第一讲 测度
高一数学中的测度论初步怎么理解
高一数学中的测度论初步怎么理解在高一数学的学习中，我们可能会接触到测度论这个相对较为抽象和复杂的概念。
对于初学者来说，理解测度论可能会有些困难，但通过逐步剖析和深入思考，我们能够逐渐掌握其核心要点。
首先，让我们来谈谈什么是测度。
简单地说，测度是对集合大小的一种度量方式。
但这里的“大小”并非我们日常生活中直观理解的那种大小，而是一种更为数学化、精确化的描述。
想象一下，我们面前有一个线段，它的长度就是一种测度。
同样，一个平面图形的面积、一个立体图形的体积，也都是测度的具体表现形式。
但测度论所研究的可不仅仅是这些直观的几何对象的大小。
比如说，在数轴上给定一个区间 a, b，它的长度 b a 就是这个区间的测度。
再复杂一点，如果我们有一些不连续的点组成的集合，如何去衡量它的“大小”呢？这就需要用到测度论的知识了。
测度论中的一个重要概念是可测集。
一个集合被称为可测集，是指我们能够为它合理地定义一个测度。
那什么样的集合是可测集呢？这可不是一个一眼就能看出来的简单问题。
比如说，对于一些常见的集合，如开区间、闭区间、有限个区间的并集等，我们可以相对容易地定义它们的测度，并且证明它们是可测集。
但对于一些更复杂的集合，判断其可测性就需要用到一些较为高深的数学方法和定理。
在理解可测集的过程中，我们还会涉及到一些重要的性质和定理。
例如，可测集的并集、交集仍然是可测集，这就为我们处理多个集合的测度问题提供了便利。
测度论在数学中的应用非常广泛。
在概率论中，概率实际上就是一种特殊的测度。
通过将随机事件看作是一个集合，其发生的概率就是这个集合的测度。
这使得我们能够用测度论的方法来研究概率问题，为解决各种概率计算和随机现象的分析提供了强大的工具。
在实变函数中，测度论更是起着基础性的作用。
通过引入测度的概念，我们能够更加深入地研究函数的性质，如可积性等。
对于高一的同学来说，要理解测度论的初步知识，关键是要建立起从直观到抽象的思维过渡。
测度论
第一章 测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。
我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。
更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。
在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。
1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。
我们从最基本的数量开始。
概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。
我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。
由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。
我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。
除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。
测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。
在这本书中，概率测度通常用P 表示。
接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。
在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。
定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则 （ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。
第一节空间分布的测度
第一节空间分布的测度第三章空间分布的测度和时间序列第一节空间分布的测度区位类型的概念：分析点间的距离、一个地区内点的密度、地区间点分布与配置的特点、点型间的相关程度区位类型的分析法（1）概率论的方法：对理论点型进行讨论，将理论值与实际值进行比较；（2）“面积单位”的方法：面积的集合，如气候现象。
一、空间分布的类型点状分布类型：离散的点子，如居民点、城市、学校等线状分布类型：直线、曲线和不规则线，如道路网、输电线路、台风路径离散区域分布类型：不连续的面状分布；如行政区、不同类型的作物分布区注意：离散区域分布与点状分布可以互换，以研究的目的来确定连续区域分布类型：空间上连续的点状分布，如等高线等P地理事物分布类型：29举例：城市空间分布类型城市空间分布发展演变模式城市空间演变具有明显的阶段性1.离散阶段（低水平均衡阶段）：对应于自给自足式，以农业为主体的阶段，以小城镇发展为主，缺少大中城市，没有核心结构，构不成等级系统。
（a 图）2. 极化阶段：对应于工业化兴起、工业迅速增长并成为主导产业的阶段，中心城市强化。
（b 图）3.扩散阶段：对应于工业结构高度化阶段，中心城市的轴向扩散带动中小城市发展，点轴系统形成。
（c图）4.成熟阶段（高级均衡阶段）：对应于信息化与产业高技术化发展阶段，区域生产力向均衡化发展，空间结构网络化，形成点——轴——网络系统，整个区域成为一个发达的城市化区域。
（d图）二、点状分布的测度（一）最临近距离的测度（1）顺序法①某地区分布n 个点，以任意一点为基准点测定这一点到其它全部点的距离②测定从基准点到区域边界的最短距离③在测定的（n-1）个距离中选出≤ 的条件距离，并从小到大排列为ih r ib r () p ,...,2,1 j r ...r r r ij i3 i2 i1=≤≤≤④列出各点的最短距离距阵⑤计算各级最临近距离顺序号1 2 …j… p第j 级邻近平均距离∑∈= I i ij j j r n 1r（2）区域法1.将点分布的空间分割成k 个大小相等的齿轮状区域2.量度各区内中点到最临近点的距离3.从中选出满足边界条件的距离，从小到大排列。
§2.1 测度与测度的性质
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
由 于 An ↑ ,
容 易 知 道 有
Bi ∩ B j = ∅(i ≠ j ), 并且 An = ∪ Bi ,
i =1
∞
∪ Ai = ∪ Bi . .
i =1 i =1
n
∞
∞
由测度的可数可加性, 我们
µ ( ∪ An ) = ∑ µ ( Bn ) = lim ∑ µ ( Bi )
n =1 n =1 n →∞ i =1
例 3 设 F 是非空集 X 上的 σ − 代数. 对任意 A ∈ F , 另外令 µ (∅) = 0, 则 µ 是 F 上的测度. 例 4 设 X = {a1 , a 2 ,
若 A ≠ ∅, 则令 µ ( A) = +∞ .
} 是可数集, P ( X ) 是 X 的全体子集所成的 σ − 代数 . 又设
n =1
∞
µ ( ∪ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
(5) 上连续性. 若 { An } ⊂
R , An ↓ 并且 ∩ An ∈ R , µ ( A1 ) < +∞, 则
n =1
∞
µ ( ∩ An ) = lim µ ( An ).
n =1
∞
n→∞
证明 (1). 由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ ( B − A). 由于 A ∩ ( B − A) = ∅, 由测度的有限可 加性得到
测度与分解
测度与分解一、什么是测度与分解在数学中，测度与分解是一组重要的概念和工具，用于描述和分析集合的性质和结构。
测度是一种类似于长度、面积、体积等概念的度量，可以用来衡量集合的大小。
而分解则是将一个集合分解为若干个子集的过程，并研究这些子集之间的关系。
二、测度的定义和性质1. 闭集与开集在讨论测度之前，我们首先需要了解闭集和开集的概念。
闭集是指包含了它的所有极限点的集合，而开集则是指不包含任何极限点的集合。
闭集与开集是互补的概念，在一个给定的空间中，任何集合都可以被表示为闭集与开集的差。
2. 外测度外测度是一种衡量集合大小的方法，它可以被定义为通过一系列子集的测度来逼近一个集合的大小。
具体来说，给定一个集合A，它的外测度可以被定义为：m*(A) = inf{∑m(Ei) : A⊆∪Ei}其中，Ei是A的可数个子集。
外测度的性质有：•非负性：对于任意集合A，其外测度m*(A)必须大于等于0。
•单调性：对于任意集合A和B，如果A⊆B，则m(A)小于等于m(B)。
•子可加性：对于任意集合的序列{An}，其外测度m*(∪An)小于等于各个集合外测度之和。
3. 测度测度是一种精确地描述集合大小的方法，它可以被定义为满足一系列条件的函数。
具体来说，给定一个空间X，一个函数m：2^X→[0, ∞)被称为X上的一个测度，如果它满足以下性质：•非负性：对于任意集合A，测度m(A)必须大于等于0。
•为空集的零测度：测度m(∅)等于0。
•可列可加性：对于任意两个不相交的集合A和B，测度m(A∪B)等于m(A)与m(B)之和。
测度的定义使得我们可以更加准确地描述和比较不同集合的大小。
通过测度，我们可以研究集合的性质和结构，推导出一系列重要的定理和结果。
三、测度的分解1. Jordan分解Jordan分解是一种将一个集合分解为有限个互不相交的闭集和开集的过程。
具体来说，对于一个给定的集合A，我们可以将其分解为闭集F和开集G的差，即A=F其中，闭集F是集合A的闭包，它包含了A的所有极限点。
第1章测度论基础与随机过程优秀课件
课程的主要内容 1. 测度论基础与随机过程的基本概念 2. 泊松过程与更新过程 3. 马尔科夫链 4. 鞅与Brown 运动 5. 随机微分方程
参考书
[1] 陈萍等编， 随机数学，国防工业出版社，2008
[2] Bernt ksendal, Stochastic Deferential Equations, Springer-Verlag, 1998 [3] 冯予等编， 概率论与数理统计，国防工业出版 社，2005 [4] 工程数学--积分变换
➢ 随机变量
定义 1.1.5 设 (,F) 与（E，E）为可测空间 , 函数 X: →E称为F-可测的（F-measurable）, 如果对任意
UE， X 1 (U ) ( ,X () U ) F
注: (p7 th1.1.5-1.1.7) (1)可测函数的"函数"仍可测; (2)可测函数的单调极限仍可测
1.1 测度与可测函数
Ø概率与测度中的基本术语及符号: E--随机试验; --样本空间; ω--样本点; A--集类;
? 如何定义事件
定义 1.1.1 设F是空间上的集类，称 F 为 -代数（域） （ -algebra ）, 若满足:
① ∈ F ; ② F ∈ F FC∈ F ； ③ A1,A2,… ∈ F Ai∈ F 注: 如果F 是 -代数 ,则 F 对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭.
定义 1.1.3 设F为空间 的子集组成的 σ代数，称二 元组 (,F) 为可测空间 （measurable space）;
的任一子集 F 称为F- 可测（F-measurable） 的 , 如果 F∈ F .
定义 1.1.4 设(,F)为可测空间，μ: F R+ ，若
测度论简要介绍
测度论简要介绍测度论（Measure theory）是数学中的一个分支领域，主要研究集合的大小、度量和测度的概念。
它是现代数学分析的基础之一，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。
本文将对测度论的基本概念和主要结果进行简要介绍。
一、集合的测度在测度论中，我们首先需要定义集合的测度。
测度是一种将集合映射到实数的函数，用来度量集合的大小。
常见的测度有长度、面积、体积等。
在测度论中，我们希望能够给出一个满足一定性质的测度函数。
1. 外测度外测度是测度论中最基本的概念之一。
给定一个集合，我们可以通过一系列简单的操作来定义它的外测度。
首先，我们将集合划分为若干个小区间，然后计算每个小区间的长度之和。
最后，我们取所有可能的划分方式中的最小值作为集合的外测度。
2. 测度空间测度空间是指一个集合和一个在该集合上定义的测度构成的数学结构。
在测度空间中，我们可以对集合进行测度运算，比较集合的大小。
测度空间的定义需要满足一定的公理，如非负性、空集的测度为0、可数可加性等。
二、测度的性质测度论中的测度具有一些重要的性质，这些性质对于研究集合的大小和度量具有重要的意义。
1. 可测集在测度论中，我们将满足一定条件的集合称为可测集。
可测集是测度论中的基本对象，它们具有良好的性质和结构。
可测集的定义需要满足一定的条件，如可数可加性、闭性等。
2. 测度的可数可加性测度的可数可加性是测度论中的一个重要性质。
它表示对于可数个互不相交的集合，它们的测度等于各个集合测度的和。
这个性质在测度论中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中。
3. 测度的完备性测度的完备性是指测度空间中的任意一个零测集的任意子集也是零测集。
这个性质保证了测度的一致性和完整性，使得我们可以对集合进行更精确的度量。
三、测度论的应用测度论在数学和其他学科中有着广泛的应用。
以下是测度论在一些领域的应用举例：1. 概率论测度论为概率论提供了坚实的基础。
概率论中的概率可以看作是一种特殊的测度，它度量了事件发生的可能性。
第一章 集合与测度.doc
第一章 集合与测度
§1.1集合的概念及相互关系
一、集与类
假定我们需要研究的对象（或称元素，也可叫点）的全体以Ω表示，叫做空间。
其中的点以ω表示。
我们所谓的“集合”就是把空间Ω中某些点凑在一起，形成一个整体，这个整体就叫作集合。
或简称集。
这种或类似的说法并不做为一个定义，只能当作一种说明。
但要把这种说明用更为原始的概念来严格定义，似乎是既不可能也不必要了。
我们用ω表示空间Ω中的元素,假定E 是Ω中一个集（也叫“子集”）。
如果ω属于E ，我们将用下面的符号来表示．
E ∈ω
如果ω不属于E ,我们就用下面的记号来表示．
E ∈ω
因此，对Ω中每一个点ω，我们有:
Ω∈ω
如果E 和F 都是Ω的子集，记号
F E ⊂ 或E F ⊃
称F 包含E ．它表明E 中每个点都是F 的点。
即对每个Ω∈ω，只要E ∈ω，则必然F ∈ω。
特别地
E E ⊂
如果有两个Ω的子集E 和F ,只有当
F E ⊂ 同时 E F ⊂
时，我们才说它们是相等的。
并记作
F E =
为了运算方便，我们还引进一个不含任何点的集，称为空集。
用∅表示．显然对每个集E 都有
E ∅⊂⊂Ω
且对每个点Ω∈ω有。
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F 两两不交，则
此外如果还存在的子集C1 , C2 , 使得：
(4)
n 1
Cn =; ,
(5) (Ci ) , i 1, 2, 上的有限测度。
则称 是上的 -有限测度；如果 () ，则称 是
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An Bn Bn n1 n1 n1
( A1 ) An An1
n2
( A1 ) An An 1 lim ( An ).
a x b
yi yi yi 1 ,
Ei x [a, b] : yi 1 f ( x) yi ,
( Ei ) 集合Ei的“长度” S f ,
y
i 0 i
n 1
( Ei ),
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim S f , ,
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目录
1.1 勒贝格积分的基本思想 1.2 测度的概念 1.3 外测度 1.4 勒贝格测度 1.5 波雷尔集的可测性 1.6 可测集的结构
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(1) F；
n 1
(2) 如果 A1 , A2 ,
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, An ,
F ，则
An F ；
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(3) 如果 A F，则 Ac \ A F. .
则称 F 是 上的一个 - 代数(或 - 域)， 并称
(3)次可加性： 对于的任何一列子集 Bn 皆有 Bi Bi . i 1 i 1
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,F
是一个可测空间。
例3. 设 1,2,3,4,5,6 ，则下列集族构成 上的
- 代数：
F1 的所有子集 F2 ， F3 ，， {1}， {2， 3， 4， 5， 6}
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b
a
f ( x)dx lim S f , , ,
||0
其中 maxi xi xi 1 .
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1.1.2 勒贝格(Lebesgue)积分的基本思想
a x b
min f ( x) y0 y1 yn max f ( x),
要定义勒贝格积分就涉及到一个关键问题：如何定义一 个集合的“长度”？
这就需要引出一个重要的概念：测度
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1.2 测度的概念
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所谓测度，本质上是长度、面积、体积等概念的推广，即 给一个集族中的每一个集合赋予一个唯一确定的实数，用 以度量这个集合的“长度”、“面积”或“体积”。
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(3)完全可加性：如果 A1 , A2 , An ( An ) n 1 n 1
H 两两不交，则
当然，要使得性质(3)成立，对集族H 也是有要求的，例 如集族H 对集合的并、交、补运算必须封闭，为此我们 先引进几个概念。
定义1.1 设是一个集合，F 是由的某些子集所构 成的集族，如果F 满足下列条件：
例1. 设H {(a, b) : a b}表示实数集上所有开区间所构成的 集族，则我们我们可以在H 上定义一个测度：
: H [0, ], (a, b)
((a, b)) b a,
这里我们需要约定： 有限数 , 有限数 () 有限数+=，
上面定义的测度本质上就是区间的长度。
性质(3)第一个等式的证明：
证明：设
An F
n 1
满足 An An1，n 1,2,，令
B1 A1 , B2 A2 \ A1 , B3 A3 \ A2 , , Bn An \ An-1,
则
n 1
An
Bn，且Bn 两两互斥，因此
An Bn Bn n1 n1 n1
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例2. 设Qa ,b;c ,d [a, b) [c, d )表示坐标平面上的矩形区域， H1 {Qa ,b;c ,d : a b, c d }，则我们我们可以在H 上定义一个 测度：
A : H1 [0, ], Qa,b;c,d
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1.1 勒贝格积分的基本思想
1.1.1 黎曼积分的基本思想
a x0 x1 x2 xi 1 xi
n 1 i 0
xn b,
xi xi xi 1 , xi 1 i xi ,
S f , , f (i )xi ,
: F [0, ]
为上的测度，如果它满足下列两个条件：
(1)空集的测度为零： ()=0；
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(2)完全可加性：如果 A1 , A2 , An ( An ) n 1 n 1
例5. 设 1,2,3,4,5,6 ，F1 的所有子集 , 则我 们可以按如下方式定义一个概率测度：
第一讲 测度
1 P {1} P {2} P {3} P {4} P {5} P {6} , 6
一旦上述集合的概率值确定，则 F 中其他集合的概率值 也随之确定。例如由完全可加性可得
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通常我们称三元组(, F, )为一个测度空间。
定理11 . 测度还具有如下性质：
(1)集合的差的测度：设A B，则 (B \ A) (B) ( A);
(2)容斥原理： ( A B) ( A) ( B) ( A B), n n Ak ( Ak ) ( Ai Aj ) ( Ai Aj Ak ) 1i j n 1i j k n k 1 k 1 (1)n1 ( A1 A2 An )
(3)测度的连续性：如果 An F 满足 An An 1，则 An = lim ( An ), n n 1 江西财经大学信息管理学院
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如果 An F 满足 An An 1，且 ( E1 ) ，则 An = lim ( An ). n 1 n
-代数，则称F 是由E 生成的 -代数，记作F (E ).
例4. 设 R，E1是由下列左闭右开区间所构成的集族：
E1 [a, b) : a b
则称由E1所生成的 -代数为实数集上的波雷尔(Borel)代数。
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例6. 设 R，B是实数集R上的波雷尔代数，定义
B ([ a, b)) b a,
然后利用测度定义的条件(1),(2)将它延拓到整个波 雷尔代数B上去，就得到了一个测度，称为实数集R 上的波雷尔测度。
注： 波雷尔测度不是有限测度，但是 -有限测度。
通常我们称三元组(, F, )为一个测度空间。
||0
E4
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其中 max i yi yi 1 .
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黎曼积分和勒贝格积分本质上是两种不同的求和汇总方式。
假设你有一堆乱七八糟的零钱需要汇总： 1 2 2 1 5 5 2 5 1 2 2 1 5 Riemann: 1+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34 Lebesgue: 1X4+2X5+5X4=34
1 P {1, 2,3} P {1} P {2} P {3} 2 不难发现按这种方式定义的概率测度与古典型概率
完全一致。
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我们也可以定义
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1 P {1} P {6} , 3 P {3} P {4} 0
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可以证明，由下列集族所生成的 -代数都是波雷尔代数：
E2 (a, b]: a b E3 (a, b) : a b E4 [a, b]: a b E5 [a, ) : a E6 (, b]: b
n2
n
注：上面的等式包含 lim ( An ) 的情形。
n
到目前为止，我们只是给出了测度的比较正式的定义， 但是并未回答如何去构造一个“好”的测度，使得它 能够继承长度、面积、体积的直观性质。