四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析
解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式
７ ２
大 学 数 学
第２ ６卷
其 中 Ｄ ， ｑ 依次 为关 于 的一 阶偏 微分算 子 ， 移算 子与一 阶 中心差分 算子 ， 面建 立 中心差 分 Ｔ － 位 下 算子 和微分 算子 Ｄ 的关 系式． Ｔ ｙｏ 展开 ， 得 由 ａ ｌｒ 可
一
＋ １＇？ ： ，）
了一个 三层 隐式 差分 格式 ， 是格 式 的精度 比较 低 ； ［ ］ 造 了一个 三层 显式 差分 格 式 ， 稳定 性条 件 但 文 ４构 其
和局 部截 断误 差 阶分别 为 ｆ ｆ １ ８和 ｏ（Ｚ ｆ。 Ｚ ）） 文 ［ ］ ＜ ／ ｒ （ ） ＋（Ｘ ； Ｘ ５ 构造 了一个 两层 恒稳 隐 式格 式 和 一
因此 ， 文针对 四阶抛物 型方程 （ ） 本 １ 的周期 初值 问题 ， 造 出了一 个两 层 高精度 紧致 差分 格 式和一 个 构 三层高精 度紧致 隐格 式 ， 其截 断误差 阶分别为 Ｏ（△￡ ＋ （ ｚ 和 ｏ（ａ￡ ＋（ ）ｚｚ △ ． （ ） ｚ ）） ５ （ ） Ｓ △￡（ ） ＋（ ）） Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ ， ３ 。
…
１ （２ “ ３＋Ｌ，） ｔ 一“（ ￡ ， 一 ∞ ＜ ＜ ∞ ， ≤ ￡ Ｔ， Ｔ，） Ｏ ≤ 一ｏ ％ｘ ｏ． ｏ ％ ｏ
一
对 于这 类 四阶抛 物 型方程 的数值解 求 解 ， ａ ｌ ｅ Ｓ ｕ ’ｖ在 文 ［ ］ 出 了一 类 含 权 因子 ａ的两 层 差 分 格 式 ， １提 当 ａ 一０时 为显 式格式 ， 其稳定 性 条件 为 ｆ ｆ １ ２一 文 ［ ］ 造 了一族 三层 （ 殊 情况 下 为两 层 ） 含双 参 ＜ ／ 。 ； ２构 ｒ 特 、 数、 绝对 稳定 、 精度 、 对角 线型 的 隐式差 分 格 式 ， 局 部 截 断误 差 为 Ｏ（ ｚ ＋（ ） ） Ａｔ△ｚ分 高 五 其 （ ） ５ ｚ ｚ ， ， ５ 别 为时 间及 空间 步长 ； 后 ， 随 曾文平 针对 四阶抛 物型 方程 提 出 了一系列 的差分 格式 ］其 中文 ［ ］ 造 ， ３构
【国家自然科学基金】_高精度差分格式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
改进型boussinesq方程 扩散方程 序列二次规划方法 平滑 差分逼近程度 差分方法 对流扩散反应方程 对流占优 完全匹配层(pml) 多重网格方法 多自由度系统 四阶紧致差分格式 吸收边界 叶片热传导 可压缩流 变分原理 单调迭代 半显式 加权本质无振荡(weno) 传统差分 传播子技术 中短波 中心格式 三维对流扩散方程 weno格式 sh波场 kelvin-helmhohz不稳定性 fourier分析
有限体积方法 有理谱配点法 显格式 新型高分辨率格式 数学基本格式 数值摄动高精度重构 数值反演 摄动有限体积格式 摄动差分格式 插值 控制容积积分法 指数时程差分法 强对流占优问题 并行算法 导热方程 奇异摄动 奇异分析 多重网格方法 多分辨分析 复杂流场计算 地震波 土壤湿度 吸收边界条件 各向异性 变系数 准p波方程 农业 元体平衡法 代数多重网格方法 交错网格 二阶投影法 二维小波 不可压缩流 不可压navier-stokes方程组 三阶迎风格式 三维小波 三维双调和方程 一致稳定性 weno格式 vti介质 vrs volterra型积分微分方程 vof tvd格式 schr(o)dinger方程 rtk-gps richards方程 pml吸收边界条件 navier-stokes方程 mmb差分格式 gps dlr型k-ε 紊流模型 cdma
热传导方程的一种高精度O(τ 2+h 4)阶差分格式
“ 一 （ ＋ 一 ２ ｉ ｕ一 ） ， ｕ ＋ ｊ。 ，
验估 计和 数值 例子 。
１ 网格 剖 分
取空间步长 ｈ ／ 和时间步长 Ｚ＝ ／ 其 —Ｚ Ｍ －＝ Ｎ， ＝Ｔ
讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识
讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析.ppt
2u x 2
(2)
K=1
c const, const
单个Fourier分量初值:
K=2
u(x,0) exp(ikx), x
精确解：
1. u(x,t) exp[ik(x ct)]
2. u(x,t) exp(k 2t) exp[ik(x ct)]
的 k S x k
和右端的x
k 1u xk 1
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和al .
• 获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过3
15
一阶导数的对称型紧致差分(cont.)
• 四阶精度:
0Fj
1
Fj1 2
F j 1
a1
u j1
u j1 2
1 6
xux
ikx uˆ(t) exp(ikx)
ke
uˆ(t) exp(ikx),ke
i(kx)
i
x 2uxx k 2x2 uˆ(t) exp(ikx) kd uˆ(t) exp(ikx),kd 2
3
半离散方程的精确解
u(x j , t)
bl
l 0
u jl
2u j l2
u jl
相容要求：
l bl
l0
l 1
Taylor展开左端的x2k2Sk
和右端的x2
2k 2u x2k 2
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和bl .
• 获得S需要求解矩阵方程组
13
二阶导数的紧致差分(cont.)
解四阶抛物型方程新的高精度显式差分格式
０ 引言
考虑下列四阶抛物型方程初边值问题
维普资讯
第 ３期
单 双荣 等 ：解 四阶抛 物型方程新 的高精 度显式差分格 式
・２ ９・ ７
微 分方 程 （ ） 具有 尽 可能 高 阶的离 散误 差 ，而且 有 较好 的稳 定性 ． １
表 示 方 向 的 四阶 中心 差 分算
子，即：
０ ｕ ３
一 一
＋＋＋） 如 弛窘＋ ］２（ ＋［４ ｈ ０ １ ＋） ＋（ ］ ＋ 一 ） １２ 一 一 ｈ’＋ 一 ２ ＿ｌ２一 一 一２豢 一ｒ （一 一 ’一 ’ （ 一ｈ２＋ ２ ｈ＋ ＋ ｆ（ 一 ０ ｒ ） ２ ２ ＋ ［ ” ２Ｏ ） ２ ＋ｌ ｏ ］ ｉ￣ ｌ２ 。１４ ０ ＋（ 雾］ ， ＋＋２ ＋ ＋ ０２） ５ ） ０ ｕ
得：
（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ） 一 ＋ ２ ｕ＋（ ＋ ） ０ ］一 （ｏ ＋ 一 一 ） ｕ ＋ ｈ ２ ０２ （ ＋
一ｃ ｏ ｒ ｌ（ ＋
一
＋＋＋一 軎 ＋ ０ ｏ 孑 １ ３ ）
＋ ［ （ ＋ ＋
其中 ０ ， Ｏ ， ，２ ，０， ０ 为待定参数．适 当选取这些参数 ，可以使差分格式 （ ）逼近 五 ０ ｏ０ ０ ， ， ０ ， ６ ２
［ 收稿 日期 ］２ ０ —１ ０ １ ０—１ ０ ［ 作者简介 ］单双荣 （９ ６一） １５ ，男 ，讲 师 ，从 事计 算数学研究 ．
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四阶抛物型方程的一个高精度差分格式
（） ２
边 值条件 ： （ ，） Ｍ Ｌ，） ０ ０≤ ｔ Ｔ。 （） “ ０ ｔ一 （ ｔ一 ， ≤ ３ 利用加 耗散项 的思想来构 造偏微 分方程 的差分
本 文对 高阶抛物 型方 程 （ ） 出如 下 的三 层 多 １提 参数差 分格式 ：
收 稿 臼期 ：０ ８ ９～０ ２ ０ ～０ ５
科
学 ｍ
版
Ａ ｉ ｈ Ａｃ ｕ ａ ｙ Ｄｉ ｆ ｒ ｎ ｅ Ｓ ｈ ｍｅ ｆ ｒ Ｓ ｌ ｉ ｇ Ｈ ｇ ｃ ｒ ｃ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｏ ｏｖ ｎ
ｔ ｔ ｄ ｒ Ｐａ ａ ｏ ｉ ｒ ｉ ｌＤｉｆ ｒ ｎｔａ ｈｅ ４ ｈ Ｏｒ ｅ ｒ ｂ ｌｃ Ｐａ ｔａ ｆ ｅ ｅ ｉ ＩＥｑｕ ｔｏ ａ ｉｎ
Ｗ Ａ ＮＧ ａ － ｎ ＬＩ Ｐｉ ｇ， ＡＮＧ Ｘｉ ｏ Ｆｅ ｇ， Ｕ ｎ Ｗ Ｂｏ
（ ． ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｘｉ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｘｉ￣ａ ｇ ４ ３ ０ Ｃｈ ｎ ； １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭａ ｈ ｍａ ｉ ， ｎ ｉｎ ｉｅ ｓｔ ， ｎ ｎ ５ ０ ３， ｉ ａ ｃ
０问题 的提 出
格 式是 一个 重要 而有 效 的方法 ， 文献 ［ ，］对 四 阶 １２
抛 物型方 程 （ ） 造 了若 干显式 、 １构 隐式和半显 式差分
在渗流 、 扩散 、 热传 导等领域 中经 常会 遇 到求 解 四阶抛物型方程 的 问题 ， 一维情 形 ， 在 其模 型为 如下 初 边值 问题 ：
合 的。
关键 词 ： 物 型 方 ； 稳 粮一类 号 ： ２４程８待 定 系数 法 ； 志 码 ： ． 抛 Ｏ １．２ 文 献 标 定性 中 图分 Ａ
自
文 章 编 号 ：６ ４ ３ ６ ２ ０ ） ３ ０ ０ － ０ １ ７ —３ ２ （ ０ ８ ０ － ０ ６ ３
求解波动方程初值问题的四阶差分格式
求解波动方程初值问题的四阶差分格式波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学、地球科学等领域都有广泛的应用。
求解波动方程初值问题是一类常见的数值计算问题，其解法有多种，其中四阶差分格式是一种常用的数值解法。
四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其基本思想是将波动方程离散化为差分方程，然后利用差分方程的递推关系求解。
具体来说，四阶差分格式将波动方程在空间和时间上进行四阶差分，从而得到一个高精度的数值解。
四阶差分格式的主要内容包括以下几个方面：1.差分方程的推导差分方程是四阶差分格式的核心，其推导需要根据波动方程的特点进行。
一般来说，差分方程的推导可以采用有限差分法的思想，即将波动方程在空间和时间上进行离散化，然后利用差分近似代替微分，得到一个递推关系式。
2.差分格式的求解差分格式的求解是指利用差分方程递推求解波动方程的数值解。
一般来说，差分格式的求解可以采用迭代法或者直接求解法。
迭代法是指利用差分方程的递推关系式，从初始条件开始逐步迭代求解，直到达到所需的精度为止。
直接求解法是指将差分方程转化为矩阵方程，然后利用矩阵求解方法求解。
3.数值稳定性和精度分析数值稳定性和精度分析是四阶差分格式的重要内容之一，其主要目的是评估差分格式的数值稳定性和精度。
数值稳定性是指差分格式的解是否会因为数值误差而发散或者震荡，而精度分析则是指差分格式的解与真实解之间的误差大小。
4.程序实现和应用程序实现和应用是四阶差分格式的最终目的，其主要内容包括将差分方程转化为程序代码，然后利用计算机进行求解。
应用方面，四阶差分格式可以用于求解各种波动方程初值问题，如声波方程、电磁波方程、弹性波方程等。
总之，四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其主要内容包括差分方程的推导、差分格式的求解、数值稳定性和精度分析以及程序实现和应用。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的差分格式，并进行数值稳定性和精度分析，以保证数值解的精度和可靠性。
Cahn-Hilliard_方程的一个超紧致有限差分格式
第38卷第1期2024年1月山东理工大学学报(自然科学版)Journal of Shandong University of Technology(Natural Science Edition)Vol.38No.1Jan.2024收稿日期:20221209基金项目:陕西省自然科学基金项目(2018JQ1043)第一作者:栗雪娟,女,lxj_zk@;通信作者:王丹,女,1611182118@文章编号:1672-6197(2024)01-0073-06Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式栗雪娟,王丹(西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055)摘要:研究四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解方法㊂给出组合型超紧致差分格式,将其用于四阶Cahn-Hilliard 方程的空间导数离散,采用四阶Runge-Kutta 格式离散时间导数,将二者结合得到四阶Cahn-Hilliard 方程的离散格式,并给出了该格式的误差估计㊂通过编程计算得到其数值解,并与精确解进行对比,结果表明本文的数值方法误差小,验证了所提方法的有效性和可行性㊂关键词:四阶Cahn-Hilliard 方程;组合型超紧致差分方法;四阶Runge-Kutta 方法;误差估计中图分类号:TB532.1;TB553文献标志码:AA supercompact finite difference scheme for Cahn-Hilliard equationsLI Xuejuan,WANG Dan(School of Science,Xiᶄan University of Architecture and Technology,Xiᶄan 710055,China)Abstract :A numerical method for solving the fourth order Cahn-Hilliard equation is studied.The combi-national ultra-compact difference scheme is given and applied to the spatial derivative discretization of the fourth order Cahn-Hilliard equation.The fourth-order Runge-Kutta scheme is used to discrete time deriv-atives.The discrete scheme of the fourth order Cahn-Hilliard equation is obtained by combining the two methods,and the error estimate of the scheme is given.Finally,the numerical solution is obtained by programming and compared with the exact solution.The results show that the numerical method in this paper has a small error,verifying the effectiveness and feasibility of the proposed method.Keywords :fourth order Cahn-Hilliard equation;combinational supercompact difference scheme;fourthorder Runge-Kutta;error estimation㊀㊀本文考虑的四阶Cahn-Hilliard 方程为u t -f u ()xx +ku xxxx =0,x ɪ0,2π[],t >0,u x ,0()=u 0x (),x ɪ0,2π[],u 0,t ()=0,u 2π,t ()=0,t >0,ìîíïïïï(1)式中:求解区域为0,2π[],且kn ȡ0;f u ()为光滑函数;u 0x ()表示t =0时刻的初值;u t 表示u 关于时间t 求偏导数,u t =∂u∂t;f u ()xx表示f u ()关于x求二阶偏导数,f u ()xx=∂2f u ()∂x 2;u xxxx 表示u 关于x 求四阶偏导数,u xxxx=∂4u∂x4;u 是混合物中某种物质的浓度,被称为相变量㊂1958年,Cahn 和Hilliard 提出Cahn-Hilliard 方程,该方程最早被用来描述在温度降低时两种均匀的混合物所发生的相分离现象㊂随着学者对该方程的研究越来越深入,该方程的应用也越来越广泛,特别是在材料科学和物理学等领域中有广泛的应用[1-3]㊂㊀Cahn-Hilliard 方程的数值解法目前已有很多研究,文献[4]使用了全离散有限元方法,文献[5]使用了一类二阶稳定的Crank-Nicolson /Adams-Bashforth 离散化的一致性有限元逼近方法,文献[6-7]使用了有限元方法,文献[8]使用了不连续伽辽金有限元方法,文献[9]使用了Cahn-Hilliard 方程的完全离散谱格式,文献[10]使用了高阶超紧致有限差分方法,文献[11]使用了高阶优化组合型紧致有限差分方法㊂综上所述,本文拟对Cahn-Hilliard 方程构造一种新的超紧致差分格式,将空间组合型超紧致差分方法和修正的时间四阶Runge-Kutta 方法相结合,求解Cahn-Hilliard 方程的数值解,得到相对于现有广义格式精度更高的数值求解格式,并对组合型超紧致差分格式进行误差估计,最后通过数值算例验证该方法的可行性㊂1㊀高阶精度数值求解方法1.1㊀空间组合型超紧致差分格式早期的紧致差分格式是在Hermite 多项式的基础上构造而来的,Hermite 多项式中连续三个节点的一阶导数㊁二阶导数和函数值的数值关系可以表示为ð1k =-1a k f i +k +b k fᶄi +k +c k fᵡi +k ()=0㊂(2)1998年,Krishnan 提出如下紧致差分格式:a 1fᶄi -1+a 0fᶄi +a 2fᶄi +1+hb 1fᵡi -1+b 0fᵡi +b 2fᵡi +1()=1h c 1f i -2+c 2f i -1+c 0f i +c 3f i +1+c 4f i +2(),(3)式中:h 为空间网格间距;a 1,a 0,a 2,b 1,b 0,b 2,c 1,c 2,c 0,c 3,c 4均表示差分格式系数;f i 表示i 节点的函数值;fᶄi 和fᵡi 分别表示i 节点的一阶导数值和二阶导数值;f i -1,f i -2,f i +1,f i +2分别表示i 节点依次向前两个节点和依次向后两个节点的函数值;fᶄi -1,fᶄi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的一阶导数值;fᵡi -1,fᵡi +1分别表示i 节点依次向前一个节点和依次向后一个节点的二阶导数值㊂式(2)对应f (x )展开以x i 为邻域的泰勒级数为f x ()=f x i ()+hfᶄx i ()+h 2fᵡx i ()2!+㊀㊀㊀㊀㊀h3f‴x i ()3!+h 4f 4()x i ()4!+h 5f 5()x i ()5!+h 6f 6()x i ()6!+h 7f 7()x i ()7!㊂㊀㊀(4)㊀㊀差分格式的各项系数由式(3)决定,可得到如下的三点六阶超紧致差分格式:716fᶄi +1+fᶄi -1()+fᶄi -h 16fᵡi +1-fᵡi -1()=㊀㊀1516h f i +1-f i -1(),98h fᶄi +1-fᶄi -1()+fᵡi -18fᵡi +1+fᵡi -1()=㊀㊀3h 2f i +1-2f i +f i -1()ìîíïïïïïïïïïï(5)为优化三点六阶紧致差分格式,并保持较好的数值频散,将迎风机制[12]引入式(5),构造出如下三点五阶迎风型超紧致差分格式:78fᶄi -1+fᶄi +h 19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1(),25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀㊀1h 2-135f i -1-45f i +175f i +1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(6)左右边界可达到三阶精度紧致格式:fᶄ1-132fᶄ2+fᶄ3()+3h4fᵡ2+fᵡ3()=㊀㊀-12h f 3-f 2(),fᵡ1+3728h fᶄ3-fᶄ2()+3914h fᶄ1-3356fᵡ3-fᵡ2()=㊀㊀f 3-2f 1+f 2(),ìîíïïïïïïïï(7)fᶄN -132fᶄN -2+fᶄN -1()-3h 4fᵡN -2+fᵡN -1()=㊀㊀12h f N -2-f N -1(),fᵡN -3728h (fᶄN -2-fᶄN -1)-3914h fᶄN -3356(fᵡN -2-㊀㊀fᵡN -1)=1314h 2f N -2-2f N +f N -1()㊂ìîíïïïïïïïïïï(8)上述组合型超紧致差分格式只需要相邻的三个节点便可以同时求得一阶导数和二阶导数的五阶精度近似值,比普通差分格式的节点更少,降低了计算量㊂为便于编程计算,将上述构造的组合型超紧致差分格式重写为矩阵表达形式㊂假设U 为位移矩阵,其大小为m ˑn ,则求一阶导数和二阶导数的离47山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀散过程可以用矩阵运算表示为AF=BU,(9)结合内点的三点五阶迎风型超紧致差分格式和边界点的三点三阶差分格式,组成式(9)中等式左边的矩阵A和等式右边的矩阵B,大小分别为2mˑ2n 和2mˑn;F为奇数行为空间一阶导数和偶数行为空间二阶导数组成的矩阵,大小为2mˑn㊂以上矩阵分别为:A=10-13/23h/4-13/23h/439/14h1-37/28h33/5637/28h-33/567/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/1007/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100⋱⋱⋱⋱⋱⋱7/8h/91-7h/180-h/7219/10h2/516/5h19/100-13/2-3h/4-13/2-3h/410-37/28h-33/5637/28h33/56-39/14h1éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(10)F=∂u∂x()1,1∂u∂x()1,2∂u∂x()1,n-1∂u∂x()1,n∂2u∂x2()1,1∂2u∂x2()1,2 ∂2u∂x2()1,n-1∂2u∂x2()1,n︙︙︙︙∂u∂x()m,1∂u∂x()m,2∂u∂x()m,n-1∂u∂x()m,n∂2u∂x2()m,1∂2u∂x2()m,2 ∂2u∂x2()m,n-1∂2u∂x2()m,néëêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúú,(11) B=012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2-101/48h27/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2⋱⋱⋱-101/48h7/3h-11/48h-13/5h2-4/5h217/5h2012/h-12/h-13/7h213/14h213/14h2éëêêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúú,(12)U=u1,1u1,2 u1,n-1u1,nu2,1u2,2 u2,n-1u2,n︙︙︙︙u m-1,1u m-1,2 u m-1,n-1u m-1,nu m,1u m,2 u m,n-1u m,néëêêêêêêêùûúúúúúúú㊂(13)㊀㊀由式(9)可得F=A-1BU㊂(14)㊀㊀解线性代数方程组(9)可得Cahn-Hilliard方程的空间一阶导数和二阶导数㊂对于四阶导数,可将已求得的二阶导数替代式(14)中的U,再次使用式(14)进行求取㊂57第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式1.2㊀时间离散格式在对很多偏微分方程的数值求解中不仅需要高精度的空间离散格式,同时还需要高精度的时间离散格式㊂普通的一阶精度时间离散格式显然满足不了高精度计算要求,因此本文选用时间四阶Runge-Kutta 格式进行时间离散㊂Runge-Kutta 方法是基于欧拉方法改进后的求解偏微分方程的常用方法,这种方法不仅计算效率高,而且稳定性好㊂格式的推算过程如下:假设求解方程为∂u∂t+F u ()=0,(15)式中F 是对空间变量的微分算子,则修正的四阶Runge-Kutta 格式为u 0i =u n i ,u 1i =u n i-Δt 4F u ()()0i,u 2i =u ni -Δt 3F u ()()1i,u 3i =u n i-Δt 2F u ()()2i,u n +1i =u n i -Δt F u ()()3i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(16)1.3㊀误差估计以五阶精度将fᶄi -1,fᶄi +1,fᵡi -1,fᵡi +1泰勒级数展开:fᶄi -1=fᶄi -hfᵡi +h 22!f (3)i -h 33!f (4)i +㊀㊀h 44!f (5)i -h 55!f (6)i ,fᶄi +1=fᶄi +hfᵡi +h 22!f (3)i +h 33!f (4)i+㊀㊀h 44!f (5)i +h 55!f (6)i ,fᵡi -1=fᵡi -hf (3)i +h 22!f (4)i -h 33!f (5)i+㊀㊀h 44!f (6)i -h 55!f (7)i ,fᵡi +1=fᵡi +hf (3)i +h 22!f (4)i +h 33!f (5)i +㊀㊀h 44!f (6)i +h 55!f (7)i ㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï(17)将式(17)代入式(6),所求得组合型超紧致差分格式的一阶导数及二阶导数对应的截断误差为:78fᶄi -1+fᶄi +h19fᵡi -1-718fᵡi -172fᵡi +1()=㊀1h -10148f i -1+73f i -1148f i +1()+78640f 6()ih 5,25fᵡi -1+fᵡi +1h 1910fᶄi -1+165fᶄi +910fᶄi +1()=㊀-135f i -1-45f i +175f i +1()-5125200f 7()i h 5,ìîíïïïïïïïïïï(18)78640f 6()i h 5ʈ8.101ˑ10-4f 6()i h 5,5125200f 7()ih 5ʈ2.023ˑ10-3f 7()i h 5㊂ìîíïïïï(19)㊀㊀使用组合型超紧致差分格式的好处是在每一个网格点上存在一个一阶和二阶连续导数的多项式㊂本文比较了组合型超紧致差分格式和现有广义格式的一阶导数和二阶导数的截断误差:fᶄi +αfᶄi +1+fᶄi -1()+βfᶄi +2+fᶄi -2()=㊀㊀a f i +1-f i -12h +b f i +2-f i -24h +c f i +3-f i -36h ,fᵡi +αfᵡi +1+fᵡi -1()+βfᵡi +2+fᵡi -2()=㊀㊀a f i +1-2f i +f i -1h 2+b f i +2-2f i +f i -24h2+㊀㊀c f i +3-2f i +f i -39h 2,ìîíïïïïïïïïïïï(20)式中参数α,β,a ,b ,c 在各种格式中取不同的值(表1,表2)㊂本文发现在各种方案中,组合型超紧致差分格式的截断误差最小㊂表1㊀不同格式一阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心010013!f 3()ih 2标准Padeᶄ格式1/403/20-15f 5()ih 4六阶中心03/2-3/51/1036ˑ17!f 7()ih 6五阶迎风143ˑ16!f 6()ih 5表2㊀不同格式二阶导数的截断误差格式αβa b c 截断误差二阶中心01002ˑ14!f 4()ih 2标准Padeᶄ格式1/1006/50185ˑ16!f 6()ih 4六阶中心03/2-3/51/1072ˑ18!f 8()ih 6五阶迎风165ˑ17!f 7()ih 567山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀2㊀数值算例误差范数L 1和L 2的定义为:L 1=1N ðNi =1u -U ,L 2=1N ðNi =1u -U ()2㊂对四阶Cahn-Hilliard 取f u ()=u 2,k =2,在边界条件u 0,t ()=u 2π,t ()=0下的计算区域为0,2π[],方程的精确解为u x ,t ()=e -tsin x2,数值解为U ㊂对给出的数值算例,计算误差范数L 1和L 2,并采用四种方法进行数值模拟,对其数值结果进行误差分析和对比,结果见表3,本文所使用方法效果最佳,由此证明所提方法的有效性和可行性㊂表3㊀0.5s 时刻精确度测试结果(N =10)方法L 1误差L 2误差间断有限元格式1.56235ˑ10-21.37823ˑ10-2普通中心差分格式1.66667ˑ10-18.33333ˑ10-2紧致差分格式7.14286ˑ10-31.78571ˑ10-3组合型超紧致差分格式6.48148ˑ10-36.34921ˑ10-4㊀㊀用本文提出的式(6) 式(8)和式(16)计算算例,图1 图3给出了不同时刻数值解与精确解的(a)精确解(b)数值解图1㊀0.1s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图2㊀0.5s 的精确解与数值解(a)精确解(b)数值解图3㊀1s 的精确解与数值解77第1期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀栗雪娟,等:Cahn-Hilliard 方程的一个超紧致有限差分格式对比图,可以看出,数值解与精确解吻合很好,表明本文给出的数值格式是可行的,并且精度较高㊂3 结论本文研究了组合型超紧致差分方法和四阶Runge-Kutta方法,并将其运用于四阶Cahn-Hilliard 方程的数值求解,通过研究与分析,得到如下结论: 1)使用泰勒级数展开锁定差分格式系数,得到本文的组合型超紧致差分格式精度更高,误差更小㊂2)在边界点处有效地达到了降阶,并提高了精度㊂3)通过数值算例验证了数值格式的有效性㊂4)预估该方法可应用于高阶偏微分方程的数值求解㊂参考文献:[1]HUANG Q M,YANG J X.Linear and energy-stable method with en-hanced consistency for the incompressible Cahn-Hilliard-Navier-Stokes two-phase flow model[J].Mathematics,2022,10 (24):4711.[2]AKRIVIS G,LI B Y,LI D F.Energy-decaying extrapolated RK-SAV methods for the allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations[J].SIAM Journal on Scientific Computing,2019,41(6):3703-3727. [3]YOUNAS U,REZAZADEH H,REN J,et al.Propagation of diverse exact solitary wave solutions in separation phase of iron(Fe-Cr-X(X =Mo,Cu))for the ternary alloys[J].International Journal of Mod-ern Physics B,2022,36(4):2250039.[4]HE R J,CHEN Z X,FENG X L.Error estimates of fully discrete finite element solution for the2D Cahn-Hilliard equation with infinite time horizon[J].Numerical Methods for Partial Differential Equati-ions,2017,33(3):742-762.[5]HE Y N,FENG X L.Uniform H2-regularity of solution for the2D Navier-Stokes/Cahn-Hilliard phase field model[J].Journal of Math-ematical Analysis and Applications,2016,441(2):815-829. [6]WEN J,HE Y N,HE Y L.Semi-implicit,unconditionally energy sta-ble,stabilized finite element method based on multiscale enrichment for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes phase-field model[J]. Computers and Mathematics with Applications,2022,126:172 -181.[7]MESFORUSH A,LARSSON S.A posteriori error analysis for the Cahn-Hilliard equation[J].Journal of Mathematical Modeling, 2022,10(4):437-452.[8]XIA Y,XU Y,SHU C W.Local discontinuous Galerkin methods for the Cahn-Hilliard type equation[J].Journal of Computational Phys-ics,2007,227(1):472-491.[9]CHEN L,LüS J.A fully discrete spectral scheme for time fractional Cahn-Hilliard equation with initial singularity[J].Computers and Mathematics with Applications,2022,127:213-224. [10]周诚尧,汪勇,桂志先,等.二维黏弹介质五点八阶超紧致有限差分声波方程数值模拟[J].科学技术与工程,2020,20(1):54 -63.[11]汪勇,徐佑德,高刚,等.二维黏滞声波方程的优化组合型紧致有限差分数值模拟[J].石油地球物理勘探,2018,53(6):1152 -1164,1110.[12]程晓晗,封建湖,郑素佩.求解对流扩散方程的低耗散中心迎风格式[J].应用数学,2017,30(2):344-349.(编辑:杜清玲)87山东理工大学学报(自然科学版)2024年㊀。
Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法
Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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数： 微分方程精确解及其导 ˆ (t ) exp(ikx) u ( x, t ) u xu ikx u ˆ (t ) exp(ikx) ke u ˆ (t ) exp(ikx), ke i (kx) i x 2 x 2 u k 2 x 2 u ˆ (t ) exp(ikx) k d u ˆ (t ) exp(ikx), k d xx
要求数值格式： kd 1 2 kr 0（0耗散要求；k r 0表示格式有正耗散， k r 0负耗散） ki 1 (对 色散误差，要求保持原 波速c）
4
4.2 高精度差分格式
• 特别适用于光滑问题 • 减少网格点数 • 应用于湍流等多尺度问题
5
4.2.1 传统型差分格式
J-3
J-2 J-1 J
J+1 J+2 J+1 J+2 J+3
J-2
J-1 J
7
传统型差分格式(cont)
迎风偏斜差分的应用： u u c 0 t x Fj u c 0 t x cFj c F j c F j
8
传统型差分对模型方程的逼近特性
• 所有中心型差分：无耗散 • 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 • 可从差分格式的精确解分析色散和耗散
直接由网格点的函数值线性组合 N阶精度至少需要N+1个网格点 Taylor展开确定系数
u x x F j al u j l 1 u j l Fj
l
相容性：
a
l
l
1
中心型差分： u j l u j l F j al 2t)
3
半离散方程的精确解
ki kr u ( x j , t ) exp ck t expik x j c t , 0 kd 2 ki kr u ( x j , t ) exp 2 k t ck t expik x j c t , 0 微分方程精确解： u ( x, t ) expik x ct u ( x, t ) exp k 2 t expik x ct
逼近于一阶导数的四阶 精度中心型差分 1 Fj 8(u j 1u j 1) ) (u j 2 u j 2 ) ) (1) 12 五阶精度的迎风偏斜差 分 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (2) 60 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (3) 60
K=1
单个Fourier分量初值 : u ( x,0) exp(ikx), 精确解： 1. u ( x, t ) exp[ik ( x ct )]
K=2
x
2. u ( x, t ) exp( k 2t ) exp[ik ( x ct )]
2
模型方程及半离散方程(cont.)
9
传统型差分格式(cont.)
• 二阶导数的差分逼近
2u 2 x 2 x u j l 2u j u j l S j bl l2 l 0 相容： Sj
b
l 0
l
1
流动的扩散项一般用中 心型差分 四阶精度（ 5点）： 4 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 3 12 六阶精度（ 7点）： 3 3 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 u j 3 2u j u j 3 2 20 90
半离散方程（ODE方程） 1. Fj u c 0 t x Fj Sj u 2. c 2 t x x 其中 Fj (3) (4)
u S j 2u 1 , 2 2 ，例如F j u j 1 u j 1 , S j u j 1 2u j u j 1 x x x x 2 离散的初值： u ( x j ,0) exp(ikx j ) 离散方程的精确解及其 导数(无x) : u ( x j , t ) u (t ) exp(ikx j ) F j ke u (t ) exp(ikx j ) S j k d u (t ) exp(ikx j ) 代入（3），（4）
(四) 高精度差分格式及其数值解 的逼近程度分析
• 指大于二阶精度的格式 • 要求准确模拟小扰动量长时间、远距离 传播的速度和幅值 • 用于计算噪声、DNS等 • 有传统高精度差分和紧致差分两种
1
4.1模型方程及半离散方程
模型方程 1. u u c 0 t x u u 2u 2. c 2 t x x c const, const (1) (2)