2014年北师大版八年级数学上册第五章：5.4《应用一元二次方程组增收节支》习题
北师大版八年级数学上册《5.4应用二元一次方程(增收节支)》优课件
4. 应用二元一次方程组 ——增收节支
教学目标
1.能运用列表分析法分析数量关系； 2.能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问 题。 3.掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技 能。
教学重点：
1.初步体会列方程组解决实际问题的步骤． 2.学会用图表分析较复杂的数量关系问题。
二、探索活动
分析
关键:找出等量关系.
每餐甲原料中含蛋白 质量=0.5×每餐甲原
料的质量
每餐乙原料中含蛋 白质量=0.7×每餐
乙原料的质量
每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35，
每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40．
每餐甲原料中含 铁质量=1×每餐 甲原料的质量
每餐乙原料中含 铁 质 量 =0.4× 每 餐乙原料的质量
1.图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量 关系，条理清楚
2.借助方程组解决实际问题
三、解决问题
学校去年有学生３１００名，今年比去年增 加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少 了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少 名?
设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程组为
。
解得
x=2000 y=1800
答：去年的总收入为2000万元，总支出
为1800万元。 议一议：还可以设间接未知数吗？
二、探索活动
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配 制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单 位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单 位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单 位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰 好满足病人的需要？
北师大版八年级上册数学 5.4 应用二元一次方程组——增收节支 教学课件
97 200
价值 （元）
8 000x
1 000y
解:根据图表，列出方程组 1.5 × 20x+ 1.5×10y=15 000， 1.2 × 110x+ 1.2×120y=97 200.
x=300，
解方程组得 y=400.
8 000x-1 000y-15 000-97 200
=8000×300-1 000×400-15 000-97 200 =1 887 800（元）
x=2 000 解得
y=1 800
因此,去年的总产值是2 000万元,总支出是1800万元.
例2：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养 品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原 料含0.7单位每餐甲、乙原料各多少 克恰好满足病人的需要? 解:设每餐甲、乙原料各x g、y g. 则有下表:
15.5
35
解:设甲、乙两种货车每次分别运货x吨、y吨，
2x+ 3y=15.5， 解得
5x+ 6y=35.
x=4， y=2.5.
总运费为：
30×(3x+ 5y)=30×(3×4+ 5×2.5)=735.
当堂练习
1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲
商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和
甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品
其中所含蛋白质 0.5x
0.7y
35
其中所含铁质
x
0.4y
40
根据题意,得方程组 0.5x+0.7y=35 x+0.4y=40
5x+7y=350 ① 化简,得
5x+2y=200 ②
北师大版八年级上册数学5.4应用二元一次方程组 --------增收节支教案
第五章二元一次方程组5.4 应用二元一次方程组——增收节支一、.教学目标（一）知识与技能能运用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。
（二）过程与方法经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力。
（三）情感态度与价值观通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系,通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识。
二、教学重难点1、重点：列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。
2、难点：用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。
三、教学方法问题情境—建立模型—应用与拓展四、教具准备：多媒体课件五、教学流程第一环节：创设情境，导入新课创设问题情景，引导学生思考，导入课题提出问题：同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗？教师演示幻灯片，学生回答问题【最优化决策】最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？第二环节：新课讲解1、某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值是__________万元;2、若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;3、若该厂今年的利润为780万元,那么由1, 2可得方程____________________.经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)=b(其中:a 表示基数；x 表示增降率；b 表示目标数；增时为加，降时为减)例1、某公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元。
北师大版八年级上册数学 5.4 应用二元一次方程组——增收节支 优秀教案
5．4 应用二元一次方程组——增收节支1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；(重点) 2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程． 一、情境导入(1)某工厂去年的总产值是x 万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是________万元；(2)若该厂去年的总支出为y 万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是________万元；(3)若该厂今年的利润为780万元，那么由(1)，(2)可得方程________________．二、合作探究 探究点一：列二元一次方程组解决百分数、小数(增收节支)问题【类型一】 列二元一次方程组解决增长率问题为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？ 解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x 人，在主城区中学学习的民工子女有y 人．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5000，20%x ＋30%y ＝1160.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3400，y ＝1600.20%x ＝680，30%y ＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”．(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．答：一共需配备360名中小学教师． 方法总结：在解决与增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原来的量)÷原来的量．【类型二】 列二元一次方程组解决利润问题某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？解析：本题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．其中甲商品的售价＝甲商品的进价×(1＋50%)×80%，乙商品的售价＝乙商品的进价×(1＋40%)×85%，利润＝售价－进价．解：设甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，根据题意，得错误!化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，1.2x ＋1.19y ＝538.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝200. 答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．探究点二：列方程组解决方案问题某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？解析：根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量关系求出每种方案的进货数．解：(1)①若购甲、乙两种型号：设购进甲型号手机x 1部，乙型号手机y 1部．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝40，1200x 1＋400y 1＝40000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝30，y 1＝10.所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部．②若购甲、丙两种型号：设购进甲型号手机x 2部，丙型号手机y 2部．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝40，1200x 2＋800y 2＝40000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝20，y 2＝20.所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．③若购乙、丙两种型号：设购进乙型号手机x 3部，丙型号手机y 3部．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋y 3＝40，400x 3＋800y 3＝40000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－20，y 3＝60.因为x 3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．综上所述，商场共有两种进货方案． 方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部．(2)方案1获利：120×30＋80×10＝4400(元)；方案2获利：120×20＋120×20＝4800(元)．所以，第二种进货方案获利最多． 方法总结：仔细读题，找出相等关系．当用含未知数的式子表示相等关系的两边时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．三、板书设计 增收节支问题分析解决列二元一次方程,组解决实际问题)⎩⎪⎨⎪⎧增长率问题利润问题利用图表分析等量关系方案选择通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识；并且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们的节约和有效合理利用资源的意识．。
北师大版八年级数学上册5.4应用二元一次方程组 增收节支教案
北师大版八年级数学上册5.4应用二元一次方程组增收节支教案北师大版八年级数学上册5.4应用二元一次方程组-增收节支教案第五章二次方程组4应用二元一次方程组――增收节支● 教学目标(一)教学知识点1.能够以列表的形式分析问题中已知量和未知量之间的关系，并列出相应的二元基本方程2.继续熟练二元一次方程组的解法和基本思路.(二)能力训练要求1.让学生进一步体验通过公式化解决实际问题的过程，认识到公式（组）是描述现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力2.加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略.（三）情感和价值要求1.通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.● 教学重点2.培养学生的创新、开拓、克服学习中困难的科学精神.以列表的形式分析题目中各个数量之间的关系，加强学生公式推导技能的训练●教学难点在列表的帮助下，分析了问题中包含的数量关系● 教学方法学生自主活动探究的方法.根据学生通过建立一元一阶方程解决实际问题的经验，根据基本的数量关系，学生可以独立探索并列出问题中包含的数量关系，从而列出二元一阶方程来解决实际问题●教具准备两张幻灯片：第一张：问题串(记作§7.4a)；第1页第二张：例1(记作§7.4b).●教学过程ⅰ. 创造情境，介绍新课程［师］我们来看一组填空题.(出示投影片§7.4a)填空：（1）去年一家工厂的总产值是一万元。
今年的总产值比去年增长了20%。
今年的总产值是____(2)某工厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出为_________.（3）一家工厂今年的利润为780万元，可根据（1）和（2）计算得出，利润=780万元（利润=总产值-总支出）下面我们就一起分析上面的三个填空.【师生分析】（1）今年总产值比去年增长20%，即：今年总产值=去年总产值×（1+20%）=（1+20%）x 1万元(2)今年的总支出比去年减少了10%，即今年的总支出=去年的总支出×(1－10%)=(1－10%)y万元.（3）今年的利润是780万元。
北师大版八年级上册数学5.4应用二元一次方程组----增收节支教案
-突破方法：设计具有实际意义的案例，让学生在求解方程组后，将结果与实际情境进行对比，理解数学模型在解决实际问题中的应用价值。
-举例解释：在解决企业增收节支问题时，指导学生如何从方程组的解中得出具体的提高产量和降低成本的数值，并将这些数值与企业的实际操作联系起来，理解数学解答背后的实际意义。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的，它能帮助我们解决含有两个未知数的问题。在增收节支中，它可以帮助我们找出提高产量和降低成本的最佳方案。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将企业的增收节支问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到解决方案。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：本节课的重点是使学生掌握如何将现实生活中的增收节支问题转化为二元一次方程组，并学会求解该方程组。
-详细内容：
a.理解增收节支问题的实际背景，能将其中的数量关系抽象为数学模型。
b.学会列出与增收节支相关的二元一次方程组，包括正确设定未知数和找出等量关系。
c.掌握求解二元一次方程组的基本方法，如代入法、消元法等，并能应用于实际问题的解决中。
3.能够解决类似实际问题，运用所学的二元一次方程组知识，进行数据分析和决策。
4.通过实例，使学生掌握运用二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，并培养其逻辑思维能力和问题解决能力。
二、核心素别是将现实情境抽象为数学模型的能力，通过二元一次方程组的建立和求解，强化数学建模素养。
a.难点一：将实际问题转化为方程组时，学生可能会在确定未知数和等量关系上遇到困难。
北师大版八年级数学(上)第五章 二元一次方程组 第5节 应用二元一次方程组---增收节支
x=6 解得:
y=3.6
所以甲、乙两人每小时分别走6千米、3.6千米.
练习：一列快车长 168 m，一列慢车长 184 m，如果两车相向而行，从相 遇到 离开需 4 s，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需 16 y
甲原料x克 乙原料y克
所配制的营养品
其中所含蛋白质 其中所含铁质
0.5x单位 x单位
0.7y单位 0.4y单位
35单位 40单位
解：设每餐需要甲、乙两种原料分别为x克和y克， 由题意得：
化简得：
x=28 解得
y=30 所以每餐需甲原料28克，乙原料30克。
练习：某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为 180 米的河道整治 任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治 8 米，乙工程队每天整治 12 米，共用时 20 天．求整治任务完成后甲、乙工程队分别整治河道的长度． （1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道 x 米，乙工程队整治河道 y 米． 根据题意，得
例1：某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元。今年总收入比去 年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的 总收入、总支出各是多少万元？ 设去年的总收入为x万元，总支出为y万元
总收入/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年 (1+20%) x (1-10%) y
25%x+60%y=7×50% x=2
解得 y=5
所以需甲种溶液2升，乙种溶液5升(全部溶液)，可配制成50%的酒精 溶液7升.
北师大版八年级上册数学第5章二元一次方程组 第4节应用二元一次方程组——增收节支
金 + 利息 .
注意： 在计算过程中要保持单位的统一 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 ◆对于增长(降低)率问题，审题时一定要看清是增长还是降低，
而且要看准在哪一个量的基础上增长或降低，不要颠倒 . ◆在储蓄问题中注意利率要根据期数而定，期数是按月算的，
利率就用月利率，期数是按年算的，利率就用年利率 .
增收节支
表
分
储蓄问题
析
行程问题
法
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后作业 作业2 补充: 请完成对应习题
增长(减少)后的数量 = 基数 ×［1± 增长(降低)率］ .
感悟新知
知1－讲
(2) 销售问题： 销售额 = 售价 ×销量，总利润 = 总销售
额 －总成本 = 单件的利润 × 销量 = (售价 －进价) × 销量，
利润率
=
利进润价×100%，打折后的价格
=
原价
×
折数
×
1 10
.
(3)储蓄问题： 利息 = 本金 × 利率 × 期数，本息和 = 本
感悟新知
知1－练
例1 某工厂去年的总产值比总支出多 500 万元，而今 年计划的总产值比总支出多 950 万元，已知今年计划 总产值比去年增加 15%，而计划总支出比去年减少 10%，则今年计划的总产值和总支出各为多少？
感悟新知
解题秘方：紧扣两年的总产值和总支出情况，结 知1－练 合题意中的等量关系列出方程组 .
解：设今年计划的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元 .
x 根据题意，得ቐ1+15%
－
1
y － 10%
x － y=950，
=500，
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拓展资源：分层练习
根据本校学生及教学情况，可在教学过程中，选择以下内容进行补充或拓展
基础训练
① 为了拓展销路，商店对某种照相机的售价了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价为多少元？ 1710元 ② 某种商品进价为a 元，商店将价格提高30％作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80％）的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为 （ C ） （A ）a 元 （B ） a 8.0元 （C ）a 04.1元 （D ）a 92.0元
提高训练
③ 新年来临爸爸想送Ｍike 一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike 说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
（1）解：设书包单价为x 元，则随身听单价为y 元,根据题意可列出方程：
⎩⎨⎧=-=+.
84,452y x y x 解之得：
⎩
⎨⎧==.360,92y x 答：书包单价92元，随身听单价360元。
最优化决策：
聪明的Mike 想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
提示：书包单价92元，随身听单价360元。
（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×
10
8=361.6（元） ∵ 361.6<400 ∴可以选择在人民商场购买。
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）。
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。
拓展提升
④ 打广告（金帝美滋滋巧克力广告视频）
金帝美滋滋巧克力想电视台在黄金时段的2mi n 广告时间内， 计划插播长度为15s 和30s 两种广告．据了解15s 广告每播1次收费0.6万元，30s 广告每1播次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，你能帮助决策
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式吗？
（2）电视台选择哪种方式播放收益较大呢？
解:设播长度为15s 的广告x 次,30s 的广告Y 次,收入为W,根据题 意
解得：⎩⎨⎧==.3,2y x ⎩
⎨⎧==.2,4y x W=0.6x + y =0.6x +(120-15x )÷ 30=0.1x +4.
所以当x =4时,W 取得最大值W=0.1×4+4=4.4万元. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+==+.
2,2,6.0,1203015y x y x w y x。