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【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三下学期第四次模拟考试理科数学试题(原卷版)

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河北省武邑县高三数学下学期周考试题(2.19)理(扫描版)

河北省武邑县高三数学下学期周考试题(2.19)理(扫描版)

河北省武邑县2017届高三数学下学期周考试题(2。

19）理（扫描版）
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【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三上学期第四次调研理数(解析版)

【全国百强校】河北省武邑中学2017届高三上学期第四次调研理数(解析版)

河北省武邑中学2017届高三上学期第四次调研理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}M=1x x <，{}2,x N y y x M ==∈，则集合()R C M N 等于（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【答案】C考点：集合的运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.已知复数()41biz b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】 试题分析：由()()()()(4144411)12bi i b b i bi z i i i ++-+++--+＝＝＝的实部为1-，得412b-=-，得6b =．∴15z i =-+，则75z b i -=-+，在复平面上对应的点的坐标为75-（，），在第二象限．故选：B ．考点：复数代数形式的乘除运算.3.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a ，3a ，4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．2 B ．3C ．2-D ．3-【答案】A 【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，首项为1a ，所以312a a d =+，413a a d =+．因为134a a a 、、 成等比数列，所以211123a d a a d +=+（）（），解得：14a d =-．所以3215312 227S S a dS S a d-+==-+，故选A.考点：等差数列的性质；等比数列的性质. 4.函数23y x =的图象大致形状是（ ）A B C D ． 【答案】B考点：函数的图象.5.若抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则MFO ∆的面积为（ ） ABC ．12D ．14【答案】B 【解析】试题分析：∵抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，∴1322x +=，∴1x =，∴1x =时，y =，∴MFO ∆的面积为1122⨯=B. 考点：抛物线的简单性质.6.已知命题:p x R ∃∈，31cos 210x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若()p q ⌝∧是假命题，则命题q 可以是（ ）A ．若20m -≤<，则函数()2f x x mx =-+区间()4,1--上单调递增B ．“14x ≤≤”是“5log 1x ≤”的充分不必要条件C ．3x π=是函数()cos 2f x x x =图象的一条对称轴D ．若1,62a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则函数()21ln 2f x x a x =-在区间()1,3上有极值【答案】D考点：命题的真假判断与应用.7.以(),1a 为圆心，且与两条直线240x y -+=及260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ） A ．()2215x y +-= B ．()()22115x y +++= C ．()2215x y -+=D ．()()22115x y -+-=【答案】D 【解析】试题分析：由题意，圆心在直线210x y --=上，1a （，）代入可得1a =，即圆心为11（，），半径为r ==22115x y -+-=（）（），故选：D. 考点：圆的标准方程.8.向量()cos 25,sin 25a =︒︒，()sin 20,cos 20b =︒︒，若t 是实数，且u a tb =+，则u 的最小值为（ ）AB ．1 CD ．12【答案】C 【解析】试题分析：由题设 25202520u a tb cos tsin sin tcos +=︒+︒︒+︒＝（，）， ∴(25||cos u ===，t 是实数，由二次函数的性质知当t =时，u取到最小值，最小值为；故选C. 考点：平面向量的坐标表示、模、夹角；三角函数的最值.9.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ．(1,1B ．()1++∞C ．()1,3D ．()3,+∞【答案】A考点：简单线性规划的应用.10.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】试题分析：将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，得222263g x cos x cos x ππ=-=-（）（）（），由2223k x k ππππ-+≤-≤，得 36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，．当0k =时，函数的增区间为[6]3ππ-，，当1k =时，函数的增区间为 ]26[37ππ，．要使函数()g x 在区间[0]3a ，和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则03627326a a πππ⎧⎪≤⎪≤⎪⎨⎪⎩＜＜，解得[]32a ππ∈，．故选：A.考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换.【方法点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查了()sin y A x ωϕ=+型函数的性质，是中档题；三点提醒：（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y Asin x ω=的图象得到y Asin x ωϕ=+（）的图象时，需平移的单位数应为ϕω，而不是||ϕ． 11.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．94D ．3【答案】B考点：基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()'2f x <，则不等式()()11ln 223x f x x e x ++-+->+的解集为（ ） A ．()2,1-- B ．()1,-+∞C ．()1,2-D ．()2,+∞【答案】A考点：函数单调性与导数的关系.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知()1201x m dx +=⎰，则函数()()2log 2m f x x x =-的单调递减区间是______.【答案】(]0,1 【解析】试题分析：∵()1201x m dx +=⎰，∴310113x mx +=（），解得：23m =，故()()()2223log 2log 2m f x x x x x =-=-，令()()222g x x x x x =-=-，令0g x （）＞，解得：x 0＜＜2，而()g x 在对称轴1x =，故()g x 在(]0,1递增，故()g x 在()1,2递减，故答案为:(]0,1. 考点：函数的单调性及单调区间.14.已知()2cos 2sin 2sin 15a a a +-=，,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.【答案】17【解析】试题分析：由()2cos 2sin 2sin 15a a a +-=即22212sin 2sin sin 5ααα-+-=，得3sin 5α=； 且,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 5α=，则3tan 4α=，故tan 11tan 41tan 7a παα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故答案为17. 考点：二倍角的余弦；两角和的正切.15.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形及一条对角线，根据图中所给的数据，该棱锥外接球的体积是_____.考点：由三视图求面积、体积.【方法点晴】本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据；三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b ==>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ．若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为＿＿＿＿．考点：双曲线的简单性质.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-⋅,又数列{}n b 满足n n a b n ⋅=． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩；(Ⅱ)[)1,2. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可得出；（Ⅱ）由•n n a b n =．可得11121()2n n n b n λ-=≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，＝，，利用等比数列的定义及其求和公式即可得．试题解析：（Ⅰ）由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；当2n ≥时，()()11112222n n n n n n a S S n n n ---=-=-⋅--⋅=⋅，故数列{}n a 的通项公式为()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩考点：数列的通项公式；数列求和.【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的定义和等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，注重对基础的考查，属于容易题；解题中，在利用1--=n n n S S a 的同时一定要注意1=n 和2≥n 两种情况，否则容易出错；求等比数列的前n 项和，先求出其首项1b 和公比q ，在利用等比数列的前n 项和公式求解，利用公式的同时应考虑到1=q 的情形是否会出现.18.（本小题满分12分在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()cos sin sin cos 0A B c A A C +-+=，b =．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若ABC ∆，求sin sin A C +的值． 【答案】(Ⅰ) 3B π=；(Ⅱ)32. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和，转化求解B 的正切函数值，即可得到结果；（Ⅱ）利用三角形的面积求出ac ，利用余弦定理求出a c +，利用正弦定理求解即可. 试题解析：(Ⅰ)由()()cos sin sin cos 0A B c A A C +-+=， 得()cos sin sin cos 0A B c A B --=，………………1分 即()sin cos A B c B +=，sin cos C c B =，sin cos CB c=，………………3分因为sin sin C Bc b =cos B =，即tan B =，3B π=.………………6分(Ⅱ)由1sin 2S ac B ==，得2ac =，………………8分由b =及余弦定理得()2222222cos 3a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，所以3a c +=………………10分 所以()sin 3sin sin 2B AC a c b +=+=………………12分 考点：正弦定理；余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数.19.（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆'O 的直径，FB 是圆台的一条母线．(Ⅰ)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；(Ⅱ)已知12EF FB AC ===，AB BC =，求二面角F BC A --的余弦值【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ.试题解析：(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结GM ，HM ，//GM EF 、EF 在上底面内，GM 不在上底面内，//GM ∴上底面，………………2分//GM ∴平面ABC ，又MH//BC ，BC ⊂平面ABC ，MH ⊄平面ABC ， H //M ∴平面ABC ，………………4分所以平面GHM//平面ABC ，由CH ⊂平面GHM ，GH//∴平面ABC ．………………5分考点：直线与平面平行的判定；二面角的平面及求法.【方法点晴】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行，向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等.20.（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x x a x =-． (Ⅰ)若函数()f x 的图像在()()1,1f 处的切线不过第四象限且不过原点，求a 的取值范围；(Ⅱ)设()()2g x f x x =+，若()g x 在[]1,e 上不单调且仅在x e =处取得最大值，求a 的取值范围．【答案】(Ⅰ) 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦；(Ⅱ) 253,222e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：(Ⅰ)求出切线方程为()112y a x a =-+-，由切线不过第四象限且不过原点即斜率大于0，在y 轴上的截距大于0得解；（Ⅱ）可求得220x x a g x x x+-'=（）（＞），设22h x x x a =+-（）（0x ＞），利用g x （）在[1]e ，上不单调，可得10h h e （）（）＜，从而可求得232a e e +＜＜，再利用条件g x （）仅在x e =处取得最大值，可求得1g e g （）＞（），两者联立即可求得a 的范围．试题解析：(Ⅰ)()'a f x x x =-，()'11f a =-，()112f =………………2分 所以函数()f x 图像在()()1,1f 的切线方程为()()1112y a x -=--，即()112y a x a =-+-，……………3分 由题意知10a -≥，102a ->，a 的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，………………5分考点：利用导数研究函数在某点处的切线方程；利用导数求函数闭区间上的最值.【思路点晴】本题考查利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查构造函数与转化思想的综合运用，属于难题；利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.21.(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线20x y +-=相切．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)对于直线:l y x m =+和点()0,3Q ,是否椭圆C 上存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称,且332QA QB ⋅=,若存在实数m 的值,若不存在,说明理由．【答案】(Ⅰ) 2212x y +=；(Ⅱ)存在，13. 试题解析：(Ⅰ)由椭圆的离心率e =得2222212c c a b c ==+，得b c =………………1分 上顶点为()0,b ，右焦点为(),0b ， 以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为22222222b b a b x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，2b b -=，1b c ==，a =3分 椭圆的标准方程为2212x y +=………………4分 (Ⅱ)由题意设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为：y x n =-+. 联立2212y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理可得：2234220x nx n -+-=，………………5分 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n <<………………6分 1243n x x +=， 212223n x x -=， 设直线AB 之中点为()00,P x y ，则120223x x n x +==，………………7分 由点P 在直线AB 上得：0233n n y n =-+=， 又点P 在直线l 上，233n n m =+，所以3n m ⎛=-∈ ⎝……①………………9分 又()11,3QA x y =-，()22,3QB x y =-，()()11223232,3,333QA QB x y x y ∴⋅-=-⋅--()()()()221212323323963331102x x y y n n m m m m =+---=--=+-=-+= 解得：13m =或1m =-……②………………11分 综合①②，m 的值为13.………………12分 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合.22.（本小题满分12分）()()21ln 2a f x x a x x =-+-+． (Ⅰ)若12a =-,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)若1a >,求证:()()3213a a f x e --<【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为：()0,1，()2,+∞，单调递减区间为：()1,2；(Ⅱ)证明见解析.试题解析：(Ⅰ)()213ln 42f x x x x =-+，0x >， 则()()()2'211313222x x x x f x x x x x---+=-+==，………………1分 ()'0f x >的解集为()0,1，()2,+∞：()'0f x <的解集为()1,2，………………2分∴函数()f x 的单调递增区间为：()0,1，()2,+∞，函数()f x 的单调递减区间为：()1,2：………………4分(Ⅱ)证明：1a >，故由()()()'11ax x f x x -+-=可知，在()0,1上()'0f x >，函数()f x 单调递增，在()()'1,0f x +∞<，()f x 单调递减，()f x ∴在1x =时取极大值，并且也是最大值，即()max 112f x a =-………………7分又210a ->，()()()1212112a f x a a ⎛⎫∴-≤-- ⎪⎝⎭，………………8分 设()()312112a a a g a e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，()()()()2'3329712722e a a a a a g a e e ---+--=-=-，………………9分 ()g a ∴的单调增区间为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴ ()1236742g a g e ⨯⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，………………10分 23e >，933<=，()3g a ∴<，30a e ->， ()()3213a a f x e -∴-<………………12分考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数在闭区间上的最值.。

2017届河北衡水武邑中学高三数学(理)一模试题答案

2017届河北衡水武邑中学高三数学(理)一模试题答案

参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，B；再由A⊆B可求得实数k的取值范围．【解答】解：B={x|＜1}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），A={x|x≥k}=[k，+∞），又∵A⊆B，∴k＞2；故选C．2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3B．6C．9D．12【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．【解答】解：复数z===．由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故选：A．3．在等差数列{a n}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=1，a8=2a6+a4，∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d联立解得a1=，d=﹣，∴a5=a1+4d=+4（﹣）=故选：B4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c 的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选A．5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120B．150C．35D．55【考点】计数原理的应用．【分析】6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，青岛安排3人，济南安排3人或青岛安排4人，济南安排2人，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，第一类，青岛安排3人，济南安排3人，有C63=20种，第二类，青岛安排4人，济南安排2人，有C64=15种，根据分类计数原理可得20+5=35种．故选：C．6．若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3]C．[2，3）D．（2，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式|x﹣t|＜1的解集，再根据充分条件的定义，建立关于t 的不等式组，解之从而确定t的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣t|＜1，则t﹣1＜x＜t+1，∵不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，∴，解得2≤t≤3故选：A7．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=∴满足y≥x2﹣1的概率是=．故选：D．8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）A．B．64﹣16πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，分别求出体积，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，由正方体的棱长为4，故正方体的体积为：4×4×4=64，圆锥的体积为：2×=，故这个几何体的体积为64﹣，故选：C．9．如图：M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|x N ﹣x M|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合，故选：C．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（）A．﹣20B．20C．﹣540D．540【考点】程序框图．【分析】首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．【解答】解：根据程序框图，得初始值：a=1，b=1，第一次循环：b=3，a=2第二次循环：b=5，a=3，第三次循环：b=7，a=4第四次循环：b=9，a=5，∵a=5＞4，跳出循环，输出b=9，∴二项式（﹣）6的可以化为：，T r=+1=36﹣r（﹣1）r•x3﹣r令3﹣r=0，得r=3，∴展开式中的常数项是33••（﹣1）3=﹣540，故选：C．11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选B．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g （m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件，可得出在方向上的投影为，从而求出投影的值．【解答】解：根据条件，在方向上的投影为：．故答案为：．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由A'B∥D'C，得CP与A'B成角可化为CP与D'C成角，由此能求出异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围．【解答】解：∵A'B∥D'C，∴CP与A'B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD'C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D'重合因为此时D'C与A'B平行而不是异面直线，∴．故答案为：．15．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a n}（即项数是无穷项），我们定义S n（其中S n是数列{a n}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=S n=，则循环小数0.的分数形式是．【考点】数列的极限．【分析】利用S=S n=，即可求出循环小数0.的分数形式．【解答】解：0.= + +…+==，故答案为：．16．对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有①③④（写出所有正确的序号）．【考点】函数恒成立问题．【分析】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．【解答】解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[﹣1，1]，满足﹣1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2﹣y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x﹣1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．故答案为①③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．【考点】简单线性规划；二倍角的余弦．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC的长；（2）利用三角形的面积相等用x，y表示d，然后利用线性规划知识求得d的取值范围．【解答】解：（1）∵cos2A+2sin2=1，∴1﹣2sin2A+2sin2=1，∴sinA=，即A=，∴3A=π，A=．由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=22+12﹣2×2×1×cos=3，∴BC=；（2）由（1）知，△ABC为以C为直角的直角三角形，如图，设P到AB的距离为m，由等积法可得：，得．∴，化目标函数为，由题意得：d在P与C点重合时最小，为；当直线过点B（0，）时d有最大值为．∴d的取值范围为[]．18．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）众数：8.6；中位数：．（2）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．即可得出．【解答】解：（1）众数：8.6；中位数：=8.75．（2）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+=．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．∴E（ξ）==0.75．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅰ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅰ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）∴cos＜，由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．20．已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为，点P是椭圆C1上的任意一点，点Q满足，．（1）求椭圆C1的方程；（2）求点Q的轨迹方程；（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用双曲线的标准方程及其性质与椭圆的定义、标准方程及其性质即可得出．（2）利用椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、数量积运算性质可得点P坐标，代入椭圆C1方程即可得出．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．利用基本不等式的性质可得最大值．再与椭圆的标准方程联立即可得出．【解答】解：（1）∵双曲线的顶点为，，∴椭圆C1两焦点分别为，．设椭圆C1方程为，∵椭圆C1过点，∴2a=|AF1|+|AF2|=4，得a=2．∴．∴椭圆C1的方程为．（2）设点Q（x，y），点P（x1，y1），由及椭圆C1关于原点对称可得，∴，，，．由，得，即．①同理，由，得．②①×②得．③由于点P在椭圆C1上，则，得，代入③式得．当时，有2x2+y2=5，当，则点或，此时点Q对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程2x2+y2=5，∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．而（当且仅当时等号成立），∴．当且仅当时，等号成立．由解得或，∴△ABQ的面积最大值为，此时，点Q的坐标为或．21．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定义域解得x＞﹣2，f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增，故f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1，没有极大值．（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）=﹣=由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+=ln[（1﹣2a）2]+﹣2设t=2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，g′（t）=﹣=＜0g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）证明：当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，即有1＞ln2，2＞ln3，3＞ln4，…，n﹣1＞lnn，即有1+2+3+…+（n﹣1）＞ln2+ln3+ln4+…+lnn=ln（2×3×4×…×n）=ln（n!），则＞ln（n!），故e＞n!（n≥2，n∈N）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅰ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质证出∠BDE=∠BCA且∠DBE=∠CBA，可得△BDE∽△BCA，从而得到AB：AC=BE：DE，结合AB=2AC、AD=DE可得BE=2AD；（II）根据切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，代入数据得到关于AD的方程，解之可得AD=．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ACED为圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，则．∵AB=2AC，∴BE=2DE，结合AD=DE，可得BE=2AD．（II）根据题意，AB=2AC=4，由切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•4，可得（4﹣AD）•4=2AD•4，解得AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；（Ⅰ）由（t为参数），消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M1M2|的最小值为．[选修4-5不等式选讲]24．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅰ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；（Ⅰ）作差，利用基本不等式证明结论．【解答】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，∴a=3；（Ⅰ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，∵m＞n＞0，∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，∴2m+﹣2n≥3，即2m+≥2n+a．第21页（共21页）。

(全优试卷)河北省武邑高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

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河北武邑中学2016-2017学年下学期高三第四次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则*6,B yN y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知集合(){}lg 1A x y x ==+，{}2B x x =<，则A B =I （ ） A ．()1,2- B ．()0,2 C ．()2,0- D ．()2,1--3．设向量()1,a x x =-r ，()2,4b x x =+-r，则“a b ⊥r r ”是“2x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布()2100,5N ，且()1100.96P ξ<=，则()90100P ξ<<的值为（ ）A ．0.49B ．0.48C ．0.47D ．0.46 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+ 6．设D 为ABC V 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）A ．5166BO AB AC =-+uu u r uuu r uuu r B ．1162BO AB AC =-uu u r uu u r uuu rC ．5166BO AB AC =-uu u r uu u r uuu rD ．1162BO AB AC =-+uu u r uuu r uuu r7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．2016B ．1024C ．12D ．1- 8．已知()00,P x y 是椭圆C ：2214x y +=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅<uuu r uuu r，则0x 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭9．在平行四边形ABCD 中，3AD =uuu r ，5AB =uu u r ，23AE AD =uu u r uuu r ，13BF BC =uu u r uu u r ，3cos 5A =，则EF =uu u r（ ）A ．． D ．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．272B ．27 C．．11．已知点2F ，P 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若22OM OP OF =+u u u r u u u r u u u r，22OF F M =uuu r uuuu r ，且2222c OF F M ⋅=uuu r uuuu r ，则该双曲线的离心率为（ ） A．．32C．．1212．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．2211e ,e e e⎛⎤--+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，则4S = ．14．设0ω>，将函数sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅uuu r uuu r的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）试求当1a 为何值时，数列{}n a 是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n 为何值时，数列400lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取得最大值.18．某种药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为p ，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04.（1）求p 及基地的预期收益；（2）若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由.19．在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，AD AB ==112DC BC ==，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD . （Ⅰ）证明：ED ∥面PAB ；（Ⅱ）若2PC =，PA =A PC D --的余弦值.20．已知圆1F ：()22116x y ++=，定点()21,0F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点. （Ⅰ）求P 点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=-，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值. 21．已知函数()xf x x a =-（0a >，且1a ≠）. （1）当a e =，x 取一切非负实数时，若()212f x b x ≤-，求b 的范围； （2）若函数()f x 存在极大值()g a ，求()g a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程将圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .（1）求出C 的普通方程；（2）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设m ，(){}n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.数学（理）参考答案一、选择题1-5:DABDC 6-10:ADDBD 11、12：DA二、填空题13．180 14．3215．27个 16．[]6,10- 三、解答题17．解：（1）由11n n a S +=+得：当2n ≥时，11n n a S -=+， 两式相减得：12n n a a +=，因为数列{}n a 的是等比数列，所以212a a =， 又因为21111a S a =+=+，所以解得：11a =得：12n n a -=（2）易得数列1400lg 2n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个递减数列， 所以01400400lglg 22>>28400400lg lg 22>>L 94000lg 2>>>L 由此可知当9n =时，数列400lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T 取最大值.18．（1）两天都下雨的概率为()210.04p -=，解得0.8p = 该基地收益X 的可能取值为10，8，5.（单位：万元）则：()100.64P X ==，()820.8P X ==⨯0.20.32⨯=，()50.04P X ==所以该基地收益X 的分布列为：则该基地的预期收益100.64EX =⨯+80.325⨯+0.049.16⨯=（万元） 所以，基地的预期收益为9.16万元（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益：110.86EY =⨯+0.20.59.5⨯-=（万元）此时EY EX >，所以该基地应该外聘工人.19．解：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接AF ，EF . 因为EF 是PBC V 的中位线，所以12EF BC ∥.又12AD BC ∥，所以AD EF ∥，所以四边形ADEF 是平行四边形. 所以DE AF ∥，又DE ⊄面ABP ，AF ⊂面ABP ，所以ED ∥面ABP .（Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则AD MC ∥，所以四边形ADCM 是平行四边形. 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上.所以AB AC ⊥，可得AC =过D 做DG AC ⊥于G ，因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC I 面ABCD AC =， 所以DG ⊥面PAC ，所以DG PC ⊥.过G 做GH PC ⊥于H ，则PC ⊥面GHD ，连接DH ，则PC DH ⊥，所以GHD ∠是二面角A PC D --的平面角.在ADC V 中，12GD =，连接AE ，122GH AE ==.在Rt GDH V 中，2HD =.cos GH GHD HD ∠==，即二面角A PC D --20．解：（Ⅰ）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =. 所以21PF PF +=1PA PF +=1124AF F F =>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以b =故轨迹C 的方程22143x y +=. （Ⅱ）证明：不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，()11,E x y ，()22,H x y .联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22348k x kmx ++24120m +-=，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+.① 由121234EG FH y y k k x x ⋅==-， 得()()1212kx m kx m x x ++=()2212121234k x x km x x m x x +++=-.②由①、②，得222430m k --=.③ 设原点到直线EH的距离为d =，12EH x =-=，4EOH EFGH S S ==四边形V 2EH d ⋅=④由③、④，得EFGH S =四边形EFGH 的面积为定值，且定值为21．解：（1）当a e =时，()xf x x e =-，原题分离参数得212x b x x e ≥+-恒成立，右边求导分析即可，问题背景实际是泰勒展开的前三项.答案：1b ≥ （2）()1ln xf x a a '=-，①当01a <<时，0x a >，ln 0a <，所以()0f x '>，所以()f x 在R 上为单增函数，无极大值；②当1a >时，设方程()0f x '=的根为t ，则有1ln t a a =，即1log ln a t a ==1lnln ln a a，所以()f x 在(),t -∞上为增函数，在(),t +∞上为减函数，所以()f x 的极大值为()t f t t a =-=1ln1ln ln ln a a a -，即()1ln1ln ln ln a g a a a=-，因为1a >，所以10ln a >，令1ln x a =则1ln1ln ln ln a a a-=ln x x x -， 设()ln h x x x x =-，0x >，则()1ln 1ln h x x x x x'=+⋅-=，令()0h x '=，得1x =，所以()h x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()h x 得最小值为()11h =-，即()g a 的最小值为1-，此时a e =.22．解：（1）设()11,x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(),x y ，则有1112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩112cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩Q （θ为参数）2cos sin x y θθ=⎧∴⎨=⎩（θ为参数）2214x y ∴+= （2）2214220x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：20x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩所以()12,0p ，()20,1p ，则线段12p p 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，所求直线的斜率2k =，于是所求直线方程为()1212y x -=-，即4230x y --=. 化为极坐标方程得：4cos 2sin 30ρθρθ--=，即34cos 2sin ρθθ=-23．()3f x x x =+-=32,03,0323,3x x x x x -<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解得23x ≤-或x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U [)8,+∞.（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥.由于()()24m n mn +-+=224m mn n -+-=()()22m n --.且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+.。

2017年河北省衡水市武邑中学高考数学模拟试卷(理科)(1)

2017年河北省衡水市武邑中学高考数学模拟试卷(理科)(1)

2017年河北省衡水市武邑中学高考数学模拟试卷（理科）（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合，N={x|y=log2（2-x）}，则∁R（M∩N）=（）A.[1，2）B.（-∞，1）∪[2，+∞）C.[0，1]D.（-∞，0）∪[2，+∞）【答案】B【解析】解：由题意可得M={x|x-1≥0}={x|x≥1}，N={x|2-x＞0}={x|x＜2}，∴M∩N={x|1≤x＜2}=[1，2），∴∁R（M∩N）=（-∞，1）∪[2，+∞），故选B．求函数的定义域可得M、N，再利用交集的定义求得M∩N，再根据补集的定义求得∁R （M∩N）．本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集，求一个集合的补集，属于基础题．2.设复数z满足（1+i）z=|1-i|（i为虚数单位），则=（）A.1+iB.1-iC.D.【答案】D【解析】解：由（1+i）z=|1-i|，得=，则=．故选：D．由（1+i）z=|1-i|，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[0，1]上单调递增的是（）A.y=cosxB.y=-x2C.D.y=|sinx|【答案】D【解析】解：A．y=cosx是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．B．y=-x2是偶函数，在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．C.是偶函数，当x≥0时=（）x在区间[0，1]上单调递减，不满足条件．D．y=|sinx|是偶函数，在区间[0，1]上单调递增，满足条件．故选：D根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4.的值为（）A. B.π C. D.1【答案】D【解析】解：=-cosx=-cosπ+cos=1．故选：D．根据定积分的定义计算即可．本题考查了定积分的计算问题，是基础题目．5.若变量x，y满足不等式组，且z=3x-y的最大值为7，则实数a的值为（）A.1B.7C.-1D.-7【答案】A【解析】解：作出不等式组所对应可行域，如图，变形目标函数z=3x-y可得y=3x-z，平移直线y=3x可知：当直线经过点A时，直线截距最小值，z取最大值，由解得A（a+2，2）代值可得3a+6-2=7，解得a=1，故选：A．作出可行域，变形目标函数，平移直线可得z的最值，可得a的方程，解方程可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A.144种B.180种C.288种D.360种【答案】C【解析】解：根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C61=6种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C21=2种选法；3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A44=24种安排方法；则这6名同学的站队方法有6×2×24=288种；故选：C．解：根据题意，分3步进行讨论：1、在6个位置中任选一个安排甲，2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用；注意要优先分析受到限制的元素．7.在R t△ABC中，∠A=90°，点D是边BC上的动点，且||=3，||=4，=λ+μ（λ＞0，μ＞0），则当λμ取得最大值时，||的值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】解：将三角形放入坐标系中，则C（0，4），B（3，0），∵=λ+μ（λ＞0，μ＞0），∴λ+μ=1，则1=λ+μ≥2，即λμ≤，当且仅当λ=μ=时取等号，此时=λ+μ=+=（3，0）+（0，4）=（，2）则||==，故选：C根据条件建立坐标系，利用基本不等式的性质进行求解即可．本题主要考查平面向量的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为17，14，则输出的a=（）A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算17，14的最大公约数，由17，14的最大公约数为1，故选：D根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．9.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则该几何体的表面积为（）A.24π+48B.C.48π+48D.【答案】D【解析】解：由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为+=24π+48，∴r=2，∴该几何体的表面积为++++=24π+66+6，故选：D．由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，利用几何体的体积求出r，再求出该几何体的表面积．本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．10.在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为（）A.1-B.1-C.1-D.1-【答案】B【解析】解：若使函数有零点，必须△=（2a）2-4（-b2+π2）≥0，即a2+b2≥π2．在坐标轴上将a，b的取值范围标出，有如图所示当a，b满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．于是概率为1-=1-．故选B．本题考查的知识点是几何概型，我们要求出区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，对应平面区域的面积，再求出满足条件使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π2有零点对应的平面区域的面积，然后代入几何概型公式，即可求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．11.在平面直角坐标系xoy中，双曲线：＞，＞的渐近线与抛物线：＞交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线：＞，＞的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（，0），则k AH=，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（-）=-1，∴e==．故选C．求出A的坐标，可得k AH=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（-）=-1，由此可求C1的离心率．本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．12.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，∞【答案】B【解析】解：由题意可知，在区间[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f （x2）==，∵，∴f （x）=x2-x，∴方程x2-x=在区间（0，m）有两个解．令g（x）=x2-x-，（0＜x＜m）则＞＞＞＞解得＜m＜，∴实数m的取值范围是（，）．故选：B由新定义可知f（x1）=f（x2）=，即方程x2-x=在区间（0，m）有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x-3y=0（x≤0）上，则cosα-sinα= ______ ．【答案】【解析】解：角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线4x-3y=0（x≤0）上，不妨令x=-3，则y=-4，∴r=5，∴cosα==-，sinα==-，则cosα-sinα=-+=，故答案为：．利用任意角的三角函数的定义，求得cosα和sinα的值，可得cosα-sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.（-）8的展开式中x2的系数为______ ．（用数字作答）【答案】70【解析】解：T r+1==（-1）r，令8-=2，解得r=4，∴展开式中x2的系数==70．故答案为：70．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3-a22）+（a2a4-a32）+（a3a5-a42）+…+（a2015a2017-a20162）= ______ ．【答案】1【解析】解：a1a3-a22=1×2-1=1，a2a4-a32=1×3-22=-1，a3a5-a42=2×5-32=1，…a2015a2017-a20162=1∴（a1a3-a22）+（a2a4-a32）+（a3a5-a42）+…+（a2015a2017-a20162）=1+（-1）+1+（-1）+…+1=1．故答案为1．先计算前3项的和即可发现规律，使用归纳法得出结论．本题考查了归纳推理，寻找每项的变化规律是关键点．16.已知．①当a=1时，f（x）=3，则x= ______ ；②当a≤-1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ______ ．【答案】4；【解析】解：①x≥1，x-=3，可得x=4；x＜1，2-（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x-=3，求得x=-1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=-1，x3=4，x1=-6，∴a≤-1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为-6，再根据f（-6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤-1．故答案为4，．①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=-1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤-1，f（-6）=3，由此求得a的值．本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题(本大题共2小题，共24.0分)17.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足2S n=（n+1）a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=3n-λa n2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．【答案】解：（1）∵2S n=（n+1）a n，∴2S n+1=（n+2）a n+1，两式相减可得2a n+1=（n+2）a n+1-（n+1）a n，即na n+1=（n+1）a n，∴，∴，∴a n=n（n∈N*）．（2），.-（3n-λn2）=2•3n-λ（2n+1）．∵数列{b n}为递增数列，∴2•3n-λ（2n+1）＞0，即＜．令，则＞．∴{c n}为递增数列，∴λ＜c1=2，即λ的取值范围为（-∞，2）．【解析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，将n换为n+1，两式相减可得na n+1=（n+1）a n，整理变形，即可得到所求通项公式；（2）数列{b n}为递增数列，作差可得2•3n-λ（2n+1）＞0，运用参数分离，构造，判断单调性，即可所求范围．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算和变形能力，属于中档题．18.某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【答案】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴＞；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60-20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出＞；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．四、填空题(本大题共1小题，共12.0分)19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【答案】证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC 所以BD⊥平面PAC．…4分解：（Ⅱ）设AC∩BD=O．因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）．所以=（1，，-2），=（0，2，0）．设PB与AC所成角为θ，则cosθ===．…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知=（-1，，0）．设P（0，-，t）（t＞0），则=（-1，-，t）．设平面PBC的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．所以令y=，则x=3，z=，所以m==（3，，）．同理，可求得平面PDC的法向量=（3，-，）．因为平面PBC⊥平面PDC，所以•=0，即-6+=0．解得t=．所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA=．…12分【解析】（Ⅰ）根据菱形的性质可得AC⊥BD，根据线面垂直的性质可得PA⊥BD，综合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出PB与AC的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．（Ⅲ）分别求出平面PBC与平面PDC的方向向量，根据平面垂直则其法向量也垂直，构造方程，求出参数值，可得PA的长．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系将直线与平面的位置关系问题，转化为向量问题是解答的关键．五、解答题(本大题共4小题，共46.0分)20.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段中点M（x0，y0），则，整理得：x2+2mx+2m2-2=0，由△=（2m）2-4（2m2-2）=8-4m2＞0，解得：-＜m＜，则x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，则M（-m，m），丨AC丨=•=•=由l与x轴的交点N（-2m，0），则丨MN丨==，∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，∴B，N两点间距离是否为定值．【解析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，即可求得B，N两点间距离是否为定值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．21.设函数f（x）=ln（x-1）+ax2+x+1，g（x）=（x-1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围；（Ⅲ）证明f（x）≤g（x）【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（1，+∞），．当a=1时，f'（2）=4a+2=6，f（2）=4a+3=7．所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-7=6（x-2）．即y=6x-5．…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（e x+2a）．①当a=0时，函数g（x）=（x-1）e x只有一个零点；②当a＞0，因为e x+2a＞0，当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．所以函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=-1，g（1）=a，因为x＜0，所以x-1＜0，e x＜1，所以e x（x-1）＞x-1，所以g（x）＞ax2+x-1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以g（0）g（1）＜0，g（x0）g（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由g'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（-2a）．ⅰ）当＜，则ln（-2a）＞0．当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：ⅱ）当，则ln（-2a）=0，g（x）在（-∞，+∞）单调递增，函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．若＞，则ln（-2a）≤0．当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：注意到当x＜0，a＜0时，g（x）=（x-1）e2＜0，g（0）=-1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．综上，a的取值范围是（0，+∞）．…（9分）（Ⅲ）证明：g（x）-f（x）=（x-1）e x-ln（x-1）-x-1．设h（x）=（x-1）e x-ln（x-1）-x-1，其定义域为（1，+∞），则证明h（x）≥0即可．因为，取，则＜，且h'（2）＞0．又因为＞，所以函数h'（x）在（1，+∞）上单增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（1，2），且．当1＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0-x0-1=0．所以f（x）≤g（x）．…（14分）【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f （2）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可；（Ⅲ）设h（x）=（x-1）e x-ln（x-1）-x-1，其定义域为（1，+∞），只需证明h（x）≥0即可，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22.在直角坐标系x O y中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ-）=3．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（a为参数），普通方程为=1，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ-）=3，即ρcosθ+ρsinθ-6=0，直角坐标方程为x+y-6=0；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y-6=0距离，即=|sin（α+）-3|，当且仅当α=2kπ+（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，此时P（，）．【解析】（1）利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设P（cosα，sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y-6=0距离，利用三角函数知识即可求解．本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．23.已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．（1）求m的最大值；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．【答案】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）-（x+m）|=|m-3|．当-3≤x≤-m或-m≤x≤-3时取等号，令|m-3|≥2m所以m-3≥2m或m-3≤-2m．解得m≤-3或m≤1∴m的最大值为1．（2）∵a+b+c=1．由柯西不等式，≥（a+b+c）2=1，∴，等号当且仅当2a=3b=4c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当，，时，2a2+3b2+4c2的最小值为．【解析】（1）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R，求出m 的范围，即可得出结论；（2）利用柯西不等式，可得2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．本题给出等式a+b+c=1，求式子2a2+3b2+4c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．。

河北省武邑中学高三数学下学期周考试题理(2.12,扫描版)

河北省武邑中学高三数学下学期周考试题理(2.12,扫描版)

河北省武邑中学2017届高三数学下学期周考试题理（2。

12，扫描版)
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河北省武邑中学2017届高三上学期第四次调研数学(理)试题 Word版含答案

河北省武邑中学2017届高三上学期第四次调研数学(理)试题 Word版含答案

数学试题（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上． 1.设集合{}M=1x x <，{}2,x N y y x M ==∈，则集合()R C M N 等于（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞2.已知复数()41biz b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a ，3a ，4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4.函数23y x =的图象大致形状是（ ）A B C D ．5.若抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则MFO ∆的面积为（ ） ABC ．12D ．146.已知命题:p x R ∃∈，31cos 210x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若()p q ⌝∧是假命题，则命题q 可以是（ ）A ．若20m -≤<，则函数()2f x x mx =-+区间()4,1--上单调递增B ．“14x ≤≤”是“5log 1x ≤”的充分不必要条件C ．3x π=是函数()cos2f x x x =图象的一条对称轴D ．若1,62a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则函数()21ln 2f x x a x =-在区间()1,3上有极值 7.以(),1a 为圆心，且与两条直线240x y -+=及260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ） A ．()2215x y +-= B ．()()22115x y +++= C ．()2215x y -+=D ．()()22115x y -+-=8.向量()cos25,sin25a =︒︒，()sin20,cos20b =︒︒，若t 是实数，且u a tb =+，则u的最小值为（ ） AB ．1CD ．129.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1+B．()1++∞ C ．()1,3D ．()3,+∞10.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．94D ．312.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()'2f x <，则不()()11ln 223x f x x e x ++-+->+的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()1,-+∞C ．()1,2-D ．()2,+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13.已知()1201x m dx +=⎰，则函数()()2log 2m f x x x =-的单调递减区间是______.14.已知()2cos2sin 2sin 15a a a +-=，,2a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 15.已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形及一条对角线，根据图中所给的数据，该棱锥外接球的体积是_____.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b==>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ．若60PAQ ∠=︒，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为＿＿＿＿．三、解答题 ：大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-⋅,又数列{}n b 满足:n n a b n ⋅=． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围．18.（本小题满分12分在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()cos sin sin cos 0A B c A A C +-+=，b =(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若ABC ∆，求sin sin A C +的值． 19.（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆'O 的直径，FB 是圆台的一条母线．(Ⅰ)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点， 求证：//GH 平面ABC ；(Ⅱ)已知12EF FB AC ===AB BC =， 求二面角F BC A --的余弦值20.（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x x a x ==．(Ⅰ)若函数()f x 的图像在()()1,1f 处的切线不过第四象限且不过原点，求a 的取值范围；(Ⅱ)设()()2g x f x x =+，若()g x 在[]1,e 上不单调且仅在x e =处取得最大值，求a 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =,以上顶点和右焦点为直径墙点的圆与直线20x y +-=相切． (Ⅰ求椭圆的标准方程；(Ⅱ)对于直线:l y x m =+和点()0,3Q ,是否椭圆C 上存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称,且332QA QB ⋅=,若存在实数m 的值,若不存在,说明理由． 22.（本小题满分12分）()()21ln 2a f x x a x x =-+-+． (Ⅰ)若12a =-,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)若1a >,求证:()()3213a a f x e --<河北武邑中学2016—2017学年高三年级第四次调研考试数学试题（理科）答案一、选择题:CBABB DDCAA BA二、填空题: 13.(]0,1; 14.17． 17.解：(Ⅰ)由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；………………1分 当2n ≥时，()()11112222n n n n n n a S S n n n ---=-=-⋅--⋅=⋅；故数列{}n a 的通项公式为()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩………………4分则()112111122111212nn n n b q b b q --⎛⎫++===- ⎪-⎝⎭-…+b ………………8分 而1212n⎛⎫-⎪⎝⎭是单调递增的，故[)121211,22n n b b ⎛⎫++=-∈ ⎪⎝⎭…+b ………………10分 18.解：(Ⅰ)由()()cos sin sin cos 0A B c A A C +-+=， 得()cos sin sin cos 0A B c A B --=，………………1分 即()sin cos A B c B +=，sin cos C c B =，sin cos CB c=，………………3分 因为sin sin C B c b =cos B =，即tan B =，3B π=.………………6分 (Ⅱ)由1sin 2S ac B ==2ac =，………………8分由b =()2222222cos 3a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-， 所以3a c +=………………10分 所以()sin 3sin sin 2B AC a c b +=+=………………12分19. 解：(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结GM ，HM ，//GM EF 、EF 在上底面内，GM 不在上底面内，//GM ∴上底面，………………2分//GM ∴平面ABC ，又MH//BC ，BC ⊂平面ABC ，MH ⊄平面ABC ， H //M ∴平面ABC ，………………4分所以平面GHM//平面ABC ，由CH ⊂平面GHM ，GH//∴平面ABC ．………………5分(Ⅱ)连结OB ，AB BC = ，OA OB ⊥，………………6分以O 为原点，分别以OA ，OB ，'OO 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，12EF FB AC === AB BC =，'3OO =， 于是有()A ，()C -，()B ，()F ，可得平面FBC 中的向量()BF =，()CB =，于是得平面FBC 的一个法向量()1n =，………………9分又平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =………………10分设二面角F BC A --为θ，则1212cos n n n n θ⋅==⋅ 二面角F BC A --………………12分20. 解：(Ⅰ)()'a f x x x=-，()'11f a =-，()112f =………………2分 所以函数()f x 图像在()()1,1f 的切线方程为()()1112y a x -=--，即()112y a x a =-+-，……………3分由题意知10a -≥，102a ->，a 的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦，………………5分(Ⅱ)()()2'220a x x ag x x x x x+-=-+=>，………………6分设()()220h x x x a x =+->，若()g x 在[]1,e 上不单调，则()()10h h e <，………………7分()()2320a e e a -+-<，232a e e ∴<<+，………………9分同时()g x 仅在x e =处取得最大值，所以只要()()1g e g >.即可得出：253,222e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭………………11分则a 的范围：253,222e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭………………12分21. 解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e =得2222212c c a b c ==+，得b c =………………1分上顶点为()0,b ，右焦点为(),0b ，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为22222222b b a b x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=，2b b -=，1b c ==，a =3分 椭圆的标准方程为2212x y +=………………4分(Ⅱ)由题意设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为：y x n =-+.联立2212y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理可得：2234220x nx n -+-=，………………5分 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n <<6分1243n x x +=，212223n x x -=， 设直线AB 之中点为()00,P x y ，则120223x x nx +==，………………7分 由点P 在直线AB 上得：0233n ny n =-+=，又点P 在直线l 上，233nnm =+，所以3n m ⎛=-∈ ⎝⎭……①………………9分 又()11,3QA x y =-，()22,3QB x y =-，()()11223232,3,333QA QB x y x y ∴⋅-=-⋅--()()()()221212323323963331102x x y y n n m m m m =+---=--=+-=-+= 解得：13m =或1m =-……②………………11分 综合①②，m 的值为13.………………12分 22. 解：(Ⅰ)()213ln 42f x x x x =-+，0x >，则()()()2'211313222x x x x f x x x x x---+=-+==，………………1分 ()'0f x >的解集为()0,1，()2,+∞：()'0f x <的解集为()1,2，………………2分∴函数()f x 的单调递增区间为：()0,1，()2,+∞，函数()f x 的单调递增区间为：()1,2：………………4分 (Ⅱ)证明：1a > ，故由()()()'11ax x f x x-+-=可知，在()0,1上()'0f x >，函数()f x 单调递增，在()()'1,0f x +∞<，()f x 单调递减，()f x ∴在1x =时取极大值，并且也是最大值，即()max 112f x a =-………………7分又210a -> ，()()()1212112a f x a a ⎛⎫∴-≤-- ⎪⎝⎭，………………8分设()()312112a a a g a e -⎛⎫--⎪⎝⎭=，()()()()2'3329712722e a a a a a g a e e ---+--=-=-， (9)分()g a ∴的单调增区间为72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴()1236742g a g e ⨯⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，………………10分3>，933<=，()3g a ∴<，30a e ->， ()()3213a a f x e -∴-<………………12分。

2017届河北衡水武邑中学高三数学(理)一模试题和答案详细解析

2017届河北衡水武邑中学高三数学(理)一模试题和答案详细解析

2017届河北衡水武邑中学高三数学（理）一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．123．在等差数列{an }中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B． C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．35 D．556．若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（）A．[2，3] B．（2，3] C．[2，3）D．（2，3）7．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）A．B．64﹣16πC．D．9．如图：M（xM ，yM），N（xN，yN）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|xN﹣xM|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．20 C．﹣540 D．54011．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8] D．[8，12]12．设函数f （x ）在R 上存在导数f′（x ），∀x ∈R ，有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，在（0，+∞）上f′（x ）＜x ，若f （4﹣m ）﹣f （m ）≥8﹣4m ．则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣2，2] B ．[2，+∞） C ．[0，+∞） D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为 ．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD'上运动，则异面直线CP 与BA'所成的角θ的取值范围是 ．15．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =，则循环小数0. 的分数形式是 ．16．对于定义在D 上的函数f （x ），若存在距离为d 的两条直线y=kx+m 1和y=kx+m 2，使得对任意x ∈D 都有kx+m 1≤f （x ）≤kx+m 2恒成立，则称函数f （x ）（x ∈D ）有一个宽度为d 的通道．给出下列函数： ①f （x ）=； ②f （x ）=sinx ； ③f （x ）=；④f （x ）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有 （写出所有正确的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．18．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为，点P是椭圆C1上的任意一点，点Q满足，．（1）求椭圆C1的方程；（2）求点Q的轨迹方程；（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，B；再由A⊆B可求得实数k的取值范围．【解答】解：B={x|＜1}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），A={x|x≥k}=[k，+∞），又∵A⊆B，∴k＞2；故选C．2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．【解答】解：复数z===．由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故选：A．3．在等差数列{an }中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B． C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an }的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=1，a8=2a6+a4，∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d联立解得a1=，d=﹣，∴a5=a1+4d=+4（﹣）=故选：B4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选A．5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．35 D．55【考点】计数原理的应用．【分析】6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，青岛安排3人，济南安排3人或青岛安排4人，济南安排2人，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，3=20种，第一类，青岛安排3人，济南安排3人，有C64=15种，第二类，青岛安排4人，济南安排2人，有C6根据分类计数原理可得20+5=35种．故选：C．6．若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（）A．[2，3] B．（2，3] C．[2，3）D．（2，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式|x﹣t|＜1的解集，再根据充分条件的定义，建立关于t 的不等式组，解之从而确定t的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣t|＜1，则t﹣1＜x＜t+1，∵不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，∴，解得2≤t≤3故选：A7．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=∴满足y≥x2﹣1的概率是=．故选：D．8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）A．B．64﹣16πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，分别求出体积，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，由正方体的棱长为4，故正方体的体积为：4×4×4=64，圆锥的体积为：2×=，故这个几何体的体积为64﹣，故选：C．9．如图：M（xM ，yM），N（xN，yN）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|xN﹣xM|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN ﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN ﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合，故选：C．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．20 C．﹣540 D．540【考点】程序框图．【分析】首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．【解答】解：根据程序框图，得初始值：a=1，b=1，第一次循环：b=3，a=2第二次循环：b=5，a=3，第三次循环：b=7，a=4第四次循环：b=9，a=5，∵a=5＞4，跳出循环，输出b=9，∴二项式（﹣）6的可以化为：，=Tr+1=36﹣r（﹣1）r•x3﹣r令3﹣r=0，得r=3，∴展开式中的常数项是33••（﹣1）3=﹣540，故选：C．11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8] D．[8，12]【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA +2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB ﹣xA）+4=6+xB，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA +2+（xB﹣xA）+4=6+xB，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴xB∈（2，6）∴6+xB∈（8，12）故选B．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件，可得出在方向上的投影为，从而求出投影的值．【解答】解：根据条件，在方向上的投影为：．故答案为：．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是 ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由A'B ∥D'C ，得CP 与A'B 成角可化为CP 与D'C 成角，由此能求出异面直线CP 与BA′所成的角θ的取值范围． 【解答】解：∵A'B ∥D'C ，∴CP 与A'B 成角可化为CP 与D 1C 成角． ∵△AD'C 是正三角形可知当P 与A 重合时成角为，∵P 不能与D'重合因为此时D'C 与A'B 平行而不是异面直线， ∴．故答案为：．15．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =，则循环小数0. 的分数形式是．【考点】数列的极限． 【分析】利用S=S n =，即可求出循环小数0. 的分数形式．【解答】解：0. = + +…+==，故答案为：．16．对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有①③④（写出所有正确的序号）．【考点】函数恒成立问题．【分析】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．【解答】解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[﹣1，1]，满足﹣1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2﹣y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x﹣1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．故答案为①③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．【考点】简单线性规划；二倍角的余弦．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC的长；（2）利用三角形的面积相等用x，y表示d，然后利用线性规划知识求得d的取值范围．【解答】解：（1）∵cos2A+2sin2=1，∴1﹣2sin2A+2sin2=1，∴sinA=，即A=，∴3A=π，A=．由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=22+12﹣2×2×1×cos=3，∴BC=；（2）由（1）知，△ABC为以C为直角的直角三角形，如图，设P到AB的距离为m，由等积法可得：，得．∴，化目标函数为，由题意得：d在P与C点重合时最小，为；当直线过点B（0，）时d有最大值为．∴d的取值范围为[]．18．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）众数：8.6；中位数：．（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．即可得出．【解答】解：（1）众数：8.6；中位数： =8.75．（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+=．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．∴E（ξ）==0.75．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP 两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y，z），，由，，得到，令x0=1，可得y=z=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）∴cos＜，由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．20．已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为，点P是椭圆C1上的任意一点，点Q满足，．（1）求椭圆C1的方程；（2）求点Q的轨迹方程；（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用双曲线的标准方程及其性质与椭圆的定义、标准方程及其性质即可得出．（2）利用椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、数量积运算性质可得点P坐标，代入椭圆C1方程即可得出．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．利用基本不等式的性质可得最大值．再与椭圆的标准方程联立即可得出．【解答】解：（1）∵双曲线的顶点为，，∴椭圆C1两焦点分别为，．设椭圆C1方程为，∵椭圆C1过点，∴2a=|AF1|+|AF2|=4，得a=2．∴．∴椭圆C1的方程为．（2）设点Q（x，y），点P（x1，y1），由及椭圆C1关于原点对称可得，∴，，，．由，得，即．①同理，由，得．②①×②得．③由于点P在椭圆C1上，则，得，代入③式得．当时，有2x2+y2=5，当，则点或，此时点Q对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程2x2+y2=5，∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．而（当且仅当时等号成立），∴．当且仅当时，等号成立．由解得或，∴△ABQ的面积最大值为，此时，点Q的坐标为或．21．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定义域解得x＞﹣2，f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增，故f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1，没有极大值．（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）=﹣=由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+ =ln[（1﹣2a）2]+﹣2设t=2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，g′（t）=﹣=＜0g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）证明：当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，即有1＞ln2，2＞ln3，3＞ln4，…，n﹣1＞lnn，即有1+2+3+…+（n﹣1）＞ln2+ln3+ln4+…+lnn=ln（2×3×4×…×n）=ln（n!），则＞ln（n!），故e＞n!（n≥2，n∈N）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质证出∠BDE=∠BCA且∠DBE=∠CBA，可得△BDE∽△BCA，从而得到AB：AC=BE：DE，结合AB=2AC、AD=DE可得BE=2AD；（II）根据切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，代入数据得到关于AD的方程，解之可得AD=．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ACED为圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，则．∵AB=2AC，∴BE=2DE，结合AD=DE，可得BE=2AD．（II）根据题意，AB=2AC=4，由切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•4，可得（4﹣AD）•4=2AD•4，解得AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；（Ⅱ）由（t为参数），消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M1M2|的最小值为．[选修4-5不等式选讲]24．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．【解答】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，∴a=3；（Ⅱ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，∵m＞n＞0，∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，∴2m+﹣2n≥3，即2m+≥2n+a．。

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河北省武邑中学2017届高三下学期第四次模拟考试理科数学
一、选择题：共12小题
1. 集合，则中元素的个数为
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 已知集合，，则
A. B. C. D.
3. 设向量，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为
A. 0.49
B. 0.48
C. 0.47
D. 0.46
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
......
A. B. C. D.
6. 设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则
A. B.
C. D.
7. 执行如图的程序框图，则输出的值是
A. 2016
B. 1024
C.
D.
8. 已知是椭圆：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
9. 在平行四边形中，，，，，，则
A. B. C. D.
10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. B. 27 C. D.
11. 已知点，分别为双曲线，)的右焦点与右支上的一点，为坐标原点，若
，，且，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12. 设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：共4题
13. 已知正项等比数列中，，其前项和为)，且，则_________.
14. 设，将函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是
_________.
15. 设，，，若以，，为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有_________个.
16. 直线与圆：相交于两点、.若，为圆上任意一点，
则的取值范围是_________.
三、解答题：共7题
17. 已知数列的前项和为，且对一切正整数恒成立.
(1)试求当为何值时，数列是等比数列，并求出它的通项公式；
(2)在(1)的条件下，当为何值时，数列的前项和取得最大值.
18. 某种药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材的收益，若基地收益如下表所示：已知下周一和下周二无雨的概率相同且为，两天是否下雨互不影响，若两天都下雨的概率为0.04.
(1)求及基地的预期收益；
(2)若该基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，若周一无雨时收益为11万元，有雨时收益为6万元，且额外聘请工人的成本为5000元，问该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由.
19. 在四棱锥中，，，是的中点，面面
(Ⅰ)证明：面；
(Ⅱ)若，，求二面角的余弦值.
20. 已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径
于点.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)四边形的四个顶点都在曲线上，且对角线，过原点，若，求证：四边
形的面积为定值，并求出此定值.
21. 已知函数，且).
(1)当，取一切非负实数时，若，求的范围；
(2)若函数存在极大值，求的最小值.
22. 将圆为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线
(1)求出的普通方程；
(2)设直线：与的交点为，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
23. 已知函数.
(1)解关于的不等式；
(2)设，，试比较与的大小.。

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