《数值分析》习题6
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？〔1〕〔2〕解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
〔1〕〔2〕4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1与n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计〔5.8〕。
线性插值时，用0.5与0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式〔5.8〕，令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048与cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式〔5.17〕得其中计算时用Newton后插公式〔 5.18)误差估计由公式〔5.19〕得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
数值分析课后参考答案06
第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交，试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。
证明：设0()nj jj l x φ==∑，两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积，由()jx φ的正交性可知，200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰， 于是有001(,,,)k l k n == ，即{}()nj j x φ=是线性无关组。
2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。
解：定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰，取011(),()x x x ϕϕ==，()s x ax b =+，()cos f x x =，则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰，()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()2001,cos f xdx πϕ==⎰，()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰，于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得1158506644.,.a b ==-。
3、已知函数11()(,)f x x =∈-，试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。
解：法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-， 于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-，取内积权函数()()x f x ρ==，于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰，1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰，112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==，1111(,)0(,)f U c U U ==，2222(,)8(,)15f U c U U π==-， 于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()1L x L x x ==-，试求出二次多项式2()L x 。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析习题六解答
数值分析习题六解答习题六解答1、在区间［0，1］上⽤欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。
(1)210(1)(0)2y y y '?=--?=?(2)sin (0)0x y x e y -'?=+?=?解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--=由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2；x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。
（2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++=由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1，021000(sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+?+=+?+=x 2=0.2，122110.1(sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2x y y h x e e --=++=+?+=+?+=指出：本⼩题的求解过程中，函数值计算需要⽤到计算器。
2、⽤欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。
22(00.5)(0)1y x y x y '?=-≤≤?=? 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-=由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x 0=0，y 0=1；x 1=0.1，221000(2)10.1(021)0.8y y h x y =+-=+?-?= x 2=0.2，222111(2)0.80.1(0.120.8)0.641y y h x y =+-=+?-?= (2)由预测校正公式11(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n y hf x y hy f x y f x y ++?=+?=++n+1n+1y y ，取h=0.1，本初值问题的预测－校正公式的具体形式为122210.1(2)0.05[(2)(2)]nn n n n n n n y x y y x y x y ++?=+?-??=+-+-??n+1n+1y y 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=1； x 1=0.1，2000220001120.1(2)0.8,0.05[(2)(2)]10.05[(02)(0.120.8]0.8205y x y y x y x y =+?-==+?-+-=+?-+-?=11y yx 2=0.2，211122211122220.1(2)0.82050.1(0.120.8205)0.65740.05[(2)(2)]0.82050.05[(0.120.8205)(0.220.0.6574]0.6752y x y y x y x y =+?-=+?-?==+?-+-=+?-?+-?=22y y3、试导出解⼀阶常微分⽅程初值问题000(,)()()y f x y x a x b y x y '==≤≤??=?的隐式欧拉格式111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=并估计其局部截断误差。
李庆扬-数值分析第五版第6章习题答案(20130819)
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。 雅可比迭代的收敛条件是
( J ) ( D 1 ( L U )) 1
高斯赛德尔迭代法收敛条件是
(G ) (( D L) 1U ) 1
因此只需要求响应的谱半径即可。 本题仅解 a)，b）的解法类似。 解：
3.设线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a11 , a12 0 a21 x1 a22 x2 b2
证明解此方程的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散， 并求两种方 法收敛速度之比。 解：
a A 11 a21
则
a12 a22
5. 何谓矩阵 A 严格对角占优？何谓 A 不可约？ P190， 如果 A 的元素满足
aij aij ，i=1,2,3….
j 1 j i
n
称 A 为严格对角占优。 P190 设 A (aij )nn (n 2) ，如果存在置换矩阵 P 使得
A PT AP 11 0
x ( k 1) x ( k )
10 4 时迭代终止。
2 1 5 （a）由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯 2 3 10
赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 x1 4, x 2 3, x3 2 ] （b）使用雅可比迭代法：
2．给出迭代法 x ( k 1) Bx (k ) f 收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。 迭代矩阵收敛的条件是谱半径 ( B0 ) 1 。其误差估计为
1 k
(k) Bk (0)
R ( B) ln B k 迭代法的平均收敛速度为 k
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习题六 （第1、3、5、6、7、9、10题） 1．求解初值问题y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解xe x y 21+-=相比较。
解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.459924 2) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y)()(1i i i D i y x h y y ++=+ )()(11)(1D i i i C i y x h y y +++++= )(21)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i计算结果列表如下i i x i y )(1D i y + )(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.0311473. 对初值问题1)0(=-='y y y)0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为ii hh y ih y )22()(+-=≈ ),2,1,0( =i并证明当0→h 时，它收敛于准确解ix e y -=，其中ih x i =为固定点。
解：1) 对以上初值问题用梯形公式得 )]()[(211++-+-+=i i i i y y h y y ， ,2,1,0=i10=y其中ih x i = 由上式递推得 ii hh y )22(+-= ， ,2,1,0=i2) 22)2(2)21()21(2121i i x h xh ii h h h h y ∙--+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= iii ii x x x x h h x h n i h eeeh h y --→--∞→→==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22220)2(2)21(lim )21(lim lim5．证明)4(63211k k k h y y i i +++=+),(1i i y x f k = 2(2h x f k i +=，)211hk y i +h x f k i +=(3，)221hk hk y i +- 是1个3阶公式。
证明 )4(63211k k k h y y i i +++=+),(1i i y x f k = 2(2h x f k i += ，)21k h y i +h x f k i +=(3 ，)221hk hk y i +- 是一个3阶公式解局部截断误差为)4(6)()(32111K K K h x y x y R i i i ++--=++))(,(1i i x y x f K = 2(2h x f K i += ，)2)(1K h x y i +h x f K i +=(3 ，)2)(21hK hK x y i +- 由微分方程有))(,()(x y x f x y =' yx y x f x y xx y x f x y ∂∂'+∂∂=''))(,()())(,()(⎢⎣⎡∂∂∂'+'∂∂∂+∂∂='''y x x y x f x y x y yx x y x f xx y x f x y ))(,()()())(,())(,()(2222y x y x f x y x y yx y x f ∂∂''+⎥⎦⎤'∂∂+))(,()()())(,(22yx x y x f x y xx y x f ∂∂∂'+∂∂=))(,()(2))(,(222yx y x f x y yx y x f x y ∂∂''+∂∂'+))(,()())(,()(222)(1i x y K '=2(2h x f K i += ，)(2)(i i x y h x y '+yx y x f x y h xx y x f h x y x f i i i i i i i ∂∂'+∂∂+=))(,()(2))(,(2))(,(y x x y x f x y hh xx y x f h i i i i i ∂∂∂'⋅⋅+∂∂⎢⎣⎡+))(,()(222))(,()2(212222 )())(,()(23222h O y x y x f x y hi i i +⎥⎦⎤∂∂'+ )())(,()()(8)(2)(32h O y x y x f x y x y h x y hx y i i i i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂''-'''+''+'= (h x f K i +=3，))()()()(32h O x y h x y h x y i i i +''+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂''+'+∂∂+=y x y x f x y h x y h x x y x f h x y x f i i i i i i i i )(,())()(())(,())(,(2y x x y x f x y h h xx y x f h i i i i i ∂∂∂'⋅⋅+⎢⎣⎡∂∂+))(,()(2))(,(21222 )())(,()(32222h O y x y x f x y h i i i +⎥⎦⎤∂∂'+ )())(,()()(21)()(32h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂''+'''+''+'= )()(6)(2)(4321h O x y hx y hx y h R i i i i +'''+''+'=+⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-'''+''+'+'-y x y x f x y x y h x y h x y x y h i i i i i i i ))(,()()(2)(2)(4)(62⎥⎦⎤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-'''+''+'+)())(,()()(2)()(32h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i)(4h O =∴所给公式是一个3阶公式6．导出中点公式（或称Euler 两步公式） ),(211i i i i y x hf y y +=-+并给出局部截断误差。
解： o 1 法1 将后退Eluer 公式 ),(1i i i i y x hf y y +=- 和Eluer 公式),(1i i i i y x hf y y +=+ 相加得到),(211i i i i y x hf y y +=-+o2 法2得)(612)()()(211i i i i y h hx y x y x y ξ'''--='-+，),(11+-∈i i i x x ξ 代入等式 ))(,()(i i i x y x f x y =' 得到)(61))(,(2)()(211i i i i i y h x y x f hx y x y ξ'''+=--+ 变形得到 )(31))(,(2)()(311i i i i i y h x y x hf x y x y ξ'''++=-+忽略小量项)(313i y h ξ'''，并用i y 代替)(i x y ，得到中点公式),(211i i i i y x hf y y +=-+ o3 局部截断误差))(,(2)()(111i i i i i x y x hf x y x y R --=-++ θ+'''+'=i i x f h x y h (61)(23)(2)i x y h h '-θ+'''=i x f h (613)h7．证明解),(y x f y ='的公式： )],(3),(),(4[4)(21111111--++-++-++=i i i i i i i i i y x f y x f y x f h y y y是二阶的，并求出其局部截断误差。
解：))(,(4[4)]()([21)(11111++-++-+-=i i i i i i x y x f h x y x y x y R))](,(3))(,(11--+-i i i i x y x f x y x f )(43)(4)()(21)(21)(1111-+-+'-'+'---=i i i i i i x y h x y h x y h x y x y x y)(21)()(6)(2)()(432i i i i i x y h O x y hx y hx y h x y -+'''+''+'+=)]()(6)(2)()([21432h O x y hx y hx y h x y i i i i +'''-''+'--)(4)]()(21)()([32i i i i x y h h O x y h x y h x y h '++'''+''+'-)]()(2)()([4332h O x y hx y h x y h i i i +'''+''-'-)()(6543h O x y h i +'''-=9．直接推导出2步Adams 显式公式 )],(),(3[2111--+-+=i i i i i i y x f y x f h y y和局部截断误差 )(125)3(31i i yh R ξ=+， ),(11+-∈i i i x x ξ解： dx x y x f x y x y i ix xi i ⎰++=+1))(,()()(1以i x 和1-i x 为节点作))(,(x y x f 的一次插值多项式 111111))(,())(,()(-------+--=i i i i i i i i i i x x x x x y x f x x x x x y x f x L则有dx x L x y x y i ix x i i ⎰++≈+1)()()(11dxx x hx y x f x y i ix x i i i i ⎰+--⋅+=1)(1))(,()(1dx x x h x y x f i ix x i i i ⎰+-⋅+--1)(1)(,(11))(,(21))(,(23)(11---+=i i i i i x y x hf x y x hf x y于是我们得到如下二步Adams 显式格式 ),(21),(23111--+-+=i i i i i i y x hf y x hf y y)],(),(3[211---+=i i i i i y x f y x f h y局部截断误差))](,())(,(3[2)()(1111--++---=i i i i i i i x y x f x y x f h x y x y R)]()(3[2)()(11-+'-'--=i i i i x y x y h x y x y)()(6)(2)()(432h O x y hx y hx y h x y i i i i +'''+''+'+=[])()(2)()(2)(23)(32h O x y hx y h x y h x y h x y i i i i i +'''+''-'+'--)()(12543h O x y h i +'''=10．导出具有下列形式的3阶方法：+++=--+221101i i i i y a y a y a y)],(),(),([2221110----++i i i i i i y x f b y x f b y x f b h的系数所满足的方程组。