精品高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末优化总结优化练习
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》评估训练 新人教A版选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念方法总结素材 新人教A版选修1-2
数系的扩充和复数的相关概念方法总结
1．虚数单位i具有两条性质：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1.
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立．
2．关于复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，注意以下几点：
(1)a，b∈R，否则不是代数形式．
(2)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数．
反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．
(3)形如bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数．
3．两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小．
关于这一点的理解要注意以下几点：
(1)根据复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的定义，可知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.
(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．。
第三章 数系的扩充与复数的引入单元小结
联系，复数及其代数形式的加 、减运算与平面 向量及其加、减运算的 联系 还应注意复数及其 , 代数形式的加法、减法 、乘法运算与多项式及 其加法、减法、乘法运 算的联系 .
这些关系可以用以下框 图表示:
多项式及 类比 复数及 类比 其运算 其运算
特 殊 化
平面向量 及其运算
实数及 类比 数轴上的向 量及其运算 其运算 特 殊 化
2
学习复数应联系实数,注意到复数事实上是一
对有序实数 请比较实数、虚数、纯 , 虚数、复数之 间的区别和联系 ,比较实数和复数几何意 义的区别 .
3 你对复数四则运算法则 规定的合理性,以及复 数代数形式的加、减运 算与向量的加减运算的 一 致性有什么体会?
4
在学习本章时 应注复数与实数、有理 , 数的
有理数及其运算
单元小结
一
本章知识结构
数系扩充 复数引入
复数的概念
复数代数形式 的四则运算
二而得到的 .
数系扩充的过 程体 现了实际需求与数学内 部 的矛盾( 数的运算规则、方程求 )对数学发展 根 的推动作用,同时也体 现了人类理性思维的作 学史料, 并对" 整数 分数有理数 实数 复数" 的数系扩充过程进行整 . 理 用 .请你收集一些从实数系 扩充 到复 数系的数
学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末优化总结优化练习新人教A版选修_
第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测(三)时间：120分钟 总分值：150分一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，那么实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A.答案：A2．f (x )＝x 2，i 是虚数单位，那么在复平面中复数f 1＋i3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为函数f (x )＝x 2，所以f (1＋i)＝(1＋i)2，化简得f (1＋i)＝2i ， 所以 f 1＋i3＋i ＝2i3＋i ＝2i 3－i 3＋i 3－i ＝2＋6i 10＝1＋3i 5＝15＋35i.根据复数的几何意义知，f 1＋i3＋i所对应的点的坐标为(15，35)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.答案：A3．(2022·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，那么z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：由(z －2i)(2－i)＝5得z ＝52－i ＋2i ＝52＋i 2－i 2＋i ＋2i ＝52＋i5＋2i ＝2＋3i ，选A.答案：A4．复数z ＝－12＋32i ，那么z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32iD.12－32i 解析：因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12－32i.答案：D5．假设z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，那么使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4C.π3D. π2解析：∵z 2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0.∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)，∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．答案：D6．假设关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，那么实数m 等于( ) A.112B.112i C ．－112D ．－112i解析：设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)，那么a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，m ＝112.应选A.答案：A7．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，那么xy 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1.。
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第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
第三章复习小结：数系的扩充与复数的引入
5. 复数 (1+ 1i )2 的值是 ( ) (A) 2i (B) -2i (C) 2
(C) 5+5i (D) 2 (D) -2
(D) 5-5i
6. 如果复数 2- bi 的实部和虚部互为相反数, 那么实数 b 的值为 ( )
何运算.
y Z2
O
Z
Z1 x
Z
6. 复数的乘法
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i.
类似于实数的二项式与二项式相乘. 注意: i2= -1. 复数的乘法也满足: 交换律、结合律、分配律, 乘法公式: (a+bi)2=a2+2a(bi)+(bi)2
=2a-ai+2bi-bi2 =(2a+b)+(-a+2b)i.
得 2a+b=11, 解得 a=3, b=5. -a+2b=7,
则 z=3+5i.
3. 把复数 z 的共轭复数记作 z, i 为虚单位, 若 z=1+i, 则 (1+z)·z 等于 ( A )
(A) 3-i (B) 3+i (C) 1+3i (D) 3 解: z=1+i,
则 z= -2i 时, (z+2)2-8i 是纯虚数.
3. 已知 z1=5+10i,
z2=3-4i,
1 z
=
1 z1
+
1 z2
,
求 z.
解:
则
B组
1. 把复数 z 的共轭复数记作 z, 已知 (1+2i) z
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入课时作业193.1.1数系的扩充和复数的概念
课时作业19 数系的扩充和复数的概念时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．设集合A ＝{虚数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，则A ，B ，C 间的关系为( B ) A ．A B C B ．B A C C ．B C AD ．A CB解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( A )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－5＋5iD.5＋5i解析：－5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，若b ＝0，则a ＋b i 是实数，不是纯虚数，因此“a ＝0”不是“复数a ＋b i 是纯虚数”的充分条件；而若a ＋b i 是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可以得到a＝0，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要条件．故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．4．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 5．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( D ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， ∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.6．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.7．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( B ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i解析：由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.8．给出以下命题：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋n i(m ，n ∈C )，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1. 其中正确命题的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小，故(1)错误； (2)当m ＝0，n ＝i 时，z ＝0＋i 2＝－1∈R ，故(2)错误；(3)当z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i 时满足条件，而结论不成立，故(3)错误； (4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确，故(4)错误．故选A. 二、填空题9．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z <0，则k ＝2.解析：因为z <0，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0，k 2－5k ＋6＝0，所以k ＝2.10．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝94，y ＝32.解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝32.11．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝1.解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 三、解答题12．已知复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(2m 2－3m －2)i ，当实数m 取什么值时，复数z 满足下列条件：(1)为零； (2)为纯虚数．解：(1)因为一个复数为0的充要条件是实部为0且虚部等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，或m ＝2，m ＝－12，或m ＝2，所以m ＝2.(2)因为一个复数为纯虚数的充要条件是实部等于0且虚部不等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，或m ＝2，m ≠－12，且m ≠2，所以m ＝1.13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y －3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解：∵方程组有实数解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，y －3＝1，2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.——能力提升类——14．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为0.解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy ，a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法1：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．方法2：令⎩⎨⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。
2．一致。
3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。
提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。
活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。
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【最新】2019年高中数学第三章数系的扩充与复数的引
入章末优化总结优化练习
章末检测(三)
时间：120分钟满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t 等于( )
A. B.4
3
C．－D．－3
4
解析：z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1·2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.因此选A.
答案：A
2．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：因为函数f(x)＝x2，所以f(1＋i)＝(1＋i)2，化简得f(1＋i)＝2i，
所以＝＝＝＝＝＋i.根据复数的几何意义知，所对应的点的坐标
为(，)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.
答案：A
3．(2014·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝
( )
A ．2＋3i
B ．2－3i
C ．3＋2i
D ．3－2i
解析：由(z －2i)(2－i)＝5得z ＝＋2i ＝＋2i ＝＋2i ＝2＋3i ，选
A.
答案：A
4．已知复数z ＝－＋i ，则＋|z|＝( )
A ．－－i
B ．－＋i C.＋i D.－i
解析：因为z ＝－＋i ，所以＋|z|＝－－i ＋＝－i.
答案：D
5．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A.
B.π4
C.
D. π2
解析：∵z2＝cos 2θ＋isin 2θ
＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0.
∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)， ∴θ＝k π＋.令k ＝0知，D 正确．
答案：D。