高精度差分格式及湍流数值模拟(一)

一、 前言
• 计算流体力学: Computational Fluid Dynamics 简称CFD
计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控 制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此 预测流体运动规律的学科
CFD: 通过离散求解流动方程得到流动信息
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流体力 学问题
2） 高阶保单调格式
f x j
f j1/2 f j1/2 x
高阶方法：光滑区 精度高 但鲁棒性差
低阶方法： 精度低 但鲁棒性好
保单调限制器示意图
基本思路： 低阶方法形成一个“保单调区间”，对高阶方法进行限制
Suresh A & Huynh HT (1997)
3 阶格式构建保单调区间 （极值点3阶精度）
u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7
6
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
优点： 对网格光滑性要求不高，可处理复杂外形 不足： 推广到高阶精度难度大
0
1
x0 , y0
➢高精度差分法： 复杂流动的精细模拟 典型应用： 湍流精细模拟 （直接数值模拟、 大涡模拟）
湍射流的涡量分布：DNS
RANS
➢ 湍流精细模拟 与 高精度格式
➢ 激波给可压湍流DNS的数值方法带来巨大挑战 矛盾： 低耗散 vs. 抑制振荡（需要耗散）
ki
3 2.5
2
1st order upwind 2nd order center 3rd order upwind 5th order upwind 5th order upwind compact 6th order central 6th order central compact exact
—— 得到多个差分
{j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2}
5）根据每个模板的光滑程度，设定权重
{j-3,j-2,j-1,j}； {j-2,j-1,j,j+1}； {j-1,j,j+1,j+2}
6） 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越高，
权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋于0；
如果都光滑，则组合成更高阶格式。
有限差分法 有限体积法 有限元法 间断有限元 法(DG) 谱方法 粒子类方法
优点 简单成熟，可构造高精度 格式 守恒性好，可处理复杂网 格 基于变分原理，守恒性好
精度高、守恒性好、易于 处理复杂网格
精度高
算法简单，可处理复杂外 形
缺点
适用范围
处理复杂网格不够 相对简单外形的
灵活
高精度计算
不易提高精度（二 复杂外形的工程 阶以上方法复杂） 计算
网络中心培训讲座
高精度差分格式及 湍流数值模拟
李新亮 中国科学院力学研究所
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
✓ 紧致格式： 同样的基架点，可构造更高阶格式 （因为自由参数更多）
Lele SK. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computing Physics 1992; 103:16–42. Fu D., Ma Y., A High Order Accurate Difference Scheme for Complex Flow Fields, put. Phys., 1997, 134:1-15.
U F1 F2 0 t x y
坐标变换 计算空间
每一维独立处理 一维重构（一维Taylor展开）
例如：
f x
j
a1 f j2
a2
f j1
a3
fj
a4 f j1
f j ( f j+1 f j1) / 2x
5 阶迎风差分格式
f j (2 f j3 15 f j2 60 f j1 20 f j 30 f j1 3 f j2 ) / 60x
五个基架点被分成三个组
2) WENO格式的原理描述
注： 为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采 用下一节介绍的守恒形式
考虑线性单波方程：
u a u 0 (1) x x
a0
计算 u
x j
（1） 确定网格基架点： 6个点 {j-3 , j-2,j-1,j,j+1,j+2} 构造出该基架点上的目标差分格式
➢ 2003年以前， 多采用人工粘性（或滤波); 近期, 多采用WENO 格式 不足： 耗散较大， 计算量大
➢ 新方法： 迎风紧致格式；群速度控制格式； 加权群速度控制格式(WGVC-M); 优化的保单调格式OMP; 优化的MUSCL方法
二、 高精度、高分辨率差分格式
1. 格式的精度、 分辨率及优化 1) 差分格式精度： 截断误差的阶数
B) 并行方法2： 数据重分布 计算x方向导数时： 数据按行分割
52 Fij 3 dij 3 Fi1 j
计算y方向导数时： 数据按列分割
Fij
5 3
dij
2 3
Fij 1
CPU 0 CPU 1 CPU 2
CPU 0 CPU 1 CPU 2
优点： 子步内部没有并行效率损失 不足： 需要数据重新分布， 数据交换量较大
● 航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件
波音777
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波音787
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CFD 面临的挑战及主要任务：
➢复杂流动的数学模型
湍流的计算模型； 转捩的预测模型； 燃烧及化学反应模型； 噪声模型……
➢ 高精度高效算法
高精度激波捕捉法；
u(x j ) eikxj
du ikeikxj dx
uj
k x
eikx j
k kr iki 修正波数 k ikx i
精确解 差分解
耗散误差
ki
色散误差
1st order upwind
2nd order center
3
3rd order upwind
5th order upwind
5th order upwind compact
后面的数据必须等待前一步计算完成，难以直接并行
B) 并行方法1： 流水线法
流水线示意图 步骤：
1) 计算 d(:,:) 2) for k=1,M
{ 如果 myid=0, 计算 F(k,0), 否则 从myid-1接收 F(k,0); for i=1,N1 (N1=N/P) 计算 F(k,i); 如果myid ≠P-1 向 myid+1 发送 F(k,N1) } 优点： 无需数据重分布； 不足： 有并行效率损失， 并行数难以放大
1.5
1
0.5
00
1
2
3
2. 常用的高分辨率格式 1） 紧致格式
✓引入导数信息、 联立求解
j-1
j
j+1
Fj
f x
j
普通格式： Fj =af j1 bf j cf j1
显式给出差分表达式；
紧致格式： Fj1+Fj + Fj1=af j1 bf j cf j1 隐式给出差分表达式；
6阶对称紧致 1/ 3Fj1 Fj 1/ 3Fj1 (28( f j1 f j1) ( f j2 f j2 )) / 36x 5阶迎风紧致 2 / 5Fj1 3/ 5Fj (3 f j1 44 f j1 36 f j 12 f j1 f j2 ) /120x
ln(x)
2) 差分格式的分辨率
精度： 充分小网格 情况下的误差特性 分辨率： 有限尺度网格 情况下的误差特性
x 0
例：
格式1 格式2
u x
j
a1u j3
a2u j2
.......10
5u x5
x4
u x
j
b1u j3
b2u j2
....... 0.1
4u x4
x3
间断有限元法; 大规模代数方程组高效解法 ……
➢ 复杂外形、复杂网格处理方法
自适应网格； 直角网格，浸入边界法； 无网格法； 粒子算法；
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传统计算方法： 有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等； 最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格
2.5
6th order central 6th order central compact
exact
2
1.5
5% 误差
1
0.5
00
1
2
3
4） 分辨率优化
原则： 牺牲精度、提高分辨率
方法： 1） 构造含自由参数的差分格式 u j F ( ,uk ) 2） 计算出格式的色散、耗散误差特性； 3） 调整自由参数，使得色散、耗散特性最优
1
10个点