实验四-离散LTI系统的时域和z域分析

实验四离散LTI 系统的时域和z 域分析
【实验目的】
1. 掌握利用MATLAB 计算离散系统响应的数值方法，包括冲激响应、全响应等。

2. 掌握离散信号z 变换和逆z 变换的MATLAB 实现方法；
3. 掌握离散系统的系统函数零极点分布与系统频率特性分析的MATLAB 实现方法。

【实验原理】
1..单位序列δ(k)
单位序列的定义：
下面为绘制δ(k-k0)波形图的子程序：
function impseq(k1,k2,k0)
k=k1:k2; %k1,k2 为时间序列的起始及终止时间序号
fk=[(k-k0)==0]; %k0 为单位序列在时间轴上的位移量
stem(k,fk)
axis([k1,k2,0,1.1])
xlabel('k')
title('单位序列')
输入命令impseq(-1,5,3)，则可获得单位序列δ(k-3)的波形图，如图1 所示。

2..单位阶跃序列ε(k)
单位阶跃序列的定义：
下面为绘制ε(k-k0)波形图的MATLAB 子程序。

function stepseq(k1,k2,k0)
k=k1:k2; %k1,k2 为时间序列的起始及终止时间序号
fk=[(k-k0)>=0]; %k0 为阶跃序列在时间轴上的位移量
stem(k,fk)
axis([k1,k2,0,1.1])
xlabel('k')
title('单位阶跃序列')
运行如命令stepseq(-1,10,3)，则可获得单位阶跃序列ε(k-3)的波形图，如图2 所示。

3..离散系统的时域响应
利用MATLAB 分析离散系统时域响应的常用函数是：
计算系统单位序列响应的函数：impz(b,a)；
计算系统全响应的函数：filter(b,a,x,zi)；
其中，a、b 分别为系统差分方程左端和右端各阶差分项的系数；x 为输入；zi 为系统的初始值。

注意，zi 并不是y(-1)，y(-2)，其推导如下。

设输入f(k)=0，二阶差分方程为
对上式进行z 变换，有
零输入响应：
有，可由函数filtic求得，其调用格式为filtic(b,a,y0,x0)
其中，y0 为y(k)的初始值；x0 为f(k)的初始值。

若令x 为零向量，则利用函数filter()可得零输入响应；若令zi=filtic(b,a,0)，代入函数filter()可得到零状态响应。

4..离散信号的z 变换和逆z 变换
序列f(k) (k 为整数)的双边z 变换定义为
MATLAB的符号数学工具箱(Symbolic Math Tools)提供了计算z 正变换的函数ztrans 和计算逆z 变换的函数iztrans。

其调用形式为：
F=ztrans(f) %求符号函数f 的z 变换，返回函数的自变量为z；
F=ztrans(f,w) %求符号函数f 的z 变换，返回函数的自变量为w；
F=ztrans(f,k,w) %对自变量为k 的符号函数f 求z 变换，返回函数的自变量为w。

f=iztrans(F) %对自变量为z 的符号函数F 求逆z 变换，返回函数的自变量为n；
f=iztrans(F,k) %对自变量为z 的符号函数F 求逆z 变换，返回函数的自变量为k；
f=iztrans(F,w,k) %对自变量为w 的符号函数F求逆z变换,返回函数的自变量为k。

5..离散系统的零极点分析
MATLAB 的zplane 函数用于系统函数的零极点图的绘制,调用方式为：
zplane(b,a)
其中，b、a 分别为系统函数分子、分母多项式的系数向量。

在MATLAB 中，可以借助函数tf2zp 来直接得到系统函数的零点和极点的值，
函数tf2zp的作用是将H(z)转换为用零点、极点和增益常数组成的表示式，即：
tf2zp 函数的调用形式如下：
[z,p,C]=tf2zp(b,a)
6..离散系统的频率响应分析
若离散系统是稳定的，其系统函数的收敛域应包含单位圆，离散系统的频率响应即为单位圆上（z = 1）的系统函数，即
其中，为系统的幅频特性，ϕ(ω)为系统的相频特性。

在MATLAB 中，利用freqz( )函数可方便地求得系统的频率响应。

调用格式如下：
freqz(b，a)
该调用方式将绘制系统在0~π范围内的幅频特性和相频特性图，其中，b、a 分别为系统函数分子、分母多项式的系数向量。

freqz(b，a，’whole’)
该调用方式将绘制系统在0~2π范围内的幅频特性和相频特性图。

freqz(b，a，N)
该调用方式将绘制系统在0~π范围内N 个频率等分点的幅频特性和相频特性图，N 的缺省值为512；
freqz(b，a，N，’whole’)
该调用方式将绘制系统在0~2π范围内N 个频率等分点的幅频特性和相频特性图。

此外，还有如下相类似的四种调用形式。

其中，返回向量H 包含了离散系统频率
响应H(e jω)在0~π（或0~2π）范围内各频率点处的值，返回向量w则包含了在
0~π（或0~2π）范围内N 个（或512 个）频率等分点。

利用这些调用方式MATLAB
并不直接绘制系统的频率特性图，但可由向量H、w 用abs、angle、plot 等函数
来绘制幅频特性和相频特性图。

[H，w]= freqz(b，a)
[H，w]=freqz(b，a，’whole’)
[H，w]=freqz(b，a，N)
[H，w]=freqz(b，a，N，’whole’)
【实验内容】
1.已知因果系统的系统函数为
利用MATLAB：(1)画出单位序列响应的波形；
(2)画出幅频响应和相频响应特性曲线。

2.已知一离散因果系统的系统函数为：
利用MATLAB，(1)画出系统零极点分布图，并判断系统是否稳定(2)画出幅频响
应和相频响应特性曲线。

3.已知系统的差分方程为
y(k) + 0.4y(k −1) −0.12y(k −2) = f (k) + 2 f (k −1)（1）输入f (k) =ε(k)，初始条件y(−1) =1, y(−2) = 2，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应波形图（选取k=0:15）。

（2）输入，重新计算（1）。

【实验结果及分析】
1. b=[1 0 0];
a=[1 -0.75 0.125];
k1=0;k2=30;k=k1:k2;
N=length(k);
f=ones(1,N);
figure(1);
yim=impz(b,a);
stem(yim),xlabel('k'),title('单位序列响应')
k
b=[1 0 0];
a=[1 -0.75 0.125];
freqz(b,a,'whole')
2. a=[1 2 1];
b=[1 -0.5 -0.005 0.3]; zplane(b,a) %绘制零极点图
3． b=[0 0 2];
a=[1 0.4 -0.12]; k1=0;k2=15;k=k1:k2;
00.20.4
0.60.81 1.2 1.4 1.6 1.82
Normalized Frequency (⨯π rad/sample)
P h a s e (d e g r e e s )
Normalized Frequency (⨯π rad/sample)
M a g n i t u d e (d B )
Real Part
I m a g i n a r y P a r t
N=length(k);
f=ones(1,N);
zi=filtic(b,a,[1 2]);
y=filter(b,a,f,zi);
figure(1);
stem(k,y),xlabel('k'),title('全响应') figure(2);
yim=impz(b,a);
stem(yim),xlabel('k'),title('单位序列响应')。