【优化方案】高中数学第一章算法初步章末优化总结学案新人教A版必修

章末优化总结算法设计算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象和概括，算法设计应注意：(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼出算法； (2)将解决问题的过程分为若干个可执行的步骤； (3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达； (4)用最简练的语言将各个步骤表达出来． 已知平面直角坐标系中的两点A (－1，0)，B (3，2)，写出求线段AB 的垂直平分线方程的一个算法．[解] 第一步，计算x 0＝－1＋32＝1，y 0＝0＋22＝1，得AB 的中点N (1，1)．第二步，计算k 1＝2－03－（－1）＝12，得AB 的斜率．第三步，计算k ＝－1k 1＝－2，得AB 垂直平分线的斜率．第四步，得线段AB 垂直平分线的方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y －1＝－2(x －1)．程序框图的画法程序框图是用规定的程序框、流程线及文字说明来准确、直观形象地表示算法的图形，画程序框图前，应先对问题设计出合理的算法，然后分析算法的逻辑结构，画出相应的程序框图．在画循环结构的程序框图时应注意选择合理的循环变量及判断框内的条件．画出一个计算1×3×5×…×99的程序框图． [解] 法一：当型循环结构程序框图如图(1)所示： 法二：直到型循环结构程序框图如图(2)所示：程序框图的识别与解读识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别程序框图的运行，理解框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．另外框图的考查常与函数和数列等结合．若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝8，则输出的数等于________．[解析] 输出的是四个数的平均数， 即输出的是1＋2＋4＋84＝154.[答案]154用基本算法语句编写程序基本算法语句有输入、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，应注意这两类语句中判断条件的表述及循环语句中有关变量的取值范围．请写出如图所示的程序框图描述的算法的程序．[解] 这是一个求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >12x ＋1，－1≤x ≤1x ＋1，x <－1的函数值的算法，输入、输出框分别对应输入、输出语句，判断框对应条件语句．所求算法程序为：INPUT xIF x>1 THEN y ＝x －1 ELSEIF x<－1 THEN y ＝x ＋1 ELSEy ＝2*x ＋1 END IF END IF PRINT y END1．下列给出的赋值语句正确的有( )(1)赋值语句2＝A ；(2)赋值语句x ＋y ＝2；(3)赋值语句A －B ＝－2；(4)赋值语句A ＝A *A . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选B.对于(1)赋值语句中“＝”左、右不能互换，即不能给常量赋值，左边必须为变量，右边必须是表达式，若改写为A ＝2就正确了；(2)赋值语句不能给一个表达式赋值，所以(2)是错误的；同理(3)也是错误的，这四种说法中只有(4)是正确的．2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：选D.x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1.k ≤t ，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2； k ≤t ，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3；3>2，不满足条件，输出S ＝7.3．写出如图所示的程序框图的运行结果：若R ＝8，则a ＝________．解析：a ＝282＝4. 答案：44．用秦九韶算法求f (x )＝x 3－3x 2＋3x ＋2当x ＝2时的值，并探索有无更简便算法． 解：(1)由已知f (x )＝((x －3)x ＋3)x ＋2，按从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝2时的值． v 0＝1，v 1＝1×2－3＝－1，v 2＝(－1)×2＋3＝1， v 3＝1×2＋2＝4，所以当x ＝2时多项式的值为4.(2)探索：由于x ＝2时多项式的值为4，所以13＝(x －1)3＝x 3－3x 2＋3x －1.所以有(x 3－3x 2＋3x －1)＋3＝1＋3＝4. 即当x ＝2时，多项式的值为4.[A.基础达标]1．给出以下几个问题： ①输入x , 输出它的相反数 ②求面积为6的正方形的周长③求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0x ＋3，x ＜0的函数值其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 解析：选B.①、②不需要使用条件语句．2．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝2x 7＋x 6＋x 5＋x 4＋3x 3＋x 2＋2x ＋1当x ＝2时的函数值时，需要做的加法和乘法的次数分别是( )A ．7，4B ．4，7C ．7，7D ．4，4解析：选 C.f (x )＝2x 7＋x 6＋0×x 5＋0×x 4＋3x 3＋0×x 2＋2x ＋1＝((((((2x ＋1)x ＋1)x ＋1)x ＋3)x ＋1)x ＋2)x ＋1，所以需要做7次加法，7次乘法．3．(2015·济南期末)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝7，则输出的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选 D.依题意可知，k ＝1，n ＝13；k ＝2，n ＝25；k ＝3，n ＝49；k ＝4，n ＝97；k ＝5，n ＝193>100，满足条件．故输出k 的值为5.4．(2015·衡阳模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的N 的值为6，则输出的p 的值为( )A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040解析：选B.由程序框图，可得k ＝1，p ＝1，1<6；k ＝2，p ＝2，2<6；k ＝3，p ＝6，3<6；k ＝4，p ＝24，4<6；k ＝5，p ＝120，5<6；k ＝6，p ＝720，6＝6，不满足条件．故输出的p 的值为720.5．(2015·湖南师大附中月考)执行如图所示的程序框图，则计算机输出的所有点(x ，y )所满足的函数为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2x解析：选D.由题意，该程序共输出4个点(1，2)，(2，4)，(3，8)，(4，16)，易知这4个点都在函数y ＝2x的图象上．6．计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0，的算法步骤为：第一步，输入x ；第二步，如果x ＜0，则使y ＝x ＋1，否则执行第三步；第三步，________，第四步，输出y .(将第三步完整填写)解析：第三步为y ＝x －1. 答案：y ＝x －17．(2015·长沙模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x ＝8，则输出的k ＝________．解析：依题意，得x＝88，k＝1，x<2 015；x＝888，k＝2，x<2 015；x＝8 888，k＝3，x>2 015，满足条件．故输出的k的值为3.答案：38．(2014·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．解析：由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.答案：39．小明第一天背一个单词，第二天背两个单词，以后每一天都比前一天多背一个单词．问他前十天共背了多少个单词？(给出该问题的算法语句)解：s＝0i＝1WHILE i＜＝10s＝s＋ii＝i＋1WENDPRINT sEND10．某中学男子体育组的百米赛跑的成绩(单位：秒)如下：12.1，13.2，12.7，12.8，12.5，12.4，12.7，11.5，11.6，11.7.设计一个算法从这些成绩中搜索出所有小于12.1秒的成绩，画出程序框图，并编写相应的程序．解：程序框图：程序：i＝1WHILE i＜＝10INPUT GiIF Gi＜12.1 THENPRINT GiEND IFi＝i＋1WENDEND[B.能力提升]1．将二进制数10 011(2)化为五进制为( )A．32 B．33C．34 D．35解析：选C.由10 011(2)＝24＋2＋20＝19，得19＝3×5＋4＝34(5)．2．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝( )A.203.165 C.72.158解析：选D.当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.如果输入＝－2，则输出结果y 为________．解析：若输入x ＝－2，则满足第一个条件x ＜0成立，故执行y ＝π2*x ＋3，即可得到结果．答案：－π＋3________．1＝1；当i ＝2时，s ＝1×2＋1＝3；当i ＝3时，s ＝3×2＋1＝7；当i ＝4时，s ＝7×2＋1＝15.答案：155．设计算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值．要求画出程序框图．解：程序框图如图：6．(选做题)到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，手续费按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元手续费，请为银行设计一个程序要求输入汇款额x元，输出银行应收取的手续费y.INPUT xIF x＞0 AND x＜＝100 THENy＝1ELSEIF x＜＝5 000 THENy＝0.01*xELSEy＝50END IFEND IFPRINT yEND(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面对算法描述正确的一项是( )A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同解析：选C.算法可以用自然语言、程序框图、程序语句等来描述，同一个问题可以有不同的算法，但结果是相同的．2．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构和循环结构，下列说法正确的是( )A．一个算法只含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构解析：选D.一个算法中具体含有哪种结构，主要看如何解决问题或解决怎样的问题，以上三种逻辑结构在一个算法中都有可能体现，故选D.3．(2015·日照高一检测)如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则( )A．A＋B为a1，a2，…，a N的和B.A＋B2为a1，a2，…，a N的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数解析：选C.由于x＝a k，且x＞A时，将x值赋给A，因此最后输出的A值是a1，a2，…，a N中最大的数；由于x＝a k，且x＜B时，将x值赋给B，因此最后输出的B值是a1，a2，…，a N中最小的数，故选C.4．(2014·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于( )A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4，5] D．[－3，6]解析：选D.由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t ＜0时，执行t＝2t2＋1后1＜t≤9，执行1＜t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．因此输出S的值属于[－3，6]．5.下面的程序框图输出的数值为( )A．62 B．126C．254 D．510解析：选B.根据所给程序框图可知S＝21＋22＋23＋24＋25＋26＝126，故选B.6.下列程序的功能是( )S＝1i＝3WHILE S＜＝10 000S＝S*ii＝i＋2WENDPRINT iENDA．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n解析：选D.法一：S是累乘变量，i是计数变量，每循环一次，S乘以i一次且i增加2.当S＞10 000时停止循环，输出的i值是使1×3×5×…×n＞10 000成立的最小正整数n.法二：最后输出的是计数变量i，而不是累乘变量S.7.用秦九韶算法求多项式f(x)＝208＋9x2＋6x4＋x6当x＝－4时的值时，v2的值为( )A．－4 B．1C．17 D．22解析：选D.v0＝1；v1＝1×(－4)＋0＝－4；v2＝－4×(－4)＋6＝22.8．(2015·武汉市调研)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是( )A．(42，56] B．(56，72]C．(72，90] D．(42，90]解析：选 B.第一次运行：S＝2，k＝2；第二次运行：S＝6，k＝3；…；第七次运行：S ＝56，k＝8；第八次运行：S＝2＋4＋6＋…＋16＝72，k＝9，输出结果．故判断框中m的取值范围是(56，72]．9．(2013·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7 B．6C．5 D．4解析：选D.n＝1，S＝0.第一次：S＝0＋(－1)1×1＝－1，－1<2，n＝1＋1＝2，第二次：S＝－1＋(－1)2×2＝1，1<2，n＝2＋1＝3，第三次：S＝1＋(－1)3×3＝－2，－2<2，n＝3＋1＝4，第四次：S＝－2＋(－1)4×4＝2，2＝2，满足S≥2，跳出循环，输出n＝4.10．(2015·厦门质检)如图是判断“美数”的流程图，在[30，40]内的所有整数中，“美数”的个数是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选A.依题意可知，题中的“美数”包括12的倍数与能被3整除但不能被6整除的数．由此不难得知，在[30，40]内的“美数”有3×11、12×3、3×13这三个数．二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．三个数390，455，546的最大公约数是________．解析：390与455的最大公约数是65，65与546的最大公约数为13，可以用辗转相除法或更相减损术来求．答案：1312．把七进制数1 620(7)化为二进制数为________．解析：1 620(7)＝1×73＋6×72＋2×7＋0＝651，651＝1 010 001 011(2)，∴1 620(7)＝1 010 001 011(2)．答案：1 010 001 011(2)13．下面程序运行后输出的结果为________．x＝－5y＝－20IF x<0 THENy＝x－3ELSEy＝x＋3END IFPRINT x－y，y－xEND解析：∵输入＝－5<0，∴y＝x－3＝－5－3＝－8，∴输出x －y ＝－5－(－8)＝3，y －x ＝－8－(－5)＝－3. 答案：3，－314．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 28⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝________．解析：log 28＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，由题意知，log 28⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝3⊗4＝4－13＝1.答案：115.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值等于________．解析：第一次循环：S ＝1，k ＝1＜4，S ＝2×1－1＝1，k ＝1＋1＝2.第二次循环：k ＝2＜4，S ＝2×1－2＝0，k ＝2＋1＝3. 第三次循环：k ＝3＜4，S ＝2×0－3＝－3，k ＝3＋1＝4， 当k ＝4时，k ＜4不成立，循环结束，此时S ＝－3. 答案：－3三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分8分)用秦九韶算法计算函数f (x )＝2x 5＋3x 4＋2x 3－4x ＋5当x ＝2时的函数值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f (x )＝((((2x ＋3)x ＋2)x ＋0)x －4)x ＋5.从内到外的顺序依次计算一次多项式当x ＝2时的值： v 0＝2；v 1＝2×2＋3＝7； v 2＝v 1×2＋2＝16； v 3＝v 2×2＋0＝32； v 4＝v 3×2－4＝60； v 5＝v 4×2＋5＝125.所以，当x ＝2时，多项式的值等于125.17．(本小题满分8分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3 （x ≥0），2x 2－6 （x <0），画出程序框图，对每一个输入的x 值，都得到相应的函数值．解：程序框图如图所示：18．(本小题满分10分)以下是某次数学考试中某班15名同学的成绩(单位：分)：72，91，58，63，84，88，90，55，61，73，64，77，82，94，60.要求用程序框图将这15名同学中成绩高于80分的同学的平均分数求出来．解：程序框图如图所示：19.(本小题满分12分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少；(3)写出程序框图的程序语句．解：(1)开始时，x＝1时，y＝0；接着x＝3，y＝－2；然后x＝9，y＝－4，所以t＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 013时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；(3)程序框图的程序语句如下：x ＝1 y ＝0 n ＝1 DOPRINT (x ，y) n ＝n ＋2 x ＝3*x y ＝y －2LOOP UNTIL n>2 014 END20．(本小题满分12分)一个数被3除余2，被7除余4，被9除余5，求满足条件的最小正整数．画出程序框图，并写出程序．解：此问题即求不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3x ＋2，m ＝7y ＋4，m ＝9z ＋5的正整数解，首先可以从m ＝2开始检验条件，若三个条件任何一个不满足，则m 递增1，一直到m 同时满足3个条件为止．程序框图如图：m ＝2WHILE m MOD 3＜＞2 OR m MOD 7＜＞4 OR m MOD 9＜＞5 m ＝m ＋1 WEND PRINT m END。