固体力学、流体力学等领域。
另一种常用的数值计算方法是边界元法。
边界元法将物质分为内部域和边界域，通过边界域的力学行为来计算内部域的力学响应。
边界元法的优点是无需离散内部域，只需离散边界域。
这使得边界元法在求解包含无限域的问题时具有独特的优势，例如弹性波传播、电磁波散射等。
边界元法在计算上更为高效，但在处理非线性问题上相对复杂。
在数值计算方法中，还有其他一些方法被广泛研究和应用，如边界单元法、有限体积法、有限差分法等。
这些方法各有特点，在不同的物理问题中表现出不同的优劣。
研究者通过对这些方法的深入研究和改进，以提高数值计算方法的精度、稳定性和效率。
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式黄雪芳;郭锐;葛永斌【摘要】A high accuracy compact finite difference scheme with non-uniform grids is pro-posed to solve unsteady convection diffusion equations, which are used to describe boundary layer problems or locally large gradient problems, etc. The new method starts from the dis-cretization of the steady convection diffusion equation. Firstly, the spatial derivatives are discretized by using the Taylor series expansion on non-uniform grids. Then, the second order backward Eulerian difference formula is used to discretize the temporal derivative term. The three-level full implicit compact difference scheme on non-uniform grids for solving the one-dimensional unsteady convection diffusion equation is derived. The new scheme has the second order accuracy in time and the third to fourth order accuracy in space and is unconditionally stable. Finally, some numerical experiments are conducted to demonstrate the high accuracy and the advantages in solving boundary layer problems or locally large gradient problems.%本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解。
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第１ ８卷 第 ３期 ２ ０ １ ５年 ７月
西安 文理 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｘ ｉ ’ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
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间断．
关键词 ： Ｒ Ｋ Ｄ Ｇ方法 ； 低密度 ； 低压力 ； 正保 护限制器 中图分 类号 ： ０ ２ ４ １ ． ８ ２ 文献标志码 ： Ａ
Ｈｉ ｇ ｈ－ ｐ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｎｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ Ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎｇ Ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｏ ｆ Ｏｎ ｅ ・ － ｄｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎａ ｌ Ｍｕ ｌ ｔ ｉ － ｍｅ ｄ ｉ ｕ ｍ Ｆｌ ｏ ｗｓ ｗｉ ｔ ｈ Ｌｏ ｗ－ － ｄ ｅ ｎ ｓ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ Ｌｏ ｗ－ ｐｒ ｅ ｓ ｓ ｕｒ ｅ
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摘
要： 在爆炸波等多介 质流体力 学问题 的数值 模拟 中， 会 出现 低密度低 压力 区域 ， 由于数值误 差
的影 响 ， 导致在计算过程中该 区域 的密度和压力 为负值 ， 使得计算难以继续 ． 文献 ［ １ ］ 给出了求Ｄ Ｇ（ Ｒ ｕ ｎ ｇ ｅ—Ｋ ｕ ｔ ｔ ａ Ｄ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ ） 方法． 在此基础上 ， 给出了多介质流 体 力学 问题数值模拟 的正保护 Ｒ Ｋ Ｄ Ｇ方法 ， 结合 Ｒ Ｇ Ｆ Ｍ（ Ｒ ｅ ａ ｌ Ｇ ｈ ｏ ｓ ｔ Ｆ ｌ ｕ ｉ ｄ Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ） 界面处理方法 ， 对一维 多 介质可压缩流体进行 了数值试验 ， 结果 表明该方法能有效地避免压力为负 的情况 ， 并 能准确地捕捉各 类
Ｖ０ １ ．１ ８ Ｎｏ ． ３
Ｊ ｕ １ ． ２ ０ １ ５
文章编号 ： １ ０ ０ ８ － ５ ５ ６ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３ － ０ ０ ２ ０ － ０ ６
一
维 低 密 度 低压 力 多介 质 流 动 问题 的 高 精 度 数值 方 法
吴 招 生
（ 南京航 空航 天大学 理 学院数 学系， 南京 ２ １ ０ ０ １ ６ ）