椭圆切点弦的几个性质
椭圆知识点总结
【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
椭圆切线的几个典型性质
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椭圆切线的几个典型性质
崔宝法
( 海盐县元济高级中学 ,浙江 314300)
中图分类号 : O123. 3 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 (2006) 15 - 0029 - 02
对于椭圆的切线 , 在全日制普通高级中学教 科书 ( 必修) 数学第二册 ( 上) 中虽略有涉及 , 但没 有作进一步的讨论与研究 . 事实上 , 椭圆的切线作 为和椭圆位置关系最特殊的直线 , 有着它自身所 独有的一些典型性质 . 下面给出其中几条性质 , 并 加以证明 . 性质 1 椭圆的任意一条切线与切点处的两 条焦半径所成的角相等 . 证 如图 1 ,设椭圆方 程为
2
收稿日期 :2006 - 04 - 04 ) ,男 ,浙江海盐人 ,浙江海盐县元济高级中学高级教师 . 作者简介 : 崔宝法 (1958 —
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数 学 通 讯 2006 年第 15 期 ) , 两焦点的坐标为 F1 ( c , 一点为 P ( acosθ, bsinθ 0) , F2 ( - c ,0 ) , 则 P 点处的切线方程为 sinθ
x 轴的交点) ,
则法线 PT 的方程为
a y0 x - b x0 y = ( a - b ) x0 y0 ,
2 2 2 2
1 ( a > b > 0) 的两个
焦点 , P 为椭圆外任 一 点 , PQ , PQ′ 为椭 圆的两条切线 , T , T′ 为切点 . 作点 F1 关 于 直 线 PT 的 对 称 点 F1 ′ ,则 ∠F1 ′ TQ = ∠F1 TQ . 又根据性质 1 , 有 ∠PTF2 = ∠QTF1 , ∴ ∠F1 ′ TQ = ∠F2 TP , ∴ F2 , T , F1 ′ 三 点共线 , ∴ | F2 F1 ′ | = | F2 T| + | TF1 ′ |
第13讲 切点弦问题(解析版)
第13讲 切点弦问题1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，离心率为2，M 是椭圆上的动点，12MF F △的最大面积为1．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求证：过椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>上的一点()00,T x y 的切线方程为：00221x x y y a b⋅⋅+=；（3）设点P 是直线:2l x =上的一个动点，过P 做椭圆Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）直线AB 过定点(1,0).【分析】（1）当M 是椭圆的短轴端点时，12MF F △的面积最大，得到1bc =，再结合离心率及222a b c =+，可求得椭圆方程；（2）联立2222002211x y a b x x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⋅⋅⎪+=⎪⎩，得222222224420000()20a y b x x a b x x b a a y +-+-=(*) ，又点()00,T x y 在椭圆上得22222200b x a y a b +=，即可将方程变形为2220()0a b x x -=，即直线和椭圆仅有一个公共点，可证得l 为椭圆的公切线.（3）设(2,)P t ，切点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由切线方程可知1121x x y y ⋅+⋅=，2221x x y y ⋅+⋅=，又P 在切线上，∴111x ty +=，221x ty +=，可知直线AB 的方程为：1x ty +=，可得直线AB 过定点(1,0) 【详解】（1）M 是椭圆上的动点 M y b ∴≤，∴121211||222MF F M SF F y c b bc =⋅≤⋅⋅=，即M y b =时，()12max1MF F S bc ==2c e a ==，即222a c =，又222a b c =+，1b c ∴==，a ∴=， ∴椭圆Γ的方程为2212x y +=（2）证明：联立2222002211x y a b x x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⋅⋅⎪+=⎪⎩，得222222224420000()20a y b x x a b x x b a a y +-+-=(*)点()00,T x y 在椭圆上，∴222222220000221(0)x y a b b x a y a b a b +=>>⇒+=∴222222220020a b x a b xx a b x -+=，即222200(2)0a b x xx x -+= ∴2220()0a b x x -=， 得0x x =，故直线和椭圆仅有一个公共点，∴l 为椭圆的公切线（3）设(2,)P t ，切点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）的结论可知， 切线,PA PB 的方程分别为1121x x y y ⋅+⋅=，2221x x y y ⋅+⋅= P 在切线上，∴111x ty +=，221x ty +=∴1122(,),(,)x y x y 都满足1x ty +=，即直线AB 的方程为：1x ty += ∴直线AB 过定点(1,0).【点睛】思路点睛：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中定点问题的两种解法： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2．已知抛物线C ：y 2＝4x 和直线l ：x ＝－1.(1)若曲线C 上存在一点Q ，它到l 的距离与到坐标原点O 的距离相等，求Q 点的坐标； (2)过直线l 上任一点P 作抛物线的两条切线，切点记为A ，B ，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)1,2Q ⎛ ⎝；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）设Q (x ，y )，则(x ＋1)2＝x 2＋y 2，又y 2＝4x ，解得Q ；（2）设点(－1，t )的直线方程为y －t ＝k (x ＋1)，联立y 2＝4x ，则Δ＝0，得k 2＋kt －1＝0，则切点分别为A ，B ，所以A ，B ，F 三点共线，AB 过点F (1，0)。
椭圆的切线的性质和判定
椭圆的切线的性质和判定
切线的定义
首先我们来回顾一下什么是切线。
在几何学中，切线是指与给定曲线相切的直线。
对于椭圆而言，切线是与椭圆相切并且仅在切点与椭圆相交的一条直线。
切线的性质
椭圆的切线具有以下性质：
1. 切线与椭圆的切点处的切线方向与椭圆的切点处的切线方向相同。
2. 切线与椭圆的切点处的切线垂直于椭圆的法线。
法线是指与椭圆切点处切线垂直的直线。
3. 具有相同斜率的直线可以视为同一条切线。
4. 切线与椭圆的切点处的切线与椭圆的对称轴相交于同一点。
切线的判定方法
确定一条直线是否是椭圆的切线可以通过以下方法进行判定：
1. 求解切点坐标：设直线方程为y = kx + b，将其代入椭圆方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到一个关于x的二次方程。
解这个二次方程，得到两个解x1和x2。
将x1和x2带入直线方程中求解出对应的y1和y2。
这样得到的两个点(x1, y1)和(x2, y2)就是直线与椭圆的切点。
2. 验证切线性质：将直线的斜率代入椭圆的导数方程dy/dx = -b^2x/a^2y，如果二者相等，说明这条直线是椭圆的切线。
总结
椭圆的切线具有一些独特的性质，包括与切点处的切线方向相同、与切点处的切线垂直的法线、具有相同斜率的直线视为同一条
切线等。
判定一条直线是否是椭圆的切线可以通过求解切点坐标和验证切线性质来进行。
希望本文对你理解椭圆的切线的性质和判定方法有所帮助！。
椭圆曲线“切点弦”的性质
椭圆曲线“切点弦”的性质_本人通过对椭圆曲线性质的研究，得出椭圆曲线切点弦的一条有趣的性质，现把它的探索过程写出来，与大家分享。
为了方便，不防从抛物线进行探究，然后再推广到其他椭圆曲线。
y2=2px的准线l上任意一点p作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B，我们把线段AB称为切点弦，则切点弦AB必过定点所以切点弦AB所在的直线方程是tp=p(x-，即为抛物线y2=2px 的焦点探究1：如果性质1中直线L非抛物线的准线l，而是直线l：x=-c(c0),那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢？自直线l：x=-c(c0)上任意一点p作抛物线y2=2px的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB必恒经过定点证明：设AB，P(c0)则经过点P的两条切线的方程是Ty1=p(x1-c)③,ty2=p(x2-c)④由③④得，显然AB都在直线ty=p(x-c)上，切点弦AB所在的直线的方程是ty=p(x-c)切点弦恒过定点显然性质1是性质2的特殊情形探究2：一般地，如果性质2中直线x=-c(c0)改为直线l：y=kx+b(其中k,b为常量)，且l与抛物线y2=2px没有公共点，那么切点弦AB是否也具有类似的性质呢？若直线l：y=kx+b(其中k,b为常量)，且l与抛物线y2=2px没有公共点，自直线l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A、B，那么切点弦AB恒过定点我们之所以假设直线l与抛物线没有公共点，是因为如果直线l 与抛物线相交，那么过l上任意一点并不总能作抛物线的切点；如果直线l与抛物线相切，那么切点弦显然恒过定点y=p(x+t)上，所以切点弦AB所在的直线的方程是y=p(x+t)k0，(y-k(p))=p(x-k(b))，所以切点弦AB恒过定点现在我们将抛物线切点弦的这条性质推广到椭圆和双曲线设直线l：y=kx+m(其中k,m为常量)与椭圆C：a2(x2)+b2(y2)=1没有公共点，直线l上任意一点p作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B则切点弦AB恒过定点，B，P(t,kt+m)同理可以得出：设直线l:y=kx+m(其中k,m为常量)与圆C：x2+y2=r2没有公共点，自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB恒过定点综上所述，我们得到椭圆曲线切点弦的性质如下：已知定直线l与椭圆曲线C没有公共点，自直线l上任意一点P作椭圆C的两条切线，设切点分别为A、B，则切点弦AB恒过定点。
高考数学 椭圆性质大全(92条结论)
椭圆92条结论1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b +=+;(2)L =17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222002222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bxayα=-,当0y =时, 90α=. 31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a ba b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a mb n a --∠=⇔=++.52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b -=. 60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a +≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a bx y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是 22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>. 91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程
概述
椭圆曲线是数学中的一种曲线形式，具有许多应用领域，包括密码学和计算机科学。
切线是椭圆曲线上的一条直线，与曲线相切于某一点。
切点弦是连接切线切点和另一点的直线。
本文将介绍如何求解椭圆曲线的切线方程和切点弦方程的相关知识。
椭圆曲线的切线方程
在椭圆曲线上选择一点P，我们可以通过求解该点处曲线的导数来得到切线的斜率。
将该斜率和该点的坐标代入直线方程y = mx + b，即可得到椭圆曲线上过该点的切线方程。
具体步骤如下：
1. 求解曲线在点P的导数，即椭圆曲线的斜率m。
2. 将斜率和点P的坐标代入直线方程y = mx + b。
3. 解方程得到b的值。
4. 得到切线方程。
椭圆曲线的切点弦方程
切点弦是连接切线切点和另一点的直线，我们可以通过利用切线方程和切点的坐标来求解切点弦方程。
具体步骤如下：
1. 使用椭圆曲线的切线方程，将切点的坐标代入切线方程得到斜率。
2. 利用切点和斜率代入直线方程y = mx + b。
3. 解方程得到b的值。
4. 得到切点弦方程。
总结
椭圆曲线的切线方程和切点弦方程可以通过求解切线的斜率和代入直线方程来得到。
这些方程可以在研究和应用领域中有重要的作用。
对于更复杂的椭圆曲线，求解切线方程和切点弦方程可能会更加复杂，需要进一步的数学技巧和方法。
以上是关于椭圆曲线的切线方程和切点弦方程的简要介绍。
希望对您的研究和学习有所帮助。
二次曲线的切线问题
二次曲线的切线问题洪江摘要：本文针对历年来的二次曲线的切线这个高考热点问题进行探讨。
其中主要介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种二次曲线。
文中概述了切点在曲线上和曲线外时切线的求法，并以高考题目作为例子进行论述。
随后本文还讨论了切点所带来的切点弦问题、切点弦方程的求法及应用的关键。
最后还提出和总结了几种二次曲线中与切线相关的小性质，并且说明了其来源。
关键词：二次曲线；椭圆；双曲线；抛物线；切线；切点弦；性质An Study on Tangent Lines of ConicHongjiangAbstract: This study intends to discuss tangent lines of conic which has been a hot topic in National College Entrance Examination since these years. Firstly, it mainly exam Three parts of conic—Ellipse, Hyperbola, Parabola. This study summarizes ways to get tangent pains either on the curve or out of it and it also uses questions from NCEE to support it. Secondly, in this study, we discuss chord of contact which follows the tangent point, methods to work out equation of the cut point and how to use well. Finally, it also finds and summarizes some qualities of conic and shows their origins.Key words: Conic, Ellipse, Hyperbola, Parabola, Tangent, Quality二次曲线在高考中占着很重要的地位，往往是作为压轴题出场，特别是近年来其切线问题的应用的综合性问题更是一个热点。
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零陵师专学报
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年自 然科学版
椭 圆切 点弦 的几 个性 质
李 荣芝
【 摘
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