8第8讲2.3

第8讲 Ch.2 随机变量及其分布
§2.3 ..V R 的方差与标准差
Remark 引入方差的必要性及引例
..V R X 的期望EX 是位置特征数，描述的是X 的
取值总是在EX 附近波动，但并不反映波动程度.而实
际问题经常需要对波动程度做出描述。

比如：射击教
练的甲乙射击运动员在选拔赛时成绩分布如下：
若只有一个参加正赛的
名额。

教练该选谁？
分析：(1)计算甲乙成绩分布的期望值
92.0106.092.08=⨯+⨯+⨯=甲EX （环）
93.0104.093.08=⨯+⨯+⨯=乙EX （环）
可见，甲乙平均命中环数一样，也就是总成绩相同，
依据期望值教练无法做出选择！
(2)要做出科学的选择，需考察甲乙取得平均成绩
每发9环的稳定性，也即成绩的波动程度.这种指标的
描述(度量)可用方差解决.可见引入方差是必要的！
2.3.1 方差与标准差的定义
1.选择度量稳定性的量：.87.P
（评价好坏的标准：..V R 取值越集中在期望附近越
好！）
(1)若选择.EX X -：出现正负相消无法反映！
(2)若选择.EX X -：绝对值处理不便！
(3)若选择2
()E X EX -：克服了(1)、(2)的缺点----是一种
好的选择！(至于2)(EX X -仍有随机性，自然不如2()E X EX -)
2. 方差与标准差的定义
定义2.3.1
若X 为..V R ,()()()2
2,()E X E X E X E X -存在，则称为 ..V R X （或相应分布）的方差.记为
2)()(EX X E X Var -=,
或
2)(EX X E DX -=. 而称DX 为..V R X 的标准差.记为)(X σ或X σ.
Remarks
)i 定义2.3.1给出了求..V R X 方差的定义法，若已知
..V R X 的类型及分布. 求..V R X 的方差，利用以下公
式比定义式更实用.
若已知..V R X 的分布列为}{i p ，则
∑-=i i p EX x DX 2)(；
若已知..V R X 的密度函数为()p x ，则
⎰+∞
∞--=dx x p EX x DX )()(2.
)ii 方差与标准差的作用与区别： .87.P
)iii 好坏标准：（方差或标准差越小、越稳定、越好！） )iv EX 存在不可以推出DX 存在，而反之成立.
现在来回答引例中的问题：由于
4.02.0)910(6.0)99(2.0)98(222=⨯-+⨯-+⨯-=甲DX ； 6.03.0)910(4.0)99(3.0)98(222=⨯-+⨯-+⨯-=乙DX . 可见
乙甲DX DX <，
所以教练应该选择甲参加正赛.
例2.3.1 .8887.-P 对比了解三角分布，均匀分布和倒三角分布的期望、方差与标准差.
例2.3.2（投资选择的分析举例）.8988.-P （自学） 补例：(前述购买1元“私彩”所获回报X 的期望816.0=EX 元，其系统风险，也称游戏风险为DX ，具体计算的得
491)816.040(4948)816.00(22
⨯-+⨯-=DX 99.31=.
Remarks
)i “私彩”的游戏风险是两位数的数量级，风险较大.
)ii “私彩”除了游戏风险之外，还存在兑付风险和法律风险，这都是对不明真相者进行风险教育时必需分析的内容.
2.3.2 方差的基本性质（假定以下涉及的方差都存在） 性质2.3.1（方差的简算公式）
设..V R X 的方差存在，则
22)()(EX X E DX -=.
Proof
2)(EX X E DX -=
])(2[22EX X EX X E +⋅-= 22)(2)(EX EX EX X E +⋅-=
2
2)()(EX X E -=
故
22)()(EX X E DX -=. Remark 一般而言，“简算公式”比定义式、实用公式都简单、好用！
性质2.3.2 若C 为常数，则0=DC .
性质2.3.3 若X 为..V R ，b a ,为常数，则
DX a b aX D 2)(=+
Proof .9089.-P 利用方差定义即可证.
Remark
()20,()0()0.E X E X D X ===若则，
由22)()(0EX X E DX -=≤ 易见.
例2.3.3设X 为掷一颗骰子出现的点数，求DX .
解 由古典方法易得X 的分布列为
于是
17()(123456)62
E X =+++++⨯=； 2222222
191()(123456)66E X =+++++⨯=； 从而
22914935()()6412DX E X EX =-=-=.
2.3.3 切比雪夫不等式(概率论中的一个重要不等式) 定理 2.3.1 设X 为..V R ，EX ，DX 存在，则对0ε∀>，有
2()DX
P X EX εε-≥≤，
或 2()1DX P X EX εε
-<≥-. Proof .90.P 给出了连续型..V R 情形的证明，现就X 为离散型..V R 给出证明如下：
设离散型..V R X 的分布列为
.,2,1,)(⋅⋅⋅===i p x X P i i ，
则由于EX ，DX 存在，且
∑+∞=-=12)(i i i p EX x DX .
于是 ∑≥-=
≥-εεEX x i i p EX X P )( ∑≥--≤
εεEX x i i i p EX x 2)( i i i p EX x ∑
+∞=-≤122)(1
ε 2εDX =. 考虑到“X EX ε-<”为“X EX ε-≥”的对立事件，又得
2()1DX
P X EX εε-<≥-. Remark
切比雪夫不等式表明：事件 “X EX ε-≥”（称为大偏差事件）发生的概率上界为2DX
ε.
定理2.3.2 (方差为0的充要条件)
若..V R X 的方差存在，则 0()1
D X P X a =⇔==,
其中a 为常数.
Proof .91.P (了解！)
★§2.3课外作业：习题2.3 .9291.-P 2. 12. 课外思考：习题2.3 .9291.-P 9.。