工程电磁场 第7章 二维泊松方程的有限元法
电磁场分析的有限元法
第7章 光波导分析的有限元法
7.1 微分方程边值问题
7.1.3 伽辽金（Galerkin）方法
Galerkin 法选取基函数i为加权函数，效果最好
Ri
S
i
(
2 t
K
2 t
)
dS
0
N
c j j j1
N
Ri
cj
S
i
(
2 t
K
2 t
)
j
dS
0
j1
Kij Sit2jdS S i jdS
7.1 微分方程边值问题 7.2 有限元分析
7.3 光波导模式问题的应用举例
2
第7章 光波导分析的有限元法
分析或设计波导器件时，知道波导模的特性及其场分布 非常重要。光波导精确求解的条件有限，近似分析时精度受 到限制，要高精度求得传播常数和电磁场分布，还要依赖于 数值分析法。
电磁场分析的数值法有很多，如有限元法（FEM)、有限 差分法、模匹配法、横向共振法等，而FEM因其较高的精度 和通用性，是目前使用最广泛、比较公认的精确数值技术方 法之一，并作为各种近似计算的基准。FEM特别适用于复杂 的几何结构和介电特性分布，可以解决几乎任意截面和折射 率分布的介质光波导的模式及场分布问题。
L f
L f 0 为方程的严格解（真解） 设 为方程的近似解，定义余数
r L f 表示近似解接近真解的程度
的最佳近似，应能使余数r在域内所有点有最小值。
余数加权积分
R wrd
其中w为加权函数
满足R=0的解称为微分方程的弱解或近似解。
w的选取方法：点重合, 子域重合, 最小二乘法, 迦辽金法等。
FEM是已发展成熟的数值计算方法。数学理论包括泛函 分析理论和抽象空间理论，应用范围包括土木工程如桥梁、 建筑，机械制造如船舶、飞机设计，计算场分布如应力场、 流体场、电磁场等等。有大量的商品化软件，使用方便。
二维瞬态磁场有限元建模及计算
二维瞬态磁场有限元建模及计算有限元法作为一种强有力的工程分析方法被广泛地应用于各种研究领域。
对于电气工程领域，有限元法同样是用于各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的最主要的数值方法，并且无一例外地是构成各种先进、有效的计算软件包的基础。
在有限元法的基础理论、应用技术及其应用于解决电磁装置的瞬态过程分析等相关方面进行了深入的研究与探讨，该工作对于发展瞬态电磁场问题的数值计算方法具有重要的意义。
标签：电气工程；瞬态电磁场；有限元法1 有限元分析软件——ANSYS发展及功能随着科学技术的迅速发展，以及许多相关学科成果不断渗透到电磁场分析领域，使得电磁场理论的研究工作得到更加深入的发展。
人们从关注电磁场的稳态性能发展到研究电磁场的瞬态性能。
经过不断地发展，有限元方法迅速从结构工程强度分析扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种应用广泛且实用高效的数值分析方法。
不仅使各种不同的有限元方法形态丰富，理论基础完善，而且己经开发了一批有效的通用和专用有限元软件，这些软件已经成功地解决了国际工程等领域中的众多大型科学和工程难题。
有限元软件已经成为推动科技进步和社会发展的生产力，并且取得了巨大的经济和社会效益。
在众多可用的通用和专用有限元软件中，ANSYS已经成为紧跟计算机硬软件发展的最新水平、功能丰富、用户界面友好、前后处理和图形功能完备、使用高效的有限元软件系统。
它拥有丰富和完善的单元库、材料模型库和求解器，保证了它能够高效地求解各类结构的静力、动力、振动、线形和非线形问题，稳态和瞬态热分析问题，静态和时变电磁场问题，压缩与不可压缩的流体力学问题，以及多场耦合问题。
此外其结构模型化功能和分析功能较强，解题规模大，计算效率高，能够适应广泛的工程领域，而且经过长期的使用与维护，比较可靠。
在实际电磁场的分析与计算中，ANSYS软件提供了完整的电磁场分析模块，可以用来分析电磁领域多方面的问题，如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运动效应、电路和能量损耗等。
有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现
(x,y) e 9 0 ,
其中
— ax ay
e i 2(/3), 为 i?2 中的
有界凸区域，区 域 / 3 = { ( * ，；K) U2 + y2 < l }.
1 二 维 P oisson方程的有限元法
l .i 有限元方法的基本原理和步骤 有限元法是基于变分原理和剖分技术的一种数
值计算方法，把微分方法的定解问题转化为求解一
摘 要 ：文 章 讨 论 了 圆 形 区 域 上 的 三 角 形 单 元 剖 分 、有 限 元 空 间 ，通 过 变 分 形 式 离 散 得 到 有 限 元 方 程 .用 M A T L A B 编程求得数值解，并进行了误差分析. 关 键 词 ：Poisson方 程 ；有限元方法；M A T L A B 编 程 ；三角形单元剖分
U e l f +2( n , R m).
定理[7]1 (有 限 元 近 似 解 的 炉 模 估 计 ）假设 满足引理的条件，则 对 V f/ E 妒+1(/3,i T ) ，存在与 A 无 关 的常数C , 使得
W u - u . w, ^ chk \ u \ M
定理[7]2 (有 限 元 近 似 解 的 i 2 模 估 计 ）假设
1
0
0
0
2
3
0
0
細 !1[8]:
4
560ຫໍສະໝຸດ 中 图 分 类 号 ：0241.8
文 献 标 识 码 ：A
文章编号：1009 - 4 9 7 0 ( 2 0 1 8 ) 0 5 - 0015 - 04
0 引言
热 学 、流 体 力 学 、电 磁 学 、声 学 等 学 科 中 的 相
关 过 程 ，都 可 以 用 椭 圆 型 方 程 来 描 述 .最 为 典 型 的
工程电磁场数值分析(有限元法)解读共31页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
工程电磁场数值分析(有限元法)解读
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
二维泊松方程的差分格式有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2 2
i, j
(k 1)
(k 1)
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中： ——加速收敛因子 (1 2)
• 迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
x 2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
K0 K!
(x
x0 )K
0(( x
x0 )n )
赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N(,Nj 1)
Y
N
所有内点
相邻二次迭代值的最大误差
是否小于
打印 N，(i, j) 停机
i1, j
(k) i, j1
Fh2
]
式中：i, j 1, 2,，k 0, 1, 2, • 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。
36-二维泊松方程的有限元法
9
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
2．单元网格划分 在二维情况下，以三角形单元为例 网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形。 具体要求是，三角形顶点连着顶点， 三角形三条边长或三个内角大小尽量接近。 图 显示了网格的一部分。 图 表示一个三角形的三个顶点，
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相应的待定常数为
u1, u2 , , un , unn
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主讲人： 王泽忠
以 n 表示基函数序列通项的序号， nn 表示总项数。 u 的近似解（试探函数）表示为
nn
u M n (x, y)un
n 1
在伽辽金加权余量法中，权函数序列：
5
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代入第二类边界条件，得
aM m ud bM md M m f d
（ m 1, 2, , nn ）
将近似函数（试探函数）代入，得
nn
aM m ( M nun )d bMmd Mm f d
n 1
Ae ，Re ， Reb
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单元系数矩阵和单元右端项的元素为
Ae,i, j (aNi N j )de
（ m 1, 2, , nn ）
以下为了书写方便，将 Mm (x, y) 写为 M m 。
对上述方程组应用格林公式，得
u
aM m
ud
M ma n d M m f d
二维泊松方程的有限元法
忠
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
具体要求是，三角形顶点连着顶点，
三角形的三条边长尽量接近
或三个内角尽量接近。
图示三角形的三个顶点，
i, j, k 的顺序按逆时针。
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主讲人： 王泽 忠
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
将 1 、 2 、 3 作为未知数，
求解上述方程组，并令
aaij
x j yk xk yi
xk yj xi yk
a
k
xi y j
x jyi
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1 xi
11 2
设第k 个节点是第一类边界上的节点，
其电位已知k k 0。
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主讲人： 王泽
忠
在总体系数矩阵和右端向量中，做如下处理：
（1） Akk 1；
（2） Ri Ri Aikk 0 （ i 1,2, , n ）；
（3） Rk k 0 ；
（4） Akj 0 （ i 1,2, , n ）；
N j • d N j ( )d N jd
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
Nk • d Nk ( )d Nk d
e1 e
es1 es
e1 e
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有限元解二维泊松方程
有限元解二维泊松方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于解决各种物理问题。
在本文中，我们将使用有限元方法来解决二维泊松方程。
泊松方程是一个偏微分方程，常用于描述电势、热传导等问题。
让我们先来了解一下有限元方法的基本原理。
有限元方法将求解区域划分为许多小的子区域，称为单元。
每个单元内的解可以用一组基函数来表示，这些基函数在整个区域上是连续的。
通过在每个单元上建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。
在本文中，我们考虑一个简单的二维泊松方程，如下所示：∇²u = f其中，∇²表示拉普拉斯算子，u表示未知函数，f表示已知函数。
我们的目标是求解未知函数u。
为了使用有限元方法求解这个方程，我们需要首先将求解区域划分为许多小的单元。
然后，在每个单元上选择适当的基函数。
通常，我们会选择一些简单的基函数，如线性函数或二次函数。
接下来，我们需要在每个单元上建立适当的方程。
这些方程通常采用变分法来得到。
变分法是一种数学方法，用于处理泛函的极值问题。
通过对方程进行适当的变分处理，我们可以得到一组代数方程。
然后，我们将这些代数方程组合起来形成一个大型的线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到整个区域上的解。
我们需要对解进行后处理，以获得我们感兴趣的物理量。
例如，我们可以计算电场、温度等。
通过使用有限元方法，我们可以有效地求解各种复杂的物理问题。
该方法已经在许多领域得到广泛应用，如结构力学、流体力学、电磁场等。
总结起来，有限元方法是一种强大而灵活的数值计算方法，可以用来解决各种物理问题。
在本文中，我们使用有限元方法来解决二维泊松方程。
通过合理划分求解区域、选择适当的基函数和建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。
通过求解线性方程组和后处理，我们可以计算出感兴趣的物理量。
有限元方法的广泛应用使得我们能够更好地理解和解决实际问题。
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b N fd 0
1 2 3 4 5 6 0
以下把单元e的贡献记为
K (e) ij
e
N (e) i
L(N
(e) j
)d
b(e) i
e
N (e) i
f
(e)d
这样，就有
K00
K (1) 00
K (2) 00
K (3) 00
K (4) 00
u1
1 ( x,
y)
u2
2
(x,
y)Leabharlann u33 ( x,
y)
可得
Ni
i (x,
y)
( i 1, 2, 3 )
基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：
（1）是插值的；
1 (i j) （2）Ni (xj , y j ) 0 (i j) （3）在相邻单元的公共边界上，
u(x, y) a bx cy
代入三个顶点的坐标和函数值， 可以解出a、b、c。得到
u(x,
y)
u1
1 ( x,
y)
u2
2 (x,
y)
u3
3 ( x,
y)
111
其中，
1 2
x1
x2
x3
y1 y2 y3
11 1
1
1 2
x
x2
x3
y y2 y3
111 1 2 2 x1 x x3
7.3 二维泊松方程的有限元法
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
以二维静电场泊松方程的求解 为例。
Ku b
2u 2u L(u) f
x2 y2 u g
目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数 方程组，即确定系数{Kij} 和{bi}。
计算系数阵
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
这些积分可以分单元进行。例如对右
图所示的局部编码，K01、K00以及b0 的计算公式为：
K00
N L(N )d 1 2 3 4 5 6 0
0
K01 16 N0L(N1)d
wi (P, Pi )
(P, Pi )Rd 0
R(Pi ) 0
（ i 1,2, , n ）
配点法又叫点匹配法。
（2）子域法
将求解区域划分成 n 个子域，
每次选取权函数在一个子域上为 1， 其他子域上为零。
wi 01（（PP不在在子子域域i内i内））
Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
计算系数阵 Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
在积分 Kij NiL(N j )d 中，对于确定的 i，j的有效取值为i
本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、 j 为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有 交叠。
u 的近似解表示为
m
u c ju j
j 1
将近似解代入方程，得余量
m
R Lu f c j Lu j f
j 1
如果余量为零，说明已经满足方程，
即 u 是方程的精确解。
一般情况下余量不为零。 只能放松约束， 强制余量的加权积分为零。 即
wi Rd 0 （ i 1,2, , n ）
y1 y y3
单元节点的编号按 逆时针方向排列！
1 11 1 3 2 x1 x2 x
y1 y2 y
u(x,
y)
u1
1 ( x,
y)
u2
2
(x,
y)
u3
3 ( x,
y)
记住我们的任务 —寻找基函数
u (x, y) 1N1 2 N2 3N3
对比
u(x,
y)
Rd 0
i
（ i 1,2, , n ）
（3）最小二乘法
按使方程余量平方积分最小选取权函数。
令 I (c1, c, , cm ) R2d
使 I 最小的条件为
I 0 ci
（ i 1,2, , n ）
得
R Rd 0
ci
7 二维泊松方程的有限元法
有限元法 可以从变分原理导出， 也可以从加权余量法导出。 前者需要补充泛函、变分法、欧拉方程、 泛函极值等数学知识，推导过程比较复杂。 后者相对比较直观，而且应用范围更广， 推导过程简单。
7.1 加权余量法
1、加权余量概念
假定边值问题方程
Lu f
式中， u 为未知函数， L 是算符（算子），表示对 u 的一种运算，
场域离散
二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形 状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。 该步骤需要记录的信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小， 可以采用线性近似，将单元内任 意p点的u(x,y)表示为
即权函数为
wi
R ci
（ i 1,2, , n ）
（4）伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0
m
ui L u jd ui fd
j 1
（ i 1,2, , n ）
在上述几种加权余量法中， 伽辽金法应用最广泛。 有限元法基于伽辽金法
f 为已知函数。
为求 u ，设有一组完备、线性无关的函数 u1, u2 , , uk , ， 取其前 m 项的线性组合作为 u 的近似解 u 。 若当 m 时，有 u u ， 则称 u1, u2 , , uk , 为基函数序列， uk 为基函数。 c1, c2 , , cm 为待定系数。
式中 wi 为权函数， w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。 权函数的不同选择导致不同的近似方法。
2、几种加权余量法
（1）配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn ， 让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为