第二章《 圆锥曲线》教案(新人教选修1-1)
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_3
高中数学人教A版2003课标版选修1-1第二章圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计第一课时抛物线的光学性质及其应用一、教学目标1.理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。
2.会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。
二、教学重点理解抛物线的光学性质并会推导。
三、教学难点数学建模思想的应用。
四、教学过程（一）课题引入问题一：手电筒一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。
这是为什么呢?设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。
（二）课题提出抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．问题二：生活问题数学化要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?设计意图：提出抛物线的光学性质，并通过列举它在生活中的大量应用，让学生感知数学无处不在，并有将生活问题数学化的欲望。
高中数学第二章圆锥曲线与方程学案新人教B版选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程知识建构综合应用专题一 圆锥曲线的定义及其应用椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线，教材给出了它们的定义，展示了三类曲线各自的特征及几何性质，它们的定义不仅是推导它们各自的方程和性质的基础，而且也是解题的重要工具．灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率．应用1 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线提示：此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题宜采用几何图形的性质来解答．应用2 已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，且满足∠F 1PF 2＝α，求△F 1PF 2的面积S .提示：利用椭圆的定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，在△F 1PF 2中利用余弦定理又可以得到|PF 1|，|PF 2|之间的关系，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．专题二 圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的方程与性质是高考重点考查的内容，因此对于其方程与性质一定要熟悉．由标准方程确定其性质和由性质确定其方程都要熟练掌握．给出方程研究性质(给出性质求其方程)时，首先确定焦点在哪一个坐标轴上，即确定是哪种形式的方程，然后才能准确研究其性质(准确求其方程)．当不能确定方程的形式时，要分情况讨论．应用1 已知抛物线ax 2＋2y ＝0，则其焦点坐标为______，准线方程为________________．提示：先把所给抛物线方程化为标准形式，然后写出焦点坐标和准线方程即可．应用2 双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线，求双曲线C 的方程． 提示：椭圆x 28＋y 24＝1的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)，根据已知条件求出a ，b 即可．专题三 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题是高考对圆锥曲线考查的重点和难点，也是历年考查的热点．直线与圆锥曲线的综合问题包括两大类：①直线与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点弦问题、范围问题、张角问题、最值问题等(重点考查直线与椭圆的位置关系)．应用1 椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点P (4,2)所平分，求此弦所在直线方程． 提示：求弦所在直线方程，常应用“点差法”．设出直线与椭圆交点的坐标并代入椭圆方程，两式相减可得弦所在直线的斜率，从而求出直线方程．应用2(2010·北京高考)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63.直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．提示：(1)由焦点坐标和离心率可求出a ，b .(2)设N (x ，t )是直线y ＝t 与椭圆C 的右交点，则当圆P 与x 轴相切时，t ＝x . 真题放送1(2011·陕西高考，理2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2(2011·湖南高考，文6)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．13(2011·山东高考，文9)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞) D．[2，＋∞)4(2011·辽宁高考，文7)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．745(2011·福建高考，文11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或326(2011·辽宁高考，理13)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．答案：综合应用专题一应用1：A 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，如图所示．则△APF 1是等腰三角形，∴|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a .∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 1的中点，∴|OQ |＝12|AF 2|＝a . ∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．应用2：解：由椭圆的定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.①在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝α，由余弦定理有|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos α＝4c 2.②①－②得2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos α)＝4(a 2－c 2)＝4b 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos α. ∴△F 1PF 2的面积为S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin α＝b 2sin α1＋cos α. 专题二应用1：⎝⎛⎭⎪⎫0，－12a y ＝12a 将抛物线ax 2＋2y ＝0化为标准形式为x 2＝－2y a ，故其交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a ，准线方程为y ＝12a . 应用2：解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由椭圆x 28＋y 24＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 专题三应用1：解：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝4，y 1＋y 22＝2，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1)． 且⎩⎪⎨⎪⎧ x 2136＋y 219＝1，①x 2236＋y 229＝1.②由②－①得：x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，所以14(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0， 所以84＋4·y 2－y 1x 2－x 1＝0，所以k AB ＝－12， 所以弦AB 所在直线方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0，当x 1＝x 2时，弦AB ⊥x 轴，AB 的中点在x 轴上，不可能是点P ，所以x ＋2y －8＝0就是弦所在的直线方程．应用2：解：(1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t ，x 23＋y 2＝1，得x ＝±31－t 2.所以圆P 的半径为31－t 2.当圆P 与x 轴相切时，|t |＝31－t 2.解得t ＝±32.所以圆心P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，±32. 真题放送1．B ∵抛物线的准线方程为x ＝－2，∴抛物线的开口向右，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则其准线方程为x ＝－p 2， ∴－p2＝－2，解得p ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .2．C 渐近线方程为y ＝±32x ，又b 2＝9，即3a ＝32，所以a ＝2. 3．C 根据抛物线的定义可知|FM |＝y 0＋2，又由圆与准线相交可得y 0＋2＞4，即y 0＞2，故选C.4．C 过A ，B 两点，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A ′，B ′，设线段AB 的中点为P ，点P 到准线的距离为|PP ′|，如下图所示．由抛物线定义：|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|PP ′|＝3，∴|PP ′|＝32. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为d ＝|PP ′|－14＝32－14＝54.故选C. 5．A ∵|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，其中|F 1F 2|＝2c ＝3k ，∴c ＝32k .若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6k ，∴a ＝3k . ∴e ＝c a ＝32k 3k ＝12. 若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2k ，∴a ＝k .∴e ＝c a ＝32k k ＝32.∴e 的取值为12或32. 6．2 4a 2－9b 2＝1与a 2＋b 2＝4联立，求得a ＝1， 所以e ＝c a ＝2.。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 小结》优质课教案_6
4.1.1 椭圆小结 第1课时教学设计学情分析：本节课的学生已经对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
但从对求轨迹方程的方法上，学生思维上会存在障碍。
教材分析：本节课是椭圆小结第2节的内容。
承接上一节椭圆的定义与标准方程，学生已经理解整个圆锥曲线，但在运用上经验不足。
本节在对前面所学的内容的巩固的基础上通过求动点轨迹进一步研究椭圆，同时进一步巩固求轨迹方程的另三种方法：相关点法，直接法，定义法。
也为进一步研究双曲线、抛物线提供了一些探求模式。
教学目标：教学重点：掌握用直接法、相关点带入法求动点轨迹过程。
教学难点：理解直接法、相关点法求动点轨迹的运用环境，掌握几何关系坐标化的过程。
教 学 过 程：一、 知识回顾：教师利用基础题目检测了解学生对椭圆定义及其标准方程的掌握情况，对学生的回答作作必要的补充、纠正。
1、 “－3<m<5”是“方程x25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2、到两定点F 1（-2，0）F 2(2，0)的距离之和为4的点M 的轨迹是 （ ）A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对3、椭圆221925x y +=的焦点坐标分别为F 1、F 2，AB 是过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是 （ ） A. 20 B. 12 C.10 D. 6二、 新课讲解：（一）§师：上节课我们利用“待定系数法”求解椭圆的标准方程，引出例2。
[例2] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程．(2) 已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2,1)且与椭圆x29＋y24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程．（二）我们现在了解了“待定系数法”的运用环境，但是并不是所有的求轨迹方程的题目都适合用“待定系数法”来解决。
人教版高中选修(B版)1-1第二章圆锥曲线与方程课程设计
人教版高中选修(B版)1-1第二章圆锥曲线与方程课程设计一、选题背景和意义高中数学学科作为一门非常基础且重要的学科，不仅仅对于学生的高考有着非常重要的意义，也是对于学生进行逻辑思维、推理能力及创新思维的培养的重要途径。
其中，圆锥曲线的研究既是解决实际问题的有效手段，也是推动数学理论发展的一个方向。
因此，对于高中学生来说，深入理解圆锥曲线及相关方程的性质与规律，不仅可以帮助他们提高数学能力，还可以帮助他们解决实际问题。
二、教学目的和要求2.1 教学目的1.了解什么是圆锥曲线及其性质2.掌握圆锥曲线及其方程的相关知识3.培养学生逻辑思维、推理能力及创新思维2.2 教学要求1.学生能够了解圆锥曲线及其性质，并能够应用相关知识解决实际问题；2.学生能够掌握圆锥曲线及其方程的相关知识，能够准确地根据给定条件构建方程；3.学生能够通过实际问题，培养逻辑思维、推理能力以及创新思维。
三、教学设计3.1 教学内容1.圆锥曲线的概念；2.圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义及性质；3.直角圆锥的形状及其变化；4.圆锥曲线方程的推导及构造方法；5.圆锥曲线的应用实例。
3.2 教学方法本课程主要采用讲授、演示和实践相结合的教学方法，使学生在学习过程中理论联系实际，并注重培养学生的探究性、主动性和创造性。
3.3 教学流程第一步：导入通过展示圆锥曲线的图片及相关知识，引入课程主题；第二步：知识点讲解1.圆锥曲线的概念及分类；2.圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义及性质；3.直角圆锥的形状及其变化；4.圆锥曲线方程的推导及构造方法；第三步：思考与探究通过一些实际问题引导学生思考，并结合已学知识进行分析和解决。
第四步：作业布置布置与圆锥曲线相关的习题，加深学生对于所学的理解。
3.4 教学资料1.PPT2.圆锥曲线练习题四、教学评估本课程采用闭卷考试的形式进行评估，主要考核以下内容：1.对圆锥曲线的概念及性质的理解；2.圆锥曲线方程的推导及构造方法；3.对于实际应用问题的解决能力。
(选修1-1教案)2.1圆锥曲线
第二章圆锥曲线与方程本章内容在日常生活中，我们接触过许许多多的曲线，有的可能有印象，有的可能没有印象了.例如，油罐汽车上装油罐的截面，其周界就是椭圆；喷泉喷出的水形成的曲线就是抛物线；拉开休闲服的拉链，动点的轨迹就是双曲线.对椭圆、抛物线、双曲线以及我们过去学过的圆，还可以从平面截圆锥的操作过程来认识.用平面去截圆锥，由于截面与圆锥轴的夹角不同，所得截面的周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，所以人们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.实践证明，圆锥曲线对人类社会的进步和发展是有用的.例如，神州宇宙飞船的运行轨道就是椭圆，发电站的冷却塔的轴截面两侧边沿是双曲线.既然圆锥曲线有用，人类就要研究它们.本章我们将用坐标方法探究椭圆、抛物线和双曲线.高考目标考情考法在这些年的高考中，在全国卷、各省（市、自治区）卷中，每张卷上都能见到围绕圆锥曲线命题的试题，小题、大题都有，小题的难度处在中等水平，大题一般都是把直线与圆锥曲线结合在一起，对往往是压轴题，一题多问，难度都比较大.一个目标：渗透解析几何的基本思想.一条主线：展示背景，形成曲线概念；建立方程，研究曲线性质.2.1 圆锥曲线在广袤无垠的宇宙中有着无数大小不一、形态各异的天体，如太阳、月亮、星星……随着人类逐渐步入璀璨夺目的宇宙，我们已有幸欣赏到有条不紊、翩翩起舞的星球的“舞步”.目前的研究表明，天体数量越多，轨迹的种类也就越多，其中5个天体可能组成的轨迹至少有18种，而其它一些复杂的“太空舞步”竟有799种之多.其中有些天体运行的“舞步”就是我们这一节所要研究的椭圆、双曲线和抛物线.教学目标：知识目标：通过本节的学习，了解圆锥曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.能力目标：通过本节的学习，理解三种圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状.情感目标：通过本节的学习，从整体上认识三种圆锥曲线及其内在联系，并感受数学与现实生活的密切联系，激发学习数学的兴趣和信心.教学重点：三种圆锥曲线的定义. 教学难点：三种圆锥曲线的定义理解. 授课类型：新授课.教具准备：多媒体课件. 课时安排：1课时. 教学过程： 一、问题情境圆锥曲线与科研、生产和生活有着密切的关系，早在16与17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜就是由抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线；……. 那么，什么是椭圆？什么是双曲线？什么是抛物线？这就是我们这一节所要研究的问题.（引入新课，板书课题）二、建构数学1.圆锥面的概念圆锥面可看成是一条直线绕着与它相交的一条定直线（两条直线不互相垂直）旋转一周所形成的曲面.2.圆锥面的截线的形状多媒体演示；学生用准备好的材料（细绳、图钉、铅笔等）画椭圆，并在此基础上得出椭圆的定义.3.圆锥曲线的定义 （1）椭圆的定义（参见课本P24）.关于椭圆定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数大于12F F . ①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②常数后加上大于12F F 是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹.设常数为2a ，122F F c =，则椭圆上的点P 满足集合12{|2, 2>P P PF PF a a =+=12}F F ，其中>0a ，>0c ，且a 、c 均为常数.当2>2a c 时，集合P 为椭圆；当22a c =时，集合P 为线段1F F ； 当2<2a c 时，集合P 为空集. （2）双曲线的定义（参见课本P24）.关于双曲线定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数小于12F F .①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②注意“距离之差的绝对值”和“122<a F F ”.这两点与椭圆的定义有本质的区别，若12122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点2F 这一侧的一支；若21122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点1F 这一侧的一支.而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“距离之差的绝对值”. （3）抛物线的定义（参见课本P24）.关于抛物线定义的理解.①抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一动，即一个动点，设为P ；三定，即一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即抛物线的准线；一个定值，即点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等（定值）.②定点F 不能在直线l 上，否则，动点P 的轨迹就不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线. 三、数学应用例1 已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且在定圆C ：22(3)64x y -+=的内部与定圆C 相切，则动圆的圆心P 的轨迹是什么图形？引导学生分析解题思路：欲确定动圆圆心P 的轨迹，可先确定点P 所满足的几何特征，然后判断其轨迹. 解：（略） 答案：椭圆. 练习：课本P24 练习 第3题.例2 若动点M 到点(3,0)F 的距离等于它到直线3x =-的距离，则动点M 的轨迹是什么图形？解：（略） 答案：抛物线. 练习：课本P24 练习 第2题.备选例题例3 已知1(4,3)F -，2(2,3)F 为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当2a =或3a =时，求动点P 的轨迹.引导学生分析，条件中有“12PF PF -”，联想双曲线的定义，分别确定当2a =或3a =时12PF PF -与12F F 的大小关系，进而确定动点P 的轨迹.解：（略） 答案：当2a =时，动点P 的轨迹是双曲线的一支（靠近焦点2F ）；当3a =时，动点P 的轨迹是射线2F P . 四、本节小结：（略） 五、板书设计：（略）六、布置作业：课本P25 习题2.1 第1、2题. 七、教后反思：。
高中数学第二章圆锥曲线与方程教案新人教版选修1-1
2．对称性的发现与证明
师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感 （课件展示椭圆） ，如果我们沿焦点所在的直
线上下对折， 沿两焦点连线的垂直平分线左右对折， 大家猜想椭圆可能有什么性质？
（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。
）
学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。
师： 除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？
对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂 直的对称轴， 有一个中心， 与坐标系的选取无关。 （此问题也为后面研究平移变换埋 下伏笔）。 3. 顶点的发现与确定 师： 我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。 你认为椭圆上哪几个点比较特殊？
由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴 的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。 教师启发学生与一元二次函数 的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的 顶点定义。 师： 能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？ 由学生自主探究 , 求出四个顶点坐标。即令 x=0, 得 y= ±b，因此 B1(0,-b), B2(0,b) ，令 y=0，得 x=±a，因此 A1 (-a,0), A 2(a,0) 。 结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距， 点明方程中 a、b 和 c 的几何意义和数量关系。 由学生探究得出椭圆的一个焦点 F2 到长轴两端点 A1 , A 2 的距离分别为 a+c 和 a-c 。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。
稍作提示容易发现中心对称性。
师： 这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？
师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立
人教课标版高中数学选修1-1：《圆锥曲线章末总结》教案-新版
人教课标版高中数学选修1-1：《圆锥曲线章末总结》教案-新版详解：如图易知以12A A 为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令,M N 分别是2PF 、1PF 的中点，由三角形中位线的性质得， 212OM PF =，又根据双曲线的定义得， 122PF a PF =+，从而有()2211222OM a PF a PF =+=+. ∴两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以12A A 为直径的圆与以2PF 为直径的圆外切．同理，运用双曲线的定义得，()2111112222ON PF PF a PF a ==-=- ∴两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以12A A 为直径的圆与以1PF 为直径的圆内切．例2 已知()()()0,7,0,7,12,2A B C -，以C 为一个焦点作过,A B 的椭圆，求椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程．[分析] 依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标化即可． 详解：13,15,14AC BC AB ===，又AF AC BF BC +=+，2AF BF BC AC ∴-=-=，故F 点的轨迹是以,A B 为焦点，实轴长为2的双曲线，又27,1,48c a b ===，故F 点的轨迹方程是()221148x y y -=≤-． [点评] 利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹，是常考的题型. 题型2 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是本章的重点，是高考命题的主要方向，有时也常常将两种曲线结合起来考查．例3 若椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，则双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为( ) A ．12y x =± B.2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±解：A.题型3 定点、最值问题例4 已知抛物线22y x =上两个动点,A B ，且3AB =，求AB 的中点P 到y 轴距离的最小值．详解：如右图，分别过,A B ，P 作准线l 的垂线，设垂足为1111,,,A B P PP 交y 轴于Q 点，连接,AF BF .由抛物线定义可知1AF A A =，1BF B B =，∴11AA BB AF BF +=+. 又四边形11A ABB 为梯形，1P P 是中位线， ∴()11112PP AA BB =+()12AF BF =+，∴11322PP AB ≥= ∴11131=12222p PQ PP PP -=-≥-=， 当且仅当,,A B F ，三点共线时取“＝”号点拔： 本题利用抛物线的定义，通过图形，借助梯形中位线定理，从而确定了最值，体现了“转化与化归”的数学思想，应深刻体会这一重要思想方法．例5 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点(,A B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线过定l 点，并求出该定点的坐标．详解：(1)由题意设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，且3,1a c a c +=-=，∴22,1,3a c b ===，∴22143x y +=(2)设()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，()()22222264163430,34m k k m k m ∆=-+->+>即.又()2121222438,3434m mkx x x x k k-+=-=++， 所以()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+.∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0D ， ∴1AD BD k k ⋅=-，即1212122y yx x ⋅=---， ∴()121212240y y x x x x +-++=，()()22222234431640343434m k m mkk k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得22,7km k m =-=-，且满足2234k m +> 当2m k =-时， ():2l y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾； 当27k m =-时，2:7l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭.综上可知，直线l过定点，定点坐标为2,0 7⎛⎫⎪⎝⎭.题型4 直线与圆锥曲线位置关系直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．例6 如图，已知某椭圆的焦点是()()124,0,4,0F F-，过点2F并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且1210F B F B+=，椭圆上不同的两点()()1122,,,A x y C x y满足条件：124x x+=.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设弦AC的垂直平分线的方程为y kx m=+，求m的取值范围.解：(1)由椭圆定义及条件知，12210a F B F B=+=,得5a=,又4c=,所以223b a c-=，故椭圆方程为22=1259x y+(2)解法一：由()()1122,,,A x y C x y在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121yxyx①-②得()()222212129250x x y y-+-=,即()12121212129()25()()=022x x y y y yx xx x++-⨯+⋅≠-将()121212001214,,022x x y y y yx y kx x k++-====-≠-代入上式，得：①()01942500y k k ⎛⎫⨯+-=≠ ⎪⎝⎭即02536k y =(当0k =时也成立). 由点()04,P y 在弦AC 的垂直平分线上，得04y k m =+,所以00002516499m y k y y y =-=-=- 由点 ()04,P y 在线段'BB (B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得09955y -<<，所以161655m -<< 解法二：因为弦AC 的中点为()04,P y ，所以直线AC 的方程为()()0140y y x k k-=--≠ ③将③代入椭圆方程22=1259x y +,得()()()2222009255042542590k x ky x ky k +-+++-⨯=所以012250(4)8925k x x k ++==+,解得02536k y =.(当0k =时也成立) (以下同解法一).点拔：1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.例7 已知双曲线22142x y -=⑴过(1,1)M 的直线交双曲线于A B 、两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；⑵是否存在直线l ，使1(1,)2N 为l 被双曲线所截弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由； 解：依题意，直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为1(1)y k x -=-由221(1)142y k x x y -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：2222(12)(44)2460k x k k k k -+--+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则1212(,)22x x y y M ++ 2122221212x x k k k +-∴==-解得12k = 又2224)4(12)(246),k k k k 2=(4k ∆----+- 当12k =时，＞0∆ ∴直线AB 的方程为11(1)2y x -=-．即210x y -+=． ⑵假设过N 的直线l 交于1122(,)(,)C x y D x y 、则有：222211221,14242x y x y -=-= 两式相减得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +--+-= 依题意，121212,2,1x x x x y y ≠+=+=，∴12121CD y y k x x -==-． 又双曲线的一条渐近线方程为2,2y x =而212，∴直线l 与双曲线没有公共点，故使1(1,)2N 为弦中点的直线不存在．例8 过抛物线()220y px p =>上一定点()()000,0P x y y >作两条直线分别交抛物线于()()1122,,,A x y B x y ．(1)求抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离； (2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求120y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数．.解：(1)当y =2p 时,8p x =,又抛物线22y px =的准线方程为2p x =-,由抛物线定义得,所求距离为5828p p p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭． (2)设直线PA 的斜率为PA k ,直线PB 斜率为PB k ．由2211002,2y px y px ==相减可得：()()()1010102y y y y p x x -+=-故：()101010102PA y y p k x x x x y y -==≠-+． 同理可得：()20202PB p k x x y y =≠+由PA 、PB 倾斜角互补可知PA k =-PB k 即102p y y +=202p y y -+故：1202y y y +=-． 设直线AB 的斜率为AB k ,由2222112,2y px y px ==相减可得：()()()2121212y y y y p x x -+=-．故：()211221122AB y y p k x x x x y y -==≠-+将12y y +=()0020y y ->代入得1202AB p p k y y y ==-+． 所以AB k 是非零常数．。
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第二章圆锥曲线
教学目标
1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。
2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。
能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义。
教学重点、难点
重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。
难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义
教具
多媒体课件、实物投影仪
内容分析
本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念。
这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。
根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。
这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养。
学法指导
教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。
对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出放进双球后的图形，再引导学生发现“到两切点距离之和为定值”的特性，这一内容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。
教学过程设计
1．问题情境
我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？
2．学生活动
学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：
对于Dandelin 双球理论只要让学生感知、认同即可。
3．建构数学
（1）圆锥曲线的定义
椭圆：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。
（类比椭圆的定义） 双曲线：平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F ，2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
对于第三种情形，平面与圆锥曲线的截线是一条曲线构成。
抛物线：平面内到一个定点F 和一条定直线L （F 不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线L 叫做抛物线的准线。
（2）圆锥曲线的定义式
上面的三个结论我们都可以用数学表达式来体现：设平面内的动点为M 。
椭圆：动点M 满足的式子：122MF MF a +=（2a >12F F 的常数）
双曲线：动点M 满足的式子：122MF MF a -=（0<2a <12F F 的常数）
抛物线：动点M 满足的式子：MF =d （d 为动点M 到直线L 的距离）
我们可利用上面的三条关系式来判断动点M 的轨迹是什么！
4．数学应用
例1、试用适当的方法作出以两个定点1F ，2F 为焦点的一个椭圆。
思考：在椭圆的定义中，如果这个常数小于或等于12F F ，动点的轨迹又如何呢？ 例2、已知∆ABC 中，B （-3，0），C （3，0），且AB ，BC ，AC 成等差数列。
（1）求证：点A 在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。
略解：由AB ，BC ，AC 成等差数列，可得2BC=AB+AC,即AB+AC=12>BC ,由椭圆的定义可得点A 在一个椭圆上运动，且以B 、C 为焦点。
例3、已知定点F 和定直线l ，F 不在直线l 上，动圆M 过F 且与直线l 相切，求证：圆心M 的轨迹是一条抛物线。
分析：欲证明轨迹为抛物线只需抓住抛物线的定义即可。
变题：已知定点F 和定圆C ，F 在圆C 外，动圆M 过F 且与圆C 相切，
探究动圆的圆心M 的轨迹是何曲线？
提示：相切须考虑外切和内切。
拓展：此处定点F 也可改成定圆（但不宜在课堂上搞得过于复杂，可留作优生课后思考）
课堂练习
1、 已知∆ABC 中，BC 长为6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？
2、 设Q 是圆224x y +=上的动点，另有点A )
，线段AQ 的垂直平分线l 交半径OQ 于点P ，当Q 点在圆周上运动时，则点P 的轨迹是何曲线？
5．回顾小结
（1）三种圆锥曲线的定义
（2）三种圆锥曲线的定义式
6．作业布置
（1）《创新课时训练》第19—20页
（2）思考：课本第25页3、4
教学反思。