椭圆中的焦点弦问题PPT课件
第7课时 与椭圆有关的弦长问题
题型二：中点弦问题
例2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：（1）当斜率不存在时，显然不合题意
（2）当斜率存在时，
韦达定理→中点坐标→斜率 方程组思想判别式法：利用韦达定理及中点坐标公式来处理
题型三：中点弦问题
例 2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
当x1≠x2时，
根与系数关 系
可推广到任意二次曲线
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1 1 k2 | yA yB |
当x1=x2时， | AB || yA yB |
题型一：弦长公式
例1：已知斜率为1的直线l 过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3.
复习回顾 直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法：方程组思想判别式法
联立直线与椭圆的方程组成方程组 消元得到一个二元一次方程：
通法
(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；
(2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点；
(3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
探究
弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
平分,则这条弦所在的直线方程是___x___2__y___4____0___.
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 方程组思想，判别式法
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
椭圆双曲线焦点三角形问题
椭圆、双曲线的焦点三角形问题一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理例1. 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为 y ＝－3(x －c)，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB|＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c. 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB|·sin ∠F 1AB ＝12a·165c·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.方法二 设|AB|＝t.因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a. 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t)2＝a 2＋t 2－2atcos 60°可得，t ＝85a.由S △AF 1B ＝12a·85a·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F PF 123=π，且△PF F 12的面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程.解析：设双曲线的方程为x a y ba b 2222100-=>>()，，F c F c 1200()()-，，，，P x y ()00，.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得||||||||||cos F F PF PF PF PF 12212221223=+-··π=-+(||||)||||PF PF PF PF 12212·，即 442212ca PF PF =+||||·，又因为S PF F △1223=，所以1232312||||sin PF PF ·π=， 所以||||PF PF 128·=，所以44822ca =+即b 22=，又因为e c a==2，所以a 223=. 故所求双曲线方程为322122x y -=. 二、有关21PF F ∠的问题，方法： 正弦定理、等比定理例3已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tanF 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为3422y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ，椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tanF 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅． 三、有关内切圆的问题，方法：椭圆定义、切线长定理xyF 2F 1OP例4椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12F PF ∆的内切圆记为M e ，求证：点P 到M e 的切线长为定值.证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．四、有关轨迹的问题，方法： 例5例6已知椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-，12F PF ∆的内切圆记为⊙M ，试求圆心M 的轨迹方程 .解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a cαβαβαβαβ+=⇒=++++，又由合分比定理知tan tan 22a c a c αβ-⋅=+.由斜率公式知：12,(0),MF MF y y k k y x c x c==≠+-由前述不难看出，不论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有12tantan,(0).22MF MF y y a ck k y x c x c a cαβ-⋅=-⋅∴⋅=-≠+-+ 整理得(a －c)x 2＋(a ＋c)y 2=(a －c)c 2(y≠0)证毕．点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理.五、开放性问题，方法：例7、已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题： ①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上；②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； ③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④12PF F △的内切圆必通过点0a ()，． 其中真命题的代号是 ．解析：设12PF F △的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F 1A|＝|F 1M|，|F 2B|＝|F 2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|F 1M|－|F 2M|＝2a ，而|F 1M|＋|F 2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F 1M|－|F 2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①、④正确.六、曲线位置关系问题，方法：椭圆定义例8. 如图，设P 是椭圆上任一点，F 为椭圆的一个焦点，求证；以FP 为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切.。
圆锥曲线中焦点弦问题(共16张PPT)
焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式 已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 3： 过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F， 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方） ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆Байду номын сангаас程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.
高二解析几何难点微专题：椭圆中的焦半径与中点弦
第8讲：椭圆中的焦半径与中点弦1. 基础结论(1).椭圆22221(0)x y a b a b+=>>两焦点为12(,0),(,0),F c F c -||2()A B AB a e x x =++（过左焦点）||2()A B AB a e x x =-+（过右焦点）其中e 是椭圆的离心率.(2).椭圆22221(0)y x a b a b+=>>||2()A B AB a e y y =-+（过左焦点）||2()A B AB a e y y =++（过右焦点）(3).若→→=B F AF 22λ，则|1||1|12+-+=λλke .2.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，进一步，有222212,PF PF a ex b a ⎡⎤•=-∈⎣⎦3. 中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解） 椭圆：交点在x 轴上时直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于点A 、B设点A(11,y x ),B(22,y x )∵A 、B 在椭圆上∴1221221=+b y a x ……① 则2222122221-b yy a x x -=- 1222222=+b y a x ……② 即 2222212221-a b x x y y =-- ①-②得：02222122221=-+-b y y a x x 即2221212121))((ab x x y y x x y y -=++--则 22ab k k OMAB -=（其中M 为A 、B 中点，O 为原点）同理可以得到当焦点在y 轴上，即椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y当直线交椭圆于A 、B 两点，M 为A 、B 中点 则22ba k k OMAB -=2.典例（2018三卷）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．详解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=.两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=.由题设知12121,22x x y y m ++==，于是34k m =-.①由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.由（1）及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32FP =.于是(122x FA x ===-. 同理222x FB =-.所以()121432FA FB x x +=-+=.故2FP FA FB =+，即,,FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||2d FB FA x x =-=-=.②将34m =代入①得1k =-.所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得d =..。
椭圆二级公式焦点弦
椭圆二级公式焦点弦椭圆二级公式焦点弦___________________________椭圆是一种广为人知的几何图形，它是由两个焦点和一条弦组成的，可以用椭圆二级公式来描述。
椭圆二级公式焦点弦定义了椭圆的特性，是理解椭圆的重要工具。
本文将对椭圆二级公式焦点弦的概念、特性和用途进行深入的介绍。
### 一、定义椭圆二级公式焦点弦是一条由两个焦点和一条弦组成的椭圆形，它可以用公式表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 其中，$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴长度，$x$和$y$分别为椭圆上任意一点的横坐标和纵坐标。
### 二、特性椭圆二级公式焦点弦有以下几个特性：1. 椭圆的两个焦点距离相等：椭圆的两个焦点距离相等，即$a=b$；2. 椭圆的长轴和短轴长度可以不同：即$a \neq b$；3. 椭圆上所有点到其两个焦点的距离之和相等：即$2a=2b$；4. 当$a=b$时，椭圆会变成圆形；5. 椭圆的长轴和短轴长度可以不同：即$a \neq b$；### 三、用途椭圆二级公式焦点弦用于计算几何图形，如天文学、航海学中的星图计算。
此外，它还可以用于数学函数、微分方程、波动方程和物理方程的计算。
椭圆二级公式焦点弦也可以用于工程设计中，如地形设计、建筑设计、图像处理和机器人学中的机器人运动。
### 四、应用实例例如：有一个需要制作半径为3厘米的圆形饰物，可以使用椭圆二级公式焦点弦来进行计算：$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$$ 其中，$x$和$y$分别为椭圆上任意一点的横坐标和纵坐标，而$a=b=3$。
根据此公式可以得出：当$x=3,y=0$时，椭圆上任意一点都可以制作出半径为3厘米的圆形饰物。
### 五、总结椭圆二级公式焦点弦是一条由两个焦点和一条弦组成的椭圆形，它可以用公式表示。
它的特性是：椭圆的两个焦点距离相等、椭圆的长轴和短轴长度可以不同、当$a=b$时，椭圆会变成圆形、椭圆上所有点到其两个焦点的距离之和相等。
一道椭圆焦点弦问题的7种解法
得 (+
,
即k2(4c2a2-b4)=b4，⑤
(
− )，
+
=
(
+ ),
+
−
− ) (+ + )＝ + ，
得− = ，④
22＝32 ，即 − , − = Βιβλιοθήκη − , ,由①④得： =
−
，
+
−
由③⑤得 ＝ − ，
=
2
2 2
2
，代入②得：a =(25c -a )m ,
+
··
得5b2=6am.②
−
=
(4a2- 5b2)( + ) =
4a2=5b2=5(a2-c2)
a2=5c2
.
=
①
.
引例
已知椭圆C：
+
= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
− = ,
③
− ( + ) + =0
④
−
把①②代入④，得：· + -3c·+ +a2=0,
即c2(k2c2-b2)-6c2a2k2+a2(b2+a2k2)=0,
即k2(c4-6c2a2+a4)=-b4
椭圆的中点弦课件
06
课后作业布置与要求
书面作业：完成教材上相关练习题
1 2
习题1
求解给定椭圆方程的中点弦方程。
习题2
证明椭圆的中点弦方程与椭圆方程的关系。
3
习题3
利用中点弦方程求解椭圆上的两点距离等问题。
思考题
思考1
当椭圆离心率变化时，中点弦的长度和斜率如何变化？
思考2
当椭圆长轴和短轴的长度比例变化时，中点弦的位置和形状有何 规律？
椭圆方程及其特点
标准方程
椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其 中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴。
特点
椭圆方程是一个二次方程，具有两个独立的变量，描述了椭圆上任意一点的坐 标满足的关系。
焦点、长轴和短轴等概念
焦点
椭圆上的两个定点，位于长轴上 ，距离椭圆中心为$c$，满足 $c^2=a^2-b^2$。
中点弦经过椭圆中心，与椭圆长轴、短轴分别交于两点，这 两点与椭圆中心构成的线段互相垂直。
中点弦与椭圆离心率关系
中点弦的斜率与椭圆的离心率有关，离心率越大，中点弦的 斜率绝对值越大。
求解中点弦方法论述
联立方程法
利用椭圆方程和中点坐标，联立求解得到中点弦的方程。
点差法
利用椭圆上两点坐标的差和中点坐标，通过计算求解得到中点弦的方程。
长轴
通过椭圆中心的线段，连接两个焦 点，长度为$2a$。
短轴
与长轴垂直的线段，通过椭圆中心 ，长度为$2b$。
02
中点弦定理介绍
中点弦定义及性质
中点弦定义
椭圆上任意两点连线的中点所在直线 称为中点弦。
焦点弦公式二级结论
焦点弦公式二级结论
椭圆：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。
(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。
双曲线：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。
(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。
注意：
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。
因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
这是一个很好的性质。
焦点弦长就是这两个焦半径长之和。
此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)。
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mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
=0
方程组有一解
<0
方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
相交 相切 相离
回例顾题旧精知讲
弦长公式：
点设，直直线线与k椭圆交的于斜A(率x1为, y1
)
B( x2
．
,
y2
)
AB两
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
（2）LAB : y 3(x c) a 2c …①
b2
a2
c2
3c
2设
x2 4c2
y2 3c2
1
巩固练习
y
y 3(x c)
x2 4c2
x1
y2 3c2
0, x2
1
5 8
消去y 5x2 8cx
c B(8 c, 3 3 c) 55
0
A
F1
2014.11.14
A(3分)
B(3分)
C(2分)
D(1分)
Watch
bus
box
回顾旧知
问题：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
回顾旧知
如何判断直线和椭圆的位置关系？ 代数法
直线l : Ax By C
0与椭圆E：x a
Hale Waihona Puke 2 2y2 b21
Ax+By+C=0 由方程组： x 2 y2
F2
法一：
x1
x2
4k 3 k2
,
x1x2
2 3 k2
A ox
F1A F1B x12 (y1 2)2 x22 (y2 2)2
F1
x12 (kx1 4)2 x22 (kx2 )2
(k 2 1)x12 8kx1 16 (k 2 1)x22 无法解出，怎么办？
巩固练习
法二：联立方程组
y-2 kx
消去y
(3 k 2 )x2 4kx 2 0
3x2 y2 6
y
x1
x2
4k 3 k2
,
x1x2
2 3 k2
B F2
AB 4a ( F1A F1B ) 4 63 6 6
A ox
F1
巩固练习
已知椭圆E：x a
式求 AB
法二：带 AB 的弦长公式
优点：不用计 算出两根，计 算量小！
例题精讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A(
的斜率为 k ．
x1
,
y1
)
B(x2 , y2 )两点，直线
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
1
1 k2
（y1
y2）2 4 y1y2
适用于任意二次曲线
2 2
+
y2 b2
=1,若直线L过右焦点F ，与上顶点A,且与 2
椭圆E交于B，F1AF2 =60.(1)求椭圆的离心率.(2)已知
SAF1B 40 3, 求a,b的值.
y
解：（1） F1AB 60
A
AF1F2为等边三角形，即a 2c e c 1
a2
F1
F2
ox
B
例题精讲
变式1 已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上 焦点，且与椭圆E交于A、B两点，AB = 6，求 直线的斜率k.
例题精讲
变式2已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若倾斜角为 的直线L过椭圆
4
的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B.
（1）求 F1 AB的周长；2求 F1 AB的面积.
归纳小结:
椭圆中的弦
韦达定理法（通法） 点差法（中点弦问题）
思想方法
巩固练习
已知椭圆E：3 x2 y2 6若直线L过椭圆E的上焦点F2，且与
椭圆E交于A、B两点，若 F1 A + F1B =3 6，求 AB .
解：联立方程组
y-2 kx 消去y 3x2 y2 6
y (3 k 2 )x2 4kx 2 0 B
F2
ox
B
1
SAF1B
2c 2
x1
x2
1 2c (b 3 3 c) 40
2
5
3… ②
由 ① 得a 10,b 5 3
法二：②AB 10 c d 2bc
8
b2 c2
1
5
SAF1B
2
AB
d
8
c
2bc 40 3 …
b2 c2
恳请诸位老师多提宝贵意见!
1
1 k2
（y1
y2）2 4 y1y2
适用于任意二次曲线
回例顾题旧精知讲
椭圆的定义：
到两定点的距离之和为常数2a(大于两定点的距离2c) 的点的轨迹叫做椭圆
例题精讲
例1已知椭圆E：3x2 y2 6与直线L:y= x-2交于 A、B两点，求 AB .
分析： 法一：算出AB两点的坐标，再用两点间的距离公
分析：
法一：韦达定理法
法二：点差法 优点：计算量小！
改：已知椭圆E: x2 + y2 =1,直线L与椭圆交于A,B两点，若AB的
18 9 中点坐标为M(1,-1),求直线L的方程.
拓展巩固
已知椭圆E:3x2 +y2 =6，若直线L过椭圆 的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B. 求 F1 AB的最大面积.
y
分析：（1） CF1AB 4a
（2）
B F2
法一：以AB作为底
A ox
F1
法二：以F1F2作为底，将三角形分成两个
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2019/7/31
例题精讲
变式3已知椭圆E: x2 + y2 =1(a b 0)的右焦点为F（3,0）， a2 b2
过点F的直线交椭圆于A,B两点，若AB的中点坐标为 M(1,-1),求椭圆E的方程.
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2019/7/31