二维泊松方程的差分格式有限差分法
二维有限差分矩阵-概述说明以及解释
二维有限差分矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分会总体介绍本文将要讨论的主题——二维有限差分矩阵。
本文将首先简要概述二维有限差分方法的基本原理和应用领域，然后详细介绍二维有限差分矩阵的构建方法。
通过本文的阐述，读者将了解到二维有限差分矩阵在数值计算、物理仿真、图像处理等领域的广泛应用，并获得一定的实践指导和理论支持。
二维有限差分方法是一种常用的数值计算技术，广泛应用于解决二维偏微分方程及相关问题。
通过将连续问题离散化为离散点之间的差分，可以利用计算机进行高效且准确的计算。
而二维有限差分矩阵则是二维有限差分方法中的关键组成部分，用于描述问题的离散化形式。
本文着重介绍二维有限差分矩阵的构建方法。
首先，将介绍二维有限差分方法的基本原理，包括空间离散化和时间离散化。
然后，将详细介绍如何根据实际问题的边界条件和离散化精度构建二维有限差分矩阵。
通过合理选择差分格式和边界条件，可以得到满足精度要求的二维有限差分矩阵。
需要注意的是，二维有限差分方法和二维有限差分矩阵的适用范围广泛，不仅仅局限于数值计算领域。
它还可以应用于物理仿真领域，如电磁场模拟和流体动力学分析；以及图像处理领域，如边缘检测和图像恢复等。
通过本文的学习，读者将能够掌握二维有限差分方法的基本原理，了解二维有限差分矩阵的构建方法，并在实际应用中灵活运用。
1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，首先对二维有限差分方法做了一个概述，介绍了其在科学计算和工程领域中的重要性和广泛应用。
接着对文章的结构进行了说明，明确了各个部分的内容和安排。
最后，明确了本文的目的，即探讨二维有限差分矩阵的构建方法。
正文部分主要包括两个部分：二维有限差分方法简介和二维有限差分矩阵的构建。
在第2.1节中，我们将对二维有限差分方法进行简要介绍，包括其基本原理和步骤。
我们将详细解释如何将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，并介绍如何选择合适的差分格式和网格划分方法。
二维波动方程的有限差分法
告实验报学生偏微分方程数值解实验课程名称开课实验室数统学院信计02班专业班院数统年级2013 学学号姓学生名学年第2016 2 学期开课时间2015 至总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间2016年6月20日：kkjikkk1kk?1k?kkk u??2uuu?2u?2u?uu?u,j?,iji,,ijj1ij?1,i,ij,jii?1,jj,?1i??（2）?????kk?1k21kkkk2）3（uu???u??u?ruuu?24r222?hh整理得到：j,ij,i1?j,i1?j,ij1,?ij1,?ij,i????，差分格式为：kkkk（4）,140?0,k?0,1,u?u?u?u N0,0,N0,N,0N考虑初始条件y?sinsinuxx,y,0????????0????（5）,10usin?sin0,1,xjsinjh?y,?sini,ih jjii,2??????，利用二阶差商近似：考虑初始条件0,1?,y,0,?0,yuxxt1?1u?u j,jii,?0,i,j?0,1,,10（6）?2设时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到：0k?????002211?000（7）u?uu?u4?ur??u2?r?u j,iii,,jj?j?i1?1,j1i,?1,jjii,11?uu?代入（将（6）得到的结果7）中，整理得到：ji,ji,1????01202000）（8?u?1??u2rru?uu?uj,j?1i,1,jjii,j?1?i1,j,ii?2 8）得到三层显格式的差分格式为：（4）、（5）、（综上（2）、??????1kk2kkk2kk?1u?u???uu4?urr?2u?u i,ij?1,,ii,,jj?1i?1,jji?1,jji?i,j?1,2,,9,k?1,2,,139??kkkk?u?u?u?u,1 40?0,k?0,1,（9）N0,N,0NN0,0,?????????0?????,i,jih?u?sinsinx0,1,sin,10jhy?sin jji,i?1?????02102000,10?0,1,uu,?ui?1?2ru?,ruj?u??1j?1i,ijii?,j1,j,j?ii,j?1,?2???22?0.1?r?其中，局部截断误差为ho?。
二维波动方程地有限差分法
实用文案
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013 专业班信计02班
学生姓名学号
开课时间2015 至2016学年第 2 学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日
五．实验结果及实例分析
1、0.10.51.01.4
t 、、、时刻的数值解与精确解图
图1 t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解
图2 t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解
注：上两图为四个时刻的数值解与精确解，()1
0.12r p p h
p
τ
=
=<
=代表维数，本文 ，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。
下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。
2、0.10.51.01.4t =、、、时刻的绝对误差图。
泊松方程的有限差分方法及快速实现
收稿日期：2021-04-09作者简介：刘昊（1995-），男，宁夏吴忠人，硕士研究生。
泊松方程的有限差分方法及快速实现刘昊，张荣培，霍俊蓉（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110136）摘要：针对d 维（d =1,2,3）带有Dirichlet 边界的泊松方程，设计一类快速求解方法。
首先采用有限差分方法将方程离散，利用Kronecker 积的性质将离散后的方程进行矩阵分解，进而应用快速离散正弦变换（DST ）方法进行有效求解。
数值实验结果表明，该方法可快速求解d 维泊松方程，并验证了其准确性和有效性。
关键词：泊松方程；有限差分；Crank -Nicolson 方法；离散正弦变换中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）04-0091-06DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.04.018第17卷第4期2021年10月Vol.17No.4Oct.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）泊松方程是常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，在无引力源的情况下，ΔΦ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，ΔΦ=f （f 为引力场的质量分布）。
该方程通常用格林函数法求解，也可以采用分离变量法和特征线法求解［1］。
带有规则区域Dirichlet 边界条件的泊松方程：ìíîïï-Δu =f (x )u|∂Ω=g (x )（1）式中，Δ表示拉普拉斯算子；x ∈Ω；Ω⊂R d ；当d =1时，Δu =u xx ；当d =2时，Δu =u xx +u yy ；当d =3时，Δu =u xx +u yy +u zz 。
由于带有Dirichlet 边界的泊松方程的解析解不容易求出，一般情况下采用有限差分法、有限元法和有限体积方法的数值方法进行求解［2-4］。
二维有限差分法
二维有限差分法
二维有限差分法是一种用于求解二维偏微分方程的数值解法。
它将待求解区域分割成有限个网格点，并利用差分近似方法将偏微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。
具体来说，二维有限差分法将二维区域 $\Omega$ 划分成
$M$ 个横向离散点和 $N$ 个纵向离散点，得到一个 $M \times N$ 的网格。
偏微分方程在网格上被离散化为一组代数方程，其中每个网格点的解被近似表示为该点以及周围点的函数值。
在二维有限差分法中，常用的差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分等。
通过差分近似，偏微分方程中的导数被转化为差分系数的线性组合。
然后，可以得到一个线性方程组，其中每个网格点的系数由该点周围网格点的差分系数决定。
解这个线性方程组可以使用迭代方法，如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代或SOR（逐次超松弛法）迭代等。
迭代过程一般需要设定迭代停止条件，比如迭代次数的上限、残差的收敛精度等。
通过二维有限差分法，可以求解各种边界条件下的二维偏微分方程，比如泊松方程、热传导方程、扩散方程等。
它是一种经典且简单实用的数值方法，广泛应用于科学计算和工程领域。
泊松方程有限差分
泊松方程有限差分在这篇文章中，我们将探讨泊松方程的有限差分方法。
有限差分是一种数值解微分方程的方法，它将方程中的微分算子用差分算子来近似表示，从而将连续空间中的问题转化为离散空间中的问题。
首先，我们先来回顾一下泊松方程的一般形式。
泊松方程通常可以写为：∇^2φ = -ρ其中，∇^2表示拉普拉斯算子，φ是待求解的标量场，ρ是源项。
在物理学中，φ通常代表电势、温度或者密度等物理量，而ρ则表示外部的电荷密度、热源或质量密度等。
对于一个给定的区域Ω上的泊松方程问题，我们要求解φ满足泊松方程以及边界条件。
边界条件通常给出了φ在Ω的边界上的数值或者导数信息。
在有限差分方法中，我们首先需要将问题的空间离散化。
设Ω是一个二维区域，我们用一个网格来离散Ω。
假设Ω上有N个网格点，我们用(i,j)来表示第i行第j列的网格点，并假设Ω被水平方向和竖直方向的线段分别分成了M+1和N+1个小区间。
接下来，我们需要定义泊松方程的差分格式。
对于一个给定的网格点(i,j)，我们可以用中心差分来近似拉普拉斯算子∇^2：∇^2φ(i,j) ≈ (φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2其中Δx和Δy分别是水平和竖直方向上的网格间距。
通过这样的近似，我们可以得到φ在点(i,j)的近似解。
然后，我们将泊松方程中的微分算子用差分算子来替代，得到离散的泊松方程格式：(φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2 = -ρ(i,j)这就是泊松方程的有限差分格式。
通过对所有网格点应用这样的格式，我们可以得到一个关于φ(i,j)的代数方程组。
通过求解这个方程组，我们就可以得到φ在整个Ω上的近似解。
在实际计算中，我们通常采用迭代方法来求解这个代数方程组。
泊松方程的数值解法
泊松方程是偏微分方程的一种常见形式，描述的是电荷分布与电场分布之间的关系。
在二维情况下，它通常被写为：$$\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = -4 \pi \rho(\mathbf{r})$$其中$u(\mathbf{r})$ 是电势，$\rho(\mathbf{r})$ 是电荷密度，$\mathbf{r} = (r,\theta)$ 是位置向量。
一般来说，直接求解泊松方程是困难的，因此我们常常需要借助数值方法。
常见的数值方法包括有限差分法（Finite Difference Method，FDM），有限元法（Finite Element Method，FEM）和有限体积法（Finite V olume Method，FVM）等。
以下我们给出有限差分法和有限元法的基本步骤。
**有限差分法（FDM）**1. 将求解区域划分为网格。
2. 用差分近似替代偏导数。
例如，$\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u(i+1,j) - u(i-1,j)}{2 \Delta x}$，其中$\Delta x$ 是网格尺寸。
3. 将原方程写成差分方程的形式，然后求解这个离散方程。
例如，对于二维的泊松方程，我们可以写成一个线性方程组。
4. 对于边界条件，通常需要将边界条件离散化。
例如，如果边界条件是$u(x,y) = g(x,y)$，那么我们可以将其写为$u(i,j) = g(i,j)$。
5. 使用迭代法（如Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法等）或者直接求解器（如Gauss消元法）来求解这个线性方程组。
**有限元法（FEM）**1. 将求解区域划分为网格，每个网格称为一个元素。
二维泊松方程的差分格式有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2
x 2
2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
Kn )
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格, 差分格式为:
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2.边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域, 差分格式为
•
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式:
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
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高斯—赛德尔迭代法
• 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节
点电位满足
(k1) i, j
i(为,kj) 止 。
⑵超松弛迭代法
(k 1)
(k)
4 [ Fh 4 ] i, j
பைடு நூலகம்
i, j
(k 1)
(k 1)
启动
其程序框图如下：
赋边界节点已知电位值
赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一 次迭代，求i(,Nj 1)
Y
N
所有内点
相邻二次迭代值的最大误差
是否小于
打印 N，(i, j) 停机
⑴高斯——赛德尔迭代法
(k1) i, j
1[ 4
(k 1)
i1, j
(k 1)
i, j 1
(k )
i1, j
(k) i, j1
Fh2
]
式中：i, j 1, 2,，k 0, 1, 2, • 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。
K0 K!
(x
x0 )K
0(( x
x0 )n )
(3)
将 x 和x1 分x别3 代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
)0
3
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
2 2
x 2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
设函数 在x0处可微 , 则沿x方向在 x0处的泰勒公式展开为
x
n (K )
h2
3
（9）
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 Fh2
0
1 4
(1
2
3
4
Fh2 )
当场域中 ，0 得到拉普拉斯方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 0
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格，差分格式为：
1•
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)20
F
2. 边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域，差分格式为
•
0
1 4
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中： ——加速收敛因子 (1 2)
• 迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
h3
(
3
x3
)0
（4） （5）
由（4）–（5）
( x )xx0
1 3
2h
由（4）+ （5）
同理
2
( x2 )xx0
1
20
h2
3
( y ) y y0
1 3
2h
（8）
（6）
（7）
2
( y 2 ) y y0
1
20
§3.7 有 限 差 分 法
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种
数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
最佳收敛因子的经验公式：
0
2
1 sin(
)
p
0 2
2
1 p2
1 q2
（正方形场域、正方形网格） （矩形场域、正方形网格）
• 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；
•
迭代收敛的速度与工程精度要求有
。 (N1)
(N)
i, j
i, j
借助计算机进行计算时，
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：
( n )0
1 0 h
f2
, 0 1 f2h
⑷介质分界面衔接条件的差分格式
0
1 4
(2 1 K
1
2
2K 1 K
3
4 )
,
其中
K a b
边界条件的离散化处理
3. 差分方程组的求解方法