高二数学根分布简单逻辑
高中高考数学：二次函数根的分布
2
分析：①由 f (−3) ⋅ f (0) < 0 ，即 (14m + 15)( m + 3) < 0 ，得出 −3 < m < − 15 ；
14
②由 ∆ = 0 即16m
2
− 4 ( 2m + 6 ) = 0 得出 m = −1 或 m =
3 ， 2
当 m = −1 时，根 x = −2 ∈ ( −3, 0 ) ，即 m = −1 满足题意； 当 m = 3 时，根 x = 3 ∉ ( −3, 0 ) ，故 m = 3 不满足题意；
2
所以 mx − ( m + 2 ) x + 2 = ( x − 1)( mx − 2 ) ，另一根为 2 ，由1 < 2 < 3 得 2 < m < 2 即为所求； m m 3
2
方程有且只有一根，且这个根在区间 (m, n ) 内，即 ∆ = 0 ，此时由 ∆ = 0 可以求出参数的值，然后再将参数的 值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数. 如：已知方程 x − 4mx + 2m + 6 = 0 有且一根在区间 ( −3, 0 ) 内，求 m 的取值范围.
两根都在 (m, n ) 内
两根有且仅有一根在 (m, n ) 一根在 (m, n ) 内，另一根在 内，另一根在 [m, n] 之外
m n x
( p, q ) 内， m < n < p < q
n
p q
m
x
m
n
x
得出的结论
∆>0 f (m) > 0 f (n) > 0 b m < − <n 2a
人教课标版(B版)高中数学必修1一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0 若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。
下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac bx x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。
【例1】若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。
【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x ab x x ac b ，推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。
高二数学知识点归纳总结
高二数学知识点归纳总结高二数学知识点归纳总结1一、集合、简易逻辑（14课时，8个）1、集合；2、子集；3、补集；4、交集；5、并集；6、逻辑连结词；7、四种命题；8、充要条件。
二、函数（30课时，12个）1、映射；2、函数；3、函数的单调性；4、反函数；5、互为反函数的函数图象间的关系；6、指数概念的扩充；7、有理指数幂的运算；8、指数函数；9、对数；10、对数的运算性质；11、对数函数。
12、函数的应用举例。
三、数列（12课时，5个）1、数列；2、等差数列及其通项公式；3、等差数列前n项和公式；4、等比数列及其通顶公式；5、等比数列前n项和公式。
四、三角函数（46课时，17个）1、角的概念的推广；2、弧度制；3、任意角的三角函数；4、单位圆中的三角函数线；5、同角三角函数的基本关系式；6、正弦、余弦的诱导公式；7、两角和与差的正弦、余弦、正切；8、二倍角的正弦、余弦、正切；9、正弦函数、余弦函数的图象和性质；10、周期函数；11、函数的奇偶性；12、函数的图象；13、正切函数的图象和性质；14、已知三角函数值求角；15、正弦定理；16、余弦定理；17、斜三角形解法举例。
五、平面向量（12课时，8个）1、向量；2、向量的加法与减法；3、实数与向量的积；4、平面向量的坐标表示；5、线段的定比分点；6、平面向量的数量积；7、平面两点间的距离；8、平移。
六、不等式（22课时，5个）1、不等式；2、不等式的基本性质；3、不等式的证明；4、不等式的解法；5、含绝对值的不等式。
七、直线和圆的方程（22课时，12个）1、直线的倾斜角和斜率；2、直线方程的点斜式和两点式；3、直线方程的一般式；4、两条直线平行与垂直的条件；5、两条直线的交角；6、点到直线的距离；7、用二元一次不等式表示平面区域；8、简单线性规划问题；9、曲线与方程的概念；10、由已知条件列出曲线方程；11、圆的标准方程和一般方程；12、圆的参数方程。
高二数学 简单的逻辑联结词(1)
高二数学简单的逻辑联结词（1）1、通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；3、知道命题的否定与否命题的区别、教学重点及难点：1、掌握真值表的方法；2、理解逻辑联结词的含义主要内容：1、一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p且q”、2、一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作：，读作：p或q、注：逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，它与日常用语中的“或”的含义不同、日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”，可以是两个都选，但又不是两个都选，而是两个中至少选一个，因此，有三种可能的情况、逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“并集”即两个必须都选、3、一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作：p，读作“非p”或“p的否定”、“非”命题最常见的几个正面词语的否定：正面是都是至多有一个至少有一个任意的所有的否定不是不都是至少有两个一个也没有某个某些典型例题：例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数、（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员、（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。
例2: 分别指出下列复合命题的形式（1）8≥7（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数；解：（1）是“”形式，：，：8=7；（2）是“”形式，：2是偶数，：2是质数；（3）是“”形式，：是整数；例3：写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（2）q：存在一个实数x，使得x2－9=0（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△ABC是直角三角形或等腰三角形”、解：（1）存在一个实数x，使得x2－2x+1＜0；（2）不存在一个实数x，使得x2－9=0；（3）AB不平行于CD或AB≠CD；（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形、课后练习1、命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（）A、简单命题B、非p形式的命题C、p或q形式的命题D、p且q的命题2、命题“方程x2＝2的解是x＝是( )A、简单命题B、含“或”的复合命题C、含“且”的复合命题D、含“非”的复合命题3、若命题，则┐p（）A、B、C、D、4、命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( )A、p或qB、p且qC、非pD、简单命题5、x≤0是指 ( )A、x<0且x＝0B、x>0或x＝0C、x>0且x＝0D、x<0或x＝06、对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，下列说法正确的是（）A、p且q为假B、p或q为假C、非p为真D、非p为假7、用“或”“且”“非”填空，使命题成为真命题：（1）x∈A∪B，则x∈A__________x∈B；（2）x∈A∩B，则x∈A__________x∈B；（3）a、b∈R，a＞0__________b＞0，则ab＞0、8、分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空（1）命题“的值不超过2”是_________形式、（2）命题“方程（x-2）（x-3）=0的解是x=2或x=3”是_________形式、（3）命题“方程（x-2）2+（y-3）2=0的解是”是_________形式、9、把下列写法改写成复合命题“p或q”“p且q”或“非p”的形式：（1）（a－2）（a+2）=0；（2）；（3）a＞b≥0、10、在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p１是“第一次射击中飞机”，命题p２是“第二次射击中飞机”试用p１、p２以及逻辑联结词或、且、非(∨，∧，┐)表示下列命题：命题S：两次都击中飞机；命题r：两次都没击中飞机；命题t：恰有一次击中了飞机；命题u：至少有一次击中了飞机、参考答案：1、D2、B3、D4、C5、D6、D7、（1）或（2）且（3）且8、（1）非p （2）p或q （3）p且q9、（1）p：a－2=0或q：a+2=0；（2）p：x=1且q: y=2 （3）p：a＞b且q：b≥010、（1）（2）（3）（4）。
高二数学 (新课标人教A版)选修2-1《1.3简单的逻辑联结词》教案
1.3简单的逻辑联结词1.3.1且 1.3.2或学生探究过程：1、引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
（注意与上节学习命题的条件p 与结论q的区别）2、思考、分析问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。
问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
3、归纳定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或”字与下面两个命题中的“且”字与“或”字的含义相同吗？（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
高二数学根的分布简单逻辑
例3：在边长为a的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一 个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的 交点P的轨迹方程．
解：
交轨法 在直角坐标系内，已知矩形OABC的边长OA=a，OC=b，若D在 AO的延长线上，|DO|=a，设M、N分别是OC、BC边上的动点，使 OM：MC=BN：NC≠0，求直线OM与AN交点P的轨迹方程． 解：
石器时代sf / 石器时代sf
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户照进来的月光时而明亮，时而昏暗。耿正的内心随着月光的明暗变化，也时而清晰，时而迷茫兄妹三人已经默默地在大木床上躺了 好一会儿了，但似乎谁也不想先开口说话。良久，耿英轻轻地说：“哥，咱们的日常消费实在是不能再节俭了，但剩的钱不多了，咱 得赶快想办法赚钱啊！”耿直赶快说：“姐姐，我还可以再少吃一点儿！”耿正摸摸弟弟的头，轻轻地说：“又说傻话了不是！赚不 来钱，光知道扎住嘴巴怎么行啊。哥已经有想法了，只是还有些犹豫不决”看到哥哥一直沉吟着没有下文，耿英轻轻地说：“哥，我 知道，你是在打算利用你那一手好二胡来起步了。我没有说错吧！”耿正吃惊地问：“你怎么知道的？”耿英轻轻地叹一口气，说： “唉，这还不明摆着的事情嘛。连着几天了，你在那几家大酒店的门口望着那些个艺人出神，回来了又拿起咱们的那把二胡不说话我 知道，你一直犹豫不决是因为担心我，你不想让我做卖艺的人其实没有什么的，我也会一些呢，弟弟也能说会唱的最重要的是做这个 不需要本钱，最多也就是再买两个笛子而已咱们不是打听过了嘛，那些个在大酒店里献艺的人赚得银子不少呢咱们可以先做做看的。 等赚到的银子够做其他生意了，咱再改行做其他生意”听妹妹如此说，耿正终于下决心了。第二天一早，耿正兄妹三人洗漱收拾停当 以后，都穿上前年儿刚到汉口镇上时爹爹给他们买的另一套从来没有舍得穿过的新衣服。这套衣服比穿过的那一套略微宽大一些，尤 其耿直的那一套更是大了一号。因此，虽然过去一年半了，他们或多或少地都长高长大了一些，但穿起来一看，衣服都非常合适。耿 直难过地说：“爹怎么知道我会长大这么多啊！”耿英叹一口气，轻轻地说：“咳，爹是看着我们长大的啊！”看到弟弟妹妹提起爹 爹来又要难过了，耿正赶快提醒他们：“今儿个咱们是去应试的，要打起精神来才好，必须注意所有的言行举止啊！”耿英点点头， 轻轻地说：“哥你放心，我知道！”耿直也说：“我也知道！”看看再没有什么需要准备的了，耿正带上那把跟随他们转辗而来的心 爱的二胡，和弟弟妹妹一起，先去“梁计小饭店”吃了最简单的早饭。然后，兄妹三人就直接奔离十字大街不远的“盛元酒店”去了。 兄妹仨前几日在街面上转悠着寻找活儿干的时候，耿正就已经注意到了，这“盛元酒店”在景德镇上虽然算不上数一数二的大酒店， 但其生意却特别好，几乎每日里的午餐和晚餐饭点儿上都是桌桌满座，这就表明，这家酒店的人气儿好！而酒店的人气儿好，也就直 接映射出来，该酒店老板的人品应该不会错的。更重要的是，耿正还留意观察，发现这家酒店的伙计们，对那些来这里献艺的艺人们 都很尊重，客客气气迎进送出的。当然，那些经常来此献艺的几个艺
高二数学二次方程实根在区间的分布
0
则需满足f(m)f(n)<0或 m b n 2a
练一练 1.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 有且仅有一实根 在（0，1），求m的取值范围。
2.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 只有较大根在 （0，1），求m的取值范围。 3.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 只有较小根在 （0，1），求m的取值范围
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，且f(x)在区 间（a,b)上为单调函数，那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有且只有一个零点，即存在唯一c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0在区间（a,b) 上的唯一的实根。
变3.已知方程x2+（m-2）x+2m-1=0 有根在（0，1）， 求m的取值范围
3.一元二次方程ax2+bx+c=0两根分别在区间（k1，k2） 以及（p1，p2）之间 y
k1
k2 p1 x1 o
p2 x2
x
a0
k1
x1
k2
p1
x2
p2
f（k1）0 f（k 2）0
f（p1）0
f（P2）0
4.一元二次方程ax2+bx+c=0两根都在区间（m，n）内
y 若方程x2+（a+2）x-a=0 的两实根均在 区间（-1，1），求实数a的取值范围。
四种方法解根的分布问题
四种方法解根的分布问题根的分布问题作为高考的一个重要题型，也是学生学习的难点之一，本文就一道题介绍一下根的分布问题的几种解法，并加以分析：问题：方程0422=+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围。
设x x 21,为方程0422=+-ax x 的两根，根据题意，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧>∆>-->-+-00)1)(1(0)1()1(2121x x x x 解得：252<≤a 方程0422=+-ax x 的两根为42164222-±=-±=a a a a x 要使两根均大于1，只需小根142>--a a 即可 解之得：252<≤a 点评：因为无理不等式的解法考纲中已不做要求，加上学生计算普遍易错，所以这种解法在教学中一般不提倡。
解法三：使用二次函数图象设,42)(2+-=ax x x f 要使方程2则图象如下图所示由图知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥∆1220)1(0a f解之得：252<≤a 点评：此解法需要准确画出函数的图象，然后从四个方面（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的符号）并列出与之等价的不等式组，即本命题的充要条件。
解法四：分离参数法由0422=+-ax x 知0≠x xx a 42+=∴ 由方程0422=+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围即转换为求 对号函数x x y 4+=在),1(+∞∈x 时的值域。
利用函数xx y 4+=的单调性可得出)5,4[2∈a 即)25,2[∈a 点评：这种解法将根的分布问题转化为利用单调性求值域，在教学中学生比较容易理解，并且计算量较小，比较受学生欢迎。