2018届高考数学 专题10.2 概率与离散型随机变量及其分布列同步单元双基双测(B卷)理
2018版高中数学 第二章 概率 第10课时 离散型随机变量的分布列课件 新人教B版选修2-3
所以 ξ≤1.
因为 P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝1335，
所以，得分不超过 5 分的概率为1335.
解析：X＝0,1,2,3，
X＝0 表示取出的 3 个球全是黑球， P(X＝0)＝CC8533＝1506＝258，同理 P(X＝1)＝CC31·C38 52＝3506＝1258， P(X＝2)＝CC32·C38 51＝1556，P(X＝3)＝CC3338＝516. ∴X 的分布列为
X0 1 2 3
P
(1)求取出的红球数 ξ 的分布列； (2)若取到每个红球得 2 分，取到每个黑球得 1 分，求得分不超 过 5 分的概率．
解析：(1)因为 ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 ξ 的分布列是一个超
几何分布列．
所以 ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3
P
1 35
12 35
18 35
4 35
(2)因为得分 η＝2ξ＋4－ξ＝ξ＋4≤5，
P(X＝k)＝CMk CCnNnN－－kM.
2 新视点·名师博客 类型一 分布列的性质及应用
【例 1】 设随机变量 X 的分布列 P(X＝5k)＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(X≥35)； (3)求 P(110＜X＜170)．
解析：题目所给分布列为
X
1 5
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 这个表格称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分 布列． 为了简单起见，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分布列．
n
2．性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；② pi＝1.
i＝1
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习：概率、离散型随机变量及其分布列
寒假作业(二十) 概率、离散型随机变量及其分布列(注意命题点的区分度)一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则E (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．11D ．14解析：选C 由题意得P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝P (X ＝3)＝13，所以E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，故E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝11.2．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X >a －2)，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选B 因为随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X >a －2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x ＝1)可知，a －2＝2×1，解得a ＝4.3．设X ～B (4，p )，其中0<p <12，且P (X ＝2)＝827，那么P (X ＝1)＝( )A.881B.1681C.827D.3281解析：选D 由题意，P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827， 即p 2(1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23，因为0<p <12，故p ＝13，故P (X ＝1)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝3281.4．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( )A.34B.35C.45D.710 解析：选C 所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 24＋C 34C 36＝45.5．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14 B.89 C.116 D.532 解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面：只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝89；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为13×16×2＋16×16＝536.故所求条件概率为53689＝532.6．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35 B.59 C.110 D.25解析：选B 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P AB P A ＝1335＝59. 7．(2017·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析：选B 由已知及题图知S阴影＝S 正方形－⎠⎜⎛01x 2d x ＝1－13＝23，所以有23＝S 阴影S 正方形＝n10 000，解得n ≈6 667.8．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为p (p ≠0)，制作次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞74，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3) ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p ＜12，又p ∈(0,1]，可得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.9．有一个公用电话亭，观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P (n )，且P (n )与时刻t 无关，统计得到P (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·P 01≤n ≤5，0，n ≥6，那么P (0)的值是( )A ．0B ．1 C.3263D.12解析：选C 由题意得P (1)＝12P (0)，P (2)＝14P (0)，P (3)＝18P (0)，P (4)＝116P (0)，P (5)＝132P (0)，P (n ≥6)＝0，所以1＝P (0)＋P (1)＋P (2)＋P (3)＋P (4)＋P (5)＋P (n ≥6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116＋132P (0)＝6332P (0)，所以P (0)＝3263.10．(2018届高三·合肥调研)从区间[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选A 令t ＝2x ，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t 1＋t 2>0，t 1t 2>0，解得a ≥1，又a ∈[－2,2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1,2]，故所求概率P ＝14，选A.11．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，则a ＋b 的值是( )A ．1或2B ．0或2C ．2或3D ．0或3解析：选B 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，E (X )＝12×0＋120×1＋110×2＋320×3＋15×4＝32，D (X )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋110×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322＋320×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－322＝114. 由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×114＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×32＋b ，得b ＝－2，此时a ＋b ＝0.当a ＝－2时，由1＝－2×32＋b ，得b ＝4，此时a ＋b ＝2.故选B.12．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝24A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83 B.113 C.89D.119解析：选B 法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181， P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881， P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113.法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5， 设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.二、填空题13．若随机变量η的分布列如下表：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是________．解析：结合分布列易知P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.8，又P (η<x )＝0.8，所以1<x ≤2.答案：(1,2]14．(2017·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π1215.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5) 解析：由题意知μ＝－1，σ＝1，因为P (0<X ≤1)＝12[P (－1－2<X ≤－1＋2)－P (－1－1<X ≤－1＋1)]≈12×(0.954 5－0.682 7)≈0.135 9，所以落入阴影部分的个数约为0.135 9×10 000＝1 359.答案：1 35916．在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记2分，竹圈只套在小玩具一部分上记1分，小玩具全部在竹圈外记0分．某人投掷100个竹圈，有50个竹圈套住小玩具的全部，25个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分ξ的数学期望是________．解析：将“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝50100＝12，P (B )＝P (C )＝25100＝14.某人两次投掷后得分ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝14×14＝116，P (ξ＝1)＝2×14×14＝18，P (ξ＝2)＝14×14＋2×12×14＝516，P (ξ＝3)＝2×14×12＝14，P (ξ＝4)＝12×12＝14.故ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0×116＋1×18＋2×516＋3×14＋4×14＝52.答案：52三、解答题17．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则P (A )＝1－2×3＋3×3＋4×39×9＝23.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2，左手所取的两球颜色相同的概率为C 22＋C 23＋C 24C 29＝518，右手所取的两球颜色相同的概率为C 23＋C 23＋C 23C 29＝14.故P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－518⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1318×34＝1324；P (X ＝1)＝518×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－518×14＝718；P (X ＝2)＝518×14＝572.∴X 的分布列为：E (X )＝0×1324＋1×718＋2×72＝36.18．某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X表示1(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．解：(1)设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X的所有值为：50×1－20＝30,50×0.6－20＝10，30×1－20＝10,30×0.6－20＝－2，则P(X＝30)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝10)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝－2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，则X的分布列为：(2)设C i表示事件“第i(i＝1,2,3)，则C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝30)＋P (X ＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512，3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，∴3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.19．(2017·合肥质检)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元资金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725，P (X ＝500)＝45×12＝25，P (X ＝1 000)＝45×12×45＝825，∴员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为：(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1 000×825＝520(元)，若选择方案乙进行抽奖，设中奖次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480(元)，故选择方案甲较划算．20．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？ (2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．附表及公式：K 2＝2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由表中数据得K 2＝5022×12－8×8230×20×30×20＝509≈5.556>5.024， 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则⎩⎪⎨⎪⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8，表示的平面区域如图所示．设事件A 为“乙比甲先做完此道题”则x >y ，满足的区域如图中阴影部分所示． 所以由几何概型可得P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)由题可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2人的方法有C 28＝28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到的有C 26＝15种；恰有一人被抽到的有C 12C 16＝12种；2人都被抽到的有C 22＝1种．所以X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128，故X 的分布列为：E (X )＝0×1528＋1×37＋2×28＝2.。
【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第10章 第6讲离散型随机变量及其分布列含解析
第6讲 离散型随机变量及其分布列最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.知 识 梳 理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为，其中p ＝P (X ＝1)(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( )(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.( )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.( )解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(3)，X的取值不是0，1，故不是两点分布，所以(3)不正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.答案 C3.(选修2－3P49A4改编)设随机变量X的分布列如下：则p 为( ) A.16B.13C.14D.112解析 由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.答案 C4.设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______. 解析 由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案 105.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( ) A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6D.ξ≤5解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 C6.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X ＝1的概率为________.解析 P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35.答案35考点一 离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求：(1)2X＋1(2)|X－1|的分布列.解由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为(1)2X＋1的分布列(2)|X－1|规律方法(1)此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数.(2)若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列.【训练1】 (2017·丽水月考)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (|X －2|＝1)＝( )A.712B.2C.12D.16解析 由|X －2|＝1得X ＝1或3，m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋14＋13＝14，∴P (|X －2|＝1)＝P (X＝1)＋P (X ＝3)＝16＋14＝512.答案 C考点二 离散型随机变量的分布列【例2】 (2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为规律方法(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为考点三超几何分布【例3】(2017·嘉兴模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.解(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝47.(2)依题意知X的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C34C37＝435，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝135，∴X的分布列为规律方法的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【训练3】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列.解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0，1，2，3).∴P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.因此X的分布列为[思想方法]1.对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率. [易错防范]掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.(3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.某射手射击所得环数X 的分布列为A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案 C2.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336D.32＋336解析由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.答案 C3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0B.12C.13D.23解析 由已知得X 的所有可能取值为0，1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1， 得P (X ＝0)＝13.答案 C4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X ＝2)B.P (X ≤2)C.P (X ＝4)D.P (X ≤4)解析X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.答案 C5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝C23C14C37＝1235.答案 C二、填空题6.(2017·金华调研)设离散型随机变量X的分布列为(1)则m＝________(2)若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.解析由分布列的性质，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.答案(1)0.3 (2)0.57.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.解析P(X≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝C34C13C47＋C44C47＝1335.答案13 358.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.解析η的所有可能值为0，1，2.P(η＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为答案三、解答题9.(2017·浙江三市十二校联考)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2 5 .(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列.解(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，∴P(A)＝6＋n20＝25，解得n＝2，∴m＝4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P(B)＝1－C26C29＝712.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2.∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，∴P(X＝0)＝C212C220＝3395，P(X＝1)＝C18C112C220＝4895，P(X＝2)＝C28C220＝1495，∴X的分布列为10.300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X 的分布列. 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， 则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20.P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的分布列为(建议用时：25分钟)11.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c ) A.16B.13C.12D.23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案 D12.随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.56解析 因为P (X ＝n )＝a n （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝45a ＝1.∴a ＝54，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56.答案 D13.(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：. 现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________.解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为答案14.盒内有大小相同的9个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列.解(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)X可能的取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0，1，2，3.故P(X＝0)＝C36C39＝521，P(X＝1)＝C13C26C39＝1528，P(X＝2)＝C23C16C39＝314，P(X＝3)＝C33C39＝184.所以X的分布列为15.3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记X ＝|x －2|＋|y －x |.(1)求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率； (2)求随机变量X 的分布列.解 (1)由题意知，x ，y 可能的取值为1，2，3， 则|x －2|≤1，|y －x |≤2，所以X ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，X ＝3. 因此，随机变量X 的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，所以P (X ＝3)＝29.故随机变量X 的最大值为3，事件“X 取得最大值”的概率为29. (2)X 的所有取值为0，1，2，3.当X ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况，当X ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况，当X ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况. 当X ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况. 所以P (X ＝0)＝19，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝29.则随机变量X 的分布列为。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考：离散型随机变量的分布列及期望
随机变量的分布列、数学期望和方差是高考的热点，主要以考生熟悉的实际问题为背景，综合排列、概率公式、互斥事件及相互独立事件的概率等基础知识，考查随机变量的识别及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用，题型主要是解答题，难度中档。
一、考点梳理1. 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，… ξ为离散型随机变量ξ的概率分布列。
2. 随机变量的期望与方差：n n i i p x p x p x p x EX +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=2211为随机变量X 的均值或数学期望。
+-=121)(p EX x DX +⋅⋅⋅+-222)(p EX x ⋅⋅⋅+-i i p EX x 2)(+n n p EX x 2)(-为随机变量X 的方差。
二、考查形式1. 概率与统计的综合概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题过程中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算。
2. 随机变量期望与方差的应用在概率分布列、期望和方差的计算中，概率计算是问题的核心，要正确地计算各种情况的概率，就要把问题的实际意义弄清楚，然后利用排列组合、古典型独立事件的概率等计算其概率值，列出分布列，计算期望方差。
例题1 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解析：（Ⅰ）记i A 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(0,1,3)i = 则31011111(),(),()123236P A P A P A ===--= 记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(0,1,3)i = 则31013131(),(),()155555P B P B P B ===--= 记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意，30100103D A B A B A B A B =+++ 由事件的独立性和互斥性，30100103()()P D P A B A B A B A B =+++ 30100103()()()()P A B P A B P A B P A B =+++30100103()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B =+++ 1111131132535656510=⨯+⨯+⨯+⨯= 所以，小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310（Ⅱ）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得00111(0)()6530P P A B ξ===⨯=1001100111131(1)()()()35656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=11131(2)()355P P A B ξ===⨯=3003300311112(3)()()()255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=31133113131111(4)()()()253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=33111(6)()2510P P A B ξ===⨯=可得，随机变量ξ的分布列为：。
高考数学人教版(理科)一轮复习课件：第10章第7讲离散型随机变量及其分布列课后作业
)
A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1)
C．P(X＝1)
D．P(X＝2)
答案 B
解析 由题意可知，P(X＝1)＝CC12222C6 14，P(X＝0)＝CC222226，C122CC41＋226 C222表示取 1 个白球或者一个白球都没有取得，即 P(X≤1)．
答案 解析
5．袋中装有除颜色外其他完全相同的 10 个红球、5 个黑球．每次随机
解析
3．已知某一离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 12 3 P 0.1 m 4n 0.1
则m1 ＋1n的最小值为________．
答案
45 4
答案
解析 由题意得 m＋4n＋0.2＝1，m＞0，n＞0. 即 m＋4n＝45，54(m＋4n)＝1. 所以m1 ＋1n＝54(m＋4n)m1 ＋1n ＝545＋4mn＋mn ≥54(5＋2 4)＝445， 当且仅当4mn＝mn 即 m＝2n，n＝125，m＝145时，“＝”成立．
X0 1 2 4
P
3 4
1 9
1 9
1 36
解析
10．设离散型随机变量 X 的概率分布列为 P(X＝k)＝k＋m 1(k＝0,1,2,3)， 则 m＝________.
答案
12 25
解析 因为离散型随机变量 X 的概率分布列为 P(X＝k)＝k＋m 1(k＝
0,1,2,3)，所以0＋m 1＋1＋m 1＋2＋m 1＋3＋m 1＝1，可得 m＝1225.
解析
7．若离散型随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝2k＋1－m1·2k2k－1(1≤k≤5，
k∈Z)，则 P32≤X≤52的值为(
)
6
61
A.31
B.62
2018届高考数学专题10.2概率与离散型随机变量及其分布列同步单元双基双测(A卷)理
专题10.2 概率与离散型随机变量及其分布列（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 设X 为随机变量，若~X 1(6,)2N ，当(2)(5)P X a P X <-=>时，a 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 【答案】D 【解析】试题分析：∵随机变量X 服从正态分布1(6,)2N ，∵(2)(5)P X a P X <-=>，∴2512a -+=，∴9a =．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2. 【2018江西宜春联考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 A.12 B. 1532 C. 1132 D. 516【答案】C故答案选C3. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式4. 某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（ ）A ．815 B ．49 C ．35 D ．19【答案】C 【解析】考点：茎叶图；古典概型．5. 如图，ABC ∆中的阴影部分是由曲线2y x =与直线20x y -+=所围成，向ABC ∆内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．732 B ．932 C ．716 D ．916【答案】D 【解析】试题分析：所求概率2219(2)921816442x x dx P -+-===⨯⨯⎰，故选D ．考点：1、古典概型；2、定积分．6. 【2018广东香山中学一模】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()21000,50N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为( )A.15 B. 12 C. 35 D. 38【答案】D本题选择D 选项.7. 如果袋中有六个红球，四个白球，从中任取一球，确认颜色后放回，重复摸取四次，设X 为取得红球的次数，那么X 的均值为（ ） A ．34 B ．125 C ．197 D ．13【答案】B 【解析】试题分析：采用有放回的取球，每次取得红球的概率都相等，均为35，取得红球次数X 可能取的值为0，1，2，3，4，由以上分析，知随机变量ξ服从二项分布ξ～3(4,)5B ，∴312()455E ξ=⨯=，则X 的均值为125，故选：B ．考点：离散型随机变量的期望与方差．8. 【2018东北名校联考】据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布()22000,100N ，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（ ）附；若()2,X N μσ~()0.6826(22)0.9544(33)0.9974P x P x P x μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+= A. 0.4987 B. 0.8413 C. 0.9772 D. 0.9987 【答案】D【解析】游客人数服从正态分布()22000,100N ，则由(33)0.9974P x μσμσ-<≤+=则(17002300)0.9974P x <≤=，可得()1(2300)10.99740.00132P x >=-=，所以()230010.00130.9987P x ≤=-=．故本题答案选D ．9.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为,,a b c ，当且仅当,a b b c ><时称为“凹数”（如213，312等），若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且,,a b c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为（ ） A. 16 B. 524 C. 13 D. 724【答案】C 【解析】试题分析：由于,,{1,2,3,4}a b c ∈，且,,a b c 互不相同，故可得43224⨯⨯=个三位数.若1b =，则“凹数”有：.213,214,312,314,412,413共6个；若2b =，则“凹数”有：.324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有81243p ==. 考点：古典概型.10. 【2018黑龙江海林朝鲜中学一模】已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ） A.14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】C【解析】将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为P=PBC abc S S =12故选C11. 已知随机变量X 的分布列如右图所示，则(68)E X +=（ ）A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2【答案】B 【解析】 试题分析：首先()10.220.430.4 2.2E X =⨯+⨯+⨯=，所以(68)6()86 2.2821.2E X E X +=+=⨯+=，故选择B. 考点：随机变量的概率分布.12. 已知01a <<，01b <<，则函数2()log 2log 8a b f x x b x a =++的图象恒在x 轴上方的概率为（ ） A ．14 B ．34 C ．13 D ．23【答案】D 【解析】考点：1、几何概型；2、定积分的几何意义；3、函数的图象． 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果） 【答案】608625【解析】试题分析：由对立事件可知所求概率为0413014444446081115555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：独立重复试验14. 现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ． 【答案】310【解析】试题分析：从5张中取2张共有基本事件10种（用列举法），其中2张均为红心有3种，则它的概率为310． 考点：古典概率模型15. 已知随机变量ξ服从正态分布)4,1(N ，若a p =>)4(ξ，则=≤≤-)42(ξp ________． 【答案】a 21- 【解析】试题分析：根据正态分布密度曲线图的对称性知，其图像关于直线1=x 对称，所以=≤≤-)42(ξp 1-2a ．考点：考查正态分布图像的对称性及利用该性质求相关概率问题．16. 四面体的顶点和各棱的中点共计10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为______. 【答案】4770【解析】试题分析：从10个点中取4个点的取法为410210=C 种，只要求出共面的就可以了．共面的分三种情况：①四个点都在四面体的某一个面上，每个面6个点，有4615=C 种，四个面共有41560⨯=情况；②其中三点共线，另一个点与此三点不在四面体的某一个面上，而在与此三点所在直线异面的那条直线的中点，显然只有6种情况（因为四面体只有6条边）；③其中两点所在直线与另两点所在直线平行，且这四个点也不在四面体的某一个面上，画图可得出只有3种情况；因此，取4个不共面的点的不同取法共有：2106063141---=，所以这四个点不共面的概率为1414721070=．故答案应填：4770． 考点：古典概型及其概率计算公式．【思路点睛】先利用组合求出10个点中取4个点的所有的基本事件个数；利用分类讨论的方法求出取出的四点在一个平面上的所有的基本事件个数；利用对立事件求出不共面的所有的基本的事件个数；利用古典概型概率公式求出这四个点不共面的概率．本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查分类讨论的数学思想方法、考查对立事件的概率的求法． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 一个盒子中装有大量．．形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.（Ⅰ）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（Ⅱ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望. （以直方图中的频率作为概率）.【答案】（Ⅰ）.003a =，众数20，平均数24.6；（Ⅱ）分布列见解析，期望为35． 【解析】试题解析：（Ⅰ）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=，解得0.03a =；又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克） 而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克； （Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2 则1(3,)5X B ~.X 的可能取值为0、1、2、3，()03031464055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2131448155125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033141355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X ∴的分布列为：6448121301231251251251255EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或者13355EX =⨯=）考点：频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望．18. 【2018辽宁凌源两校联考】虽然吸烟有害健康，但是由于历史以及社会的原因，吸烟也是部分公民交际的重要媒介．世界卫生组织1987年11月建议把每年的4月7日定为世界无烟日，且从1989年开始，世界无烟日改为每年的5月31日．某报社记者专门对吸烟的市民做了戒烟方面的调查，经抽样只有25%的烟民表示愿意戒烟，将频率视为概率． （1）从该市吸烟的市民中随机抽取3位，求至少有一位烟民愿意戒烟的概率；（2）从该市吸烟的市民中随机抽取4位， ξ表示愿意戒烟的人数，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）3764（2）分布列见解析， 1E ξ=试题解析：（1）依题意，得任意抽取一位吸烟的市民愿意戒烟的概率为14， 从而任意抽取一位吸烟的市民不愿意戒烟的概率为34， 设“至少有一位烟民愿意戒烟”为事件A ，则()3327371146464P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， 故至少有一位烟民愿意戒烟的概率3764． （2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4．()40438104256P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314311082714425664P C ξ⎛⎫==⨯⨯== ⎪⎝⎭，()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()41144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为812727310123412566412864256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19. 【2018福建四校联考】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量分布列的概念如果随机试验的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验结果的不同而变化的，那么这样的变量X 叫做随机变量；如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
离散型随机变量X 的分布列设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i （i ＝1，2，…，n ）的概率P （为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。
它具有以下性质：（1）p i 0，i ＝1，2，…，n ； （2）p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1。
二点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布。
超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为：P （X ＝k ）＝C k M C n －k N －MC n N （k ＝0，1，2，…，m ），其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *离散型随机变量分布列性质的应用例题1 设（2）求)1(->X P 。
解析：离散型随机变量有两条性质：①),2,1(0 =>i P i ；②121=++ P P 。
由此我们可先确定参数q 的值，再求)1(->X P 。
（1）据离散型随机变量的分布列的性质，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101212122q q q q ，解得221-=q 。
故X（2）22212)1()0()1(=-+-==+==->X P X P X P 。
点拨：离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确。
2018全国高考数学统计与概率专题(附答案解析)
2018全国高考真题数学统计与概率专题（附答案解析）1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A2.（全国卷I，文数19题．12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案解析】解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，=+．X Y=⨯+，即402520225X Y所以(4025)4025490=+=+=．EX E Y EY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX>，故应该对余下的产品作检验．4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．6.（全国卷Ⅱ，理数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】A7.（全国卷Ⅲ，文数5题．5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B8.（全国卷Ⅲ，文数、理数18题．12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．【答案解析】解：（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．学科%网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知7981802m +==． 列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．9.（北京卷，文数17题，13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， 故所求概率为500.0252000=. （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为37210.8142000-=. 方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==. （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 10.（北京卷，理数17题，12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【答案解析】解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50． 故所求概率为500.0252000=． （Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为P （AB AB +）=P （AB ）+P （AB ）=P （A ）（1–P （B ））+（1–P （A ））P （B ）． 由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0.2． 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ）1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ． 11.（天津卷，文数，15题，13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【答案解析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 12.（天津卷，理数，16题，13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案解析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．学.科网（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望11218412 ()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．13.（江苏卷，3题，5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.【答案解析】答案：90解析：8989909191905++++=14.（浙江卷，7题，4分）设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P12p-122p 则当p在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小【答案】D第11 页共11 页。
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专题10.2 概率与离散型随机变量及其分布列（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.977P ξ<=，则(13)P ξ-<<=（ ） A.0.683 B.0.853 C.0.954 D.0.977 【答案】C 【解析】考点：正态分布2. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（ ） AB ．35C ．2536 D 2123112=++⨯人,其中青年组共有1526=C 种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为624=C 种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为53156112624=-=-C C ，故选B ． 考点：1．分层抽样；2．古典概型．3. 投掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P （A|B ）=（ ）A.16 B. 13 C. 112 D. 12【答案】A 【解析】试题分析： A 、B 相互独立，∴P(AB) =P(A)P(B).P(A|B)=)()(B P AB P =)()()(B P B P A P =P(A)=16考点：条件概率与独立事件．4. 【2018湖南五市十校联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A.13 B. 49 C. 59 D. 23【答案】A【解析】设齐王的三匹马分别记为a 1,a 2,a 3,田忌的三匹马分别记为b 1,b 2,b 3， 齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1, b 1)、(a 1, b 2)、(a 1, b 3)、(a 2, b 1)、(a 2, b 2)、(a 2, b 3)、(a 3, b 1)、(a 3, b 2) 、(a 3, b 3)， 共9种；1)、(a 3, b 2)共3种,则田忌获胜的概率为3193=， 3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回其分布列为)(X P ，则)4(=X P 的值为（ ） A ． 22027 D ．2521考点：离散型随机变量及其分布列.6. 甲乙二人玩游戏，甲想一数字记为a ，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且}3,2,1{,∈b a ，若1≤-b a ，则称甲乙“心有灵犀”，则他们“心有灵犀”的概率为 （ ） A ．31 B ．95 C ．32 D ．97【答案】D 【解析】考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率7. 【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形ABCD 为正方形， G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ， CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A.13 B. 25 C. 38 D. 12【答案】A【解析】设正方形ABCD 的边长为1，3S =总， 1212S ==阴影， 所以概率为13P =，故选A 。
8. 为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30， 35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是（ ）A ．110 B ．715 C ． 815 D ．1315【答案】C 【解析】考点：频率分布直方图与古典概型概率9. 【2018广西柳州两校联考】老师计算在晚修19:00-20:00解答同学甲乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率（ ）]，甲乙的问问题的时刻为,x y ，则[],0,60x y ∈ 2010. 某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730，则该地四月份刮东风的条件下，下雨的概率为（ ） A ．308 B ．87 C ．81 D ．307【答案】B 【解析】试题分析：由题可理解条件概率，则可由条件概率公式得；7()730()8()830P A B P A B P B ⋅===, 考点：条件概率的算法11. 某食品长为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获得，现购买该食品4袋，能获奖的概率为（ ） A ．427 B ．827 C ．49 D ．89【答案】C 【解析】考点：1、分步计数乘法原理及排列组合的应用；2、古典概型概率公式.12. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B 【解析】试题分析：解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95313222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952==ξP ，()812095944=⋅==ξP ，()81169462=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，故()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE ，故答案为B. 考点：离散型随机变量的数学期望.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为_____． 【答案】14【解析】试题分析：甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，甲，乙相邻的排法种数为242448A A =（种）．在甲，乙相邻的条件下，甲丙相邻的排法种数为2所以，甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为1248P ==考点：古典概型及其概率计算公式14. 箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获6个球中摸出2个，共有2615C =种(1,4)，(3,4)，(2,4)，(2,6)，(4,5)，(4,6)，4次试验，且每一次发生的概率是5，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是6259653)52(334=⨯⨯C . 考点：n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 15. 设随机变量()23,σX N ，若()0.3m P X >=，则()6m P X >-= ．【答案】0.7 【解析】试题分析：因为随机变量()23,σXN ，所以(3)(3)0.5P X P X >=<=，()0.3P X m >=，(6)()1()10.30.7P X m P X m P X m ∴>-=<=->=-=，所以答案应填：0.7． 考点：正态分布．16. 一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．则摸球次数X 的数学期望为 ． 【答案】2561【解析】解：1,2,3X =，则 121101(1)5C P X C ===，11821110104(2)25C C P X C C ==⋅=，16(3)1(1)(2)25P X P X P X ==-=-==． 故取球次数X 的分布列为1235252525EX =⨯+⨯+⨯=考点：离散型随机变量的期望三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X 为取得红球的个数． （1）求X 的分布列；（2）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望． 【答案】（1）分布列详见解析；（2）52. 【解析】（1）X 0=，1,2,3,4其概率分布分别为：()7010484404==C C C P ，()70161483414==C C C P ，()70362482424==C C C P ，名，其中种子选手3名.从这8. ()2E X =【解析】(I)由已知，有22222333486()35C C C C P A C +==所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k kC C P X k k C -===所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.19. 为推行“微课、翻转课堂”教学法，某数学老师分别用传统教学和“微课、翻转课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表： 记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++临界值表：（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）列联表见解析，在犯错概率不超过025.0的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，364()455E X = 【解析】试题分析：（1）分别计算出成绩优秀和成绩不优秀的人数，求出2K 的值，判断在犯错概率不超过025.0的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）先确定X 的取值，分别求其概率，从而得出分布列与期望值． 试题解析：解：（1）40(941611) 5.227 5.024⨯-⨯≈>2 列联表；2．离散型分布列的期望与方差．考点：1．220. 【2018广西柳州两校联考】交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）()Ⅱ某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的5000元，一辆非事故车盈利10000元： 该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的. ；②50万元. 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a ．由（II ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=31(1)3-+12312()33⨯⨯ð．②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为﹣5000，10000．即可得出分布列与数学期望． 试题解析：()Ⅰ由题意可知X 的可能取值为0.9a ， 0.8a ， 0.7a ， a ， 1.1a ， 1.3a .由统计数据可知：()10.96P X a ==， ()10.812P X a ==， ()10.712P X a ==， ()13P X a ==， ()11.14P X a ==， ()11.312P X a ==.所以X 的分布列为：所以11111111.910.90.80.71.11.361212341212a EX a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， Y 的可能取值为-5000,10000. 所以Y 的分布列为：所以()500010000500033E Y =-⨯+⨯=. 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y ⨯=万元.21. 【2018河南洛阳尖子生联考】随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的拆线图.（1）由拆线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系．求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月份（即7x =时）的市场占有率；（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A B 、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两【答案】（1）23%；（2）应该采购A 款单车．【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用回归方程恒过定点的事实进行求解；（2）依据题设条件借助数学期望的计算公式进行分析求解：（1）由折线图中所给的数据计算可得1234563.56x +++++==，111316152021166y +++++==∴()()()()()()()()2222222.55 1.530.500.51 1.5ˆ4 2.5535217.52.5 1.50.50.5 1.5 2.5b-⨯-+-⨯-+-⨯+⨯-+⨯+⨯===-+-+-+++． ∴162 3.9ˆ5a=-⨯=． ∴月度市场占有率y 与月份序号x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+． 当7x =时， 27923ˆy=⨯+=． 故M 公司2017年4月份的市场占有率预计为23%．∴每辆B 款车可产生的利润期望值为：()()()()250012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150E ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（元）， ∵12E E ξξ>， ∴应该采购A 款单车．22. 【2018河北衡水联考】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况， A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差. 参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关； (2)①710；②答案见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意结合列联表计算可得可知2K 的观测值2k 2.020 2.072≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关；(2)①依题意可得经常使用网络外卖的有3人，偶尔或不用网络外卖的有2人.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为710. ②由题意可得，随机变量服从二项分布11~10,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()112E X =； ()9940D X =. 试题解析： （1）由列联表可知2K 的观测值2k()()()()()()2220050405060 2.020 2.07211090100100n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~10,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()111110202E X =⨯=； ()1199910202040D X =⨯⨯=.。