与焦点弦相关的问题
抛物线的焦点弦问题
抛物线的焦半径
抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径 .
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
|
PF
|
x0
p; 2
p | PF | - x0 2
p | PF | y0 2
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长. y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入双曲线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4x1 x2 8
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
焦点弦公式及其应用
焦点弦公式及其应用焦点弦公式及其应用论文关键词：焦点弦公式,应用在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错．为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简．１、当时,圆锥曲线为椭圆, ；２、当时，圆锥曲线为抛物线, ．图1下面对焦点弦公式进行证明．证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线L:上．由直线L和椭圆C的方程可得．设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为∵焦准距为,∵．当时，公式也成立．对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，．∵．即．当时，同理可以推得．利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．一、在椭圆中的应用例1 （2008年高考安徽卷文科22题）已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．（∵）求椭圆C的方程；（∵）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：（∵）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值．解：（∵）由已知得，又，所以．故所求椭圆C的方程为．（∵）因为直线AB倾斜角为，，，，。
由焦点弦，可得=得证．（∵）因为直线AB倾斜角为，则DE与轴的夹角可表示为。
因而，，。
如何提升解题效率——以抛物线的焦点弦问题为例
%i
22
%1
所以）2//01.
点 评 ：利用抛物 线中焦点弦 的定值性质 ，可以有效
转 化 抛 物 线 中 的 焦 点 弦 的 相 应 点 的 坐 标 关 系4 ，
%i%2=-p2，巧妙地把相应的点的坐标与对应的参#〇/加以
关 联 ，直接略过 相应的运算 过程，减少了因运算能力薄 弱而导致的错误，并有效加快解题速度，提升解题效益.
解 析 ：由拋物线":%2=2#，可 得 /&1，则焦点0 I % ，0 &
准线方程为士.
可得2 % 2 2%1+%2 '
根据焦点弦的定值可知%1%2=-/ 1，
%12+%2 于 是 直 线 的 斜 率 5A2=- 1
22
.%厂％2_ %厂％2
%i2+# %12-%%2
-，直线0 1 的 斜 率 ^ %2-0 _%2&
sin2!
2
由！# |〇，| ) ，可 得 !$子 ，则有+$tan!$1，
所以直线，的方程为y$1x ()-1 )$)-1. 点 评 ：利 用 抛 物 线 的 焦 点 弦 的 长 度 公 式 来 处 理 问 题 ， 可 以 避 免 函 数 与 方 程 的 繁 杂 计 算 ，简 化 过 程 ，直 接 利 用 三 角 函 数 以 及 直 线 的 斜 率 定 义 来 确 定 参 数 + 的 值 ，更 为 直 接 明 确 .碰 到 此 类 与 焦 点 弦 的 长 度 有 关 的 问 题 时 ，都 可 以 考虑利用抛物线的焦点弦的长度公式来尝试与处理.
教学 参谋
解法探究
2018年 9 月
直 线 的 倾 斜 角 为 ！，则有lA Sb - 2^ . sin2!
高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
圆锥曲线中焦点弦问题(共16张PPT)
焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式 已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 3： 过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F， 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方） ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆Байду номын сангаас程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题河北省武安市第一中学郅武强抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。
分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或12AB y y p=++。
二. 通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22( 2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+>1222px x p k +=+则1222222p p AB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。
证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 0(04k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值；从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一．弦长问题：例 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B 两点，求线段AB 的长。
分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p=++或12AB y y p=++。
二.通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为()2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22()2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩ 消去y 得22222(2)04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+> 1222px x p k +=+则1222222p pAB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小 即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。
证明：①联立22()2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2)0(0)4k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值； 从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0)y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。
过抛物线焦点弦的最小值问题
过抛物线焦点弦的最小值问题例题：已知抛物线 y2 =2px(p .0)，过焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，则弦|AB|的最小值。
解法一：当斜率k 存在时，设直线AB 为y=k(x-上) 2«y =k(x-号)得 k 2x 2 -(k 2p+2p)x + — k 2 =0y 2 =2px42 即：X j X 2 ， 过焦点弦 |AB|= x 1 x 2 p4由题意可知x 1 0, x 2 - 0,为• x 2丄2 . x 1x 2由于积是定值，当且仅当x^x 2时即为-时能取等号，所以当斜率k 不存在， 2 此时这条直线就垂直于 x 轴，过焦点的弦|AB|最小即通径最小。
最小值为 2p.解法二：设直线的倾斜角为 二，斜率存在时，则直线为y= tan (x-—)2 八曲(-2 y2 =2px 2得 tan 次-(ptan) 2 p)x tan - 0 2=2p(1 +2psin 2当sin 2r=i 时，|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在，倾斜角二评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。
这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。
解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。
这是两种不同方法来分析最值问题的。
这种方法是建立函数关系式来求最值问题。
在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。
(如 解法一型)，二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。
这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。
X i代入 过焦点弦|AB|= x 1 x 2 p 2，即线段AB 为通径。
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
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三、与焦点弦相关的问题
8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1
）
问题探究8
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=∙
恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）
实验成果
动态课件
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
11112
||||AF BF ep
+=
备用课件
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
AB 在同支
11112
||||AF BF ep += AB 在异支
11112
|
|||||AF BF ep
-= 备用课件
抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
112
||||AF BF ep
+=
备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2
）
问题探究9
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=∙
恒成立.并由此求
四边形ABCD 面积的最小值和最大值.
实验成果
动态课件
椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数
ep
e CD AB 22||1||12
-=+ 备用课件
双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数
ep
e CD AB 2|
2|||1||12-=+
备用课件
抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数
ep
e CD AB 22||1||12
-=+
备用课件
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值
3）
问题探究10
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=
恒成立？
实验成果
动态课件
设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）
备用课件
设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）
备用课件
设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）
备用课件
11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1
（中点共线）
问题探究11
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=
恒成立.
实验成果
动态课件
椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件
双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件
抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件
12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12
已知椭圆
22
1
43
x y
+=，
1
F为椭圆之左焦点，过点
1
F的直线
1
l交椭圆于A，B两点，,C D分
实验成果动态课件
椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D
连线与相应准线的交点N、M，则N、
C、B三点共线，M、C、A三点共
线
备用课件
双曲线焦点弦端点A、B与另一顶
点D连线与相应准线的交点N、M，
则N、C、B三点共线，M、C、A
三点共线
备用课件
抛物线焦点弦端点A、B与另一顶
点D连线与相应准线的交点N、M，
则N、C、B三点共线，M、C、A
三点共线（抛物线的D点在无穷远
处）.
备用课件
别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==
试探究点P 的轨迹.
13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）
问题探究13
已知双曲线22
131
x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， 实验成果
动态课件
椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D
连线与相应准线的交点N 、M ，则
11NF MF ⊥
备用课件
双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥
备用课件
抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）
备用课件
,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==
动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==
试探究1PF Q ∠是否为定值.
14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系
问题探究14
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，
实验成果
动态课件
椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线
备用课件
本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线
备用课件
抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线
备用课件
并证明之.
15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平
分线）
问题探究15
实验成果动态课件
椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平
分
2
AF C
∠
备用课件
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线
平分
1
AF C
∠
备用课件
抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D
∠
备用课件
已知椭圆22
143
x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和
C ，
D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.
16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广
实验成果
动态课件
过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定
直线t
a x 2
=
备用课件
过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一
定直线t
a x 2
=
备用课件
过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=
备用课件
问题探究16
已知椭圆22
184
x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直
线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.
17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线
及对称轴所分比之和为定值
问题探究17
已知椭圆22
184
x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，实验成果
动态课件
椭圆的焦点弦所在直线被曲线
及短轴直线所分比之和为定值.
备用课件
双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.
备用课件
过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件
设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ== 试求λμ+的值.
18
．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值
问题探究18 已知方向向量为(1,3)e = 的直线l 过点(0,23)A -和椭圆22
22:1x y C a b +=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO ∙== .⑴求椭实验成果 动态课件
过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，
AB ，其共线向量比之和为定值．即
1112222
122
121AF m F B
AF m F B
e m m e →→→→==++==-定值备用课件
过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦
AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222
122121AF m F B
AF m F B
e m m e
→→→→==++==-定值备用课件
（注：图中测算不是向量，故中间一式
用的是差）
由于抛物线的开放性，焦点只有一个，
故准线相应地替换了焦点，即 PA=m 1AF
PB=m 2BF 备用课件
m 1+m 2=0
圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,E S E T ,设111,EF F S λ= 222EF F T λ= ，求12λλ+的值.。