二次函数和一元二次方程的关系复习
《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。
2.三个二次的关系。
3.一元二次不等式的解法。
知识点拓展：4.分式不等式的解法。
5.高次不等式的解法。
本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。
2.解含参数的一元二次不等式。
3.三个二次之间的关系。
4.简单高次不等式、分式不等式的解法。
5.XXX成立问题。
6.一元二次不等式的应用。
知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。
解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。
三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。
一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。
2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。
具体关系见下表（1）所示。
一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。
例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
二次函数与一元二次方程、不等式-高考复习
2．已知集合 A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则 A∩B＝( )
A．(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4)
D.(－2，4)
答案 B 解析 由题意知 A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝(1，3).
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
(教师独具内容) 1．会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的 个数．了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等 式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2．掌握一元二次不等式的解法，会解分式不等式、高次不等式，能解 决一元二次不等式的实际问题．理解一元二次方程、二次函数与一元二次不 等式之间的联系，并能解决相应的问题．
m1<－2ba<m2；
⑤若 x1，x2 有且仅有一个在(m1，m2)内，
则 f(m1)f(m2)<0
Δ>0，
Δ>0，
f（m1）＝0， f（m1）>0，
或f（m2）>0， 或f（m2）＝0，
m1<－2ba<m2 m1<－2ba<m2.
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
注：一元二次方程根的问题通常转化为二次函数零点的分布问题，关键 在于以下三步：第一步，根据要求画图象，图象要跟题干要求一一对应；第 二步，根据图象列式子，注意列式的四点要求：①抛物线开口与 a 的关系， ②判别式 Δ 与 0 的关系，③对称轴与区间的关系，④区间端点函数值的正负 情况．
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系Fra bibliotek判别式 Δ＝b2－
22.2二次函数与一元二次方程
是否有公共点，并说明理由．
(1) y=x2-4x+3
(2) y=x2-6x+9
(3) y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求
出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？
（1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
如果a＜0呢？
今 天 就休 到息 这一 吧会
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac
Δ=b2-4ac > 0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个相异的实数根
ax²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
y ax2 bx c
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
二次函数与一元二次方程、不等式知识清单
二次函数与一元二次方程、不等式【考纲解读与核心素养】1.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系（1）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．（2）三个“二次”之间的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0＝b2－4ac解不等式求方程f(x)＝0有两个不等的实有两个相等的实没有实数3.不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为>0<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为>0≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为<0<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为<0≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m .(2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M .【典例剖析】高频考点一：二次函数的解析式例1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】解法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．c＝－1，＝－4，＝4，＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2(1)2+-＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝＋8.∵f(2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)4a a a a---＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数()f x 满足：任意的x ∈R ，有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，且()f x 最小值为34，()f x 与y 轴交点坐标为(0,1)（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(,)m n m n <，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和33,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如果存在，求出,m n ；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）存在；122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩【解析】（1）因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12x =是()f x 图象的对称轴，且最小值为34，故可设213()()24f x a x =-+，由13(0)144f a =+=得1a =，所以213()(24f x x =-+，即2()1f x x x =-+；（2）假设存在实数(,)m n m n <满足题意，由（1）()f x 在1(,2-∞上递减，在1(,)2+∞上递增，若12n ≤，显然不合题意；若12m n <≤，则3324m =，12m =，不合题意，所以12m ≥，2()33()2f m m f n n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,m n 是方程3()2f x x =的两不等实根，3()2f x x =，即2312x x x -+=，25102x x -+=，112x =，22x =，所以122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．高频考点二：二次函数图象的识别例2.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数(log 0a y x a =>且)1a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】当01a <<时，函数log a y x =单调递减，()21y a x x =--开口向下，对称轴在y 轴的左侧，排除C ，D ；当1a >时，函数log a y x =单调递增，()21y a x x =--开口向上，对称轴在y 轴的右侧，排除B ；故选：A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】（2019·辽宁高考模拟（理））函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，,所以舍去A,D,当时，,所以舍去B,综上选C.高频考点三：二次函数的单调性问题例3.（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是（）A．(－∞，8]B．[40，＋∞)C．(－∞，8]∪[40，＋∞)D．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上，∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5]上为单调函数，∴18k ≤或58k≥，解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋．故选C．【总结提升】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⊆－b2a ，＋∞A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．【变式探究】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是()A．[－2，2]B．[1，2]C．[2,3]D．[1,2]【答案】B【解析】由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t≥1，∴1≤t≤ 2.高频考点四：二次函数的最值问题例4.（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】【解析】去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，，，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【答案】13-【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立，只需满足13max ()2a f x -≤，即可.22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以有13142,3a a -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-.高频考点五：二次函数的恒成立问题例5.（2019·北京高三高考模拟（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3-1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-，即：231a x x ≤--+恒成立，令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++，在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤，即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在0＜x≤3时，g （x）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥，实数a 的取值范围是1[,1]4【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·天津市咸水沽第二中学高三一模）已知函数()2,0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩．若存在x ∈R使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(][),31,-∞--+∞ 【解析】由题意，当0x =时，不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立；当0x <时，不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤，所以11a x x ≤+-，又当0x <时，11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即1x =-时，等号成立；当0x >时，不等式()1f x ax ≤-可化为1ax +≤，即21111ax ⎫≥+=+-≥-⎪⎭；因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，所以，只需213a ≤--=-或1a ≥-.故答案为：(][),31,-∞--+∞ .高频考点六：二次函数与函数零点问题例6.（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2]【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭.因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根.因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-.因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根，即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【规律总结】1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）已知二次函数2()(2)3f x ax b x =+-+，且-1,3是函数()f x 的零点.（1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤;（2）若()(sin )g x f x =，求行数()g x 的值域【答案】（1）{}02x x x ≤≥或（2）()[0,4]g x ∈【解析】（1）由题意得213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩14a b =-⎧∴⎨=⎩∴()223f x x x =-++2233x x ∴-++≤即220x x -≥∴{}02x x x ≤≥或，（2）令[]sin 1,1t x =∈-()()[]2223140,4g t t t t =-++=--+∈∴()[]0,4g x ∈高频考点七：一元二次不等式恒成立问题例7.（2019·湖北高三月考（理））若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为()A．9B．10C．11D．12【答案】A 【解析】由[]1,5x ∈时，226x x ax b x ≤++≤恒成立可得：2226x x ax b x x-+≤+≤-+令()()2215f x x x x =-+≤≤，()()2615g x x x x =-+≤≤可得()f x ，()g x 图象如下图所示：要使b 最大，则y ax b =+必过()1,5A ，且与()y f x =相切于点B 则此时5b a =-，即直线方程为：5y ax a=+-联立252y ax a y x x =+-⎧⎨=-+⎩得：()2250x a x a +-+-=()()22450a a ∴∆=---=，解得：216a =由图象可知0a <4a ∴=-()max 549b ∴=--=本题正确选项：A 【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________．【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()2min 113111g x g ==-⨯+=-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.高频考点八：二次函数的综合应用例8．（2016·上海市松江二中高三月考）设()2f x x x a x =-+(a ∈R)(1)若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值；(2)若2a >，写出()f x 的单调区间；(3)若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）()max 9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）918t <<【解析】（1）当2a =时，()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥,∴()f x 在R 上为增函数，∴()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f ==.（2）()()()222,{2,x a x x a f x x a x x a-++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时，22a a ->，∴()f x 在(),a +∞为增函数,当x a <时，22022a a a +--=<，即22a a +<,∴()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）由（2）可知，当22a -≤≤时，()f x 为增函数，方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得()()22a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭,()22224a a at +<<,即()2218a t a+<<在(]2,4有解,由()22118822a a aa +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时，()228a a+的最大值为98,则918t <<.【总结提升】对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.【变式探究】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数(2)y f x =-是偶函数.（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围；【答案】（1）6()4(0)g x x x x =-+≠（2）52n - 【解析】（1）∵2()(2)f x x m x m =+--,∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-.∵(2)y f x =-是偶函数,∴60m -=,∴6m =.∴2()46f x x x =+-,∴6()4(0)g x x x x=-+≠.（2）令ln x t =,∵21,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴[2,0)t ∈-,不等式(ln )ln 0g x n x - 在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立,等价于()0g t nt - 在[2,0)t ∈-上恒成立,∴2264646411t t n t t t t t-+=-+=-++ .令2641z t t =-++,1s t =,则12s - ,256412z s s =-++-,∴52n -.。
中考必考知识点：二次函数与一元二次方程的关系
当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有 两个交点，方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个不相等的 实数根
课标要求
要点归纳
即时练
二次函数图象 与x轴的交点的 横坐标是一元 二次方程的根
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有 一个交点，方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的 实数根
当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交 点，方程ax2＋bx＋c＝0 无 实数根
命题点15 二次函数与一元二次方程的关系
(省卷2考，昆明卷2020.13)
课标要求
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即时练
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会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
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即时练
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1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系
二次函数图象与x轴 的交点的横坐标是 一元二次方程的根
续表
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即时练
2. 用二次函数的图象估计一元二次方程的近似解 (1)方程形式一：ax2＋bx＋c＝0，如图1，可得方程的正数解的取值范围 是 2＜x＜3 ，负数解的取值范围是 －1<x<0 ．
图1
课标要求
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图2
即时练
(2)方程形式二：ax2＋bx＋c－m＝0(m为常数)，如图2，将m移至等号右边， 当作常函数y＝m，则： ①当m＝n时，方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个相等的实数根：x1＝x2＝g； ②当m＞n时，方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根：x1＝e， x2＝f； ③当m＜n时，方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根．
பைடு நூலகம்课标要求
要点归纳
即时练
21.3 二次函数与一元二次方程
出，4s时落回地面。
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实
数根（精确到0.1）. y
方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
（-1.3、0）、（2.3、0）
x
(3)得出方程的解. 1
x =-1.3，x =2.3。
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
?
小结：
本节课你有什么收获？
(1)证明 : 令y 0, 得2 x2 mx m2 0 (m)2 4 2 m2 9m2 0
不论m取何值, 抛物线与 x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2x2 mx m2 上 0 2 12 m 1 m2 即m2 m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
?
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间?
∵（-4）²-4*4.1＜0，
当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根
它的高度为15m。
（2）解方程
（4）解方程
20=20t-5t²
0=20t-5t²
t²-4t+4=0
t²-4t=0
t 1=
t
2
=2.
当球飞行2s时，
t1 =0， t2 =4. 当球飞行0s和4s时，
t
它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞
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6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 抛物线y=ax +bx+c（a≠0） 轴下方的条件是（ 轴下方的条件是（ D ） 4ac≤0（ 4ac＞ （A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 4ac＞ (D） b2-4ac＜ （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0 7．已知二次函数ｙ＝ ．已知二次函数ｙ＝-ax2，下列说法不正确 下列说法不正确 ｙ＝ 的是（ 的是（ D ） Ａ．当ａ＞０ ｘ ０ ｙ Ａ．当ａ＞０,ｘ≠０时,ｙ总取负值 Ｂ．当ａ＜０ ｘ＜ ｘ＜０ ｙ Ｂ．当ａ＜０,ｘ＜０时,ｙ随ｘ的增大而减小 Ｃ．当ａ＜０ 函数图象有最低点， Ｃ．当ａ＜０时，函数图象有最低点，即ｙ 有最小值 Ｄ．当ｘ＜０ 的对称轴是ｙ Ｄ．当ｘ＜０，ｙ＝ -ax2的对称轴是ｙ轴
探究3、若一元二次方程 探究 、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根 的两个根 则由韦达定理得： 是x1、x2，则由韦达定理得：x1+x2=x1x2=
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 若抛物线 与 轴的两个交点坐 标分别是A（ 标分别是 （ x1，0 ）， B（x2，0 ）， （ 则是否有同样的结论呢？ 则是否有同样的结论呢？ 结论3、若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点 结论 、若抛物线y=ax +bx+c与 坐标分别是A 坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ）， 则x1+x2=-
2a
考点整合
(4)y随x的变化情况: 在a<0的情况下,
b 增大 − 当x<_____时,y随x的增大而______; 2a 2a b 减小 − 当x>_____时, y随x的增大而_____; 2a b
4ac −b 大 − 当x=_______,时,y取最_____值=_________ 4a 2a
2a
4a
考点整合
(4)y随x的变化情况: 在a>0的情况下,
b − 当x<_____时,y随x的增大而______; 减小 2a 2a b − 当x>_____时, y随x的增大而_____; 增大 2 2a 4ac −b b
小 − 当x=_______,时,y取最_____值=_________ 4a
(3).二次函数y=ax +bx+c的图象和 的图象和x (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 二次函数 方程ax +bx+c=0的根有什么关系 的根有什么关系? 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax +bx+c的图象和 轴交点有三种情况: 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, ①有两个交点, 有一个交点, ②有一个交点, 没有交点. ③没有交点. 当二次函数y=ax +bx+c的图象和 轴有交点时, 的图象和x 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, y=0时自变量 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax +bx+c=0的根 的根. 元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数与一元二次方程
情境引入右图是泰州某河上一座古拱桥的截面
图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点 拱桥桥洞上沿是抛物线形状， 与水面的距离都是1m 拱桥的跨度为10m 1m， 10m， 与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞 与水面的最大距离是5m 5m， 与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏 距离水面4m的景观灯． 4m的景观灯 距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平 面直角坐标系中（如下图）． 面直角坐标系中（如下图）． 1、求抛物线 ? 的解析式． 的解析式． 5 2、求两盏景观灯之 间的水平距离． 间的水平距离． 10 1
二次函数与一元二次方程 二次函数y=x 2x+2的图象如图所示 的图象如图所示. 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2 x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
(1).每个图象与 轴有几个交点？ 每个图象与x轴有几个交点？ 每个图象与 轴有几个交点 (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 一元二次方程x 2x+1=0有几个根 有几个根? 一元二次方程 有根吗? 验证一下一元二次方程x 2x+2=0有根吗 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数 二次函数y=ax +bx+c的图象和 的图象和x (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 与一元二次方程ax +bx+c=0的根有什么关系? 的根有什么关系
考点整合
6.若已知抛物线上三点坐标,可采用一般式 y=ax2+bx+c,用待定系数法求得a、b、c的 值. 7.若已知抛物线的顶点坐标(-2,3),可将解析 式设为y=a(x+2)2+3; 8.若已知抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0),可 设解析式为y=a(x+1)(x-3);
探究2、抛物线与 探究 、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？ 二次方程的知识来说明呢？ Y △＜0 △=0 △＞0
2
考点整合
5.图象的平移 二次函数y=a(x-2)2+3(a≠0)的图象可以理 2 右 解由y=ax2(a≠0)图象向___平移_____个单 3 位,再向_____平移_____单位而得到的; 上 二次函数y=a(x+2)2+4(a≠0)的图象可以理 左 2 解由y=ax2(a≠0)图象向___平移_____个单 上 4 位,再向_____平移_____单位而得到的
2
交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离 轴的两个交点间的距离. 交点坐标 ②求抛物线与 轴的两个交点间的距离
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 评:若抛物线 与 轴的两个交点坐
标分别是A（ ），利用 标分别是 （ x1，0 ）， B（x2，0 ），利用 （ 根与系数的关系，求证： 、 两点间的距离 根与系数的关系，求证：A、B两点间的距离 ∆ AB= | a |
O
X
结论2： 结论 ： 抛物线y=ax2+bx+c与 x轴的交点个数可由 与 轴的交点个数可由 抛物线
一元二次方程ax 的根的情况说明： 一元二次方程 2+bx+c=0的根的情况说明： 的根的情况说明 1、△＞0 、 一元二次方程ax 一元二次方程 2+bx+c=0 有两个不等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 抛物线 轴有两个交点——相交。 相交。 与x轴有两个交点 轴有两个交点 相交 2、△=0 、 一元二次方程ax 一元二次方程 2+bx+c=0 有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 抛物线 轴有唯一公共点——相切（顶点）。 相切（ 与x轴有唯一公共点 轴有唯一公共点 相切 顶点）。 3、△＜0 、 没有实数根 一元二次方程ax 一元二次方程 2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c 抛物线 轴没有公共点——相离。 相离。 与x轴没有公共点 轴没有公共点 相离
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 、判断下列各抛物线是否与 轴相交 轴相交， 相交，求出交点的坐标。 相交，求出交点的坐标。 （1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 ） ） （3）y=x2-4x+4 ）
5. 已知抛物线 y = − 2 ( x + 1 ) +,8 ①求抛物线与 轴的 求抛物线与x轴的
开启
智慧
结论1：方程 结论 ：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线 的解就是抛物线 y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。 轴的两个交点的横坐标。 与 轴的两个交点的横坐标 因此， 因此，抛物线与一元二次方程是有密切 联系的。 联系的。 若一元二次方程ax 即：若一元二次方程 2+bx+c=0的两个根是 的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个 与 轴的两个 ， 则抛物线 交点坐标分别是A（ 交点坐标分别是 x1，0 ）， B（，0 ） （ y （ x2
三、例题精讲 1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 、已知抛物线 。 轴只有一个交点， 的值。 （1）若抛物线与 轴只有一个交点，求m的值。 ）若抛物线与x轴只有一个交点 的值 只有一个交点， （2）若抛物线与直线 ）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 只有一个交点 的值。 求m的值。 的值 提示：（ ） ）＝0 提示：（1）⊿＝4－4（m＋1）＝ ：（ － （ ＋ ）＝ 注：本题也可问当此抛物线顶点在x轴上 本题也可问当此抛物线顶点在 轴上 的值。 时，求m的值。 的值 （2）即方程 2+2x+m+1=x+2m的根 ）即方程x 的根 只有一个。 只有一个。
例题精讲
2、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x 、已知抛物线 （ ） 与 轴有两个交点A、 ，其中A在 轴的正半轴 轴的正半轴， 轴有两个交点 、B，其中 在x轴的正半轴， B在x轴的负半轴， 轴的负半轴， 在 轴的负半轴 1）若OA=3OB，求m的值。 ） 的值。 ， 的值 2）若3（OA-OB）=2OA·OB，求m的值。 ） 的值。 （ ） ， 的值