选修2-3--超几何分布
高中数学 北师大选修2-3 2.2超几何分布
X 服从 N 10, M 5, n 5 的超几何分布。
那么变量
X
的分布列应为： P(X
k)
C5K
C5k 5
C150
⑴某人获得精美小礼品的概率是：
P(X 2) 1 P(x 2) 113 126
⑵他能获得一套丛书的概率是：
P( X
5)
C55C50 C1501Fra bibliotek25213
【范例讲解】
例 4.一袋子中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜
P( X
数，那么：
k)
C C k nk M NM CNn
，其中 k 为非负整数。
如果随机变量 X 的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N, M , n 的超几何分布。
9
【新课讲解】
超几何分布
2.超几何分布的分布列：
X
0
1
k
P
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。 则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知： X 服从 N 10, M 5, n 5 的超几何分布。
12
【范例讲解】
解：设 X 表示抽到的 5 张卡片中印有“奖“字的卡片数。
则 X 0,1, 2,3, 4,5 由超几何分布定义可知：
1
【复习】
离散型随机变量
离散型随机变量的定义：如果对于随机变量的所有取值可 以一一列出的的随机变量称之为“离散型随机变量”。 判断一个随机变量是否是离散型随机变量，主要看变量的 取值能否按一定的顺序逐一列举出来。
2
【复习】
离散型随机变量的分布列
【精编】苏教版高中数学选修(2-3)课件超几何分布-精心整理
例4、
5、
这两个问题的求解方法一样吗?
超几何分布：适用于不放回抽取
本小题第二问是二项分布这是我们 后面要研究的内容
作业：
1、从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机抽取 2 个球，则其中有一个红球的概率是
A 0.1
B 0.3
C
0.6
D 0.2
2、一批产品共 50 件，次品率为 4%，从中任取 10 件，则抽的 1 件次品的概率是
X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布列．
解：X的可能取值为 5，6，7，求明8，分k的9布，取列1值0一．范定并围要且！说
P X k
=—C—k41 k 5， 6， ， 10 .
C
5 10
具体写出，即可得X的分布列：
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
超几何分布
一、复习
1)随机变量的分布列
设随机变量X的所有可能取值为
x1 ， x2 ， ， xn ，
并设 P X xn pn n 1, 2 ,
则称上式或 X
x1
x2 ， xn
P
p1
p2 ， pn
为随机变量X的分布列．
2)随机变量分布列的性质:
⑴ 对任意的自然数n，有 pn 0;
其中 N， M， n均为自然数．
则称随机变量 X 服从超几何分布．
记为：x H(n,M,N),
C CC P(X=k)=
k nk
M
N M n
, 记为 :
H
(k；n,
M
,
N
)
选修2-3数学(理)213《超几何分布》教案设计
2.1.3 超几何分布【教学目标】①理解超几何分布及其特点②通过超几何分布的推导过程，能加深对超几何分布对理解并会简单应用，求出简单随机变量的概率分布.【教学重点】对超几何分布的理解【教学难点】超几何分布的应用一、 课前预习问题1、一个班级有30名学生，其中有10名女生。
现从中任选3名学生当班委，令变量X 表示3名班委中女生的人数。
试求X 的概率分布。
问题2 设50件商品中有15件一等品，其余为二等品。
现从中随机选购2件，用X 表示所购2件中的一等品件数，写出X 的概率分布。
【归纳总结】：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件)(N n ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为==)(m X P 。
随机变量X 的分布列为：那么称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为n M N ,,的超几何分布.二、 课上学习例1、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：〔1〕取到的次品数X的分布列；〔2〕至少取到1件次品的概率.例2、某车间生产产品50件，其中5件次品,45件正品，今从这批产品中任意抽取2件，求抽到次品的概率。
例3、老师要从10首古诗中随机抽3首让学生背诵，规定至少要背出其中2首才能及格。
某同学只能背诵其中的6首。
试求：(1)抽到他能背诵的数量的分布表；(2)他能及格吗？及格的概率有多大？三、课后练习1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，〔1〕求抽出1个白球和2个红球的概率；〔2〕设其中含有白球的个数为X，求X的分布列.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A的概率。
高中数学全套讲义 选修2-3 超几何分布 提高学生版
目录考点一：超几何分布 (2)题型一、选择填空 (2)题型二、综合题 (2)课后综合巩固练习 (7)考点一：超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C mn m M N M nNP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．超几何分布期望及方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nM E X N=， 2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-． 题型一、选择填空1．（2019春•吉安期末）某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为x ，则()(E X = )A ．2B ．74C ．94D ．322．（2015•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ．3．（2019春•淄博期末）已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数(1,2)i i ξ=，则12()()E E ξξ+的值为题型二、综合题1．（2019春•贵池区校级月考）为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3，其中体重在[50，55]的有5人．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）从该校报考飞行员的体重在[65，75]学生中任选3人，设X表示体重超过70kg的学生人数，求的分布列和数学期望．2．（2019•通州区一模）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．3．（2019•平谷区一模）随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越开越多，随之而来的交通事故也增多．据有关部门调查，发生车祸的驾驶员尤其是21岁以下年轻人所占的比例居高，因此交通管理有关部门，对2018年参加驾照考试的21岁以下的学员随机抽取10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该学员的抽测成绩．记录数据如下：（1）从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率；（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到90分以上（含90分）才算测试合格． ()i 从抽测的1号到5号学员中任取两名学员，记X 为学员测试合格的人数，求X 得分布列和数学期望()E X ；()ii 记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩分别为1s ，2s ，试比较1s 与2s 的大小．课后综合巩固练习1．（2019春•兴庆区校级期中）“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815．（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．2．（2019•惠州模拟）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来3年中，设ξ表示流量超过120的年数，求ξ的分布列及期望；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：2若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？。
2020北师大版高中数学选修2-3 教师课件：第二章 超几何分布
[解析] (1)随机变量 X 的所有取值为 0,1,2,3,4,5,6. 试验相当于把 8 只不同的蝇子排成一列，有 A88种排列方法． 由题意得 P(X＝0)＝CA21A88 77＝14， P(X＝1)＝C21CA1688A66＝134， P(X＝2)＝C21CA1588A66＝258， P(X＝3)＝C21CA1488A66＝17， P(X＝4)＝C21CA1388A66＝238，
从而随机变量 ξ 的分布列为：ξ0 1 2 3 NhomakorabeaP
5 28
15 28
15 56
1 56
所以 P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝258＋1258＝57.
根据题目条件判断出随机变量是否服从超几何分布是解题的关键，若服从超几 何分布，则可由公式求其分布列．
2．从 5 名女生和 2 名男生中任选 3 人参加英语演讲比赛，设随机变量 ξ 表示 所选 3 人中男生的人数． (1)求 ξ 的分布列； (2)求“所选 3 人中男生人数 ξ≤1”的概率．
[感悟提高] 1.对于不符合我们所学习的典型分布列的问题，首先考虑能否化为典型 分布列，若不能，一般通过利用排列、组合的方法求其概率和分布列． 2．注意分清是排列问题，还是组合问题，准确计算随机变量取各个值时的概率．
已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分，取出一个黑
二、超几何分布列
X
0
1
…
m
P
C0MCnN－M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
CmMCNn－－mM CnN
其中，m 是 n 和 M 中较小的一个．
[双基自测]
1．在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这
选修23超几何分布 ppt课件
【课标要求】 1．要了解两种常见的概率分布：两点分布和超几何分 布． 2．能通过实例，理解超几何分布及其推导过程． 3．要会用超几何分布解决一些实际问题． 【核心扫描】
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点) 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难
点)
1．超几何分布
自学导引
解 由题意知，X 服从参数为 N＝10，M＝3，n＝5 的超几 何分布． 其中 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，分布列为 P(X＝k)＝Ck3CC51570－k(k＝0,1,2,3)．
规律方法 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满足 超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何 分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决，但利 用超几何分布概率公式简化了对每一种情况的具体分析，因此 要简单一些．
＝n7n×－61，
2
(2 分)
整理得 n2－n－6＝0，解得 n＝3 或 n＝－2(舍去)．
即 7 个学生中，有甲班 3 人．
(4 分)
【题后反思】 解决本题时应注意以下几点： (1)通过古典概型概率公式列出方程求出甲班学生数是整个 题目的关键点，体现了方程思想与概率知识的结合； (2)分析题意，得出X服从超几何分布是第二问的切入点， 比利用古典概型求解要简单一些； (3)概率知识与其他知识的结合在各地模拟题及高考题中已 有出现，这将成为一个热点．
2．求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布列，并确定参数N，M， n； (2)确定X的所有可能取值； (3)计算P(X＝k)； (4)写出分布列(用表格或式子表示).
题型一 求超几何分布列
【例1】设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5 件，求抽得次品件数X的分布列． 题中的X服从超几何分布．确定参数N， M[思，路n探后索由]公式求概率即可．
超几何分布-北师大版选修2-3教案
超几何分布-北师大版选修2-3教案一、知识背景超几何分布（hypergeometric distribution）是离散随机变量的一种，描述从有限个物品中抽出固定数量的物品，其中有指定种类的物品数量的概率分布。
它在统计学中有广泛的应用，例如在品质控制中，抽检商品的次数以及在实验设计中选定目标人群的样本数量。
二、教学目标•理解超几何分布的概念、特点、条件和性质；•掌握超几何分布的基本计算方法和公式应用；•能够解答超几何分布的实际问题，如品质控制的样本检测等；•培养学生的逻辑思维能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 超几何分布的概念和特点超几何分布指从总数为N（不放回）的物品中，其中有m个种类的物品共k 个，随机抽取n个物品，其中有m0个种类的物品的个数X的分布律，用H(n, m, k)表示。
因此，超几何分布的性质为：•该分布实验不满足独立性；•分布变量的取值只能是非负整数；•总体中有k个成功物品，n个样本，成为超几何分布的参数。
2. 超几何分布的计算方法和公式超几何分布的概率函数公式为：其中，C表示组合数。
3. 超几何分布的应用品质控制中，经常需要检验样本是否达到质量标准。
对于超过某个标准值的样本，则认为该样本不符合质量要求。
超几何分布在此类问题中应用广泛。
四、教学方法•讲授法：通过讲解概念、公式和解题方法，让学生掌握超几何分布的知识；•举例法：通过实际问题，让学生在操作中掌握超几何分布的应用方法；•配套练习：在课堂上或课后布置超几何分布的练习题，检验学生掌握程度。
五、教学内容安排第一课时•教学内容：超几何分布的概念和特点；•教学重点：超几何分布的性质；•教学难点：掌握超几何分布的条件。
第二课时•教学内容：超几何分布的计算方法和公式；•教学重点：掌握超几何分布的公式和应用；•教学难点：掌握超几何分布的计算方法。
第三课时•教学内容：超几何分布的应用；•教学重点：学习超几何分布在品质控制中的应用；•教学难点：掌握超几何分布在实际问题中的运用。
高中数学选修2-3超几何分布
超几何分布教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用．教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用教学过程一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ5.二点分布：如果随机变量X 的分布列为：二、讲解新课：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N n M NC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n三、例子例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 411020530(4)0.029C C P X C ==≈ 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列课堂练习：第54页练习课后作业：第54页习题A:3，4。
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想一想：如何通过实例说明超几何分布及其推导过程？ 提示 构造以下数学模型：一个箱子内有 N 个小球，其中有红 球 M 个，从箱中所有小球中任取 n(n≤M)个，这 n 个小球中所 含红球的个数 X 是一个随机变量．事件{X＝k}的概率 P(X＝k) ＝CkMCCnNnN－－kM(0≤k≤l，l 为 M，n 中较小的一个)，则随机变量 X 的分布即为超几何分布，推导如下：由于取到小球的概率都是 相等的，因此属于古典概型，故取 n 个小球的方法共有 CnN种， 其中含有 k 个红球的取法有 CkMCnN－－kM种，于是取得 k 个红球的概 率为CkMCCnNnN－－kM，令取到红球的个数 X＝k，即可得超几何分布列．
§2 超几何分布
【课标要求】 1．要了解两种常见的概率分布：两点分布和超几何分 布． 2．能通过实例，理解超几何分布及其推导过程． 3．要会用超几何分布解决一些实际问题． 【核心扫描】
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点) 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难
点)
1．超几何分布
自学导引
P(X＝3)＝CC31380＝175， P(X＝7)＝CC281C3012＝175， P(X＝11)＝CC18·31C0 22＝115.
故 X 的分布列为
X
3
7
11
P
7 15
7 15
1 15
题型二 利用超几何分布模型求相应事件的概率
【例2】 在一个口袋中有30个球，其中红球10个，其余为白球， 这些球除颜色不同外完全相同．游戏者一次从中摸出5个 球，摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多 大？
3个球，求取出的红球数X的分布列．并求至少有一个红球 的概率．
解 X＝0,1,2,3，X＝0 表示取出的三个球全是黑球，P(X＝ 0)＝CC3337＝315. 同理 P(X＝1)＝CC14C73 23＝1325， P(X＝2)＝CC24C73 13＝1385，P(X＝3)＝CC3437＝345.
∴X 的分布列为：
[思路探索] 法一 由于摸到红球、白球是等可能的，因此
可利用古典概型来解．
法二 设摸到红球个数为 X，则 X 服从参数为 N＝30，M
＝ 10， n＝5
的超几何分布，且
P(X
＝
k)
＝
C1k0C520－k C530
(k
＝
0,1,2,3,4,5)，由公式可求概率．
解 法一 ≈0.029.
设“中一等奖”为事件 A，则 P(A)＝CC410C530210
2．求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布列，并确定参数N，M， n； (2)确定X的所有可能取值； (3)计算P(X＝k)； (4)写出分布列(用表格或式子表示).
题型一 求超几何分布列
【例1】设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5 件，求抽得次品件数X的分布列． 题中的X服从超几何分布．确定参数N， M[思，路n探后索由]公式求概率即可．
一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中任
取 n(n≤N)件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件
数，那么 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM(其中 k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X服从参数
为N ， M，n的超几何分布
2．超几何分布的特点 超几何分布的应用较两点分布广．在形式上适合超几何分 布的模型常由较明显的两部分组成 ，如“男生、女 生”；“正品、次品”；“优、劣”等．
X 0 123
P
1 5 51 12 12 12 12
规律方法 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满足 超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何 分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决，但利 用超几何分布概率公式简化了对每一种情况的具体分析，因此 要简单一些．
【训练1】现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3 张，求所得金额的分布列． 解 设所得金额为 X，X 的可能取值为 3,7,11.
即获一等奖的概率约为 0.029. 法二 设 X 为摸到红球的个数，则 X 服从参数为 N＝30，
M＝10，n＝5 的超几何分布．
由题意知，X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5，则 X 的分布列
为
P(X＝k)＝Ck1C0C53052－ 0 k(k＝0,1,2,3,4,5)．
∴P(X＝4)＝C41C0C350120≈0.029. 即获一等奖的概率约为 0.029.
规律方法 学习超几何分布，要与古典概型和组合知识结合起
来．在古典概型中，基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事 件个数为 m，则 P(A)＝mn，它与超几何分布列中的 P(X＝k)＝CkMCCNnNn－ －kM
是一致的．在一些复杂的问题中求概率时，就会体现出直接用 公式的方便了．
【训练2】袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取
解 由题意知，X 服从参数为 N＝10，M＝3，n＝5 的超几 何分布． 其中 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，分布列为 P(X＝k)＝Ck3CC51570－k(k＝0,1,2,3)．
∴P(X＝0)＝CC031C5057＝22512＝112， P(X＝1)＝CC131C5047＝120552＝152， P(X＝2)＝CC231C5037＝120552＝152， P(X＝3)＝CC331C5027＝22512＝112. ∴X 的分布列为
名师点睛
1．对超几何分布的理解 (1)在确定为超几何分布类型的条件下，只要知道N、M和 n，就可以根据公式求出X取不同k值时的概率P(X＝k)， 从而列出X的分布列． (2)超几何分布列给出了求解这类问题的方法，即可以通过 公式直接求解，但不能机械地去记忆公式，要在理解的前 提下记忆． (3)凡类似于“在含有次品中的产品中取部分产品，问所取 出的产品中次品件数”的问题，都属于超几何分布的
3
P
1 35
12 18 35 35
4 35
至少有一个红球的概率为 P(X≥1)＝1－315＝3345
题型三 超几何分布的综合问题
【例 3】 (12 分)现有来自甲、乙两班的学生共 7 名，从中任选 2 名是甲班的概率为71. (1)求 7 名学生中甲班的学生数； (2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 X，求 X 的分布列， 并求甲班学生数不少于 1 人的概率．