工程电磁场--第7章--二维泊松方程的有限元法
wi (P, Pi )
(P, Pi )Rd 0
R(Pi ) 0
（ i 1,2, , n ）
配点法又叫点匹配法。
（2）子域法
将求解区域划分成 n 个子域，
每次选取权函数在一个子域上为 1， 其他子域上为零。
wi 01（（PP不在在子子域域i内i内））
即权函数为
wi
R ci
（ i 1,2, , n ）
（4）伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0
m
ui L u jd ui fd
j 1
（ i 1,2, , n ）
在上述几种加权余量法中， 伽辽金法应用最广泛。 有限元法基于伽辽金法
➢计算系数阵
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
这些积分可以分单元进行。例如对右
图所示的局部编码，K01、K00以及b0 的计算公式为：
K00
N L(N )d 1 2 3 4 5 6 0
0
K01 16 N0L(N1)d
7.3 二维泊松方程的有限元法
Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
➢ 以二维静电场泊松方程的求解 为例。
Ku b
2u 2u L(u) f
x2 y2 u g
目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数 方程组，即确定系数{Kij} 和{bi}。
Rd 0
i
（ i 1,2, , n ）
（3）最小二乘法
按使方程余量平方积分最小选取权函数。
令 I (c1, c, , cm ) R2d
使 I 最小的条件为
I 0 ci
（ i 1,2, , n ）
得
R Rd 0
ci
u(x, y) a bx cy
代入三个顶点的坐标和函数值， 可以解出a、b、c。得到
u(x,
y)
u1
1 ( x,
y)
u2
2
(x,
y)
u3
3 ( x,
y)
111
其中，
1 2
x1
x2
x3
y1 y2 y3
11 1
1
1 2
x
x2
x3
x1
x
x3
y1 y y3
单元节点的编号按 逆时针方向排列！
1 11
3
1 2
x1
x2
x
y1 y2 y
u(x,
y)
u1
1 ( x,
y)
u2
2 (x,
y)
u3
3 ( x,
y)
记住我们的任务 —寻找基函数
u (x, y) 1N1 2 N2 3N3
对比
u(x,
要保持对 称性；有 更简便的 做法
f 为已知函数。
为求 u ，设有一组完备、线性无关的函数 u1, u2 , , uk , ， 取其前 m 项的线性组合作为 u 的近似解 u 。 若当 m 时，有 u u ， 则称 u1, u2 , , uk , 为基函数序列， uk 为基函数。 c1, c2 , , cm 为待定系数。
Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。
➢计算系数阵 Ki, j Ni L(N j ) d bi Ni f d
在积分 Kij NiL(N j )d 中，对于确定的 i，j的有效取值为i
本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、 j 为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有 交叠。
7 二维泊松方程的有限元法
有限元法 可以从变分原理导出， 也可以从加权余量法导出。 前者需要补充泛函、变分法、欧拉方程、 泛函极值等数学知识，推导过程比较复杂。 后者相对比较直观，而且应用范围更广， 推导过程简单。
7.1 加权余量法
1、加权余量概念
假定边值问题方程
Lu f
式中， u 为未知函数， L 是算符（算子），表示对 u 的一种运算，
M
M O M M M
Kmi L Kmj L Kmm um bm
L
O M M
[K
(e)
]
K (e) ii
K (e) ji
K (e) mi
K (e) ij
K (e) jj
K (e) mj
K (e) im
➢ 场域离散
二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形 状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。 该步骤需要记录的信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质
➢ 三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小， 可以采用线性近似，将单元内任 意p点的u(x,y)表示为
K (e) jm
K (e) mm
b(e) i
f (e)
e
N (e) i
d
3
f
(e)
➢ 第一类边界条件（强加边界条件）
第一类边界节点是指边界上函数值 i fi 已知。因此处理
方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置 1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函 数值。
位置是第i行、j列；因此
K
(e) ij
必须合成到整体矩阵的第i行、
j列元素上。
整体矩阵合成：
O
L M M
Kii L Kij L Kim
ui
bi
MO M
M M M
K ji
K jj
K mj
u
j
b
j
b N fd 0
1 2 3 4 5 6 0
以下把单元e的贡献记为
K (e) ij
e
N (e) i
L(
N
(e) j
)d
b(e) i
e
N (e) i
f
(e)d
这样，就有
K00
K (1) 00
K (2) 00
K (3) 00
K (4) 00
K (5) 00
u 的近似解表示为
m
u c ju j
j 1
将近似解代入方程，得余量
m
R Lu f c j Lu j f
j 1
如果余量为零，说明已经满足方程，
即 u 是方程的精确解。
一般情况下余量不为零。 只能放松约束， 强制余量的加权积分为零。 即
wi Rd 0 （ i 1,2, , n ）
式中 wi 为权函数， w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。 权函数的不同选择导致不同的近似方法。
2、几种加权余量法
（1）配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn ， 让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为
f
(e)d
i
i
由于单元很小，做单元分析时 通常可以取 f (e) 为常数值（可以 认为等于三个顶点上的平均 值）。因此
b(e) i
f (e)
e
Ni(e)d
3
f (e)
单元矩阵：
➢ 上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于
理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐
K (6) 00
K01
K (1) 01
K (6) 01
b0
b(1) 0
b(2) 0
b(3) 0
b(4) 0
b(5) 0
b(6) 0
每个
K
(e ij
)
或
b(e) i
的计算都在具体的单元内单独考虑（称
为单元分析）。
b N f d 右端项元素：
b(e) i
e
N (e) i
个计算单元系数阵[K(e)]，然后合成整体系数阵[K]。单元
系数阵[K(e)]定义为
[K
(e)
]
K (e) ii
K (e) ji
K (e) mi
K (e) ij
K (e) jj
K (e) mj
K (e) im
K (e) jm
K (e) mm
设 i, j, m 是节点的整体编号，元素Kij在整体矩阵中的实际
y)
u1
1 ( x,
y)
u2
2 (x,
y)
u3
3 ( x,
y)
可得
Ni
i (x,
y)
( i 1, 2, 3 )
基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：
（1）是插值的；
1 (i j) （2）Ni (xj , y j ) 0 (i j) （3）在相邻单元的公共边界上，
泊松方程
泊松方程泊松方程（英语：Poisson’s equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程"。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。
现在有很多种数值解.像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。
静电学在静电学很容易遇到泊松方程。
对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。
在国际单位制（SI)中:此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米）,而是真空电容率（单位为法拉/米).如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：[编辑]高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度:此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf（x)代表的是误差函数.注意：如果r远大于σ,erf（x)趋近于1，而电场Φ（r）趋近点电荷电场；正如我们所预期的。
[编辑]参阅•离散泊松方程[编辑］参考资料•Poisson Equation at EqWorld： The World of Mathematical Equations.•L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence， 1998。
ISBN 0—8218—0772-2• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists， Chapman & Hall/CRC Press， Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488—299-9。
电磁仿真算中的有限元法
1电磁仿真算法中的有限元法1.1常规的电磁计算方法简介从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。
除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。
本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。
⑴矩量法矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。
该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。
矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。
但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。
外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。
此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。
(3)时域有限差分法时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界条件自动满足。
吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。
有限元法概念意义与应用
有限元法概论、意义与应用班级： 2013信息姓名：张正学号： 2013040692指导老师：曾伟梁摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。
Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method.Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。
工程电磁场数值分析(有限元法)解读课件
有限元法在工程电磁场中的应用
在静电场中，电荷分布是确定的，电场强度和电位是求解的目标。有限元法可以将连续的静电场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到电场强度和电位。
有限元法在静电场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和电荷分布，为工程实际中静电场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静电场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的电荷分布被假设为均匀分布。通过将电场强度和电位表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的电场强度和电位，从而得到整个区域的电场分布。
静电场问题
总结词
详细描述
在静磁场中，磁力线是闭合的，磁场强度是确定的。有限元法可以将连续的静磁场离散化为有限个单元，通过求解离散化的方程组来得到磁场强度和磁感应强度。
有限元法在静磁场问题中能够有效地处理复杂的边界条件和磁场分布，为工程实际中静磁场问题的求解提供了有效的数值分析方法。
在静磁场问题中，有限元法将连续的求解区域离散化为有限个单元，每个单元内的磁场分布被假设为均匀分布。通过将磁场强度和磁感应强度表示为单元中心点的插值函数，可以建立离散化的方程组。求解该方程组可以得到每个单元中心点的磁场强度和磁感应强度，从而得到整个区域的磁场分布。
02
诺依曼边界条件
规定电场和磁场在边界处的法向分量，与狄利克雷边界条件一起使用。
STEP 01
STEP 02
ห้องสมุดไป่ตู้
STEP 03
有限元法基础
结构分析
用于分析各种结构的应力、应变、位移等。
流体动力学
用于分析流体流动、传热等问题。
电磁场
用于分析电磁场分布、电磁力、电磁感应等问题。
二维泊松方程的有限元法
主讲人： 王泽 忠
工程电磁场
王泽 忠
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1
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
7 有限元法与边界元法
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
7.2 有限元法
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工程电磁场
主讲人： 王泽
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工程电磁场
代入式得
主讲人： 王泽 忠
(x,
y)
1 2
(ai
bi x
ci
y)i
1 (a b x c y)
2 j j
j
j
1 (a b x c y)
2 k k
k
k
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工程电磁场
令
主讲人： 王泽 忠
Ni
1 21
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Ni N j Nk
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
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工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
Ni
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工程电磁场
二维泊松方程的差分格式有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
《电磁场》课件—第七章 时变电磁场2(复数表示边界条件动态位)
ε ∇ ⋅ E = ρ
E + ∂ A = −∇ϕ ∂t
( ) µ J+ µε ∂ E = ∇ ∇ ⋅ A − ∇2 A ∂t
∇ ⋅ A = ?
∇2ϕ + ∇ ⋅ ∂ A = − ρ ∂t ε
∇2 A − µε ∂2 A ∂t
=
−µ
J+
∇
µε
∂ϕ ∂t
+
∇
⋅
A
（1）库仑规范
∇2ϕ + ∇ ⋅ ∂A = − ρ ∂t ε
( ) eˆ n ⋅ B2 − B1 = 0
( ) eˆ n × E2 − E1 = 0
( ) eˆ n × H 2 − H1 = K
H 2
Kêu
E 2
γ1=∞
γ2=0
理想导体和理想介质的分界面
E1 = 0, D1 = 0; B1 = 0, H1 = 0
D2 n = σ
eˆ n ⋅ D 2 = σ
E2t = 0
γ =∞
一般 导体？
1）根据 J = γ E ，理想导体内部不可能存在电场，否则将会导致电流
无限大 ∞ = ∞ × 有限值。
E = 0
2）根据∇ × E = −∂B / ∂t ，电场既然为零，磁场只能为常数，如果不
考虑与时间无关的量，可设为零。即理想导体内部不可能存在磁场。
B = 0
3）根据 ∇ × H=
⋅
dS
∫SB ⋅ dS = 0
E1
β ∆L
êt
P
ε1
E 2
ε2
ên
E2t − E1t =0 + 0
( ) eˆ n × E2 − E1 = 0
36-二维泊松方程的有限元法
9
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
2．单元网格划分 在二维情况下，以三角形单元为例 网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形。 具体要求是，三角形顶点连着顶点， 三角形三条边长或三个内角大小尽量接近。 图 显示了网格的一部分。 图 表示一个三角形的三个顶点，
2019/10/3
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相应的待定常数为
u1, u2 , , un , unn
2019/10/3
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
以 n 表示基函数序列通项的序号， nn 表示总项数。 u 的近似解（试探函数）表示为
nn
u M n (x, y)un
n 1
在伽辽金加权余量法中，权函数序列：
5
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主讲人： 王泽忠
代入第二类边界条件，得
aM m ud bM md M m f d
（ m 1, 2, , nn ）
将近似函数（试探函数）代入，得
nn
aM m ( M nun )d bMmd Mm f d
n 1
Ae ，Re ， Reb
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
单元系数矩阵和单元右端项的元素为
Ae,i, j (aNi N j )de
（ m 1, 2, , nn ）
以下为了书写方便，将 Mm (x, y) 写为 M m 。
对上述方程组应用格林公式，得
u
aM m
ud
M ma n d M m f d
二维泊松方程的有限元法
忠
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
具体要求是，三角形顶点连着顶点，
三角形的三条边长尽量接近
或三个内角尽量接近。
图示三角形的三个顶点，
i, j, k 的顺序按逆时针。
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4
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
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7
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
将 1 、 2 、 3 作为未知数，
求解上述方程组，并令
aaij
x j yk xk yi
xk yj xi yk
a
k
xi y j
x jyi
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1 xi
11 2
设第k 个节点是第一类边界上的节点，
其电位已知k k 0。
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工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
在总体系数矩阵和右端向量中，做如下处理：
（1） Akk 1；
（2） Ri Ri Aikk 0 （ i 1,2, , n ）；
（3） Rk k 0 ；
（4） Akj 0 （ i 1,2, , n ）；
N j • d N j ( )d N jd
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
Nk • d Nk ( )d Nk d
e1 e
es1 es
e1 e
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工程电磁场数值分析有限元法解读31页PPT
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
工程电磁场数值分析有限元法解读
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。