高考数学复习考点知识与题型专题讲解18 任意角、弧度制及任意角的三角函数
2018高考数学考点突破三角函数与解三角形：任意角、弧
任意角、弧度制及任意角的三角函数【考点梳理】1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①角度与弧度的换算： a ．1°＝π180 rad ；b.1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.②弧长公式：l ＝r |α|.③扇形面积公式：S ＝12lr ＝12r 2α. 3．任意角的三角函数考点一、角的有关概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．答案] (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z)解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．(2)在0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z)．【类题通法】1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2k π＋α(k ∈Z)的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数k 的奇、偶情况进行讨论．【对点训练】 1. (1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)已知角α＝45°，在区间－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________. 答案] (1)B (2)－675°或－315° 解析] (1)法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.(2)由终边相同的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.考点二、扇形的弧长、面积公式【例2】 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 解析] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.【类题通法】1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．2．利用公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝12lR ；(3)S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量．【对点训练】2．若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. 答案] 833π解析] 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.考点三、三角函数的定义【例3】 (1)若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0(2)已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A ．－32 B.32 C ．－12D.12答案] (1)C (2)D解析] (1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcos α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.(2)抛物线方程y ＝－14x 2可化为x 2＝－4y ， ∴抛物线的准线方程为y ＝1. ∵点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，∴A (－3，1)，由三角函数的定义得sin α＝yr ＝1(－3)2＋12＝12. 【类题通法】1.用定义法求三角函数值的两种情况．(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断． 【对点训练】3．(1)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝( )A.247 B ．－247 C.127D ．－127(2)函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案] (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z)解析] (1)由三角函数的定义可得cos α＝xx 2＋42. ∵cos α＝15x ，∴x x 2＋42＝15x ， 又α是第二象限角，∴x ＜0，故可解得x ＝－3， ∴cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.故选A. (2)∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z)．。
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考点二 弧度制及其应用
例 1 (经典母题)一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，求该扇形的面积. 解 由已知得 α＝π3，R＝10， ∴S 扇形＝21α·R2＝12×π3×102＝503π(cm2).
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迁移 1 (变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝π3×10＝103π(cm)，
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常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量
制必须一致，不可混用. 3.象限角
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4.轴线角
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诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( ×) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( × ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
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分层训练 巩固提升
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
解析 (1)锐角的取值范围是0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角.
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2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了___－__2_3π__弧度.
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3. 在 － 720° ～ 0° 范 围 内 ， 所 有 与 角 α ＝ 45° 终 边 相 同 的 角 β 构 成 的 集 合 为
_{_－__6__7_5_°__，___－__3_1_5_°___}_.
解析 设 P(x，y)，由题设知 x＝－ 3，y＝m， 所以 r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，即 r＝ 3＋m2，
人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念知识点必背》
第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念知识点必背1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. ③终边相同的角:终边与角α相同的角可写成360()k k Z βα=+⋅∈. 2、弧度制的定义和公式3602π=180rad π=角度数为)rad =,180n n =⋅3、任意角的三角函数3.2.终边上任意点法:设(,)P x y 是角α终边上异于原点的任意一点,它到原点的距离为r (0r >)那么:sin y r α=;cos x r α=;tan yx α=(0x ≠)角α0 12π 6π 4π 3π 512π 2π sin α624- 1222 32 624+ 1 cos α1 624+ 32 2212624- 0 tan α3313不存在4、扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中,弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α,则||lr α=变形可得||l r α=,此公式称为弧长公式,其中α的单位是弧度.(2)扇形面积公式211||22S lr r α== 5、三角函数线三角函数线正弦线:MP 余弦线:OM 正切线:AT6、常用结论(1)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(2)角度制与弧度制可利用180rad π=进行相互转化,在同一个式子中,采用的度量方式必须统一,不可混淆. 角度制 0 30 45 60 90 120 150 180弧度制 06π 4π 3π 2π 23π 56π π(3)象限角: 象限角 集合 区间第一象限角 {|22,}2k k k Z παπαπ<<+∈(2,2),2k k k Z πππ+∈第二象限角 {|22,}2k k k Z παπαππ+<<+∈ (2,2),2k k k Z ππππ++∈第三象限角 3{|22,}2k k k Z παππαπ+<<+∈ 3(2,2),2k k k Z ππππ++∈ 第四象限角 3{|222,}2k k k Z παπαππ+<<+∈ 3(2,22),2k k k Z ππππ++∈ (4)轴线角角α终边所在位置角度制弧度制360,k k ∈360180,}k k Z +∈36090,}k k Z +∈360270,}k k Z +∈180,}k k Z ∈ 18090,}k k Z +∈90,}k k Z ∈。
高三复习第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数
第三章三角函数、解三角形第一讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【考纲速读吧】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．个必会技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r 一定是正值．2．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．项必须注意1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．有关扇形的弧长l、面积S的题目，解题的关键是灵活运用l＝αr，S＝12l r＝12αr2两个公式，同时注意消元法和函数思想的运用．【课前自主导学】011．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、________和________．（2）从终边位置来看，可分为________和轴线角．（3）若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S＝{β|β＝________}（或{β|β＝________}）．判断下列命题是否正确①终边相同的角一定相等（）②第一象限的角都是锐角（）③若α是锐角，180°－α为第二象限的角（）④若α＝k·180°＋30°，则α是第一象限的角（）若α的终边落在第二象限角平分线上，则α的集合__________，若α的终边落在第二、四象限角平分线上，则α的集合________．3．弧度与角度的互化（1）1弧度的角长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． （2）角度与弧度之间的换算 360°＝________ rad,180°＝________ rad ，n °＝________ rad ，α rad ＝________，1 rad≈57°18′＝57．3°． （3）弧长、扇形面积公式①半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角的弧度是________．②扇形半径为r ，圆心角的弧度数是α，则这个扇形的弧长l ＝________，面积S ＝12lr ＝12________，周长＝．（1）120°的弧度数为________；495°的弧度数为________．（2）半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________．（3）已知扇形圆心角为25π，半径为20 cm ，则扇形的面积________．4．任意角的三角函数（1）定义：设角α终边与单位圆交于P （x ，y ），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． （2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP ，OM，AT 分别叫做角α的________，________和________．（3）诱导公式（一）α＋k ·2π）＝________；cos （α＋k ·2π）＝________；tan （α＋k ·2π）＝________．（k ∈Z ）（1）已知角α终边上一点P （－6,8），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． （2）已知sin A >0且tan A <0，则A 为第________象限角．（3）cos （－113π）的值是________．（4）若π4<θ<π2则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系为______．【自我校对】1．负角 零角 象限角 α＋2k π，k ∈Z α＋k ·360°，k ∈Z 2．判一判：①× ②× ③√ ④× 填一填：{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } {α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }3．半径 2π π n π180 [α（180π）]° lr |α|r |α|·r 2 |α|r ＋2r填一填：（1）23π 114π （2）2 （3）80π cm 24．y x yx（x ≠0） 正弦线 余弦线 正切线 sin α cos α tan α填一填：（1） 45 －35 －43 （2）二 （3） 12（4）tan θ>sin θ>cos θ【核心要点研究】02xyyxyxy【考点一】象限角及终边相同的角例1 （1）[2012·郑州期末]若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为（ ）A ．2k π＋β（k ∈Z ）B ．2k π－β（k ∈Z ）C ．k π＋β（k ∈Z ）D ．k π－β（k ∈Z ） （2）已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第________象限．（ ） A ． 一 B ． 二 C ． 三 D ． 四【审题视点】（1）利用终边相同的角进行表示及判断．（2）利用三角函数在各象限的符号作判断．[解析] （1）因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π（k ∈Z ）．所以α＝2k π－β（k ∈Z ）．（2）因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧tan α<0cos α<0，∴α是第二象限角，故选B ．[答案] （1）B （2）B【师说点拨】1．研究角终边关系问题时可借助于图形分析，注意周期性．2．熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限．【变式探究】（1）已知角α＝2k π－π5（k ∈Z ），若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为（ ）A ．1B ．－1C ．3D ．－3（2）设集合M ＝{x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }，那么（ ）A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案：（1）B （2）B解析：（1）由α＝2k π－π5（k ∈Z ）及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0．因此，y ＝－1＋1－1＝－1，故选B ．（2）法一：由于M ＝{x |x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B ．法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·（2k ＋1），2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝（k ＋1）·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B ．【考点二】三角函数的定义例2 已知角α的终边上一点P （－3，m ）（m ≠0），且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 【审题视点】由sin α＝2m4结合三角函数的定义建立关于参数m 的方程求出m 的值，再根据定义求cos α，tan α的值．[解] 由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝（－3）2＋m 2（O 为原点），得r ＝3＋m 2．从而sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22，于是3＋m 2＝8，解得m ＝±5．当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3， ∴ cos α＝－322＝－64，tan α＝153【师说点拨】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一异于原点的点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【变式探究】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P （4t ，－3t ）（t ≠0），则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34．综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34．【考点三】扇形的弧长和面积公式例3 已知一扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l ．（1）若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ．（2）若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【审题视点】（1）可直接使用弧长公式计算，但注意角需用弧度制．（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，然后确定其最大值．[解] （1）α＝60°＝π3 rad ， ∴l ＝|α|·R ＝π3×10＝10π3cm ．（2）由题意得l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R （0<R <10）．∴S 扇＝12l ·R ＝12（20－2R ）·R ＝（10－R ）·R ＝－R 2＋10R ．∴当且仅当R ＝5时，S 有最大值25．此时l ＝20－2×5＝10，α＝l R ＝105＝2 rad ．∴当α＝2 rad 时，扇形面积取最大值．奇思妙想：本例第（2）问改为“若扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角”．该如何解答？解：⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝1012α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1α＝8（舍去），或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4α＝12， ∴扇形圆心角为12．【师说点拨】（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便．（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理利用圆心角所在的三角形．【变式探究】一个扇形OAB 的面积为1cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB ．解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2. ∴ 圆心角α＝lr ＝2．过O 作OH ⊥AB 于H ．则∠AOH ＝1弧度， ∴AH ＝1·sin1＝sin1（cm ），∴AB ＝2sin1（cm ）．【课课精彩无限】03三角函数定义的应用错误[2011·全国新课标高考]已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．45[规范解答] 方法1：设P （t,2t ）（t ≠0）为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55．因此cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35． 方法2：tan θ＝y x ＝2， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35． [答案] B 【备考·角度说】No ．1 角度关键词：易错分析（1）误认为角θ的终边为第一象限，导致漏解；（2）直接在终边y ＝2x 上任取一些特殊点，根据三角函数的定义求值，而不分情况讨论致误； （3）利用三角函数定义时，易把x ，y 的位置颠倒，弄错正弦和余弦的定义． No ．2 角度关键词：备考建议（1）利用定义来求任意角的三角函数，关键是求出角的终边上点P 的横、纵坐标及点P 到原点的距离，再利用定义求解．（2）若角的终边落在某条直线上，这时终边位置实际上有两个，对应的三角函数值有两组，应分别求解． （3）多维思考，方法选择得当，可避免讨论，高效解题． 【经典演练提能】041．[2013·怀化检测]sin2cos3tan4的值 （ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案：A解析：∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0．2．[2013·北京东城模拟]点P 从（1,0）出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q点的坐标为 （ ）A ．（－12，32）B ．（－32，－12）C ．（－12，－32）D ．（－32，12）答案：A解析：设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标（x ，y ）满足x ＝cos α，y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为（－12，32）．3．[2013·安庆质检]将表的分针拨快10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）A ． π3B ． π6C ． －π3D ． －π6答案：C解析：将表的分针拔快应按顺时针方向旋转为负角，∴A 、B 不正确，又∵拔快10分钟，应转圆周的16，∴弧度数为－16·2π＝－π3，∴选C ．4．设θ是第三象限角，且|cos θ2|＝－cos θ2，则θ2是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2（k ∈Z ），k π＋π2<θ2<k π＋3π4（k ∈Z ）；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，（k ∈Z ），综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4，（k ∈Z ），即θ2是第二象限角．5．[2013·大庆调研]已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．3答案：A解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4则面积S ＝12rl ＝12r （4－2r ）＝－r 2＋2r ＝－（r －1）2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2． 从而α＝l r ＝21＝2．【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题 1． [2013·河南调研]与－525°的终边相同的角可表示为（ ）A ． 525°－k ·360°（k ∈Z ）B ． 165°＋k ·360°（k ∈Z ）C ． 195°＋k ·360°（k ∈Z ）D ． －195°＋k ·360°（k ∈Z ） 答案：C解析：在α＝195°＋k ·360°（k ∈Z ）中，令k ＝－2得α＝－525°，故选C ． 2． [2013·福州模拟]下列三角函数值的符号判断错误的是（ ）A ． sin165°>0B ． cos280°>0C ． tan170°>0D ． tan310°<0 答案：C解析：∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0，选C ．3． 已知角α∈（－π2，0），cos α＝23，则tan α＝（ ）A ． －53B ． －1313C ． 513D ． －52答案：D解析：∵α∈（－π2，0），cos α＝23，∴sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，故选D ．4． 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ）A ． π3B ． 2π3 C ． 3 D ． 2答案：C解析：设圆半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ．∴圆弧长为3R ．∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3．5． [2013·海口模拟]已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是（ ）A ． （π4，π2）B ． （π，54π）C ． （3π4，54π）D ． （π4，π2）∪（π，54π）答案：D解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0tan α>0，解得α∈（π4，π2）∪（π，54π）．6． [2013·大连模拟]已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点（－12，32），2α∈[0,2π），则tan α＝（ ）A ． － 3B ． 3C ． 33D ． ±33答案：B解析：由角2α的终边在第二象限，知tan α>0，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝3． 二、填空题 7． [2013·泉州质检]若角α的终边经过点P （1,2），则sin2α的值是________．答案：45解析：∵sin α＝25，cos α＝15，∴sin2α＝2×25×15＝45． 8． 在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的圆心角α是________rad ．答案：23π解析：由已知可得半径R ＝1，∴sin α2＝AB 2R ＝32，∴α2＝π3，∴α＝23π．9． [2013·抚顺模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P （4，y ）是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．答案：－8解析：因为r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8． 三、解答题10． 已知角α的终边过点P （－3cos θ，4cos θ），其中θ∈（π2，π），求α的三角函数值．解：∵θ∈（π2，π），∴－1<cos θ<0． ∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43．11． [2013·包头月考]已知角θ的终边上有一点M （3，m ），且sin θ＋cos θ＝－15，求m 的值．解：r ＝32＋m 2＝m 2＋9，依题意sin θ＝m m 2＋9， cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15． 即m ＋3m 2＋9＝－15， 解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去． 故m ＝－4．12． [2013·盐城模拟]扇形AOB 的周长为8 cm ．（1）若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，（1）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6．（2）∵2r ＋l ＝8， ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14（l ＋2r 2）2＝14×（82）2＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4．∴r ＝2， ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1．。
高考数学(理)总复习讲义： 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(3)三角函数值在各象限内的符号,(1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β| β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．[熟记常用结论]1．象限角2．轴线角3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (4)三角形的内角必是第一、二象限角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋94π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z) 解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π(k ∈Z)或k ·360°＋45°(k ∈Z)，结合选项知C 正确．2.若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角 B ．α＝⎝⎛⎭⎫360π°C ．sin α＞0D ．sin α＜cos α解析：选D 对于A ，∵π2＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α＞0，故C 正确；对于D ，sin α＞0，cos α＜0，故D 错误．选D.3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33解析：选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12.所以tan α＝yx ＝±3.故选B.4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________． 解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π3.答案：2π3考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关][题组练透]1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样，结合选项知选C. 4．与－2 010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________． 解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[名师微点]1．判断象限角的2种方法 2.确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在的位置． 3．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关][典例精析]已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解] (1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9，所以S 扇形＝12lr ＝12αr 2＝12×5π9×4＝10π9.(2)由题意知，l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ， 故S 扇形＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25，此时l ＝10，则α＝lr ＝2.[解题技法]有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[过关训练]1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：选C 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度， 且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而AB 的长l ＝α·r ＝2sin 1. 2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3解析：选D 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3， 作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3.3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r ＞0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 考点三三角函数的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·广州模拟)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin(α＋β)＝( )A ．－3665 B.4865 C ．－313D.3365(3)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. [解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．(2)因为角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，所以sin α＝513，cos α＝1213，sin β＝45，cos β＝－35，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×⎝⎛⎭⎫－35＋1213×45＝3365. (3)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以sin α＝－1213， 所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. [答案] (1)C (2)D (3)－23[解题技法]利用三角函数定义解题的常见类型及方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值．先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解． (3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．[过关训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°＞0 B ．cos(－305°)＜0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－223π＞0 D ．sin 10＜0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)＞0；而－223π＝－8π＋2π3，所以－223π是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3＜0；因为3π＜10＜7π2，所以10是第三象限角，故sin 10＜0. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.3．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．解：设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sin α＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.综上，cos α＝－64，tan α＝－153或cos α＝－64，tan α＝153.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．若cos θ＜0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，cos θ＜0，得sin θ＞0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限．故选B.2．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A．1 B．－1 C．3 D．－3解析：选B由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90°B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈ZC ．α＋β＝2k ·180°，k ∈ZD ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z解析：选C 因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z.所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z.4．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 解析：选D 由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x ＜0，即sin x ＜cos x ，所以－3π4＋2k π＜x ＜π4＋2k π，k ∈Z.当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝⎛⎭⎫－3π4，π4. 5．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 因为α是第三象限角， 所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)， 所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，所以α2是第二象限角或第四象限角．当α2是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2－cos α2cos α2＝0， 当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cos α2＝0，故选A.6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR＝1∶2.答案：1∶27．一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 解析：设扇形的半径为R ，其内切圆的半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2， ∴S 扇πr 2＝7＋439. 答案：(7＋43)∶98．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α＜0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－45. 9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值； (2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．解：(1)设点B 的纵坐标为m ，则由题意m 2＋⎝⎛⎭⎫－452＝1， 且m ＞0，所以m ＝35，故B ⎝⎛⎭⎫－45，35， 根据三角函数的定义得tan α＝35－45＝－34.(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z . 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3B ．±3C ．－ 2D ．－ 3 解析：选D ∵cos α＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－3，故选D.2．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝⎛⎭⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，则最小的正角为11π6. 答案：11π6 3．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．(二)素养专练——学会更学通4. [直观想象、数学运算]如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB ＝α，则αtan α＝________. 解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12αr 2，在Rt △POB 中，PB ＝r tan α，则△POB 的面积为12r ·r tan α，由题意得12r ·r tan α＝2×12αr 2，∴tan α＝2α，∴αtan α＝12. 答案：125．[数学建模]如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P ，Q 各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．设第一次相遇时，相遇点为C ，则∠COx ＝π3·4＝4π3， 则P 点走过的弧长为4π3·4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3·4＝8π3； x C ＝－cos π3·4＝－2， y C ＝－sin π3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)．。
2018年高考数学专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳
Word 文档●高考明方向1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.★备考知考情1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题．2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用．3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.《名师一号》P47 对点自测1、2注意：1、《名师一号》P48 问题探究问题1、2相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．角的表示形式是唯一的吗？角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}．(补充)2、正角> 零角> 负角3、下列概念应注意区分小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．4、(1)终边落在坐标轴上的角1）终边落在x轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ，k∈Z}2）终边落在x轴非正半轴上的角{x|x＝2kπ+π，k∈Z}终边落在x轴上的角{x|x＝kπ，k∈Z}3）终边落在y轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}Word文档Word 文档4）终边落在y 轴非正半轴上的角{x|x ＝2k π+3π2，k ∈Z }终边落在y 轴上的角{x|x ＝k π+π2，k ∈Z }(2) 象限角 （自己课后完成）知识点二 弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； ②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.关键：基本公式180︒→=rad π《名师一号》P47 对点自测 3注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题3在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？ 不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的，Word 文档不可混用．2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）弧长公式||l r α= 扇形面积公式12S lr =(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r 为高）知识点三 任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)． (补充)12(补充)关键：立足定义正弦……一二正，横为零余弦……一四正，纵为零正切……一三正，横为零，纵不存在3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）知识点三任意角的三角函数(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．《名师一号》P47 对点自测 6注意：《名师一号》P48 问题探究问题4如何利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？Word文档(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的围，然后再加上周期．(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较大小，应注意三角函数线的有向性．也可以利用相应图象求解二、例题分析：（一)角的表示及象限角的判定例1.《名师一号》P48 高频考点例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为Word文档{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋32π(k∈Z)，∴kπ＋π2<α2<kπ＋34π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2<α2<2nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2<α2<2nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．注意:《名师一号》P48 高频考点例1 规律方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是Word文档Word 文档先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．（二) 弧度制的定义和公式例1.《名师一号》P48 高频考点 例2(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时， 才使扇形面积最大？解：(1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋r θ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，S max＝100，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．《名师一号》P47 对点自测4注意：《名师一号》P48 高频考点例2 规律方法1.弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．（三)三角函数的定义及应用例1.《名师一号》P48 高频考点例3(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.Word文档Word 文档解：(1)r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255， 所以sin θ＝y r＝y16＋y2＝－255， 所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.《名师一号》P47 对点自测 5(3)(2015·日照模拟)已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解：(3)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．※(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．Word 文档解： (2)如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点， 由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2.故∠DAP ＝2－π2. ∴DP ＝AP ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2. ∴PC ＝1－cos2，DA ＝AP cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2. ∴OC ＝2－sin2，故OP→＝(2－sin2,1－cos2)．注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法Word 文档1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．2．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．练习：若一个角α的终边在直线3=-y x 上， 求310sin cos +αα的值。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
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已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，若 A（x，3）是角 θ 终边上一点，且
，
则 x＝（ ）
A．
B．
．C 1
D．﹣1
【解答】解：角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，若 A（x，3）是角 θ 终边上一点，且
， 则 x＝﹣1， 故选：D．
【再练一题】 已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 A（2sinα，3），则 ＝（ cosα ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：
则 ＝ ， ＝ ， ＝ ， AT tanα MP sinα OM cosα
则 ＞ ， ＜ ＜ ， sinα 0 AT OM 0
即 ＞ ＞ ， sinα cosα tanα
则 a＞b＞c，
故选：A．
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【知识拓展】 1．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)
设
P(x，y)是角
α
终边上异于顶点的任一点，其到原点
O
的距离为
r，则
sin
＝ ，y
α r cos
＝ ，x
α r tan
＝y
αx
≠ ． (x 0)
重点难点突破
【题型一】角及其表示 【典型例题】
． ， A
2+2πk k∈Z
． ， C 2+2kπ k∈z
． ， B
2+kπ k∈Z
．﹣ ， D 2+2kπ k∈Z
【解答】解：∵β 终边过点 P（sin2，cos2），即为（cos（ 2），sin（ 2））
∴终边与 β 重合的角可表示成 ， ， 2+2kπ k∈Z 故选：A．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所 有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角．
已知集合{α|2kπ ≤α 2kπ ，k∈Z}，则角 α 的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【解答】解：集合{α|2kπ 故选：B． 【再练一题】
≤α 2kπ ，k∈Z}，表示第一象限的角，
直角坐标系内，β 终边过点 P（sin2，cos2），则终边与 β 重合的角可表示成（ ）
【再练一题】
已知 ＝a sin ， ＝b cos ， ＝c tan ，则（ ）
A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c
【解答】解：因为 所以 b＜a＜c． 故选：A．
，所以 ， ， cos sin tan 1
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的三角函数值；已知角 α 的三角函 数值，也可以求出点 P 的坐标． (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．
三个三角函数的性质如下表：
三角 函数
定义域
第一象限符号
sin α
R
＋
cos α
R
＋
第二象限符号 ＋ －
第三象限符号 － －
第四象限符号 － ＋
≠ ＋ ，π
tan α {α|α kπ 2
＋
－
＋
－
∈k Z}
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4.三角函数线 如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 ⊥ PM x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的 终边或终边的反向延长线相交于点 T.
角度制和弧度制的互化： ＝ ＝ ， ＝ (2)
180°
π rad,1°
π 180 rad
1 rad
1π80°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2. 3．任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，
则 ＝ ， ＝ ， ＝ ≠ ． y sin α y cos α x tan α x(x 0)
则 故选：C．
，解得 ＝α 1 或 α＝4．
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【再练一题】
将 300°化成弧度得：300°＝ ． rad 【解答】解：∵180°＝π，
∴1° ，
则 °＝ 300 300
．
故答案为： ．
思维升华 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【题型三】三角函数的概念及应用 命题点 1 三角函数定义的应用 【典型例题】
(2)确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法
先写出 kα 或αk的范围，然后根据 k 的可能取值确定 kα 或αk的终边所在位置．
【题型二】弧度制
【典型例题】
已知扇形的周长是 6cm，面积是 2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（ ）
．A 1
．B 4
．C 1 或 4
．D 1 或 2
【解答】解：设扇形的圆心角为 αrad，半径为 ， Rcm
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r
，
∴cosα ﹣ ＝ ， 17cos2α+4 0
，可得：cos2α
∴解得：cos2α ，或 （舍去），
∴ ． cosα 故选：A． 命题点 2 三角函数线的应用 【典型例题】
，整理可得：4cos4α
已知
，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么 a，b，c 的大小关系是（ ）
高考数学复习考点知识与题型专题讲解
专题 18 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考纲
1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
基础知识融会贯通
1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分 类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 ＝ ＝ ＋ ， ∈ ． S {β|β k·360° α k Z} (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说 这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角的弧度 数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.