二维泊松方程的有限元法
多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用
１ 多重网格方法
多重 网 格 法 最 初 来 源 于 差 分 方 程 的 迭 代 求 解 数值解与差分方程精确解之 间 的 误 差 与 傅 立 ． 叶分析中不同频率 分 量 有 关 ， 不同的频率分量具有
［ ４ １］
犕 狌 犾 狋 犻 狉 犻 犱犳 犻 狀 犻 狋 犲 犲 犾 犲 犿 犲 狀 狋 犪 狀 犪 犾 狊 犻 狊 犳 狅 狉２ 犇犿 狅 犱 犲 犾 犻 狀 犳狆 狅 犻 狊 狊 狅 狀犲 狌 犪 狋 犻 狅 狀 犵 狔 犵狅 狇
， ， ＷＡＮＧ Ｑ ｉ ｎ ｉ ｎ Ａ ＩＷｕ ｍ ｉ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ａ ｎ Ｂ ＷＡＮＧ Ｈ ｇ ｐ ｇ ｇ ｇ ｇ
Ｇ Ｓ Ｇ Ｓ 狉 狌 ｆ －犃 ｆ ｆ ， ｆ ＝犫 Ｇ Ｓ 然后 ， 将残差狉 ） 矩阵 犚 转换到 Ｒ ｅ ｓ ｔ ｒ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ 通过限制 （ Ｇ Ｓ 即狉 而在粗网格上求解犃 粗网格上 ， 狉 狌 ｃ ＝犚 ｆ ． ｃ ｃ ＝
．
多重网格方法通常建立在有限差分方法的基础 本文将多重网格方法引入到 ． 有限元方法中 ， 并以二维的泊松方程为例 ， 对单重网
多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用
王青平 ， 白武明 ， 王洪亮
（ 中国科学院地质与地球物理研究所 ， 北京 １ ） ０ ０ ０ ２ ９
摘 要 本文简要介绍多重网格 （ 算法的基本原理及基本步骤 ， 然后将多重网 格 算 法 引 入 有 限 单 元 中 ， 对二维泊 ＭＧ） 松方程进行求解 ． 单元数尺度从 ８×８ 逐次增加至 １ 并与单重网格中高斯 赛德尔迭代法 （ 、 共轭梯度法 ０ ２ ４×１ ０ ２ ４， Ｇ Ｓ） （ 结 果 表 明 ＭＧ 在 计 算 速 度 和 迭 代 次 数 都 明 显 优 于 Ｇ Ｃ Ｇ）在程序运行时间以及迭代次数方面进行比较 ． Ｓ、 Ｃ Ｇ 方 法． 在１ 比Ｃ 而且与理论解的误差更小 ． ０ ２ ４×１ ０ ２ ４ 网格中 ， ＭＧ 不仅比 Ｇ Ｓ快 ５ ０ ０ 多倍 ， Ｇ 快６ ０ 多倍 ， 关键词 多重网格 ， 共轭梯度法 ， 高斯 赛德尔迭代法 ， 泊松方程 ， 有限元分析 ： ／ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ４ ２ ９ ０ ３． ２ ０ １ ０． ０ ４． ０ ３ ９ 中图分类号 Ｐ Ｄ Ｏ Ｉ １ ０． ３ ９ ６ ９ ６ ３ １ 文献标识码 Ａ ｊ
椭圆型方程新解法
4.特殊函数方法：对于二维泊松方程，我们可以采用复变函数的方法，引入调和函数和调和多项式，使用适当的变换和积分来得到精确解。这种方法的优点在于它可以提供一些有用的分析工具和结论，但是它不适用于大部分非线性问题。
以上这些方法都是对椭圆型方程进行求解的常见方法，对于不同的问题，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
我们可以以二维泊松方程为例，介绍如何使用这些方法来解决椭圆型方程的求解问题：
1.有限元方法：对于二维泊松方程，我们可以采用网格划分的方法将求解域离散化，然后构建稀疏矩阵来解决线性系统。这种方法的优点在于它适用于各种形状的求解域，并且对于非线性方程也能有效求解。但是，计算时间和内存消耗可能会比较大。
2.障碍泛函方法：对于二维泊松方程，我们可以构建一个能量泛函，并通过变分方法求解其最小值。该方法在求解高维些理论保证。但是，它需要一定的数学理论和分析基础。
偏微(20)二维有限元法
ai bi
aj bj
am （2.15） bm
三、单元上的线性插值多项式 Ni ( x, y)ui N j ( x, y)u j N m ( x, y)um （2.9） uh ( x, y )
uh uh ( x, y) Nue
（2.13）
（2.9）式和（2.13）式就是e上根据三角形的
Bue
（2.14）
三、单元上的线性插值多项式
uh uh uh ( x, y) Nue x Bue uh uh uh ( x, y )的梯度向量可以表示为 y （2.14）
N i x B N i y N j x N j y N m x 1 N m 2 e y
1 (ai ui a j u j am um ), a 2 e 1 (bi ui b j u j bm um ), b 2 e 1 (ci ui c j u j cm um ). c 2 e
，
axi byi c ui , ax j by j c u j , axm bym c um .
写成了第一个式子，例如，(2.10)式中N i ( x , y ) 则其他的式子（N j ( x, y)和N m ( x, y) 式）可以 即将第一式的脚标 通过 i , j , m 的脚标轮换得到。
， i换为 j，j 换为 m m 换为 i 就可得到第二式。
再换一次得第三式。
三、单元上的线性插值多项式 uh ( x, y ) Ni ( x, y)ui N j ( x, y)u j Nm ( x, y)um
设单元en为Pi Pj Pm 在其三个顶点上，
泊松方程的有限差分方法及快速实现
收稿日期：2021-04-09作者简介：刘昊（1995-），男，宁夏吴忠人，硕士研究生。
泊松方程的有限差分方法及快速实现刘昊，张荣培，霍俊蓉（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110136）摘要：针对d 维（d =1,2,3）带有Dirichlet 边界的泊松方程，设计一类快速求解方法。
首先采用有限差分方法将方程离散，利用Kronecker 积的性质将离散后的方程进行矩阵分解，进而应用快速离散正弦变换（DST ）方法进行有效求解。
数值实验结果表明，该方法可快速求解d 维泊松方程，并验证了其准确性和有效性。
关键词：泊松方程；有限差分；Crank -Nicolson 方法；离散正弦变换中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）04-0091-06DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.04.018第17卷第4期2021年10月Vol.17No.4Oct.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）泊松方程是常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，在无引力源的情况下，ΔΦ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，ΔΦ=f （f 为引力场的质量分布）。
该方程通常用格林函数法求解，也可以采用分离变量法和特征线法求解［1］。
带有规则区域Dirichlet 边界条件的泊松方程：ìíîïï-Δu =f (x )u|∂Ω=g (x )（1）式中，Δ表示拉普拉斯算子；x ∈Ω；Ω⊂R d ；当d =1时，Δu =u xx ；当d =2时，Δu =u xx +u yy ；当d =3时，Δu =u xx +u yy +u zz 。
由于带有Dirichlet 边界的泊松方程的解析解不容易求出，一般情况下采用有限差分法、有限元法和有限体积方法的数值方法进行求解［2-4］。
有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现
(x,y) e 9 0 ,
其中
— ax ay
e i 2(/3), 为 i?2 中的
有界凸区域，区 域 / 3 = { ( * ，；K) U2 + y2 < l }.
1 二 维 P oisson方程的有限元法
l .i 有限元方法的基本原理和步骤 有限元法是基于变分原理和剖分技术的一种数
值计算方法，把微分方法的定解问题转化为求解一
摘 要 ：文 章 讨 论 了 圆 形 区 域 上 的 三 角 形 单 元 剖 分 、有 限 元 空 间 ，通 过 变 分 形 式 离 散 得 到 有 限 元 方 程 .用 M A T L A B 编程求得数值解，并进行了误差分析. 关 键 词 ：Poisson方 程 ；有限元方法；M A T L A B 编 程 ；三角形单元剖分
U e l f +2( n , R m).
定理[7]1 (有 限 元 近 似 解 的 炉 模 估 计 ）假设 满足引理的条件，则 对 V f/ E 妒+1(/3,i T ) ，存在与 A 无 关 的常数C , 使得
W u - u . w, ^ chk \ u \ M
定理[7]2 (有 限 元 近 似 解 的 i 2 模 估 计 ）假设
1
0
0
0
2
3
0
0
細 !1[8]:
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560ຫໍສະໝຸດ 中 图 分 类 号 ：0241.8
文 献 标 识 码 ：A
文章编号：1009 - 4 9 7 0 ( 2 0 1 8 ) 0 5 - 0015 - 04
0 引言
热 学 、流 体 力 学 、电 磁 学 、声 学 等 学 科 中 的 相
关 过 程 ，都 可 以 用 椭 圆 型 方 程 来 描 述 .最 为 典 型 的
36-二维泊松方程的有限元法
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2．单元网格划分 在二维情况下，以三角形单元为例 网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形。 具体要求是，三角形顶点连着顶点， 三角形三条边长或三个内角大小尽量接近。 图 显示了网格的一部分。 图 表示一个三角形的三个顶点，
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相应的待定常数为
u1, u2 , , un , unn
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以 n 表示基函数序列通项的序号， nn 表示总项数。 u 的近似解（试探函数）表示为
nn
u M n (x, y)un
n 1
在伽辽金加权余量法中，权函数序列：
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代入第二类边界条件，得
aM m ud bM md M m f d
（ m 1, 2, , nn ）
将近似函数（试探函数）代入，得
nn
aM m ( M nun )d bMmd Mm f d
n 1
Ae ，Re ， Reb
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单元系数矩阵和单元右端项的元素为
Ae,i, j (aNi N j )de
（ m 1, 2, , nn ）
以下为了书写方便，将 Mm (x, y) 写为 M m 。
对上述方程组应用格林公式，得
u
aM m
ud
M ma n d M m f d
二维抛物方程的有限差分法
二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。
有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。
本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。
首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。
讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。
其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。
进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。
并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。
通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。
关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1)1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4)1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7)2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15)3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15)3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16)4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17)4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t∂=∂ (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。
二维波动方程泊松公式
二维波动方程泊松公式二维波动方程泊松公式（Two-Dimensional Wave Equation Poisson Formula）是一种描述物理过程的灵活且有效的工具，可用于模拟数值计算机模拟和理论研究。
它可以应用于气象学、化学反应、化学动力学、等离子体动力学以及热力学和流体力学等领域，用于计算平面的平均温度或压力，以及近似解决具有更复杂的热或流体现象的物理问题。
一、二维波动方程泊松公式的定义二维波动方程泊松公式（Two-Dimensional Wave Equation Poisson Formula）是在有限差分法和计算机模拟中应用的一个偏微分方程式，它描述了物理现象的局部温度或压力变化，主要是假定一定空间变化和一定形状波动时，一定时间变化的物理现象。
它可以用来模拟两维热或流体中本征方程的稳定参数，从而求出局部的温度或压力的变化。
二、二维波动方程泊松公式的误差二维波动方程泊松公式的近似误差是主要由于数值模拟的结果和真实物理现象之间存在差异造成的。
这是因为当运用数学方法来模拟物理现象时，它们描述的有限元件不能和完全精确再现真实现象，必然会有一定的误差。
尽管有这样的误差，二维波动方程泊松公式仍然被经常用于数值计算机中，因为它使计算迅速、简洁。
三、应用（1）气象领域：二维波动方程泊松公式可以用于模拟湍流气象情况，如风速、风向、风湍等，以便更好地预报天气。
（2）热力学领域：二维波动方程泊松公式可以用于模拟非绝热多相过程物理现象。
比如在结构图像该反应化学过程中，使用该方程可以得到局部的温度变化，从而进一步推导出整个反应所需要的条件。
（3）等离子体动力学领域：二维波动方程泊松公式也可以用于计算不同物理量在等离子体动力学现象中的变化，比如电流密度、电场强度、电子速度以及电子温度等。
（4）流体力学领域：二维波动方程泊松公式可以用来研究流体的实际效应，如液体的流变、湍流、传热等。
四、优势（1）具有很好的灵活性：根据需要调整边界条件，可以计算出不同情况下物理量的变化。
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7 有限元法与边界元法
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7.2 有限元法
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代入式得
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(x,
y)
1 2
(ai
bi x
ci
y)i
1 (a b x c y)
2 j j
j
j
1 (a b x c y)
2 k k
k
k
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Ni
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Ni N j Nk
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将其称为单元形状函数。忠
代入插值公式，得
( x, y) Ni i N j j Nk k
求导数，得
Ni x
bi
2 ，
N j x
bj
2 ，
Nk x
bk
2
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将 1 、 2 、 3 作为未知数，
求解上述方程组，并令
aaij
x j yk xk yi
xk yj xi yk
a
k
xi y j
x jyi
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4．单元系数矩阵和右端向量
对式进行离散化处理，得
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ne
nes
ne
Ni • d Ni ( )d Ni d
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
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ci xk x j c j xi xk ck x j xi
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得
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1 xi i
1 xj j
3
1 1
xk xi
k yi
1 xj yj
1 xk yk
1 2
(cii
cj j
ck k
)
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3．单元函数插值
在单元上构造线性插值函数
1 2 x 3 y
单元三个节点的函数值也应满足上式，有
i 1 2 xi 3 yi
j 1 2 x j 3 yj
k 1 2 xk 3 yk
e
Nk •Nid
e
Ni •N jd
e
N j •N jd
e
忠
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
具体要求是，三角形顶点连着顶点，
三角形的三条边长尽量接近
或三个内角尽量接近。
图示三角形的三个顶点，
i, j, k 的顺序按逆时针。
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N j • d N j ( )d N jd
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
Nk • d Nk ( )d Nk d
e1 e
es1 es
e1 e
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上述三式中， ne 表示单元总数，
nes 表示边界单元总数。
(ai
bi x
ci y)
N j
N
k
2 1
2
(a j (ak
bj x bk x
c j y) ck y)
因 Ni , N , Nk 的具体表达式 j
与单元的几何形状有关，
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bi y j yk
bj
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bk yi y j
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1 j yj
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1 xj yj
1 xk yk
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(bii
bj j
bk k
)
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将式代入上述三式，进一步离散化 。 对一个单元来说，
可以列出与i , j , k 有关的
三个方程的局部，称为对整体方程的贡献 ， 用单元系数矩阵和单元右端向量表示。
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单元系数矩阵为
Ae
Ni •Nid
e
N j •Nid
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为三角形单元的面积，得
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j xj yj
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