外测度
第三章测度理论
第三章 测度理论本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集的性质，最后研究了可测集的构造。
其目的在于为改造积分定义时对分割、求和所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。
§３.１ 外测度本节仍设X 是一固定的非空集,)(X P 是X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, .X A ⊂ 若}{n A 是C 中的有限或无穷序列, 使得U k n n A A 1=⊂(或U ∞=⊂1n n A A ), 则称}{n A 是A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数并(只要令),(k n A A k n >= 则U U ∞===11n n k n n A A ). 因此我们不妨只考虑由可数个集构成的覆盖.设µ是环R 上的测度. 对每个,X A ⊂ 令}.}{:)(inf{)(1覆盖的是R A A A A n n n ∑∞=∗=µµ 若A 无R 覆盖, 则令.)(+∞=∗A µ 这样定义的∗µ是定义在)(X P 上的非负值集函数. 称∗µ为由µ导出的外测度.定理1设µ是环R 上的测度. ∗µ为由µ导出的外测度. 则∗µ满足: ).i (.0)(=∅∗µ).ii (单调性: 若≤∗⊂)(,A B A µ则).(B ∗µ).iii (次可数可加性: 对X 中的任意一列集}{n A 成立).()(11n n n n A A ∑∞=∗∞=∗≤µµU (1) 证明 由于}{∅是空集∅的一个R 覆盖, 故.0)()(=∅≤∅∗µµ 因此.0)(=∅∗µ 设,B A ⊂ 则B 的每个R 覆盖也是A 的R 覆盖. 这蕴涵).()(B A ∗∗≤µµ 下面证明∗µ具有次可数可加性. 设}{n A 是X 的一列子集. 不妨设1,)(≥+∞<∗n A n µ(否则(1)显然成立). 现在任意给定0>ε. 由∗µ的定义, 对每个,1≥n 存在n A 的一个R 覆盖,}{1,≥k k n C 使得.)()(1,n n k k n A C 2+≤∑∞=∗εµµ (2)由于}1,,{,≥k n C k n 是U ∞=1n n A 的一个R 覆盖, 由(2)得到.)()(()()(111,11εµεµµµ+=2+≤≤∑∑∑∑∞=∗∞=∗∞=∞=∞=∗n n n n n n k n k n n A A C A U 由于0>ε是任意的, 因此得到.)()(11∑∞=∗∞=∗≤n n n n A A µµU 即∗µ具有次可数可加性. ■可测集 由µ导出的外测度∗µ定义在X 的全体子集所成的集类上. 但∗µ的定义域太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个代数−σ. 将∗µ限制在这个代数−σ上, ∗µ满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个代数−σ一般要比µ的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域.定义2 设µ是环R 上的测度, ∗µ是由µ导出的外测度. 又设.X E ⊂ 若对任意X A ⊂, 均有).()()(c E A E A A ∩+∩=∗∗∗µµµ (3)则称E 是∗µ-可测集. ∗µ-可测集的全体所成的集类记为.∗R等式(3)称为Caratheodory 条件(简称为卡氏条件). 由于外测度∗µ具有次可数可加性, 因此对任意X A ⊂成立).()())()(()(c c E A E A E A E A A ∩+∩≤∩∪∩=∗∗∗∗µµµµ 所以(3)式等价于).()()(c E A E A A ∩+∩≥∗∗∗µµµ (4)因此集E 是∗µ-可测的当且仅当对任意,X A ⊂ (4)式成立. 又由于当+∞=∗)(A µ时(4)总是成立的, 因此若对任意,X A ⊂ 当+∞<∗)(A µ时(4)式成立, 则E 是∗µ-可测的.显然, 空集∅和全空间X 是∗µ-可测集. 又由∗µ 的单调性和(4)可以看出若,0)(=∗E µ 则E 是∗µ-可测集.引理3 设n E E ,,1L 是互不相交的∗µ-可测集. 则对任意X A ⊂, 成立).())((11i n i n i i E A E A ∩=∩∑=∗=∗µµU (5) 证明 用数学归纳法. 当1=n 时(5)显然成立. 假定(5)对k n =时成立. 因为n E E ,,1L 是互不相交的. 所以).()(,)(11111111U U U k i i c k k i i k k k i i E A E E A E A E E A =++=+++=∩=∩∩∩=∩∩于是由1+k E 的∗µ-可测性和归纳法假设, 我们有∩ ∩++ ∩ ∩= ∩++=∗++=∗+=∗c k k i i k k i i k i i E E A E E A E A 11111111U U U µµµ .)(.)(1111∑+=∗=∗+∗∩= ∩+∩=k i i k i i k E A E A E A µµµU 因此当1+=k n 时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. ■定理4 设µ是环R 上的测度, ∗µ是由µ导出的外测度. ∗R 是∗µ-可测集的全体所成的集类. 则有).i (∗R 是σ-代数.).ii (∗µ限制在是∗R 上是一个测度.证明 ).i (先证明∗R 是一个代数. 由于空集∅和全空间X 是∗µ-可测集. 故∗R 非空. 由∗µ-可测集的定义立即可以看出若E 是可测−∗µ的, 则c E 也是∗µ-可测的, 因此∗R 对余运算封闭. 往证∗R 对有限并的封闭性. 设∈21,E E ∗R . 令21E E E ∪=.注意到)(211E E E E c ∩∪=, 利用21E E 和的可测性, 对任意,X A ⊂ 我们有)])(())(([)()()]()([)()(2121121211c c c c c c c E E A E E A E A E E A E E A E A E A E A ∩∩++∩∩+∩=∩∩++∩∩+∩≤∩+∩∗∗∗∗∗∗∗∗µµµµµµµµ ).()()(11A E A E A c ∗∗∗=∩+∩=µµµ即E 满足卡氏条件(4)式. 这表明∈∪=21E E E ∗R . 因此∗R 是一个代数. 为证∗R 是一个σ-代数, 只需再证明∗R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题第20题). 设⊂}{n E ∗R , 并且).(j i E E j i ≠∅=∩ 令.1U ∞==n n E E 由于∗R 是代数, 故∈=U ni i E 1∗R , .1≥n 利用引理2.2.3, 对任意,X A ⊂ 我们有).()()()()(1111c ni i c n i i c n i i n i i E A E A E A E A E A E A A ∩+∩=∩+ ∩≥∩+ ∩=∗=∗∗=∗=∗=∗∗∑µµµµµµµU U U (6) (6)式对任意n 都成立. 在(6)中令,∞→n 并利用外测度的次可数可加性, 得到).()()()()(1c c i i E A E A E A E A A ∩+∩≥∩+∩≥∗∗∗∞=∗∗∑µµµµµ上式表明E 满足卡氏条件(4)式, 因此∈=∞=U 1n n E E ∗R . 这就证明了∗R 是一个σ-代数.).ii (为证∗µ是∗R 上的测度, 只需证明∗µ在∗R 上是可数可加的. 设⊂}{n E ∗R , 并且).(j i E E j i ≠∅=∩ 由外测度的次可数可加性, 我们有.)()(11∑∞=∗∞=∗≤i i i i E E µµU 另一方面, 在(5)中令A=X 得到 ).()()(111U U ∞=∗=∗=∗≤=∑i i n i i n i i E E E µµµ上式中令,∞→n 得到).()(11U ∞=∗∞=∗≤∑i i i i E E µµ因此∑∞=∗∞=∗=11)()(i i i i E E µµU , 即∗µ在∗R 上是可数可加的. 所以∗µ是∗R 上的测度. ■注1 从定理.4的证明可以看出, 定理4的结论)i (和)ii (并不依赖于环R 上的测度µ, 只用到了定理1中∗µ所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理1中的)i (,)ii (和)iii (的集函数∗µ为外测度. 然后和定义2一样定义∗µ可测集. 则定理4的结论对这样定义的一般的外测度∗µ仍成立.我们在微积分中碰到的函数，都是定义在区间上的，那里的积分，需涉及区间及其子区间的长度，如()()k n k kb a f dx x f ∆=∑∫=→10lim ξλ其中Δk ＝[x 1−k ,x k ]，λ＝max|Δk |需涉及[a,b]与[x 1−k ,x k ]的长度。
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3.2 外测度一. 外测度概念定义1 设}{,n n I R E ⊂为n R 中的一列开区间, 则称{}E I I u u n n n n ⊃=∞=∞=∑ 11,:inf为E 的Lebesgue 外测度, 简称为外测度, 记为E m *.注 (1) 点集的外测度也就是集合的所有可数开区间覆盖中诸开区间体积之和的下确界, 若记{}E I I u u U n n n n E ⊃==∞=∞=∑ 11,:, 则.inf *E U E m =(2) n R 中的任意集合都有外测度，外测度非负，但可能为无穷.(3) 若外测度为无穷, 则意味着对集合的任意可数开区间覆盖来说它的各个区间的体积之和为无穷.若外测度有限, 则意味着集合存在一个可数开区间覆盖, 它的各个区间的体积之和有限.∞<=a E m *等价于: 对E 的任意可数开区间覆盖}{n I 都有a I n n ≥∑∞=1, 且对任意的0>ε, 存在一可数开区间覆盖}{n I 使得ε+<∑∞=a I n n 1.不管怎样, 对E 的任意可数开区间覆盖}{n I , 均有E m I n n *1≥∑∞=.例1 对空集∅, 有0*=∅m . 例2 任何单点集的外测度均为0.证明 不妨以1R 为例, 设单点集10}{R x ⊂, 则: (1) 对}{0x 的任一可数开覆盖}{n I , 均有01≥∑∞=n n I ;(2) 0>∀ε, 取}{0x 的如下可数开覆盖}{n I :},,),4,4{(00 ∅∅+-εεx x . 则εε<=∑∞=21n n I .例3 对任何有界点集E , 均有+∞<E m *. 二. 外测度的性质定理1 (1) 单调性: F m E m F E **≤⇒⊂.(2) 次可数可加性: ∑∞=∞=≤1*1*)(n n n n E m E m .(2)换成有限个的情形也是成立的, 此时称为次可加性证明 证(1): ⇒⊂F E F 的任何可数开覆盖均为E 的可数开覆盖 F m E m U U U U F E F E **i n f i n f ≤⇒≤⇒⊃⇒. 证(2): 不妨设+∞<∑∞=1*n n E m , 故.,2,1,*=+∞<n E m n 对0>∀ε, 下面证明ε+<∑∞=∞=1*1*)(n n n n E m E m .∃∀,n E 开区间列},2,1,{=m I m n , 使 n m n E I m ⊃∞= 1,nn m n E m I m 2*1ε+<∑∞=.从而∞=∞=∞=⊃111n n n m n E I m.21*1*11εε+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=n n n n n n m n E m E m Im由单调性和次可数可加性，容易得到 推论1 任何可数点集的外测度为零.推论2 若一个集合的外测度为零，则它的任意子集的外测度也为零. 推论3 设n R E E ⊂21,, ∞<2*E m , 则()2*1*21*\E m E m E E m -≥. 证明 因为()212211\E E E E E E =⊂, 由单调性得到()()21*2*21*1*\E E m E m E E m E m +≤≤ .又∞<2*E m , 移项就得到所要结果. 以下的定理均以一维情形为例定理 2 若()0,>F E ρ, 则()F m E m F E m ***+= . 即当集合间的距离大于零时, 外测度有可加性.为证明此定理, 我们先给出一个引理.引理1 设开区间1),(R I ⊂=βα和0>d , 则对0>∀ε, 存在有限个开区间n I I I ,,,21 使得 ni i I I 1=⊂, n i d I m i ,,2,1,* =<,ε+<∑=I I n i i 1.证明 不妨设d I ≥. 首先将区间I 分成有限个小开区间m L L L ,,,21 , 使得m i d L i ,,2,1, ==<, 设其分点为121,,,-m a a a . 再在每一分点1,,2,1,-=m i a i 处作小开区间i J 使得i i J a ∈, d J i <,ε<∑-=11m i i J (1,,2,1-=m i ). 则开区间12121,,,,,,,-m m J J J L L L 即为所求.定理2的证明 设()0,>=d F E ρ.由外测度的次可加性, 我们只需证明()F m E m F E m ***+≥ . 不妨设()∞<F E m *. 对0>∀ε, 下面证明()ε+<+F E m F m E m ***.对该ε, 存在开区间列}{n I , 使F E I n n ⊃∞=1,2)(*1ε+<∑∞=F E m I n n .由引理1, n ∀, 存在有限个开区间)()(2)(1,,,n m n n n I I I 使得n mk n k n I I 1)(=⊂, n n k m k d I ,,2,1,)( =<;11)(2+=+<∑n n mk n kI I n ε.则F E I I n n n m k n k n⊃⊃∞=∞==111)(()εεε+<+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∑∑∑∞=∞=+∞==F E m I I I n n n n n n m k n k n*11111)(22.将{})(n k I 的全体记为{}n K , 由()0,>=d F E ρ和d K n <知道每一n K 不能与F E ,同时相交, 故可将{}n K 分成与E 相交的一组{})1(i K 及和F 相交的一组{})(j iK , 则这两组无公共元且 i iK E )1(⊂, j jK F )2(⊂, 从而有()ε+<≤+≤+∑∑∑∑∞==F E m I K K F m E m n mk n kjjiin*11)()2()1(**, 即是说()F m E m F E m ***+≥ . 定理得证.定理3 对任何区间I , 均有I I m =*.这说明外测度是一般“长度、面积、体积”等概念的推广.证明 (1) 设I 为闭区间, 比如],[b a I =.对0>∀ε, 存在开区间K , 使得K I ⊂, ε+<I K . 此时, 开区间列{} ,,,∅∅K 覆盖I , 且ε+<≤I K I m *. 故有I I m ≤*.另一方面, 对I 的任意开区间覆盖{}n I , 由Borel 有限覆盖定理, 存在有限的子覆盖{}n I I I ,,,21 , 则易知∑∑∞==≤≤11i in i i I I I , 即是说I I m ≥*. 总之I I m =*.(2) 设I 为闭区间, 比如),(b a I =.令],[b a I =, 则{}{}b a I I =. 由外测度的单调性, 单点集的测度为零得到{}{}I m b m a m I m I m I m ******=++≤≤再由第一步的结果得到I I I m I m ===**. 也就是说当区间是开区间时结论成立 其他的情形类似.定理4 外测度具有平移不变性, 即{}()0**x E m E m +=, 而{}{}E x x x x E ∈+=+:00. 证明 首先注意到开区间平移后仍是开区间, 且保持体积不变. 对E 的任意可数开区间覆盖{}n I , 则{}{}0x I n +必是{}{}0x E +的开区间覆盖. 故有{}{}()0*101x E m x I I n n n n +≥+=∑∑∞=∞=.因而由E 的开区间覆盖的任意性得到{}()0**x E m E m +≥. 类似的也得到{}()0**x E m E m +≤. 即有{}()0**x E m E m +=.。
可数集的勒贝格外测度为0_概述说明以及解释
可数集的勒贝格外测度为0 概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在现代数学中，测度论是一门重要的分支，用于研究集合的度量特性。
其中，测度被定义为一个函数，它将集合映射到实数上，并满足一系列公理。
在勒贝格测度中，我们关注的是集合的外部度量。
本文主要探讨了可数集的勒贝格外测度为0这一概念，并详细阐述了其定义、性质以及证明过程。
这个概念在数学理论和实际应用中都具有重要意义。
1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织。
首先，在引言部分介绍了文章的背景和目的。
接下来，在第二部分详细解释了可数集和非可数集的概念，并引入了勒贝格外测度的基本知识。
然后，在第三部分给出了可数集的勒贝格外测度为0的证明步骤和示例应用场景分析。
第四部分回顾了相关研究文献并讨论了可数集勒贝格外测度在实际问题中的应用案例。
最后，在第五部分总结本文所得出的主要结果，并对未来发展进行了讨论。
1.3 目的本文的目的是深入探讨可数集的勒贝格外测度为0这一概念，并介绍其在数学理论和实际应用中的重要性。
通过详细阐述其定义、性质和证明过程，我们旨在向读者解释该概念及其应用，并为相关研究提供参考和启示。
通过本文的研究，我们希望能够进一步推动可数集勒贝格外测度为0的理论发展，并促进其在实际问题中的应用。
同时，我们也会反思文章存在的不足之处，并提出改进方向，以期对该领域未来的研究产生积极影响。
2. 可数集的勒贝格外测度为0的概念解释：2.1 可数集和非可数集的概念介绍：在数学中，可数集是指具有与自然数集（正整数集）一一对应关系的集合。
也就是说，一个集合是可数的，当且仅当可以按照某种方式将其元素排成一个无限序列，并且每个元素都能唯一地与自然数对应。
比如自然数集、整数集和有理数集都是可数的。
非可数集则表示一些无法与自然数进行一一对应的无限集合。
典型的非可数集包括实数集和幂集。
2.2 勒贝格外测度的介绍：勒贝格外测度是由法国数学家Henri Lebesgue提出的，用于衡量一个给定子集在一个更大空间中所占据的大小或者容量。
Lebesgue测度的性质及应用
课程设计论文Lebesgue测度的性质及应用2015年1月摘要本文首先Lebesgue测度的引入写起，然后从Lebesgue外测度写起，主要写了外测度的定义与外测度的一些基本性质以及外测度的一些性质的应用，之后联系到Lebesgue内测度的角度写Lebesgue测度，并与可测集相结合写一些Lebesgue 测度的性质，并介绍这些性质的应用。
关键字：Lebesgue外测度；Lebesgue内测度，勒贝格测度，可测集。
Lebesgue测度的性质及应用要了解lebesgue测度我们首先来了解一下lebesgue测度是如何引入的。
一、lebesgue的引入19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段。
1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数。
随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性。
几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就巳经开展了对积分理论的改造工作。
当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。
积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。
因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中。
这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。
至此，Lebesgue引入了Lebesgue测度。
实变函数论的核心内容是建立一种较Riemann积分而言，适用范围更广、使用操作更为简便的新的积分理论——Lebesgue积分，但是介绍Lebesgue积分却不能象介绍Riemann积分那样，一开始就定义什么是Lebesgue积分，而是需要先引入测度和可测函数概念，并且要用足够的篇幅对它们进行讨论后才能开始定义Lebesgue积分。
实变函数论课件8、9 外测度和可测集(选讲)
m*J I | I | 1, m*J E 1, m*J (I \ E) 1; m*I | I | 1, m*E 0, m*(I \ E) 1
16
命题1 若 G 是有界开集,则 G 可测, 并且对任何包含G 的开区间I 恒有 m*G m* (I \ G) | I | .
任给 0, 对每个 In ,显然可以作闭区间Jn In , 使
| Jn || In | 2n . 闭区间 J1, J2 , J3,...两两无交, 每个闭区间Jn 与闭集 I \ G 无交而两个无交的非空有界闭集间的距离大
于 0,由第二节命题1以及外测度的隔距可列可加性
等性质
n1
|
In
|
m*E
2
.
对每个 In ,显然可以作开区间Jn In ,使
| Jn || In | 2n1 .
13
令 G J n ,则 G 是开集, G E, 由外测度的
n1
半可列可加性及命题1 知
m*G m* J n | J n |
i 1
i 1
i 1
令n ,得
m* Ai m* Ai .m* Ai .
i 1
i 1
注：当两个点集E1, E2 无交时,未必有 m* (E1 E2 ) m*E1 m*E2 .(从第五节可看出)
12
2.3 外测度的开集逼近
(1)
由 (iii) 知 m* ( A B) m* A m*B.
再证相反的不等式. 任给 0,由外测度的定义知存在
Lebesgue外侧度
定理3.2.6设 是一列互不相交的可测集，则 也是可测集，且
（3.2.7）
证明先证 可测.因为对任何 ， 可测，所以对任意的 总有
（推论1）
令 ，有
（3.2.8）
另一方面，由于 ，所以
，
因此 。
于是 可测.
在（3.2.8）式中，令 ，由 ，便有
，
而由外测度的性质
，
因此
.
推论3设 是一列可测集，则 也是可测集.
为证明该定理，先给出一个引理.
引理1 中的非空开集 都可以表示成可数多个互不相交的左开右闭的区间的并，即 .
因此，有
，
于是 可测.
其次证明（3.2.4）成立.当 时，因为 可测， ， ，由定理3.2.1，有
推论1设 都可则，则 也可测，并且当 时，对任何集合 总有
.
定理3.2.4设 ， 都可测，则 也可测.
证明因为 ，由定理3.2.2及定理3.2.3， 可测.
推论2设 都可测，则 也可测.
定理3.2.5设 ， 都可测，则 也可测.
那么，满足勒贝格测度公理的在集合族 上定义的集函数 是否存在？ 由哪些集合所构成？是否每个集合都有测度呢？这些问题都是本章要解决的.
§3.1 外测度
众所周知，在 中，求圆 的面积可以用包含它的外切多边形面积的下确界来定义.更一般地，我们可以用一些长方形（在 也称为区间）去分割圆 ，然而长方形的面积之和近似代替圆 的面积的这种想法也可以求 中一般的立体的体积的近似值.这一想法正是我们定义外测度的出发点，启发我们给出如下外测度的定义：
例2设 是区间，则 .
证明（1）设 为闭区间，对任意的 ，存在开区间 ，使得 ，且 ，由外测度定义， ，由 是任意的，有 .
实变函数论3.1 外测度
上面叙述的错误出在取
2 i 1
，因为i的取定依赖于δ
思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的 有理数全体，则这有限个开区间也覆盖[0,1] （除有限个点外） 注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列
n
b
a
f ( x)dx lim mi xi
||T || 0 i 1
xi-1 xi
•Jordan测度
Jordan外测度（外包）
n n
(m E ) J inf{ | I i | : E I i且I i为开区间 }
i 1 i 1
Jordan内测度（内填）
(m E ) J sup{ | I i | : I i E且I i为两两不交的开区间 }
2.平面上的x轴的外测度为0
Ii (ri 1, ri 1) (
2i2
, 2i2 ), ri Z，i 1,2,3,
思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中 的开区间列是否覆盖了区间[0,1]
E [0,1] Q {r1, r2 , r3 ,}
（C）次可数可加性 m ( An )
* n 1
n 1
m* An
证明：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开区间（即用一开区间{I nm}列近似替换An）
I n1 , I n 2 , I nm ,, 使得An I nm且m An | I nm | m An n m 1 2 m 1
I i (ri 2 , r , 2 , 3 , i 1 i 1 ), i 1 i 2
外测度教案
实变函数 Ver.1.0 © 渭南师范学院 余保民
–5–
教学过程
在每一个等价类中选取一个代表元，这些代表元的全体构成的集
合记为 R，即 R ⊂ [−1, 1] 且对任意的 a ∈ [−1, 1]，R ∩ a˜ 恰有一个元素. 令 R ∩ a˜ = {e}，则 r : = a − e ∈ Q，从而 a = r + e ∈ r + R，容易看到
m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am) ⩽ m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Ak.
证明. 令 Ak = ∅, k > n，则有 m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am)
=m∗(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ · · · ) ⩽m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Am + m∗∅ + m∗∅ + · · · =m∗A1 + m∗A2 + · · · + m∗Am.
则在 I1, · · · , Im+1 中，存在某个开区间包含 b. 不妨设 b ∈ Im+1 且 Im+1 = (c, d). 如果 c < a，则由(??)可知(??)成立. 如果 a ⩽ c < b < d，则
[a, c] ⊂ I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ Im.
实变函数 Ver.1.0 © 渭南师范学院 余保民
, I3 =
, 23 23
,··· ,
则
I
⊂
∪∞
Ik，从而
m∗I
⩽
∞
∑
|Ik| = b − a + 2ε.
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在某个 n，使 rnx，这样 xrn Sn。
即
(0,1)Sn
。
综上n得1(0,1) Sn(1,2)。如果外测
度具有可加性，则 n1
第8讲 外测度
1 m * ( 0 , 1 ) m * ( S n ) m * S n m * ( 1 ,2 3 )
SnSm，则存在 x,yS ，使 x r n y r m， 于是 xyrm rn 为有理数，但由 S的构造， 若 xy，则 x,y 属于不同的 Rx,Ry ，即 xy不 能为有理数，因此只能有 xy ，然而这将导
致rn rm，再次得到矛盾，所以Sn与Sm一定不交。
第8讲 外测度
下证 (0,1)Sn ，任取 x(0,1)，则 xRx ， 由 S的构造，n1SRx是单点集，设为{ }，于
集合都具有可加性。事实上，如果对任意
第8讲 外测度
两个不交的集合A,B都有 m *(A B )m *A m *B ，
则不难推知对任意有限个互不相交的点集
E1, ,En，也有 m *( nEi) nm *Ei
进而对任意一列互不相交i1 的点集Ei1 ,1 ,En,，
有 m * ( E i) m * ( n E i) n m * E i
所以对任意有限个盖住 I 的开矩形 I1,,In， n
有 | Ii | | I | 。
i1
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下设Iii1是任一列开矩形将I 盖住，则由有
限覆盖定理知存在n 有限个Ii1,,Iim，它们也
将 I 盖住，于是 | Iik | | I | ，进而
|
i1
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ | | I |
k1
。由 Ii
i1
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应该注意到，由于没有假定 E是有界集，所 以 m*E 有可能是 ，就象 (a,) 的长度 是 一样。
由于在 Rn 中任意平移一个长方体并不 改变其体积，所以外测度也具有平移不变 性，此外外测度还有如下几个基本性质：
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性质1 m *E0,m * 0。
性质2 若 AB， 则 m*Am*B。
Rx{(0,1),x是有}理数
显然 xRx ，故 Rx非空，而且对任意 x,y(0,1)，
如果 RxRy，则 Rx Ry 。事实上，若
RxRy ，则对任意 Rx 及 ~Ry ，
x,x均为有理数，x,x也为为理数，
于是 y y 及 ~ x ~ x
第8讲 外测度
都为有理数，这说明 Ry，~Rx，由 ,~ 的任
第8讲 外测度
目的：懂得如何从长方体的体积概念导出 外测度概念，了解外测度与体积概 念的异同。
重点与难点：外测度的定义，不可测集的 存在性。
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正如引言中所说，要研究一般函数的 积分，首先要建立一般集合的“长度”概 念，这一工作可以追溯到19世纪人们关于 容量的研究，其中具有代表性的人物是 Peano（皮严诺）、Jordon（约当）以及 Lebesgue的老师Borel（波雷尔）。然而， Lebesgue的工作替代了十九世纪的创造， 特别是他改进了Borel的测度论。
如(a 果,b开) 区 间I{nIn }E n，1因}盖此住一了种自(a 然,b 的)方式E 是，定则义
n1
E的内测度为：
第8讲 外测度
m * E b a m * (a ,( b ) E )
当 m*Em*E时，称 E是可测集。 直观地解释内测度就是将 (a,b) 挖去一些
开区间后剩下部分的长度之上确界。回忆一下直 线上有界闭集的构造不难发现，内测度其实就是
3与可加性又是必须具备的条件。由此可见，问 题不在于外测度的定义方法有毛病，而是碰到了一 种无法克服的困难。换句话说，总有一些集合，其 测度是不具有可加性的，既然无法克服这个困难， 最好的办法是把这些集合排除在外，只考虑那些具
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有可加性的集合。我们把前者称为不可测集，后者 称为可测集。
记 I0IIk1，i1则 I 0 仍是从矩形中挖去有限 个开矩形后剩下的部分，且 I1,,Ik 将
I0IIk1盖住（事实上，不难证明：
IIk 1IIk 1）。由归纳假设知
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k
| Ii | | I0 | ，
i1
于是
k1
k
|Ii| |I||Ik1||Io||Ik1|
i1
i1
I0IIk1I
一列开长方体，In E ，则 I n 确定一
u 个非负的数 （或n1）。记 n1
m *Einu f|u |In|, In E ,In是开长
n 1 n 1
称 m*E为 E的Lebesgue外测度。
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二. 外测度的性质 问题4：回忆Riemann积分具有什么性 质，由此猜测外测度应具有什么 性质？
众所周知，在 R2 中，开矩形
I ( x ,y ) a x b , c y d
的面积为 (b a ) (d ，c )在 R3 中，开长方体
I ( x , y , z ) a x b , c y d , l z h
的体积为 ( b a ) ( d c ) ( h l) 。很自然地，
n 1
n 1
注意 Sn 是经过 S平移 rn 后得到的，故
m*Snm*S，于是由
m*Sn
n1
的收敛性知
m*S0
，
然而这样导致 103。这个矛盾说明外测度的
确不具有可加性。
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问题出在哪里呢？是不是外测度的定义有缺 陷？从上面的例子可以看到，整个的证明并未用到 外测度的具体构造，这就是说，只要一种关于集合 的函数（常称为集函数）具备性质1、2、3及可加 性，就不可避免地会碰到上述矛盾。而性质1、2、
这说明外测度确是“体积”（或“面 积”、
“长度”）概念的自然拓广。至此，集合的
第8讲 外测度
“体积”问题似乎已得到解决，但事情远非 如
此简单。
既然A 外B测 度是体积概念m *(的A 自B )然m * 推A 广m *B ，
那么当
时，应有
。
因为区间的长度或立体的体积都是具有可
加性的。遣憾的是，外测度并非对所有的
我们也称 Rn 中的开集
I ( x 1 , x 2 , , x n ) a i x i b ii 1 , n ,
第8讲 外测度
为开长方体，并定义其体积为
n
I (bi ai)
i1
如果 ERn是一个一般的集合怎么办呢？熟 悉Riemann积分的人可能比较自然地会想 到，用一些长方体去分割它，然后以长方体 的体积之和近似代替 E的体积。但值得注意 的是，由于 E是一般的集合，它可能不含任 何开长方体，例如若 E是有理数
上述方式定义的外测度是不是长方体体 积概念的一种推广呢？
这就要看看当 I 是长方体时，其体积与外测 度是否相等。为方便计算，以 n2为例来说 明这件事，一般情形可类似证明。假设 I 是
矩形或是从某个矩形挖去有限个开矩形后剩
第8讲 外测度
下的部分，I 是 I 的闭包（显然 I 与 I有通
常的体积）。下面用归纳法证明，如果
n1
n1
看起来似乎外测度概念推广了通常的体 积概念，我们所期待的问题已经解决，但 是，当我们完成了在某个原始概念基础上推 广或建立一个新的概念后，首先必须回过头
第8讲 外测度
来审查一下这一概念是否具有合理性，所谓 合理性就应包括下面两个方面的问题：
1、它是否的确为原始概念的自然推广？ 2、它是否继承了原始概念的基本特征？按
，且
n1
n1k1
于是 n 1 k 1 |I n|k n 1 ( m * A n 2 n ) n 1 m * A n
m * ( A n ) |In|k m * A n,
n 1
n 1k 1
n 1
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由 的任意性知
m*( An) m*An 。
i 1
i 1 i 1
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令 n 便知
m *( E i) m *E i 相反的不等式由外i测1度的性i 质13立得，所以
m *( E i) m *E i 这就是说，只要外i 测1度具有i 可1加性，则它一
定具有可数可加性。然而下面的例子说明，
外测度并不具有这种性质。
第8讲 外测度
例1 对任意 x(0,1)，令 x(0,1)
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三. 可测集的定义 问题6：回忆Riemann积分的存在性定理，
它启发我们应如何定义一般的可测 集？
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如何判断一个集合是可测或不可测的呢？有两种方 法来作出判断，其一是采用内外测度的办法，回忆 微积分中求曲边梯形的面积时，通过将函数的定义 区间分割成若干小区间，然后以这些小区间为边作 若干小矩形包住曲边梯形，同时又让曲边梯形包住 以这些小区间为边的另一些小矩形，如果当划分越 来越细时，内外小矩形面积之和趋于同一个值，则 曲边梯形的面积就存在。否则就不存在，内外测度
方法与此很相似，集合E 的外测度是包住E 的一些
小长方体和体积之和的下确界，如何作内测度呢？
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为叙述方便，以直线上有界点集 E为例，不妨 设E(a,b)，若 E 可测，(a,b)E也应可测，
于是应有 m * ( a , b ( ) E ) m * ( a , b ) m * E b a m * E 。
m*II I 。
的任意性知
由外测度的定义，不难看到 m*(II)0。于
是
第8讲 外测度
m * I m * ( I ) m * ( I I ) m * I m * I
即 m*Im*I。 故 m*I I 。特别地，当 I是
长方体时，m*I I 。至于相反的不等式则是 显然的。综上得 m*I I 。