CahnHilliard方程的高精度数值方法
forward-backward热方程和cahn-hilliard方程的数值分析
forward-backward热方程和cahn-hilliard
方程的数值分析
Forward-Backward热方程与Cahn-Hilliard方程都是广为应用的
非线性对流扩散方程，它们在化学、生物学、物理学等领域都有重要
的用途。
这两个方程看似相似，但是用法却有区别。
本文将简要介绍Forward-Backward热方程和Cahn-Hilliard方程的数值分析。
Forward-Backward热方程是一种热传导方程，用于模拟气体或
液体中热量的运动过程。
它建立了一种特殊的对流扩散方程，可以描
述物质的温度场随时间及空间的变化。
为了解决这种方程的精确解，
比较常用的是有限差分法和有限元法，这两种方法可以得到精确的解
析解。
而Cahn-Hilliard方程方程是一种非线性扩散方程，它建立在考
虑物质温度场以及如何在空间和时间上交互传递热量的基础之上。
它
以用于模拟物质的有序化程度，以及解决传热学问题的层面上的解，
诸如体内物质的可溶性度、溶解度和比容等主要指标的测定以及预测。
由于其非线性性，Cahn-Hilliard方程的数值分析比较困难，比较常用
的有有限域方法和隐式有限体积法，这两种方法都可以得到较为精确
的解。
总而言之，Forward-Backward 热方程和Cahn-Hilliard 方程都是
对流扩散方程，用来模拟热量运动过程和物质温度状态变化，但它们
的用法和解法有所不同。
两者的数值分析方法，比如有限差分法和有
限元法、有限域法和隐式有限体积法，都可以满足各种场合的精确解
析要求。
《Ericksen-Leslie方程和粘性Cahn-Hilliard方程的二阶有限元数值算法》范文
《Ericksen-Leslie方程和粘性Cahn-Hilliard方程的二阶有限元数值算法》篇一Ericksen-Leslie方程与粘性Cahn-Hilliard方程的二阶有限元数值算法一、引言在物理、化学和材料科学等领域，Ericksen-Leslie方程和粘性Cahn-Hilliard方程是描述复杂流体和相变现象的重要数学模型。
本文旨在探讨这两个方程的二阶有限元数值算法，并对其实现过程及效果进行详细分析。
二、Ericksen-Leslie方程与粘性Cahn-Hilliard方程简介1. Ericksen-Leslie方程：描述了液晶材料中分子取向场的变化过程，对于理解液晶的动态行为具有重要意义。
2. 粘性Cahn-Hilliard方程：用于描述多相系统中的相变过程，特别是在具有复杂界面相互作用的情况下。
三、二阶有限元方法二阶有限元方法是一种求解偏微分方程的数值技术，通过将连续问题离散化，将偏微分方程转化为线性代数系统进行求解。
该方法具有较高的求解精度和灵活性。
四、Ericksen-Leslie方程的二阶有限元数值算法1. 离散化：将Ericksen-Leslie方程的求解区域划分为有限个单元，每个单元上定义一个近似解。
2. 空间离散化：在每个单元上使用二阶有限元基函数进行空间离散化。
3. 时间离散化：采用合适的离散时间步长，将时间域划分为多个子区间，并使用合适的离散化方法进行时间推进。
4. 求解线性代数系统：根据二阶有限元方法的原理，将Ericksen-Leslie方程转化为线性代数系统进行求解。
五、粘性Cahn-Hilliard方程的二阶有限元数值算法1. 类似地，首先将粘性Cahn-Hilliard方程的求解区域进行空间和时间离散化。
2. 在每个单元上定义适当的基函数，用于描述解的变化。
3. 使用二阶有限元方法将偏微分方程转化为线性代数系统。
4. 通过迭代法或直接法求解线性代数系统，得到数值解。
【国家自然科学基金】_cahn-hilliard方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7
2014年 科研热词 破裂 相场方法 界面 数学模型 数值模拟 变形 匀强电场 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2011年 科研热词 推荐指数 黏性cahn-hilliard方程 1 相分离 1 爆破 1 浓度相关黏性系数 1 模拟 1 模型 1 lb方法 1 cahn-hilliard方程 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 cahn-hilliard方程 稳定性 矩形morley元 相场法 生长动力学 数值模拟 形貌演化 局部间断galerkin方法 半离散 共格沉淀相 niti形状记忆合金
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词 推荐指数 高精度 1 连续相场模型 1 计算机模拟 1 相场模型 1 生长指数 1 收敛性 1 扩散界面近似 1 微观结构演化 1 半隐式的预估-校正谱格式 1 低体积分数 1 ostwald熟化 1 cahn-hilliard方程 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7
科研热词 推荐指数 等规聚丙烯/二元乙丙橡胶合金 1 等温结晶 1 相形态 1 相分离 1 nirenberg不等式 1 leray-schauder不动点定理 1 cahn-hilliard方程 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 解的存在惟一性 渐近性态 渐近估计 浓度相关迁移率 梯度相关位势 吸引性 cahn-hilliard方程 cahn-hilliard型方程
cahn-hilliard方程三种半隐格式的稳定性和误差分析
cahn-hilliard方程三种半隐格式的稳定性和误差分析
Cahn-Hilliard方程是一种用于模拟多相材料的微观结构变化的重要方程，它可以用来模拟材料的相变、结晶和析出等过程。
Cahn-Hilliard方程的数值求解可以采用隐式格式和半隐式格式。
其中，半隐式格式可以分为三种：第一种是普通的半隐式格式，第二种是改进的半隐式格式，第三种是改进的半隐式格式，其中改进的半隐式格式又可以分为两种：一种是改进的半隐式格式，另一种是改进的半隐式格式。
普通的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的最简单的数值求解方法，它的稳定性取决于时间步长的选择，当时间步长选择得当时，普通的半隐式格式可以得到较好的稳定性。
但是，普通的半隐式格式的误差较大，因此，它不能很好地模拟Cahn-Hilliard方程的实际物理过程。
改进的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的一种改进方法，它可以改善普通的半隐式格式的稳定性和误差。
改进的半隐式格式可以通过改变时间步长和空间步长来改善稳定性，并且可以通过改变空间步长来改善误差。
此外，改进的半隐式格式还可以通过改变空间步长来改善精度。
最后，改进的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的一种改进方法，它可以改善普通的半隐式格式的稳定性和误差，并且可以提高精度。
因此，改进的半隐式格式是Cahn-Hilliard方程的一种有效的数值求解方法。
《常系数和变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法》范文
《常系数和变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法》篇一一、引言Cahn-Hilliard方程是描述相分离过程的非线性偏微分方程，在材料科学、物理、化学等领域具有广泛的应用。
方程的系数可能为常数或随时间和空间变化，因此需要发展针对不同情况的数值方法。
本文将主要讨论常系数和变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法。
二、常系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法对于常系数粘性Cahn-Hilliard方程，我们采用隐式二阶时间离散方法和空间上的有限差分法进行数值求解。
首先，将方程在时间上进行离散，然后通过傅立叶变换或有限差分法在空间上进行离散。
在隐式离散过程中，我们利用前一个时间步的解来预测当前时间步的解，从而得到一个线性系统，该系统可以通过迭代法求解。
在空间离散过程中，通过合适的有限差分近似得到二阶精度空间导数。
通过结合这两种离散方法，我们得到常系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法。
三、变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法对于变系数粘性Cahn-Hilliard方程，我们采用自适应网格和时间步长的方法来处理变系数。
首先，根据变系数的变化情况，动态调整空间和时间网格的分辨率。
在每个时间步内，我们采用与常系数情况类似的隐式离散和有限差分法进行求解。
同时，为了更好地处理变系数带来的复杂性，我们引入了自适应算法来调整时间步长和空间网格的分辨率。
通过这种方法，我们可以得到变系数粘性Cahn-Hilliard方程的二阶数值方法。
四、数值方法的实现和验证为了验证上述方法的正确性和有效性，我们分别对常系数和变系数的Cahn-Hilliard方程进行了数值模拟。
通过与已知的解析解或实验数据进行比较，我们发现该方法能够有效地模拟Cahn-Hilliard方程的相分离过程，并具有较高的精度和稳定性。
此外，我们还对不同参数下的Cahn-Hilliard方程进行了模拟，以验证该方法在不同情况下的适用性。
基于能量不变二次化法的Cahn-Hilliard方程的数值误差分析
华南师范大学学报(自然科学版)Journal of South Chisa Normal University (Natural Science Edition)2020,52(6)：90-96doi ： 10.6054/j6—nun2020099基于能量不变二次化法的Cadn-Hi —iard 方程的数值误差分析姚廷富**,李顺利收稿日期：2220-23-24《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http :〃joupO-sJcssedscu基金项目：国家自然科学基金项目(10761616);贵州省教育厅自然科学研究项目(黔教合KY 字[2015]112);贵州省贵阳市科技局贵阳学院专 项基金项目(GYU-KYZ[ 2216-2620] PT06-10);贵阳学院信息与计算科学专业综合改革项目*通信作者:姚廷富，副教授,Email :y —**************.(贵阳学院数学与信息科学学院，贵阳552065)摘要:基于能量不变二次化方法，构造了一个求解Cabn-HO/rd 方程的线性数值格式，该线性数值格式对非线性项 半显式处理，每步迭代相应的半离散化方程只需要求解一个线性方程;证明了该线性数值格式是无条件能量稳定的，而且是唯一可解的；讨论了该线性数值格式在时间方向的误差估计.数值例子表明：该线性数值格式的数值解在时间方向上基本达到二阶精度，能够有效模拟相位变化过程.关键词：误差分析；能量不变二次化法；CaPn-Hill/rd 方程中图分类号：020126 文献标志码：A 文章编号：1000-5463(2020)06-0090-07An Erroo Analysit of a NumeOcal Scheme foo the Cahn-Hiniani Equation Basee onthe Invariane Eneroy Quadrotization AppoachYAO Tii/fu * , LI Shunli(College of MaOema/cs and Info —atiou Science , Guiyang University, Guiyang 552065 , Chisa)Abstroct : A sgvai /s/r nsmekcai schemv for thv Cabs-Hil/ard eqbOOb is costpc —d with thv invakant energc quadratization abpmach. Alt bou/begf tepns in this schemv are treated semO/p/i —y and thv resulting semi-dis-cretv /bOVu f —s a /seur system at each time step. It is p —ved that thv pmuoseU schemv is energc-stabiv us- coubitioual i c and solvable uSquPc. Thv er —r estimate of thv nsme —at schemv far thv Cadn-Hi —iard equOOb isdiscussed. Nume —at examples show that thv nsmekcai solution of thv Us/r nsmekcai schemv boVa/y achievvsthv s/anb-opgr ocupcy in thv time direction and can ePectively simulatv thv phase changv ppcss.Keyworac : vr —r analysis ; invakant ospy quOp/zOVu opmoh ; Cadn-Hi —/rd vusOOnCabn-Hi —iard 方程在流体力学中具有重要应用,并被许多学者广泛研究.如:应用Cabs-Hil/ard 理论建立非局部反应扩散模型并采用其渐进展开式与多时间尺度去分析该模型⑴；应用Cabs-Hil/ard 方程 表示拓扑相变，并分析如何模拟3个不能混合的流 在陡峭界面的运动⑵；应用Cabs-Hil/ard 方程描述不可压缩的流体扩散界面以及相位场[39]；分析 Al/n-Cahs 方程"u 二血+小4“")-s% ())在含无流边界条件的有界闭域上的质量守恒性,其中,s (、 是/("( - ,1))的平均值，-/是双等位势函数的导子⑹；讨论容器带有密度的相位场用平均曲率流近似[4];给出容器卩的自由能量表达式:(F 0(c t++(V C )0)UF ,其中，卩表示非均匀结构或非均匀密度的各向同性的空间几何体，叫表示每单位体积的分子数,&C 表示结构梯度或密度梯度,F 1表示对应均匀系(齐次系统)的每分子的自由能2是一个参数⑺；基于二 阶平均向量场方法和拟谱方法，构造了具有多辛结 构的复修正KUV 方程新的数值格式,证明了该格式能保方程离散的整体能量守恒特性[5];采用能量不第2期姚廷富等：基于能量不变二次化法的Cabu-Hill—rd方程的数值误差分析91变二次化法来解决一些微分方程的数值近似1-7.yang等[2]利用能量不变二次化方法,设计了一阶和二阶的时间离散格式，以求解三组分Cahn-HilCard方程,但没有考虑时间方向的误差估计.因此,本文基于能量不变二次化方法,对一类非三组分的具有能量泛函E(如=£{y&如0+F(e))dx的Cabn-Hil/ard方程血=-A0^+AF'(构造线性数值格式，并讨论该数值格式在时间方向的误差估计6为了便于构造线性数值格式，将CaOn-Hilliar-方程血=-A2$+AF'(如变形为方程组严皿⑴b=-A0+F，(⑹,其中,F'(历=/(0)=e5-e，F(如是非线性的光滑的位势函数,S2是用的闭集；0(X,)(%e Q,t!(0, T])是混合物中某种物质的浓度,®是化学势.1能量不变二次化法本节采用能量不变二次化法分析CaOn-HilliraO 方程的数值近似.能量不变二次化法⑼是指通过变量代换将自由能被积函数变成新变量的二次函数,变换后的能量函数满足能耗规律(Enerpe Dissipation Law)-本文所用的部分记号如下：41x)与g(x)的L2内积为(/(x),g(x))=L/(x)g(2)d x(xe^CR0)；/(X)的L2范数为11/||=槡"；(如=/F(0)+B；g(0)=2cg(0)=-d0/F(0)+B于是,方程组(1)可以写成：'0t=Aa,<®=-A0+g(0)g(0),(2)%==]g(0)0，满足初始条件：01=0=02,s I=0=/F(00)+B,并满足以下其中一个边界条件：(—在边界3/2上,0和3都是周期性的；r v无流边界，即0”0|辺=。
黏性Cahn-Hilliard方程的二阶BDF数值格式
第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022453黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式郭 媛,王旦霞,张建文(太原理工大学数学学院,太原030024)摘要:采用有限元方法对黏性C a h n -H i l l i a r d 方程进行数值求解.首先,引入辅助变量L a g r a n g e 乘子r ,得到黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的等价形式;其次,在空间上采用混合有限元逼近,时间上采用隐式向后差分公式(B D F )进行离散,给出黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶线性有限元数值格式,并分析所给格式的无条件能量稳定性和误差估计;最后,通过一系列数值算例验证所给格式的精确性和有效性.结果表明,该数值格式是理想的,并具有同时满足线性㊁无条件能量稳定和二阶精度的特点.关键词:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程;L a g r a n g e 乘子;向后差分公式(B D F );无条件能量稳定中图分类号:O 221.6 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1063-10S e c o n dO r d e rB D FN u m e r i c a l S c h e m e f o rV i s c o u sC a h n -H i l l i a r dE qu a t i o n G U O Y u a n ,WA N G D a n x i a ,Z H A N GJ i a n w e n(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,T a i y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,T a i yu a n 030024,C h i n a )A b s t r a c t :W eu s e df i n i t ee l e m e n t m e t h o dt on u m e r i c a l l y s o l v et h ev i s c o u sC a h n -H i l l i a r de q u a t i o n .F i r s t l y ,t h ee q u i v a l e n t f o r m o f t h ev i s c o u sC a h n -H i l l i a r de q u a t i o n w a so b t a i n e db y i n t r o d u c i n g t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r r o ft h ea u x i l i a r y v a r i a b l e .S e c o n d l y,t h es e c o n do r d e rl i n e a rf i n i t ee l e m e n t n u m e r i c a l s c h e m e f o r t h e v i s c o u sC a h n -H i l l i a r d e q u a t i o nw a s g i v e nb y u s i n g t h em i x e d f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i n s p a c ea n d t h e i m p l i c i tb a c k w a r dd i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a (B D F )f o rd i s c r e t i z a t i o n i n t i m e ,a n d t h e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i n e n e r g y a n d e r r o r e s t i m a t i o n o f t h e g i v e n s c h e m ew e r e a n a l yz e d i nd e t a i l .F i n a l l y ,a s e r i e s o f n u m e r i c a l e x a m p l e sw e r e u s e d t o v e r i f y t h e a c c u r a c y a n d e f f e c t i v e n e s s o f t h e g i v e n s c h e m e .T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e p r o po s e d n u m e r i c a ls c h e m ei si d e a la n d h a st h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s i m u l t a n e o u s l y s a t i s f y i n g l i n e a r ,u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i ne n e r g y a n ds e c o n do r d e r a c c u r a c y.K e y w o r d s :v i s c o u s C a h n -H i l l i a r de q u a t i o n ;L a g r a n g e m u l t i p l i e r ;b a c k w a r dd i f f e r e n t i a t i o nf o r m u l a (B D F );u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i ne n e r g y收稿日期:2022-11-18.第一作者简介:郭 媛(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事偏微分方程数值解的研究,E -m a i l :1536163088@q q .c o m.通信作者简介:王旦霞(1979 ),女,汉族,博士,教授,从事偏微分方程数值解的研究,E -m a i l :2621259544@q q .c o m.基金项目:国际合作基地与平台项目(批准号:202104041101019)㊁山西省回国留学人员科研项目(批准号:2021-029)和山西省自然科学基金面上项目(批准号:202203021211129).0 引 言经典C a h n -H i l l i a r d 方程用于描述非均匀体系中的相分离和粗化现象[1-3].黏性C a h n -H i l l i a r d 方Copyright ©博看网. All Rights Reserved.程[4]是对经典C a h n -H i l l i a r d 方程的推广.目前,关于黏性C a h n -H i l l i a r d 方程数值解法的研究已得到广泛关注.文献[5]基于标量辅助变量方法构造了黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的一阶和二阶数值格式;文献[6]给出了时间双层网格的有限元数值方法;文献[7]对带有非恒定梯度能量系数的黏性C a h n -H i l l i a r d 方程建立了有限元数值格式;文献[8]使用凸分裂方法提出了有限差分格式,并证明了所提格式是无条件能量稳定的.求解黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的关键是如何在保持能量稳定性的条件下,对非线性项进行线性离散.本文采用文献[9]的L a g r a n g e 乘子方法,在黏性C a h n -H i l l i a r d 方程中构造线性数值格式.引入L a g r a n g e 乘子黏性C a h n -H i l l i a r d 方程如下:ut =Δw ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ],w =-ε2Δu +r u +βu t ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ],12r t =u u t ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ìîíïïïï],(1)其边界条件和初值条件分别为∂n u =∂n w =0,(x ,t )ɪ∂Ωˑ(0,T ],u (x ,㊃)=u 0(x ),x ɪΩ{,其中Ω⊂ℝ2,u t =∂u ∂t,r =u 2-1,ε是测量界面厚度的正参数,n 是单位外法向量,β>0是黏性参数,u 是混合物中某种物质的浓度,w 为化学势.模型(1)的能量函数定义[10]为E =ʏΩε22∇u 2+14r æèçöø÷2d x ,满足能量耗散定律d E d t=- ∇w 2-β u t 2ɤ0,并且是质量守恒的,即(u (㊃,t ),1)=(u 0,1).本文首先给出模型(1)的半离散格式和全离散格式;其次给出能量稳定性分析及所提格式的二阶收敛估计;最后给出一些数值算例证明所提格式的精确性和有效性.1 离散格式设L 2(Ω)是平方可积的函数空间,其内积和范数分别定义为(u ,v )=ʏΩu (x )v (x )d x 和 u =(u ,u ),H 1(Ω)是通常的S o b o l e v 空间,其范数定义为 u H 1=ʏΩu 2d x +ʏΩD u2d ()x1/2.1.1 半离散格式模型(1)的混合弱形式为(u t ,v )+(∇w ,∇v )=0, ∀v ɪH 1(Ω),(2)(w ,ψ)-ε2(∇u ,∇ψ)-(r u ,ψ)-β(u t ,ψ)=0, ∀ψɪH 1(Ω),(3)12(r t ,p )-(u u t ,p )=0, ∀p ɪH 1(Ω).(4)把时间区间[0,T ]做一致划分0=t 0<t 1< <t N 1=T ,其中N 1是一个正整数,时间节点满足t i =i τ,τʒ=t i +1-t i ,i =0,1, ,N 1,τ是时间步长.考虑模型(1)的半离散格式,即给定u n -1,un ,求u n +1满足(D τu n +1,v )+(∇w n +1,∇v )=0,∀v ɪH 1(Ω),(w n +1,ψ)-ε2(∇u n +1,∇ψ)-( u n +1r n +1,ψ)-β(D τu n +1,ψ)=0, ∀ψɪH 1(Ω),12(D τr n +1,p )-( u n +1D τu n +1,p )=0, ∀p ɪH 1(Ω),4601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中D τu n +1ʒ=3u n +1-4u n +u n -12τ,n ȡ1,u 1-u 0τ,n =0ìîíïïïï, D τr n +1ʒ=3r n +1-4r n +r n -12τ,n ȡ1,r 1-r 0τ,n =0ìîíïïïï, un +1ʒ=2u n -u n -1,n ȡ1,u 0,n =0{.1.2 全离散格式设T h =K 是区域Ω上的拟一致剖分,h i 表示网格大小,h =m a x 0ɤi ɤN 2h i ,N 2是一个正整数,S h 是分片连续的有限元空间,定义为S h ={v h ɪC (Ω)v hKɪP k (x ,y ),K ɪT }⊂H 1(Ω),这里P k (x ,y )是x ,y 的次数不超过k ɪℤ+的多项式集合.定义L 20ʒ={u ɪL 2(Ω)(u ,1)=0},̇S h ʒ=S h ɘL 20(Ω).构造模型(1)的全离散格式,即给定u n -1h和u n h ,求u n +1h满足(D τu n +1h ,v h )+(∇w n +1h ,∇v h )=0, ∀v h ɪS h ,(5)(w n +1h ,ψh )-ε2(∇u n +1h ,∇ψh )-( u n +1h r n +1h ,ψh )-β(D τu n +1h ,ψh )=0, ∀ψh ɪS h ,(6)12(D τr n +1h ,p h )-( u n +1h D τu n +1h ,p h )=0, ∀p h ɪS h .(7)2 稳定性分析定理1 令(u n +1h ,w n +1h ,r n +1h)是方程组(5)-(7)的解,定义Ξ(u n +1h ,u n h )=ε22( ∇u n +1h 2+ 2∇u n +1h -∇u n h 2)+14( r n +1h 2+ 2r n +1h -r n h 2),则对任意的τ,h ,ε>0,当n ȡ1时,Ξ(u n +1h ,u n h )ɤΞ(u n h ,u n -1h)成立.证明:在方程组(5)-(7)中,分别令v h =2τw n +1h ,ψh =-2τD τu n +1h ,p h =2τr n +1h ,得(D τu n +1h ,2τw n +1h )+(∇w n +1h ,2τ∇w n +1h )=0,(8)-(w n +1h ,2τD τu n +1h )+ε2(∇u n +1h ,2τ∇D τu n +1h )+( u n +1h r n +1h ,2τD τu n +1h )+β(D τu n +1h ,2τD τu n +1h )=0,(9)12(D τr n +1h ,2τr n +1h )-( u n +1h D τu n +1h ,2τr n +1h )=0.(10)对方程组(8)-(10)求和得2τ ∇w n +1h 2+ε2(∇u n +1h ,2τ∇D τu n +1h )+β2τ 3u n +1h -4u n h +u n -1h 2+12(D τr n +1h ,2τr n +1h)=0.根据2a ㊃(3a -4b +c )=a 2-b 2+(2a -b )2-(2b -c )2+(a -2b +c)2,得ε22( ∇u n +1h 2+ 2∇u n +1h -∇u n h 2)+14( r n +1h 2+ 2r n +1h -r n h 2)-ε22( ∇u n h 2+ 2∇u n h -∇u n -1h 2)+14( r n h 2+ 2r n h -r n -1h 2éëêùûú)=-2τ ∇w n +1h 2-β2τ3u n +1h -4u n h +u n -1h 2-ε22 ∇u n +1h -2∇u n h +∇u n -1h 2-14r n +1h -2r n h +r n -1h 2.(11)再结合Ξ(u n +1h ,u nh )定义得Ξ(u n +1h ,u n h )-Ξ(u n h ,u n -1h )ɤ0.证毕.定理2 令(u 1h ,w 1h ,r 1h )是方程组(5)-(7)的解,定义5601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.Ξ(u 1h )=ε22 ∇u 1h 2+14 r 1h 2, Ξ(u 0h )=ε22 ∇u 0h 2+14r 0h2,则对任意的τ,h ,ε>0,当n =0时,Ξ(u 1h )ɤΞ(u 0h )成立.证明:当n =0时,在方程组(5)-(7)中,分别令v h =τw 1h ,ψh =-(u 1h -u 0h ),p h =τr 1h 并求和,再根据2a ㊃(a -b )=a 2-b 2+(a -b )2,得τ ∇w 1h2+ε22( ∇u 1h 2- ∇u 0h 2+ ∇u 1h -∇u 0h 2)+βτu 1h -u 0h 2+14( r 1h 2- r 0h 2+ r 1h -r 0h 2)=0.结合Ξ(u 1h )和Ξ(u 0h )的定义,得Ξ(u 1h )-Ξ(u 0h )ɤ0.证毕.推论1 设Ξ(u 1h ,u 0h )ɤC 0,则存在常数C >0,使得对任意的τ,h >0,有以下估计:ðni =1τ ∇w i +1h 2ɤC , ∇u n +1h 2ɤC , ∇ u n +1h 2= 2∇u n +1h -∇u n h 2ɤC , ∇u 0h 2ɤC ìîíïïïï.(12) 证明:将式(11)从1~n 求和即可得式(12).3 误差分析为简单,引入下列符号:ξn +1u ʒ=u n +1-R h u n +1,^ξn +1u ʒ=R h u n +1-u n +1h , ξn +1r ʒ=r n +1-R h r n +1,^ξn +1r ʒ=R h r n +1-r n +1h ,σ(u n +1)ʒ=u n +1t -D τu n +1,σ(r n +1)ʒ=r n +1t-D τr n +1,e wʒ=wn +1-wn +1h,Rn +1ʒ=u n +1-2u n +u n -1,n ȡ1,u 1-u 0,n =0{.对于(u ,r ),做如下正则性假设:u ɪw 3,ɕ(0,T ;L 2(Ω))ɘw 1,ɕ(0,T ;H q +1(Ω)), r ɪw 3,ɕ(0,T ;L 2(Ω))ɘw 1,ɕ(0,T ;H q +1(Ω)).定义1[11]R i t z 算子R h :H 1(Ω)ңS h 满足(∇(u -R h u ),∇u )=0, ∀v ɪS h , (R h u -u ,1)=0,并且R i t z 投影算子满足以下估计:u -R h u +h u -R h u H 1(Ω)ɤC h q+1 u H q +1(Ω).引理1[12]假设u 是方程(1)的解,则有如下估计: σ(u n +1) 2ɤ32τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t ,n ȡ1,C τ2,n =0ìîíïïï; R n +1 2ɤ32τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t ,n ȡ1,C τ2,n =0ìîíïïï;D τ ξn +1u 2ɤC h 2q +22τʏt n +1t n -1 ∂tu 2H q +1d t ,n ȡ1,C h 2q +2τʏt10∂t u 2H q +1d t ,n =0ìîíïïïï. 定理3 设初始问题(2)-(4)和全离散格式(5)-(7)的解分别是u 和u n +1h,则存在常数C ,τ,h ,使得6601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.^ξn +1u2+4τε2ðnk =0Δ^ξk +1u 2+β ∇^ξn +1u 2+τ22 ^ξn +1r 2ɤC T ,ε(τ4+h 2q )成立,其中C T ,ε表示常数C 与T 和ε有关.证明:当t =n +1时,方程组(2)-(4)减去方程组(5)-(7),得(σ(u n +1),v h )+(D τ ξn +1u ,v h )+(D τ^ξn +1u ,v h )+(∇e w ,∇v h )=0,(13)(e w ,ψh )-ε2(∇^ξn +1u ,∇ψh )-(r n +1u n +1- u n +1h r n +1h ,ψh )- β(σ(u n +1),ψh )-β(D τ^ξn +1u ,ψh )-β(D τ ξn +1u ,ψh )=0,(14)12(σ(r n +1),p h )+12(D τ ξn +1r ,p h )+12(D τ^ξn +1r ,p h )-(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,p h )=0.(15)在方程组(13)-(15)中,令v h =^ξn +1u ,ψh =Δ^ξn +1u ,p h =τ2^ξn +1r ,并将三式相加.当n ȡ1时,由2a ㊃(3a -4b +c )=a 2-b 2+(2a -b )2-(2b -c )2+(a -2b +c)2得,14τ( ^ξn +1u 2- ^ξn u 2+ 2^ξn +1u -^ξn u 2- 2^ξn u -^ξn -1u 2+ ^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u 2)+ε2 Δ^ξn +1u 2+β4τ[ ∇^ξn +1u 2- ∇^ξn u 2+ ∇(2^ξn +1u -^ξn u ) 2- ∇(2^ξn u -^ξn -1u ) 2+ ∇(^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u ) 2]+τ8( ^ξn +1r 2- ^ξn r 2+ 2^ξn +1r -^ξn r 2- 2^ξn r -^ξn -1r 2+ ^ξn +1r -2^ξn r +^ξn -1r 2)=ð8i =1M i ;(16)当n =0时,由2a ㊃(a -b )=a 2-b 2+(a -b )2得,12τ( ^ξ1u 2- ^ξ0u 2+ ^ξ1u -^ξ0u 2)+β2τ( ∇^ξ1u 2- ∇^ξ0u 2+ ∇^ξ1u -∇^ξ0u 2)+ε2Δ^ξ1u 2+τ4( ^ξ1r 2- ^ξ0r 2+ ^ξ1r -^ξ0r 2)=ð8i =1M i .其中M 1=-(σ(u n +1),^ξn +1u ),M 2=-(D τ ξn +1u ,^ξn +1u ),M 3=(r n +1u n +1- u n +1h r n +1h ,Δ^ξn +1u ),M 4=β(σ(u n +1),Δ^ξn +1u ),M 5=β(D τ ξn +1u ,Δ^ξn +1u ),M 6=-12(σ(r n +1),τ2^ξn +1r ),M 7=-12(D τ ξn +1r ,τ2^ξn +1r ),M 8=(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,τ2^ξn +1r ). 下面依次估计M i .根据Y o u n g 不等式[13]㊁C a u c h y -S c h w a r z 不等式和引理1,得M 1ɤ(σ(u n +1),^ξn +1u )ɤ σ(u n +1) ^ξn +1u ɤ64τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t +18 ^ξn +1u 2,n ȡ1,C τ3+18τ ^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(17)M 2ɤ(D τ췍ξn +1u ,^ξn +1u )ɤ D τ ξn +1u ^ξn +1u ɤC h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∂t u 2H q +1d t +18 ^ξn +1u 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∂t u 2H q +1d t +14 ^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï.(18)对于M 3,把r n +1h =(u n +1h)2-1代入M 3得M 3=(((u n +1)2-1)u n +1- u n +1h ((u n +1h )2-1),Δ^ξn +1u )ɤ((un +1)3- un +1h(un +1h)2,Δ^ξn +1u )+(u n +1- u n +1h ,Δ^ξn +1u )=ð3i =1J i ,7601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中J 1=((u n +1)2(u n +1- u n +1h ),Δ^ξn +1u ), J 2=( u n +1h ((u n +1)2-(u n +1h )2),Δ^ξn +1u ),J 3=(u n +1- u n +1h ,Δ^ξn +1u ).当n ȡ1时,根据H öl d e r 不等式㊁嵌入定理L3L 2,L 6L 2㊁推论1及 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h) 和 ∇ u n +1h ∇(u n +1+u n +1h) 有界,得J 1+J 3ɤ u n +1 2L ɕ u n +1- u n +1h Δ^ξn +1u + u n +1- u n +1h Δ^ξn +1u ɤC u n +1- u n +1h 2+ε24Δ^ξn +1u 2ɤC (u n +1-2u n +u n -1)+2(u n -u n h )-(u n -1-u n -1h ) 2+ε24Δ^ξn +1u 2ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t +C h 2q+C ^ξn u 2+C ^ξn -1u 2+ε24Δ^ξn +1u 2,(19)J 2ɤ u n +1h L 3 (u n +1)2-(u n +1h )2 L 6 Δ^ξn +1u ɤC 1 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h )∇(u n +1-u n +1h )+(u n +1-u n +1h )∇(u n +1+u n +1h ) Δ^ξn +1u ɤC 2 ∇(u n +1-u n +1h ) Δ^ξn +1u +C 3 u n +1-u n +1h Δ^ξn +1u ɤC h 2q+C 2α ∇^ξn +1u 2+C 3α ^ξn +1u 2+α2Δ^ξn +1u 2;(20)当n =0时,有M 3ɤ u 1 2L ɕ u 1-u 0h Δ^ξ1u + u 1h L 3 (u 1)2-(u 1h )2 L 6 Δ^ξ1u + u 1-u 0h Δ^ξ1u ɤC Δ(u 1-u 0) ^ξ1u +C u 0-u 0h Δ^ξ1u +C 1 ∇ u 1h (u 1+u 1h )∇(u 1-u 1h )+(u 1-u 1h )∇(u 1+u 1h ) Δ^ξ1u ɤC τ3+18τ ^ξ1u +C h 2q +C ^ξ0u 2+ε24Δ^ξ1u 2+C 2α ∇^ξ1u 2+C 3α ^ξ1u 2+α2Δ^ξ1u 2,(21)其中C 2=C 1 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h ) ,C 3=C 1 ∇ u n +1h ∇(u n +1+u n +1h) .根据C a u c h y -S c h w a r z 不等式㊁引理1及Y o u n g 不等式,得M 4ɤβ(∇σ(u n +1),∇^ξn +1u )ɤβ ∇σ(u n +1) ∇^ξn +1u ɤ64βτ3ʏt n +1t n -1 ∇∂t t t u 2d t +β8 ∇^ξn +1u 2,n ȡ1,C τ3+β4τ ∇^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(22)M 5ɤβ(∇D τ췍ξn +1u ,∇^ξn +1u )ɤβ ∇D τ ξn +1u ∇^ξn +1u ɤC h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∇∂t u 2H q +1d t +β8 ∇^ξn +1u 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∇∂tu2H q+1d t +β4∇^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(23)M 6ɤ12(σ(r n +1),τ2^ξn +1r )ɤ σ(r n +1) τ2^ξn +1r ɤ96τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t r 2d t +τ412 ^ξn +1r 2,n ȡ1,C τ3+τ38 ^ξ1r 2,n =0ìîíïïïï;(24)M 7ɤ12(D τ췍ξn +1r ,τ2^ξn +1r )ɤ D τ ξn +1r τ2^ξn +1r ɤ8601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∂t r 2H q +1d t +τ412 ^ξn +1r 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∂t r 2H q +1d t +τ44 ^ξ1r 2,n =0ìîíïïïï.(25) 对于M 8,当n ȡ1时,利用H öl d e r 不等式㊁嵌入定理L3L 2,L6L 2和推论1,得M 8=(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,τ2^ξn +1r )=(u n +1σ(u n +1)+D τu n +1(u n +1- u n +1h )+ u n +1h (D τu n +1-D τu n +1h ),τ2^ξn +1r )ɤ u n +1 L ɕ σ(u n +1) τ2^ξn +1r +123u n +1-4u n +u n -1 L ɕ u n +1- u n +1h τ^ξn +1r + u n +1h L 3 D τu n +1-D τu n +1h L 6 τ2^ξn +1r ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t +τ412 ^ξn +1r 2+C (u n +1-2u n +u n -1)+2(u n -u n h )-(u n -1-u n -1h ) 2+τ28 ^ξn +1r 2+2C 1 ∇ u n +1h 2∇3u n +1-4u n +u n -1-(3u n +1h -4u n h +u n -1h )22+τ28^ξn +1r 2ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tu 2d t +C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t +C h 2q +C ^ξn u 2+C ^ξn -1u 2+C 4 ∇^ξn +1u 2+C ∇^ξn u 2+C ∇^ξn -1u 2+τ412 ^ξn +1r 2+τ24^ξn +1r 2,(26)当n =0时,对M 8估计如下:M 8=(u 1σ(u 1)+D τu 1(u 1-u 0h )+u 0h (D τu 1-D τu 1h ),τ2^ξ1r )ɤ u 1 L ɕ σ(u 1) τ2^ξ1r + u 1-u 0 L ɕ u 1-u 0h τ^ξ1r + u 0h L 3D τu 1-D τu 1h L 6 τ2^ξ1r ɤC τ3+τ38 ^ξ1r 2+C τ u 1-u 0+u 0-u 0h 2+τ8 ^ξ1r 2+C 1 ∇u 0h 2 ∇(u 1-u 0-(u 1h -u 0h )) 2+τ28 ^ξ1r 2ɤC τ3+C h 2q+C τ ^ξ0u 2+C 4 ∇^ξ1u 2+C ∇^ξ0u 2+τ3+τ2+τ8^ξ1r 2,(27)其中C 4=92C 1 ∇ u n +1h.把式(17)~(27)代入式(16),并将两边同乘4τ:当n ȡ1时,有( ^ξn +1u 2- ^ξn u 2+ 2^ξn +1u -^ξn u 2- 2^ξn u -^ξn -1u 2+ ^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u 2)+4τε2 Δ^ξn +1u 2+β( ∇^ξn +1u 2- ∇^ξn u 2+ ∇(2^ξn +1u -^ξn u ) 2- ∇(2^ξn u -^ξn -1u ) 2+ ∇(^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u ) 2)+τ22( ^ξn +1r 2- ^ξn r 2+ 2^ξn +1r -^ξn r 2- 2^ξn r -^ξn -1r 2+ ^ξn +1r -2^ξn r +^ξn -1r 2)ɤτ+4τC 3æèçöø÷α ^ξn +1u 2+(τε2+2τα) Δ^ξn +1u 2+4τC 2α+τβ+4τC æèçöø÷4 ∇^ξn +1u 2+C τ ∇^ξn u 2+(τ3+τ5) ^ξn +1r 2+C τ ^ξn u 2+C τ ^ξn -1u 2+C τ ∇^ξn -1u 2+4τR ,(28)其中R =C h 2q+C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tu 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∂tu 2H q+1d t +C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t tu 2d t +64βτ3ʏt n +1t n -1 ∇∂t t tu 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∇∂tu 2Hq+1d t +96τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tr 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∂tr2Hq+1d t;当n =0时,有2( ^ξ1u 2- ^ξ0u 2+ ^ξ1u -^ξ0u 2)+2β( ∇^ξ1u 2- ∇^ξ0u 2+ ∇^ξ1u -∇^ξ0u 2)+9601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4τε2 Δ^ξ1u 2+τ2( ^ξ1r 2- ^ξ0r 2+ ^ξ1r -^ξ0r 2)ɤC τ4+C h 2q +τ+1+4τC 3æèçöø÷α ^ξ1u 2+(τε2+2τα) Δ^ξ1u 2+C τ ^ξ0u 2+C τ2 ^ξ0u 2+4τC 2α+τβ+β+4τC æèçöø÷4 ∇^ξ1u 2+τ2+τ32+τ4+τæèçöø÷5 ^ξ1r 2+C τ2 ∇^ξ0u 2+C h2q+2ʏt 10∇∂tu 2H q +1d t +C h 2q+2ʏt 10∂tu 2H q +1d t +C h 2q+2ʏt 10∂tr 2H q +1d t .(29)将式(28)从1~n 求和,并考虑式(29),选择合适的α(α<2ε2),则当0<τ<m i n αβ4C 2,α4C 3,β4C {}4时,根据离散的G r o n w a l l 不等式,得^ξn +1u 2+4τε2ðnk =0Δ^ξk +1u 2+β ∇^ξn +1u 2+τ22∇^ξn +1r 2ɤC T ,ε(τ4+h 2q ).证毕.4 数值分析下面通过数值算例[14-15]对理论误差估计和能量稳定性进行验证,其中u ,w ,r 取P 2元[16]有限元空间.4.1 空间收敛阶表1列出了当ε=0.1时 ^ξu H 1的空间收敛阶.计算区域为{(x ,y )ɪℝ2:x 2+y 2<1},初始条件为u 0=0.5+0.17c o s (πx )c o s (2πy )+0.2c o s (3πx )c o s (πy ).(30)参数选择如下:τ=0.02,T =0.1,ε=0.1,变化的网格步长h =18,116,132,β=0.1,0.5,1.由表1可见,虽然β有变化,但 ^ξu H 1的空间收敛阶始终接近2.表1 当ε=0.1时 ^ξu H 1的空间收敛阶T a b l e 1 S p a t i a l c o n v e r g e n c e o r d e r o f ^ξu H 1w h e n ε=0.1h β=0.1 ^ξu H 1收敛阶β=0.5 ^ξu H 1收敛阶β=1^ξu H 1收敛阶1/80.0382980.0546650.0577731/160.0099951.93790.0142221.94250.0150071.94471/320.0025151.99020.0035771.99120.0037741.99154.2 时间收敛阶表2列出了当β=0.04时 ^ξu H 1的时间收敛阶.计算区域为{(x ,y )ɪℝ2:x 2+y 2<1},初始条件为式(30).选择的参数β=0.04,T =0.1,h =132,变化的时间步长τ=116,132,164.由表2可见,虽然ε有变化,但相对误差 ^ξu H 1的时间收敛阶始终接近2.表2 当β=0.04时 ^ξu H 1的时间收敛阶T a b l e 2 T i m e c o n v e r g e n c e o r d e r o f ^ξu H 1w h e n β=0.04τε=0.101^ξu H 1收敛阶ε=0.103^ξu H 1收敛阶ε=0.107^ξu H 1收敛阶1/160.6464180.6598850.6851131/320.1509932.09790.1513342.12440.1509752.18201/640.0380471.98860.0371732.02530.0352132.10014.3 能量耗散选择初始条件为式(30),固定的参数T =1,ε=0.3,τ=0.02,能量表达式为E =ʏΩε22∇u 2+14r æèçöø÷2d x .图1为能量随时间的演化曲线.由图1可见,通过改变参数值β,能量随时间的推移逐渐减少,直至达到一个稳态,满足能量耗散定律,从而验证了本文给出的数值格式是无701 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图1 能量随时间的演化曲线F i g .1 E v o l u t i o n c u r v e s o f e n e r g y wi t h t i m e 条件能量稳定的.4.4 相分离选择初始条件u 0=2r a n d ()-1,其中r a n d ()ɪ[0,1],计算区域为(-1,1)ˑ(-1,1).图2和图3分别为当β=0.03和β=0.1时模拟的黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的相分离过程,其他参数为τ=0.01,ε=0.03,h =150.由图2和图3可见,随着时间的延长,可观察到一个显著的粗化过程.由图2可见,当T =0.001~0.5s 时变化明显,当T >0.5s 时达到相对稳定的状态.由图3可见,当T =0.001~1.5s 时变化明显,当T >1.5s 时达到相对稳定的状态.(A )T =0.001s ;(B )T =0.1s ;(C )T =0.5s ;(D )T =1.5s ;(E )T =3s ;(F )T =5s .图2 当β=0.03时的相分离过程F i g .2 P h a s e s e pa r a t i o n p r o c e s sw h e n β=0.03(A )T =0.001s ;(B )T =0.1s ;(C )T =0.5s ;(D )T =1.5s ;(E )T =3s ;(F )T =5s .图3 当β=0.1时的相分离过程F i g .3 P h a s e s e pa r a t i o n p r o c e s sw h e n β=0.11701 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.2701吉林大学学报(理学版)第61卷参考文献[1] C A HNJW,H I L L I A R DJE.F r e eE n e r g y o f aN o n u n i f o r mS y s t e m.Ⅰ.I n t e r f a c i a l F r e eE n e r g y[J].T h e J o u r n a lo fC h e m i c a l P h y s i c s,1958,28(2):258-267.[2] C A HNJ W.F r e eE n e r g y o fa N o n u n i f o r m S y s t e m.Ⅱ.T h e r m o d y n a m i cB a s i s[J].T h eJ o u r n a lo fC h e m i c a lP h y s i c s,1959,30(5):1121-1124.[3] C A HNJ W,H I L L I A R D J E.F r e e E n e r g y o fa N o n u n i f o r m S y s t e m.Ⅲ.N u c l e a t i o ni n a T w o-C o m p o n e n tI n c o m p r e s s i b l eF l u i d[J].T h e J o u r n a l o fC h e m i c a l P h y s i c s,1959,31(3):688-699.[4] N O V I C K-C OH E N A.T h eC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n:M a t h e m a t i c a l a n d M o d e l i n g P e r s p e c t i v e s[J].A d v a n c e s i nM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s a n dA p p l i c a t i o n s,1998,8(2):965-985.[5] C H E N H T.E r r o rE s t i m a t e sf o rt h eS c a l a rA u x i l i a r y V a r i a b l e(S A V)S c h e m e st ot h e V i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o nw i t h H y p e r b o l i cR e l a x a t i o n[J].J o u r n a lo f M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,2021,499(1):125002-1-125002-21.[6] WA N GDX,L IY Q,WA N G XX,e t a l.F a s tA l g o r i t h mf o rV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].F r o n t i e r so fM a t h e m a t i c s i nC h i n a,2022,17(4):689-713.[7] C HO OS M,K I M Y H.F i n i t eE l e m e n tS c h e m ef o rt h e V i s c o u sC a h n-H i l l i a r d E q u a t i o n w i t ha N o n c o n s t a n tG r a d i e n tE n e r g y C o e f f i c i e n t[J].J o u r n a l o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2005,19(1/2):385-395.[8] S H I NJ,C HO IY,K I MJ.A nU n c o n d i t i o n a l l y S t a b l eN u m r i c a lM e t h o d f o r t h eV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].D i s c r e t e&C o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m s(S e r i e sB),2014,19(6):1737-1747.[9] B A D I A S,G U I L LÉN-G O N ZÁL E Z F,G U T IÉR R E Z-S A N T A C R E U J V.F i n i t e E l e m e n t A p p r o x i m a t i o n o fN e m a t i cL i q u i d C r y s t a lF l o w s U s i n g aS a d d l e-P o i n tS t r u c t u r e[J].J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,2011, 230(4):1686-1706.[10] Y A N G X F,Z HA O J,H E X M.L i n e a r,S e c o n d O r d e ra n d U n c o n d i t i o n a l l y E n e r g y S t a b l eS c h e m e sf o rt h eV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n w i t h H y p e r b o l i cR e l a x a t i o n U s i n g t h eI n v a r i a n tE n e r g y Q u a d r a t i z a t i o n M e t h o d [J].J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2018,343:80-97.[11] WA N GDX,WA N G X X,J I A H E.A S e c o n d O r d e rL i n e a rE n e r g y S t a b l eN u m e r i c a lM e t h o df o r t h eC a h n-H i l l i a r d-H e l e-S h a wS y s t e m[J].J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2022,403(15):113788-1-113788-24.[12] Y A N Y,C H E N W B,WA N G C,e t a l.A S e c o n d-O r d e rE n e r g y S t a b l eB D F N u m e r i c a lS c h e m e f o r t h eC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].C o mm u n i c a t i o n s i nC o m p u t a t i o n a l P h y s i c s,2018,23(2):572-602.[13]张爱华,胡卫敏.非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性[J].东北师大学报(自然科学版),2015,47(4):36-41.(Z HA N G A H,HU W M.E x i s t e n c ea n d U n i q u e n e s so fS o l u t i o n sf o rB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m o f N o n l i n e a rF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n[J].J o u r n a lo f N o r t h e a s t N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n),2015,47(4):36-41.)[14] C H E R F I L SL,P E T C U M,P I E R R E M.A N u m e r i c a lA n a l y s i so ft h eC a h n-H i l l i a r d E q u a t i o n w i t h D y n a m i cB o u n d a r yC o n d i t i o n s[J].D i s c r e t e a n dC o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m s,2010,27(4):1511-1533.[15] WA N GDX,WA N G X X,Z HA N G R,e t a l.A n U n c o n d i t i o n a l l y S t a b l eS e c o n d-O r d e rL i n e a rS c h e m e f o r t h eC a h n-H i l l i a r d-H e l e-S h a wS y s t e m[J].A p p l i e dN u m e r i c a lM a t h e m a t i c s,2022,171:58-75.[16] F O N T R,P E R I A F.T h eF i n i t eE l e m e n t M e t h o d w i t hF r e e F e m++f o rB e g i n n e r s[J].E l e c t r o n i cJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c s&T e c h n o l o g y,2013,7(4):289-307.(责任编辑:赵立芹)Copyright©博看网. 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时空分数阶Cahn-Hilliard方程新的精确解
时空分数阶Cahn-Hilliard方程新的精确解赖晓霞;姚若侠【摘要】借助Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数和分数阶复变换,利用一个二阶非线性常微分方程的解,基于(G'/G)-展开法,对时空分数阶Cahn-Hilliard方程进行研究,由此构造了该方程的若干双曲函数、三角函数和有理函数等不同形式的精确解,丰富了其精确解解系.此外,当其中的参数被赋予某些特殊值时,这些已获得的精确解则成为孤立波解、周期波解和行波解.结果表明,(G'/G)-展开法直接、简洁、高效,且具有一定的普适性,为数学物理领域其他非线性偏微分方程的求解提供了一种强有力的工具.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2017(032)012【总页数】11页(P10-20)【关键词】Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数;(G'/C)-展开法;分数阶复变换;时空分数阶Cahn-Hilliard方程;精确解【作者】赖晓霞;姚若侠【作者单位】陕西师范大学计算机科学学院,西安710119;陕西师范大学计算机科学学院,西安710119【正文语种】中文【中图分类】O175.29分数阶微分方程被视为非线性微分方程的替代模型，作为有效的数学建模工具之一，在对物理学、生物学、信号处理、控制理论、系统识别等科学领域的非线性现象进行数学建模的过程中发挥了重要作用。
[1-3]此外，分数阶微分方程还被用于社会科学领域，如气候、金融和经济学[4]，是研究的热点内容之一。
越来越多的研究者致力于寻找分数阶微分方程的解析解或精确解，并提出了一些有效的求解方法，如分数阶Adomian分解法[5]、变分迭代法[6]、有限差分法[7]、首次积分法[8]、分数阶子方程法[9-11]、指数函数法[12-13]、(G′/G)-展开法[14-15]等。
Li和He[16-17]提出了一个分数阶复变换，可将分数阶偏微分方程转化为常微分方程，使求解过程变得简单。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。