四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析
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解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式
７ ２
大 学 数 学
第２ ６卷
其 中 Ｄ ， ｑ 依次 为关 于 的一 阶偏 微分算 子 ， 移算 子与一 阶 中心差分 算子 ， 面建 立 中心差 分 Ｔ － 位 下 算子 和微分 算子 Ｄ 的关 系式． Ｔ ｙｏ 展开 ， 得 由 ａ ｌｒ 可
一
＋ １＇？ ： ，）
了一个 三层 隐式 差分 格式 ， 是格 式 的精度 比较 低 ； ［ ］ 造 了一个 三层 显式 差分 格 式 ， 稳定 性条 件 但 文 ４构 其
和局 部截 断误 差 阶分别 为 ｆ ｆ １ ８和 ｏ（Ｚ ｆ。 Ｚ ）） 文 ［ ］ ＜ ／ ｒ （ ） ＋（Ｘ ； Ｘ ５ 构造 了一个 两层 恒稳 隐 式格 式 和 一
因此 ， 文针对 四阶抛物 型方程 （ ） 本 １ 的周期 初值 问题 ， 造 出了一 个两 层 高精度 紧致 差分 格 式和一 个 构 三层高精 度紧致 隐格 式 ， 其截 断误差 阶分别为 Ｏ（△￡ ＋ （ ｚ 和 ｏ（ａ￡ ＋（ ）ｚｚ △ ． （ ） ｚ ）） ５ （ ） Ｓ △￡（ ） ＋（ ）） Ｘ
一ｃ＜ｚ × ０ ≤Ｔ × ＜Ｃ，≤ｆ ， ３ 。
…
１ （２ “ ３＋Ｌ，） ｔ 一“（ ￡ ， 一 ∞ ＜ ＜ ∞ ， ≤ ￡ Ｔ， Ｔ，） Ｏ ≤ 一ｏ ％ｘ ｏ． ｏ ％ ｏ
一
对 于这 类 四阶抛 物 型方程 的数值解 求 解 ， ａ ｌ ｅ Ｓ ｕ ’ｖ在 文 ［ ］ 出 了一 类 含 权 因子 ａ的两 层 差 分 格 式 ， １提 当 ａ 一０时 为显 式格式 ， 其稳定 性 条件 为 ｆ ｆ １ ２一 文 ［ ］ 造 了一族 三层 （ 殊 情况 下 为两 层 ） 含双 参 ＜ ／ 。 ； ２构 ｒ 特 、 数、 绝对 稳定 、 精度 、 对角 线型 的 隐式差 分 格 式 ， 局 部 截 断误 差 为 Ｏ（ ｚ ＋（ ） ） Ａｔ△ｚ分 高 五 其 （ ） ５ ｚ ｚ ， ， ５ 别 为时 间及 空间 步长 ； 后 ， 随 曾文平 针对 四阶抛 物型 方程 提 出 了一系列 的差分 格式 ］其 中文 ［ ］ 造 ， ３构
【国家自然科学基金】_高精度差分格式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
改进型boussinesq方程 扩散方程 序列二次规划方法 平滑 差分逼近程度 差分方法 对流扩散反应方程 对流占优 完全匹配层(pml) 多重网格方法 多自由度系统 四阶紧致差分格式 吸收边界 叶片热传导 可压缩流 变分原理 单调迭代 半显式 加权本质无振荡(weno) 传统差分 传播子技术 中短波 中心格式 三维对流扩散方程 weno格式 sh波场 kelvin-helmhohz不稳定性 fourier分析
有限体积方法 有理谱配点法 显格式 新型高分辨率格式 数学基本格式 数值摄动高精度重构 数值反演 摄动有限体积格式 摄动差分格式 插值 控制容积积分法 指数时程差分法 强对流占优问题 并行算法 导热方程 奇异摄动 奇异分析 多重网格方法 多分辨分析 复杂流场计算 地震波 土壤湿度 吸收边界条件 各向异性 变系数 准p波方程 农业 元体平衡法 代数多重网格方法 交错网格 二阶投影法 二维小波 不可压缩流 不可压navier-stokes方程组 三阶迎风格式 三维小波 三维双调和方程 一致稳定性 weno格式 vti介质 vrs volterra型积分微分方程 vof tvd格式 schr(o)dinger方程 rtk-gps richards方程 pml吸收边界条件 navier-stokes方程 mmb差分格式 gps dlr型k-ε 紊流模型 cdma
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
改进型boussinesq方程 扩散方程 序列二次规划方法 平滑 差分逼近程度 差分方法 对流扩散反应方程 对流占优 完全匹配层(pml) 多重网格方法 多自由度系统 四阶紧致差分格式 吸收边界 叶片热传导 可压缩流 变分原理 单调迭代 半显式 加权本质无振荡(weno) 传统差分 传播子技术 中短波 中心格式 三维对流扩散方程 weno格式 sh波场 kelvin-helmhohz不稳定性 fourier分析
有限体积方法 有理谱配点法 显格式 新型高分辨率格式 数学基本格式 数值摄动高精度重构 数值反演 摄动有限体积格式 摄动差分格式 插值 控制容积积分法 指数时程差分法 强对流占优问题 并行算法 导热方程 奇异摄动 奇异分析 多重网格方法 多分辨分析 复杂流场计算 地震波 土壤湿度 吸收边界条件 各向异性 变系数 准p波方程 农业 元体平衡法 代数多重网格方法 交错网格 二阶投影法 二维小波 不可压缩流 不可压navier-stokes方程组 三阶迎风格式 三维小波 三维双调和方程 一致稳定性 weno格式 vti介质 vrs volterra型积分微分方程 vof tvd格式 schr(o)dinger方程 rtk-gps richards方程 pml吸收边界条件 navier-stokes方程 mmb差分格式 gps dlr型k-ε 紊流模型 cdma
热传导方程的一种高精度O(τ 2+h 4)阶差分格式
表1取不同步长时数值解的最大误差table1maximalerrorsofnumericalsolutionwithdifferentsteplengthhehe2h4eh110110011924e005120140074251e0071605901401160046364e0081601481801640028972e009160030902第31卷中南林业科技大学学报表2部分节点处数值解精确解和误差的绝对值table2absolutevaluesofnumericalsolutionexactsolutionanderroratpartialnodeskxt数值解精确解精确解数值解20502081870818753074e00640504067030670386908e00660506054880548810673e00580508044930449311651e00510051036790367911924e005图1精确解曲面h1101100fig1exactsolutionofcurvedsurfaceh1101100图2数值解曲面h1101100fig2numericalsolutionofcurvedsurfaceh1101100图3t1取不同步长数值解的误差曲线fig3errorscurvesofnumericalsolutionwitht1anddifferentsteplength图4t08数值解和精确解的对比曲线h1101100fig4comparisoncurvesofnumericalsolutionandexactsolutionwitht08h1101100参考文献
“ 一 （ ＋ 一 ２ ｉ ｕ一 ） ， ｕ ＋ ｊ。 ，
验估 计和 数值 例子 。
１ 网格 剖 分
取空间步长 ｈ ／ 和时间步长 Ｚ＝ ／ 其 —Ｚ Ｍ －＝ Ｎ， ＝Ｔ
“ 一 （ ＋ 一 ２ ｉ ｕ一 ） ， ｕ ＋ ｊ。 ，
验估 计和 数值 例子 。
１ 网格 剖 分
取空间步长 ｈ ／ 和时间步长 Ｚ＝ ／ 其 —Ｚ Ｍ －＝ Ｎ， ＝Ｔ
讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识
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四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析.ppt
2u x 2
(2)
K=1
c const, const
单个Fourier分量初值:
K=2
u(x,0) exp(ikx), x
精确解：
1. u(x,t) exp[ik(x ct)]
2. u(x,t) exp(k 2t) exp[ik(x ct)]
的 k S x k
和右端的x
k 1u xk 1
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和al .
• 获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过3
15
一阶导数的对称型紧致差分(cont.)
• 四阶精度:
0Fj
1
Fj1 2
F j 1
a1
u j1
u j1 2
1 6
xux
ikx uˆ(t) exp(ikx)
ke
uˆ(t) exp(ikx),ke
i(kx)
i
x 2uxx k 2x2 uˆ(t) exp(ikx) kd uˆ(t) exp(ikx),kd 2
3
半离散方程的精确解
u(x j , t)
bl
l 0
u jl
2u j l2
u jl
相容要求：
l bl
l0
l 1
Taylor展开左端的x2k2Sk
和右端的x2
2k 2u x2k 2
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和bl .
• 获得S需要求解矩阵方程组
13
二阶导数的紧致差分(cont.)
解四阶抛物型方程新的高精度显式差分格式
部截 断误 差阶分别为 ｒ＝ ＾ ＜ １８和 Ｄ（ ＋ｈ ），数值例子表 明该格式是有 效的 ，理 论分析是正确 的． ／ ． ｒ ６ ［ 关键词 ］四阶抛物 型方程 ；高精度 ；显示差分格式 ［ 中图分 类号 ］０２ １８ ４ ．２ ［ 文献标 识码］Ａ
０ 引言
考虑下列四阶抛物型方程初边值问题
维普资讯
第 ３期
单 双荣 等 ：解 四阶抛 物型方程新 的高精 度显式差分格 式
・２ ９・ ７
微 分方 程 （ ） 具有 尽 可能 高 阶的离 散误 差 ，而且 有 较好 的稳 定性 ． １
表 示 方 向 的 四阶 中心 差 分算
子，即：
０ ｕ ３
一 一
＋＋＋） 如 弛窘＋ ］２（ ＋［４ ｈ ０ １ ＋） ＋（ ］ ＋ 一 ） １２ 一 一 ｈ’＋ 一 ２ ＿ｌ２一 一 一２豢 一ｒ （一 一 ’一 ’ （ 一ｈ２＋ ２ ｈ＋ ＋ ｆ（ 一 ０ ｒ ） ２ ２ ＋ ［ ” ２Ｏ ） ２ ＋ｌ ｏ ］ ｉ￣ ｌ２ 。１４ ０ ＋（ 雾］ ， ＋＋２ ＋ ＋ ０２） ５ ） ０ ｕ
得：
（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ） 一 ＋ ２ ｕ＋（ ＋ ） ０ ］一 （ｏ ＋ 一 一 ） ｕ ＋ ｈ ２ ０２ （ ＋
一ｃ ｏ ｒ ｌ（ ＋
一
＋＋＋一 軎 ＋ ０ ｏ 孑 １ ３ ）
＋ ［ （ ＋ ＋
其中 ０ ， Ｏ ， ，２ ，０， ０ 为待定参数．适 当选取这些参数 ，可以使差分格式 （ ）逼近 五 ０ ｏ０ ０ ， ， ０ ， ６ ２
［ 收稿 日期 ］２ ０ —１ ０ １ ０—１ ０ ［ 作者简介 ］单双荣 （９ ６一） １５ ，男 ，讲 师 ，从 事计 算数学研究 ．
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０ 引言
考虑下列四阶抛物型方程初边值问题
维普资讯
第 ３期
单 双荣 等 ：解 四阶抛 物型方程新 的高精 度显式差分格 式
・２ ９・ ７
微 分方 程 （ ） 具有 尽 可能 高 阶的离 散误 差 ，而且 有 较好 的稳 定性 ． １
表 示 方 向 的 四阶 中心 差 分算
子，即：
０ ｕ ３
一 一
＋＋＋） 如 弛窘＋ ］２（ ＋［４ ｈ ０ １ ＋） ＋（ ］ ＋ 一 ） １２ 一 一 ｈ’＋ 一 ２ ＿ｌ２一 一 一２豢 一ｒ （一 一 ’一 ’ （ 一ｈ２＋ ２ ｈ＋ ＋ ｆ（ 一 ０ ｒ ） ２ ２ ＋ ［ ” ２Ｏ ） ２ ＋ｌ ｏ ］ ｉ￣ ｌ２ 。１４ ０ ＋（ 雾］ ， ＋＋２ ＋ ＋ ０２） ５ ） ０ ｕ
得：
（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ） 一 ＋ ２ ｕ＋（ ＋ ） ０ ］一 （ｏ ＋ 一 一 ） ｕ ＋ ｈ ２ ０２ （ ＋
一ｃ ｏ ｒ ｌ（ ＋
一
＋＋＋一 軎 ＋ ０ ｏ 孑 １ ３ ）
＋ ［ （ ＋ ＋
其中 ０ ， Ｏ ， ，２ ，０， ０ 为待定参数．适 当选取这些参数 ，可以使差分格式 （ ）逼近 五 ０ ｏ０ ０ ， ， ０ ， ６ ２
［ 收稿 日期 ］２ ０ —１ ０ １ ０—１ ０ ［ 作者简介 ］单双荣 （９ ６一） １５ ，男 ，讲 师 ，从 事计 算数学研究 ．
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四阶抛物型方程的一个高精度差分格式
（） ２
边 值条件 ： （ ，） Ｍ Ｌ，） ０ ０≤ ｔ Ｔ。 （） “ ０ ｔ一 （ ｔ一 ， ≤ ３ 利用加 耗散项 的思想来构 造偏微 分方程 的差分
本 文对 高阶抛物 型方 程 （ ） 出如 下 的三 层 多 １提 参数差 分格式 ：
收 稿 臼期 ：０ ８ ９～０ ２ ０ ～０ ５
科
学 ｍ
版
Ａ ｉ ｈ Ａｃ ｕ ａ ｙ Ｄｉ ｆ ｒ ｎ ｅ Ｓ ｈ ｍｅ ｆ ｒ Ｓ ｌ ｉ ｇ Ｈ ｇ ｃ ｒ ｃ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｏ ｏｖ ｎ
ｔ ｔ ｄ ｒ Ｐａ ａ ｏ ｉ ｒ ｉ ｌＤｉｆ ｒ ｎｔａ ｈｅ ４ ｈ Ｏｒ ｅ ｒ ｂ ｌｃ Ｐａ ｔａ ｆ ｅ ｅ ｉ ＩＥｑｕ ｔｏ ａ ｉｎ
Ｗ Ａ ＮＧ ａ － ｎ ＬＩ Ｐｉ ｇ， ＡＮＧ Ｘｉ ｏ Ｆｅ ｇ， Ｕ ｎ Ｗ Ｂｏ
（ ． ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｘｉ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｘｉ￣ａ ｇ ４ ３ ０ Ｃｈ ｎ ； １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＭａ ｈ ｍａ ｉ ， ｎ ｉｎ ｉｅ ｓｔ ， ｎ ｎ ５ ０ ３， ｉ ａ ｃ
０问题 的提 出
格 式是 一个 重要 而有 效 的方法 ， 文献 ［ ，］对 四 阶 １２
抛 物型方 程 （ ） 造 了若 干显式 、 １构 隐式和半显 式差分
在渗流 、 扩散 、 热传 导等领域 中经 常会 遇 到求 解 四阶抛物型方程 的 问题 ， 一维情 形 ， 在 其模 型为 如下 初 边值 问题 ：
合 的。
关键 词 ： 物 型 方 ； 稳 粮一类 号 ： ２４程８待 定 系数 法 ； 志 码 ： ． 抛 Ｏ １．２ 文 献 标 定性 中 图分 Ａ
自
文 章 编 号 ：６ ４ ３ ６ ２ ０ ） ３ ０ ０ － ０ １ ７ —３ ２ （ ０ ８ ０ － ０ ６ ３
求解波动方程初值问题的四阶差分格式
求解波动方程初值问题的四阶差分格式波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学、地球科学等领域都有广泛的应用。
求解波动方程初值问题是一类常见的数值计算问题，其解法有多种，其中四阶差分格式是一种常用的数值解法。
四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其基本思想是将波动方程离散化为差分方程，然后利用差分方程的递推关系求解。
具体来说，四阶差分格式将波动方程在空间和时间上进行四阶差分，从而得到一个高精度的数值解。
四阶差分格式的主要内容包括以下几个方面：1.差分方程的推导差分方程是四阶差分格式的核心，其推导需要根据波动方程的特点进行。
一般来说，差分方程的推导可以采用有限差分法的思想，即将波动方程在空间和时间上进行离散化，然后利用差分近似代替微分，得到一个递推关系式。
2.差分格式的求解差分格式的求解是指利用差分方程递推求解波动方程的数值解。
一般来说，差分格式的求解可以采用迭代法或者直接求解法。
迭代法是指利用差分方程的递推关系式，从初始条件开始逐步迭代求解，直到达到所需的精度为止。
直接求解法是指将差分方程转化为矩阵方程，然后利用矩阵求解方法求解。
3.数值稳定性和精度分析数值稳定性和精度分析是四阶差分格式的重要内容之一，其主要目的是评估差分格式的数值稳定性和精度。
数值稳定性是指差分格式的解是否会因为数值误差而发散或者震荡，而精度分析则是指差分格式的解与真实解之间的误差大小。
4.程序实现和应用程序实现和应用是四阶差分格式的最终目的，其主要内容包括将差分方程转化为程序代码，然后利用计算机进行求解。
应用方面，四阶差分格式可以用于求解各种波动方程初值问题，如声波方程、电磁波方程、弹性波方程等。
总之，四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其主要内容包括差分方程的推导、差分格式的求解、数值稳定性和精度分析以及程序实现和应用。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的差分格式，并进行数值稳定性和精度分析，以保证数值解的精度和可靠性。
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三阶迎风偏斜差分 1 2u j 1 3u j -6u j-1 u j-2 6 1 1 k r cos 2 4 cos 3, ki sin 2 8 sin 6 6 五阶迎风偏斜差分 Fj 1 3u j 2 30u j 1 20u j 60u j 1 15u j 2 2u j 3 60 1 1 k r cos3 6 cos 2 15 cos 10, ki sin 3 9 sin 2 45sin 30 30 F j
数： 微分方程精确解及其导 ˆ (t ) exp(ikx) u ( x, t ) u xu ikx u ˆ (t ) exp(ikx) ke u ˆ (t ) exp(ikx), ke i (kx) i x 2 x 2 u k 2 x 2 u ˆ (t ) exp(ikx) k d u ˆ (t ) exp(ikx), k d xx
要求数值格式： kd 1 2 kr 0（0耗散要求；k r 0表示格式有正耗散， k r 0负耗散） ki 1 (对 色散误差，要求保持原 波速c）
4
4.2 高精度差分格式
• 特别适用于光滑问题 • 减少网格点数 • 应用于湍流等多尺度问题
5
4.2.1 传统型差分格式
J-3
J-2 J-1 J
J+1 J+2 J+1 J+2 J+3
J-2
J-1 J
7
传统型差分格式(cont)
迎风偏斜差分的应用： u u c 0 t x Fj u c 0 t x cFj c F j c F j
8
传统型差分对模型方程的逼近特性
• 所有中心型差分：无耗散 • 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 • 可从差分格式的精确解分析色散和耗散
直接由网格点的函数值线性组合 N阶精度至少需要N+1个网格点 Taylor展开确定系数
u x x F j al u j l 1 u j l Fj
l
相容性：
a
l
l
1
中心型差分： u j l u j l F j al 2t)
3
半离散方程的精确解
ki kr u ( x j , t ) exp ck t expik x j c t , 0 kd 2 ki kr u ( x j , t ) exp 2 k t ck t expik x j c t , 0 微分方程精确解： u ( x, t ) expik x ct u ( x, t ) exp k 2 t expik x ct
逼近于一阶导数的四阶 精度中心型差分 1 Fj 8(u j 1u j 1) ) (u j 2 u j 2 ) ) (1) 12 五阶精度的迎风偏斜差 分 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (2) 60 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (3) 60
K=1
单个Fourier分量初值 : u ( x,0) exp(ikx), 精确解： 1. u ( x, t ) exp[ik ( x ct )]
K=2
x
2. u ( x, t ) exp( k 2t ) exp[ik ( x ct )]
2
模型方程及半离散方程(cont.)
9
传统型差分格式(cont.)
• 二阶导数的差分逼近
2u 2 x 2 x u j l 2u j u j l S j bl l2 l 0 相容： Sj
b
l 0
l
1
流动的扩散项一般用中 心型差分 四阶精度（ 5点）： 4 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 3 12 六阶精度（ 7点）： 3 3 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 u j 3 2u j u j 3 2 20 90
半离散方程（ODE方程） 1. Fj u c 0 t x Fj Sj u 2. c 2 t x x 其中 Fj (3) (4)
u S j 2u 1 , 2 2 ，例如F j u j 1 u j 1 , S j u j 1 2u j u j 1 x x x x 2 离散的初值： u ( x j ,0) exp(ikx j ) 离散方程的精确解及其 导数(无x) : u ( x j , t ) u (t ) exp(ikx j ) F j ke u (t ) exp(ikx j ) S j k d u (t ) exp(ikx j ) 代入（3），（4）
(四) 高精度差分格式及其数值解 的逼近程度分析
• 指大于二阶精度的格式 • 要求准确模拟小扰动量长时间、远距离 传播的速度和幅值 • 用于计算噪声、DNS等 • 有传统高精度差分和紧致差分两种
1
4.1模型方程及半离散方程
模型方程 1. u u c 0 t x u u 2u 2. c 2 t x x c const, const (1) (2)
数： 微分方程精确解及其导 ˆ (t ) exp(ikx) u ( x, t ) u xu ikx u ˆ (t ) exp(ikx) ke u ˆ (t ) exp(ikx), ke i (kx) i x 2 x 2 u k 2 x 2 u ˆ (t ) exp(ikx) k d u ˆ (t ) exp(ikx), k d xx
要求数值格式： kd 1 2 kr 0（0耗散要求；k r 0表示格式有正耗散， k r 0负耗散） ki 1 (对 色散误差，要求保持原 波速c）
4
4.2 高精度差分格式
• 特别适用于光滑问题 • 减少网格点数 • 应用于湍流等多尺度问题
5
4.2.1 传统型差分格式
J-3
J-2 J-1 J
J+1 J+2 J+1 J+2 J+3
J-2
J-1 J
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传统型差分格式(cont)
迎风偏斜差分的应用： u u c 0 t x Fj u c 0 t x cFj c F j c F j
8
传统型差分对模型方程的逼近特性
• 所有中心型差分：无耗散 • 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 • 可从差分格式的精确解分析色散和耗散
直接由网格点的函数值线性组合 N阶精度至少需要N+1个网格点 Taylor展开确定系数
u x x F j al u j l 1 u j l Fj
l
相容性：
a
l
l
1
中心型差分： u j l u j l F j al 2t)
3
半离散方程的精确解
ki kr u ( x j , t ) exp ck t expik x j c t , 0 kd 2 ki kr u ( x j , t ) exp 2 k t ck t expik x j c t , 0 微分方程精确解： u ( x, t ) expik x ct u ( x, t ) exp k 2 t expik x ct
逼近于一阶导数的四阶 精度中心型差分 1 Fj 8(u j 1u j 1) ) (u j 2 u j 2 ) ) (1) 12 五阶精度的迎风偏斜差 分 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (2) 60 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (3) 60
K=1
单个Fourier分量初值 : u ( x,0) exp(ikx), 精确解： 1. u ( x, t ) exp[ik ( x ct )]
K=2
x
2. u ( x, t ) exp( k 2t ) exp[ik ( x ct )]
2
模型方程及半离散方程(cont.)
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传统型差分格式(cont.)
• 二阶导数的差分逼近
2u 2 x 2 x u j l 2u j u j l S j bl l2 l 0 相容： Sj
b
l 0
l
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流动的扩散项一般用中 心型差分 四阶精度（ 5点）： 4 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 3 12 六阶精度（ 7点）： 3 3 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 u j 3 2u j u j 3 2 20 90
半离散方程（ODE方程） 1. Fj u c 0 t x Fj Sj u 2. c 2 t x x 其中 Fj (3) (4)
u S j 2u 1 , 2 2 ，例如F j u j 1 u j 1 , S j u j 1 2u j u j 1 x x x x 2 离散的初值： u ( x j ,0) exp(ikx j ) 离散方程的精确解及其 导数(无x) : u ( x j , t ) u (t ) exp(ikx j ) F j ke u (t ) exp(ikx j ) S j k d u (t ) exp(ikx j ) 代入（3），（4）
(四) 高精度差分格式及其数值解 的逼近程度分析
• 指大于二阶精度的格式 • 要求准确模拟小扰动量长时间、远距离 传播的速度和幅值 • 用于计算噪声、DNS等 • 有传统高精度差分和紧致差分两种
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4.1模型方程及半离散方程
模型方程 1. u u c 0 t x u u 2u 2. c 2 t x x c const, const (1) (2)