超几何分布和二项分布的联系和区别精编版

超几何分布和二项分布的联系和区别

开滦一中 张智民

在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?

好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.

诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的

教材中的定义: (一)超几何分布的定义

在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)

=n

N

k

-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N,称随机变量X 服从超几何分布

(二)独立重复试验和二项分布的定义

1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n 次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则

P(A1A2A3…An)=P(A 1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布

在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率

为P,则P(X=k)=k n k p p --)1(C k n

(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p),并称P 为成功概率。

1.本质区别

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;

(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题

2.计算公式

超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P(X=k)

=n N

k

-n M -N k M C C C , ，2,1,0k =, m,

二项分布:在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发

生的概率为P,则P(X=k)=k

n k p p --)1(C k n

(k=0,1,2,…,n), 温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX 的总体数据”时,均为二项分布问题。比如

2017-2018高三上学期期末考试19题。 二、二者之间是有联系的

人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B 组第3题：

例.某批n 件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问:

(1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少?

(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识? 人教版配套的教学参考上给出了如下的答案与解释说明 【解】(1)在不放回的方式抽取中,每次抽取时都是从这n 件产品中抽取,从而抽到次品的概率都为0.02.次品数X~B(3,0.02),恰好抽到1件次品的概率为

P(X=1)=1

3C ×0.02×(1-0.02)2=3×0.02×0.982≈0.057624。

在不放回的方式抽取中,抽到的次品数X 是随机变量,X 服从超几何分布,X 的分布与产品的总数n 有关,所以需要分3种情况分别计算

①n=500时,产品的总数为500件,其中次品的件数为500×2%=10,合格品的件数为490.从500件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为

057853.0498499500489

49030)1(3

500

2490110≈⨯⨯⨯⨯===C C C X P ②n=5000时,产品的总数为5000件,其中次品的件数为5000×2%=100,合格品的件数为

4900.从5000件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为

0576747

.04998499950004899

4900300)1(35000249001100≈⨯⨯

⨯⨯===C C C X P ③n=50000时,产品的总数为50000件,其中次品的件数为50000×2%=1000,合格品的件

数为49000.从50000件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概

057626.049998499995000048999490003000)1(3

50000

24900011000≈⨯⨯⨯⨯===C C C X P (2)根据(1)的计算结果可以看出,当产品的总数很大时,超几何分布近似为二项分布.这也

是可以理解的,当产品总数很大而抽出的产品较少时,每次抽出产品后,次品率近似不变,这样就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的,抽出产品中的次品件数近似服从二项分布

【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：

第一,n 次试验中,某一事件A 出现的次数X 可能服从超几何分布或二项分布.当这n 次试验是独立重复试验时,X 服从二项分布;当这n 次试验是不放回摸球问题,事件A 为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X 服从超几何分布。

第二,在不放回n 次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X 服从超几何分布,但是当袋子中

的球的数目N 很大时,X 的分布列近似于二项分布,并且随着N 的增加,这种近似的精度也增加。

从以上分析可以看出两者之间的联系:

当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布 下面看相关例题

例1.(2016·漯河模拟)寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),若幸福度分数不低于8.5分,则称该人的幸福度为“幸福”

(1)求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率；

（2

若从该社区(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“幸福”的人数,求ξ的分布列及数学期望

先不要急于看答案,大家先自己解一下这道题再往下看,会有意想不到的收获哦

[错解](1)由茎叶图可知,抽取的16人中“幸福”的人数有12人,其他的有4人;记“从这16人中随机选取3人,至少有2人是“幸福”,”为事件A.由题意得

140121

709140111)(3

16

1122431634=--=⨯--=C C C C C A P （2）ξ的可能取值为0，1，2，3

则14015604)0(31601234====C C C P ξ；709

56072)1(3

161

1224====C C C P ξ； 7033560264)2(31621214====C C C P ξ；2811

560

220)3(3

16

3

1204====C C C P ξ； 所以ξ的分布列为