二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式

２ ３ ， ， ｈ Φ Φ ｉ ｘ ｉ ｊ ｊ ２ ＝δ Φｉ， γ ｘ ｘ ｊ－ ２ ３ － ３ ｘ ｘ ２ ４ ３ ， ｈ ｈ Φ ｘ ｉ ｘ ｊ ２ ２ （ （ｘ · －２ α α ｘ －３ ｘ） ｘ） ４ － β １ ２ ６ ０β ｘ ， Φ ｉ ｊ ４ ２ （ｘ ） ） ． （ ６ α α －５ ｘ（ ｘ－ ｘ） ５ ＋Ｏ β β ｘ ， ， 将 Φ（ 在点（ 和（ ｘ， ｉ ｉ 类似地 ， ｙ） ｊ＋１） ｊ－１） ５
收稿日期 ： ２ ０ １ １ １ ２ ２ ０． － －
， ， ｈｘ Φ ｈｘ Φ θ θ ｒ ｘ ｉ ｒ ｘ ｉ ｊ ｊ ３ ＋ ４ ＋ ３！ ４！ ｘ ｘ ， ｈｘ Φ θ ｒ ｘ ｉ ｊ ６ ６ （ ｈｘ ） ． ｒ ｘ ５ ＋Ｏ θ ５！ ｘ ５ ５ ５
（ ） ２
） ； ； 基金项目 ： 国家自然科学基金资助项目 （ 教育 部 科 学 技 术 研 究 重 点 项 目 （ 霍英东教育基金会高 １ １ ０ ６ １ ０ ２ ５ ２ １ ０ ２ ３ ９） ） 等院校青年教师基金 （ １ ２ １ １ ０ ５ ． ， 作者简介 ： 郭锐 （ 女， 宁夏青铜 峡 人 ， 宁 夏 大 学 在 读 硕 士， 主要从事偏微分方程数值解法和计算流体力学研 １ ９ ８ ６ －） 究．
３ ５ ， ｈ Φ ｘ ｉ ｊ ２ ４ ２ （ （ｘ ） ． α γ α α －５ ｘ －２ ｘ） ｘ ｘ（ ｘ－ ｘ） ５ ＋Ｏ β β β ６ ０ ｘ （ ） ４
２ ２ ２ ｑ ｑ ｑ ｌ ｒ ｘ ｒ ｙ ｙ ， Ｆｉ， Ｆｉ Ｆｉ， １－ １， １ ＝ｆ ｉ ＋ － － ｊ ｊ－ ｊ ｊ． ２ ２ ２ ａ ｂ ｈｙ ａ ｂ ｈｘ ａ ｂ ｈｙ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ （ ） １ １ 下面对截 为了得到更 高 阶 精 度 的 离 散 格 式 ， ） 中的三阶和四阶导数项也进行离散 ， 为 断误差 （ ９ ） 此， 利用 （ 可得 １ Φ Φ ｆ， ３ ＝－ ２ － ｘ ｘ ｘ ｙ Φ Φ ｆ － ， ３ ＝－ ２ ｘ ｙ ｙ ｙ Φ Φ ｆ， ４ ＝－ ２ ２ － ２ ｘ ｘ ｘ ｙ
δ Φｉ， ｙ ｊ ＝
２
（ ） １ ６ ） ） ， 由式 （ 和（ 方程（ 在非均匀网格上的高精 ８ １ ６ １） 度紧致 （ 格式可以写为 ＨＯ Ｃ）
２ ２ ２ ２ ［ －δ δ δ δ δ δ ｘ－ ｘ １ ｘ ｙ － Ｈ１ ｙ －Ｋ ｙ－
（ ， ， ， Φ τ －δ －δ ） ｉ ｉ ｉ ｊ＋ ｊ ＝ｆ ｊ，
Ｈ３ ＝
１ ３ （２ １ ３ （２ ｈ Ｋ３ ＝ ｈ α γ α γ ｘ ｘ －２ ｘ） ｘ， ｙ ｙ －３ ｙ） ｙ． ６ ０ β ６ ０ β 如果将τ 便可以得到二维泊松方程在非均 ， ｉ ｊ 去掉 ， ） 匀网格上的中心差分 （ 格式 Ｃ Ｄ Ｓ
２ ２ （ （ ） ， ， １ ０ －δ δ Φ ｘ－ ｉ ｉ ｙ） ｊ ＝ｆ ｊ． ２ ２ 根据差分算子δ 可将 Ｃ Ｄ Ｓ格式整 ｘ 和δ ｙ 的 定 义，
２ ２
1 高精度紧致差分格式
将求解区域 ［ 和［ 分别剖分为 Ｎ ａ ａ ｂ ｂ １， ２］ １， ２］ 和 Ｍ 个子区间 …， ａ ｘ ｘ ｘＮ－１ ， ｘＮ ＝ ａ １ ＝ｘ ０， １， ２， ２， …， ｂ ｙ ｙ ｙＭ－１ ， ｙＭ ＝ｂ １ ＝ｙ ０， １， ２， ２． 并且定义 ／ ｈ ａ Ｎ， ｘ ｈｘ ， ｘ ＝ （ ２ －ａ １） ｂ ＝ｘ ｉ －ｘ ｉ １ ＝θ ｌ ｘ － ｘ ｈｘ ， ０ ≤ｉ ≤ Ｎ ； ｉ １ －ｘ ｉ ＝θ ｒ ｘ ＋ ｆ ＝ｘ ／ ｈ ｂ ｂ Ｍ， ｈｙ ， ｙ ２－ １） ｂ ＝ｙ １ ＝ｑ ｌ － ｙ ＝ （ ｊ －ｙ ｊ ｙ ｈｙ ， １ ≤ｊ ≤ Ｍ ． ｙ １ －ｙ ｒ ＋ ｆ ＝ｙ ｊ ｊ ＝ｑ ｙ 为简化格式形式 ， 进一步做定义α α Ｌ： Λ， Λ 和ｇ Λ＝ β ｂ Ｌ 代 表 ｘ 或ｙ． θ θ ｑ ｑ ｇ ｑ ｑ ｌ ｒ Ｌ＝ ｒ Ｌ＋ ｌ Ｌ， Ｌ＝ ｒ Ｌ－ ｌ Ｌ， Λ Λ， 当且仅 当 ｑ 网 格 剖 分 为 均 匀 剖 分． ｑ ｒ Ｌ＝ ｌ Ｌ ＝１ 时 ， 如图 １ 所示 ． 将点 （ 进行泰勒展开为 ｉ ＋１， ｊ）
0 引言
在偏微分方程 的 数 值 求 解 中 ， 高精度精致差 分格式由于精度 高 并 且 具 有 小 的 离 散 子 域 、 稳定 边界条件容 易 处 理 等 特 点 越 来 越 受 到 人 们 性好 、
１～３］ 、 的重视 ． 已经发展了针对泊松方程 ［ 对流扩 散 ４～６］ 方程 ［ 以及涡 量 －流 函 数 变 量 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ方 － ７～９］ 的高精度紧致差分格式 ． 程组 ［
第２ ６ 卷第 ２ 期 ２ ０ １ ２年３月
自然科学版 ） 甘肃联合大学学报 （ ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇ ａ ｎ ｓ ｕ Ｌ ｉ ａ ｎ ｈ ｅ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｙ（
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ６Ｎ ｏ ． ２ Ｍ ａ ｒ ． ２ ０ １ ２
Φ Φ ｆ． （ ） １ ５ ３ ＝－ ２ ２ － ｘ ｙ ｙ ｙ ） ） 用式 （ 代替式（ 中的三阶和四阶导数 １ ２ １ ５ ９） ～（ ， 项 并整理得
， τ ｉ ｊ ＝－ Ｈ１
Φ Φ － １ ２ －Ｋ ２ ｘ ｘ ｙ ｙ
３
３
γ ｘ
Φ ｆ Ｋ ｆ （ Ｈ２ ＋ Ｋ２） － １ － ２ ２ － Ｈ１ ｘ ｘ ｙ ｙ
ｆ Ｈ Φ Ｋ Φ Ｈ２ ｆ ２ ３ ３ ２ －Ｋ ２ ＋ ５ ＋ ５ ＋ ｘ ｘ ｙ ｙ ４ ２ ４ ２ ） ） Ｏ（ ． α α α α ＋Ｏ（ ｘ －５ ｘ（ ｘ－ ｘ） ｙ －５ ｙ（ ｙ－ ｙ） β β β β ２ ２ ５ ５
４
处展开 ， 可得 ｙ 方向上的二阶中心差分算子 ２ ［ ． Φｉ， Φｉ， θ Φｉ， ｌ １－ ｒ １］ ＋ － ｙ ｙ ｊ ｙ ｊ＋ ｊ ２ θ β ｈｙ α ｙ ｙ β （ ） ７ ） 那么式 （ 可以写为如下的近似形式 １
理成五点形式 ， 为 ２ ＋ Ｆ （ ａｈ ａｈ ）
２ ｘ ｘ ２ ｙ ｙ
１
１
， ｉ ｊ
整理得
， Φ ｉ ｊ ＝ ２ ｘ ２
２ ｑ ｌ ｘ Ｆｉ － １， ＋ ｊ－ ２ ａ ｂ ｈｘ ｘ ｘ
２ ［ Φｉ Φｉ， θ Φｉ － ｌ ｘ １， ｘ ｒ ｘ １， ＋ － ｊ－ ｊ＋ ｊ］ ２ θ β ｈｘ α ｘ ｘ β ３ ２ ４ ， ， ｈ ｈ Φ Φ ｘ ｉ ｘ ｉ ｊ ｊ ２ （ γ α ｘ ｘ －３ ｘ） ３ － ４ － β ３ １ ２ ｘ ｘ
３ ４ ２ ４ ４ ２ ３ ３ ３ ３
（ ） １ ２ （ ） １ ３ （ ） １ ４
定义 ｘ 方向上的二阶中心差分算子为
δ Φｉ， ｘ ｊ ＝
２
２ ［ ． Φｉ Φｉ， θ Φｉ ｌ ｘ １， ｘ ｒ ｘ １， ＋ － ｊ－ ｊ＋ ｊ］ ２ θ β ｈｘ α ｘ ｘ β （ ） ５
） 则式 （ 可进一步写为 ４
， ， ｈｘ Φ ｈｘ Φ θ θ ｌ ｘ ｉ ｌ ｘ ｉ ｊ ｊ ３ ＋ ４ － ３！ ４！ ｘ ｘ ， ｈｘ Φ θ ｌ ｘ ｉ ｊ ６ ６ （ （ ） ｈｘ ） ． ３ ｌ ｘ ５ ＋Ｏ θ ５！ ｘ ） ） 将式 （ 和（ 两边分别同时乘 以θ ２ ３ ｘ 后相加 ｂ ｘ 和θ ｆ ５ ５ ５
和可靠性 ． 为此 ， 考虑如下二维泊松方程 Φ Φ ， （ ） ｘ， １ － ２ － ２ ＝ ｆ（ ｙ） ｘ ｙ ， 其中 ， 假定未知函数 ｘ， ａ ａ ×［ ｂ ｂ ｙ∈ ［ １， ２］ １， ２］ 和源项 ｆ（ 是求解区域上 变 量 ｘ 和ｙ ｘ， ｘ， Φ（ ｙ） ｙ） 的足够光滑函数 ．
２ ｘ ２ ｙ
（ ） ８
甘肃联合大学学报 （ 自然科学版 ） ６卷 第 ２ １ ２
２ ２ （ ， ， Ｈ２ ＋ Ｋ２） δ δ Φ ｘ ｉ ｉ ｙ］ ｊ ＝Ｆ ｊ，
（ ） １ ７
其中 ，
２ ２ ， ， Ｆ １＋ Ｈ１ δ δ δ δ ｆ ｉ ｘ ＋Ｋ １ ｘ ＋Ｋ ２ ｉ ｊ ＝ ［ ｙ ＋ Ｈ２ ｙ］ ｊ． ） 代入各类差分算子 的 定 义 ， 式（ 可 进 一 步 整 理 １ ７
第２期
郭锐等 ： 二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
１ １
其中τ 可表示为 ， ｉ ｊ 为截断误差 ，
， τ ｉ ｊ ＝ Ｈ１ ５
Φ Ｋ Φ Ｈ Φ Ｋ Φ １ ２ ２ ３ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ４ ＋ ｘ ｘ ｙ ｙ
５
３
３
４
４
Φ Ｏ（４ ５ （２ ） Ｈ３ Φ ＋ α ３ ｘ－ α ｘ β ｘ－ ｘ） ５ ＋Ｋ ５ ＋ β ｘ ｙ ４ ２ ） ， （ ） Ｏ（ ９ α α ｙ －５ ｙ（ ｙ－ ｙ） β β 其中 ， １ １ ｈｘ ， Ｋ１ ＝ γ ｈｙ ， γ ｘ ｙ ３ ３
） ６ ７ ２ ６ ９ １ Ｘ（ ２ ０ １ ２ ０ ２ ０ ０ １ ０ ０ ４ 文章编号 ：１ － － －
二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
郭 锐， 黄雪芳 ， 葛永斌
（ ） 宁夏大学 数学计算机学院 ， 宁夏 银川 ７ ５ ０ ０ ２ １ 摘 要： 提出了数值求解二维泊松方程基于非均匀网格的高阶紧致差分格式 ， 通过选取合适的网格分布参数 求 空间可以达到四阶精度 ． 并与 均 匀 网 格 上 的 计 算 结 果 进 行 比 较 ， 充分验证了本文非 解具有边界层的数值算例 ， 均匀网格高精度紧致格式的精确性和优越性 ． 关键词 ： 泊松方程 ； 非均匀网格 ； 紧致差分格式 ； 高精度 ； 边界层 中图分类号 ： Ｏ １ ７ ５． ２ 文献标识码 ：Ａ
Ｈ１ ＝ Ｈ２ ＝