弦线上波的传播规律

细测 λ ~ T 关系 全部选取波节数为 2（包括振动簧片、限制刀口为 4 个波节） ，固定 f = 120Hz ，测量数据如下： 序号 i 左读数 L左 / cm 右读数 L右 / cm
1 39.85 14.15 0.2570 40.00 0.3920
2 56.15 19.15 0.3700 45.06 0.8336
λ
2
趋向于稳定可能的原因：
振动非稳态： 受迫振动需要一段时间来使系统达到受迫振动的稳态，在这段时间内振动的频率并非稳态的频率，而 是包含暂态过程的两个振动合成的频率，阻尼较小时，该暂态过程的振动频率接近弦线的固有频率。 当振动频率低于固有频率时，尽管振动簧片振动频率同设定频率相同，但实际的振动频率受到阻尼影 响，在很长一段时间内仍然同设定频率偏差较大，得到实际的频率比设定的频率大，也即实际的驻波波节 间距较理论值偏小，如下图：
对上述数据中 λ ~ T 关系进行拟合，有：
22.70 0.4370 45.00 1.2746 表 1 λ ~ T 关系
图2 拟合形式：
λ ~ T 关系拟合
= ln l k ln T + b = k 0.48 ± 0.02 = ， b -0.916 ± 0.017 2 r =0.998 ， RMSE=0.016 1 此时截距 b 的物理含义为 − ln µ − ln f ，可以代入 f = 120Hz 来求出线密度： 2 −2( b + ln f ) −2 b ，m e = e = = / f 2 (0.434 ×10−3 )kg/m ln µ = −2(b + ln f )
—实验原理—
1. 弦线上的横波的传播规律 在一根拉紧的弦线上，其中张力为 T ，线密度为 µ ，则沿弦线传播的横波应满足下述运动方程：
∂2 y T ∂2 y = ∂t 2 µ∂x 2
式中 x 为波在传播方向（与弦线平行）的位置坐标，为振动位移。将（1）式与典型的波动方程：
2 ∂2 y 2 ∂ y = V ∂t 2 ∂x 2
（1）
相比较，即可得到波的传播速度：
V=
T
µ
若波源的振动频率为 f ，横波波长为 λ ，由于 V = f λ ，故波长与张力及线密度之间的关系为：
λ=
1 f
T
µ
（2）
为了用实验证明公式（2）成立，将该式两边取对数，得
ln l =
1 1 ln T − ln µ − ln f 2 2
若固定频率 f 及线密度 µ ，而改变张力 T ，并测出各相应波长 λ ，作 ln l − ln T 图，若得一直线，计算其 斜率值，若为 1/ 2 ，则证明了 λ ∝ T 1/2 的关系成立。同理，固定线密度 µ 及张力 T ，改变振动频率 f ，测出各 2. 相应波长 λ ，作 ln l − ln f 图，如得一斜率为 −1 的直线，就验证了 λ ∝ f 的关系。 驻波法测波长原理 弦线上的波长可利用驻波原理测量。当两个振幅和频率相同的相干波在同一直线上相向传播时，其所叠加 而形成的波称为驻波。一维驻波是波干涉中的一种特殊情形。这时，在弦线上出现许多静止点，称为驻波的波 节。相邻两波节间的距离为半个波长。
−1
—实验装置—
1. 弦线上驻波实验装置 实验装置如图 1 所示。 金属弦线的一端系在能作水平方向振动的由单片机控制的可连续调节振动频率的振 动源的振簧片上，另一端通过定滑轮悬挂一砝码盘；在振动装置和定滑轮之间，有一个可沿弦线方向左右移动 并在水平面垂直弦线方向卡住弦线的限制刀口以及一个作为游标的刀口。底座横梁上有标尺。滑轮、刀口采用 滚珠轴承固定在底座上，其所产生的摩擦力很小，可忽略不计。若弦线下端所悬挂的砝码（包含托盘）的质量 为 m ，则张力 T = mg 。当波源振动时，即在弦线上形成向右传播的横波；当此波传播至限制刀口时，由于弦 线在该点受刀口两壁阻挡而不能振动，故波在刀口处被反射，形成了向左传播的反射波。这传播方向相反的两 列波叠加即形成驻波。当振动端簧片至刀口的长度 L0 近似等于半波长的整数倍时，即可得到振幅较大而稳定 的驻波，振动簧片与弦线固定点为近似波节，限制刀口为波节，取振动簧片到限制刀口的距离为 L0 ，这时
—讨论&分析—
1. 粗测实验规律时的现象分析 频率在 45Hz~70Hz 左右时，振幅大幅增加的原因： 实验所用的弦线自身的振动有一个固有频率。而在受迫振动条件下，当作为外部驱动力的振动簧片提 供的力与固有频率相近时，会发生共振，解运动方程，可以发现系统达到的振幅会急剧增大。理想无阻尼 条件下，当驱动力的频率等于弦线固有频率时，振幅将会趋近于无限大。实际上，弦线必定存在阻尼，故 共振频率较弦线固有频率小一些，且振幅只会大幅增加。实验中大约 60Hz 附近时振动幅度非常大，可以 得知实验所用弦线本身的固有频率大约为一个略大于 60Hz 的值。 频率增加时， f
3. 细测 λ ~ f 关系 ，固定 T = 1.7160N ，测量数据如下： 全部选取波节数为 2（包括振动簧片、限制刀口为 4 个波节） 序号 i 1 2 3 4 5 6 7 左读数 L左 / cm 107.70 95.20 86.20 79.40 72.30 67.35 62.70 右读数 L右 / cm
对上述数据中 λ ~ f 关系进行拟合，有：
图 3 λ ~ f 关系拟合
= ln l k ln f + b = k -1.07 ± 0.03= ， b 4.48 ± 0.15 2 r ห้องสมุดไป่ตู้0.9993 ， RMSE=0.0056
拟合形式：
此时截距 b 的物理含义为
1 1 ln T − ln µ ，可以代入 T = 1.7160N 来求出线密度： 2 2 −2 b (ln T − 2 b ) ， m e = e= T (0.220 ×10−3 )kg/m 1 = µ (ln T − 2b) = ln
= f (b, T ) ⇒ u ( )= mm = (0.077 ×10−3 )kg/m
∂f 2 u ( xi ) = ∑ i =1 ∂xi
n
2
(e
−2 b
(−2)T ) u 2 (b) + ( e −2b ) u 2 (T )
2 2
m = (0.220 ± 0.077) ×10−3 kg/m
弦线上波的传播规律
2012 年 11 月 31 日
—引言—
波动的研究几乎出现在物理学的每一领域中，包括现代物理中的研究热点量子物理等。如果在空间某处发生的 扰动，以一定的速度由近及远向四处传播，则称这种传播着的扰动为波。机械扰动在介质内的传播形成机械波，电 磁扰动在真空或介质内的传播形成电磁波。不同性质的扰动的传播机制虽不相同，但由此形成的波却具有共同的规 律性。 本实验使用驻波法验证横波在弦线上传播的规律。
λ
2
，发现大致的值在 2700 左右。伴随着频率的上升，该区间内形成的
驻波的振幅逐渐变小。 振动频率在约 45Hz~70Hz 时，每个频率对应在弦线上能找到两处使波动形成驻波，除振动簧片外对 应两个波节。但是该区间内伴随着频率的上升，对应的驻波的振幅从其间某一频率数值起开始增加，约 60Hz 附近，振幅急剧增加，达到了数个厘米的程度，弦线的剧烈振动会使之不时脱离限制刀口。 振动频率在约 70Hz~200Hz 时，每个频率对应在弦线上能找到数处使波动形成驻波，除振动簧片外 对应多个波节。此时，先固定产生的波节数为 2 个（不包括振动簧片） ，测量 发现： 明显地可以看到 f
λ
2
并计算 f
λ
2
，观察现象，
λ
2
伴随频率的上升趋向于稳定，频率愈小，计算数值相对平均值波动越大；
振幅伴随频率上升而不断下降，对振动簧片的振动亦然。 随后再在不同频率下增加波节数，发现： 波节数愈多， f
λ
2
愈稳定；
振幅伴随波节数增加而不断下降。 可以得到结论： 选取频率时，应选择远离 45Hz~70Hz 且较大（不可太大）的频率，使得振幅在可观察范畴内。 初步认为选取波节数时，应选择较大的数目。 根据上面的观察，将频率固定为 120Hz ，依次增加砝码（每个约 45g）进行粗测，计算 λ / 2 T 。 先选取波节数为三个，添加至四个砝码时，弦线振动振幅过小，难以观测。 修正关于波节的结论为：选取波节数时，应选择较大的数目，但是要保证所有的实验选取的波节数都 能在仪器长度限制下观察到，并不能使振幅过小。 选取波节数为二个，逐个添加砝码，发现： 砝码较多时，得到的 λ / 2 T 值更加接近平均数值，且相对更加稳定。 无论砝码数多少，波动的振幅基本没有变化，对振动簧片同样无明显影响。 可以得结论：当固定拉力时，应选取较多砝码为宜，但是需要注意不可超过弦线弹性限度导致弦线断 2. 开。 频率愈大，波长愈小；拉力愈大，波长愈大；波节数不影响其他条件固定时得到的波长。
L0 ≈ (n − 1)λ / 2
可以用游标刀口取振动簧片右侧第一个波节到限制刀口的距离为 L ，与上式同理，有
L = (n − 2)λ / 2
（3）
其中 n 为弦线上波节数目。利用上式，即可测量弦线上横波波长。 （在之后实验中，默认 n 个波节实际上为包括振动簧片、限制刀口时的 n + 2 个波节，故上式修正为 L = nλ / 2 。 ）
—实验结果—
1. 粗测时观察到的波动规律 首先固定弦线上的张力，调整振动频率从 0Hz 到 200Hz 进行粗测，计算 f
λ
2
。采用两块砝码。
振动频率在约 0~25Hz 时，无论如何移动限制刀口，弦线上难以形成驻波。 振动频率在约 25Hz~45Hz 时，每个频率对应在弦线上能找到一处使波动形成驻波，除振动簧片外对 应一个波节。忽略单位直接计算 f
3 66.40
4 78.20 26.10 0.5210 45.04 1.7160
5 87.15 29.90 0.5725 45.01 2.1571