第6章 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第六章 第二讲A 组 基础巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为导学号 25401405( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[答案] B[解析] 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0.即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |＜1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的导学号 25401406( )[答案] C[解析] |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |＜1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．3．(2015·福建)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于导学号 25401407( )A ．－52B.－2 C ．－32D ．2[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数z ＝2x －y 过点A (－1，12)时，z ＝2x －y 取得最小值，且z min ＝2×(－1)－12＝－52.故选A.4．(2015·四川郫县一中第一学期第三次教学质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为导学号 25401408( )A ．2 B.1 C ．－13D ．－12[答案] C[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0表示的区域如图，由图可知，当M 取得点A (3，－1)时，直线OM 斜率取得最小值，最小值为k ＝－13＝－13，故选C.5．(2015·北京朝阳第一学期期初联考)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝导学号 25401409( )A.14 B.12 C ．1 D ．2[答案] B[解析] 如图所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A 点时，z 取最小值，于是把(1，－2a )代入，有1＝2×1＋(－2a )，所以a ＝12.6．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为导学号 25401410( )A.12万元 C ．17万元 D ．18万元[答案] D[解析] 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋2y ≤12x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.二、填空题7．(2015·北京)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________.导学号 25401411[答案] 7[解析] 由题意，目标函数z ＝2x ＋3y 的可行域为△ABC 边界及其内部(如图所示)．令z ＝0，即2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0至目标函数的可行域内，可知当2x ＋3y ＝z 过点A (2,1)时，z 取得最大值，即z max ＝2×2＋3×1＝7.8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ＋2≥0，x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为________，z 的最大值为________.导学号 25401412[答案]252，5 [解析] 图像的三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2,3)，所以面积为252.因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y ，得x ＝2，y ＝3时有z max＝5.9．(2015·黑龙江哈师大附中期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2，若z ＝x 2＋y 2，则z的最大值为________.导学号 25401413[答案] 13[解析] 画出可行域如图，z ＝x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)2表示可行域内的点(x ，y )和原点(0,0)距离的平方，可知点B (2,3)是最优解，z max ＝13.10．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________.导学号 25401414[答案] (1，＋∞)[解析] 作出可行域，可行域为三条直线所围成的区域，则它的最大值在三条直线的交点处取得，三个交点分别为(1,3)，(7,9)，(3,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞9－7a ，3－a ＞1－3a .所以a ＞1.三、解答题11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，导学号 25401415(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． [答案] (1)25 (2)[2,29] (3)[16,64][解析] 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，故z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 则2≤x ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8， 则16≤z ≤64.12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.导学号 25401416(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[答案] (1)ω＝2x ＋3y ＋300 (2)卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个利润最大为550元 [解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．B 组 能力提升1．(2015·安徽六安中学调研)已知双曲线x 2－y 2＝4的两条渐近线与直线x ＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是导学号 25401417( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3B.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3D ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3[答案] A[解析] 双曲线x 2－y 2＝4的两条渐近线方程为y ＝±x ，与直线x ＝3围成一个三角形区域时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3，故选A.2．(改编题)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤3，4x －y ≥－6，则z ＝2x4y 的取值范围为导学号 25401418( )A ．[132，4]B.[116，8] C ．[4,32] D ．[8,16][答案] A[分析] 作出不等式组所表示的平面区域→对所求目标函数进行转化，确定最大、最小值点→列出方程组求得相应的坐标，代入所求即可求得结论[解析] 如图所示，作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤3，4x －y ≥－6确定的可行域，因为z ＝2x 4y ＝2x －2y ，设t＝x －2y ，则当直线x －2y －t ＝0过点C 时，取得最小值，当直线x －2y －t ＝0过点B 时，取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0，4x －y ＋6＝0，解得C (－1,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，4x －y ＋6＝0，解得B (－2，－2)． 所以t 的最小值为－1－2×2＝－5，最大值为－2－2×(－2)＝2.故t ∈[－5,2]． 所以z ＝2x 4y ＝2x －2y 的取值范围为[132，4]．3．(2015·辽宁葫芦岛统考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x的取值范围是导学号 25401419( )A ．[0,1－2lg2] B.[1，52]C ．[12，lg2]D ．[－lg2,1－2lg2][答案] A[解析] 如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8表示的可行域．lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1x ，显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率．由图可知，点P 与点B 重合时，t 取得最小值，点P 与点C 重合时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即B (3,2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即C (2,4)． 故t 的最小值为k BE ＝2－(－1)3＝1，t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝52，所以t ∈[1，52]．又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 52]，即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 52]．而lg 52＝1－2lg2，所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg2]．故选A. 4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z＝x ＋my 取得最小值，求m 的值.导学号 25401420[答案] 1[分析] 作出可行域→对参数m 进行分类讨论→数形结合得到满足题意的m 的值[解析] 作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m ＞0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m ＞0，则－1m ＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.[点拨] 最优解有无穷多个，往往是指目标函数取得最值时所表示的直线与可行域中的一条直线重合．据此，本题也可以让目标函数所表示的直线与可行域中的每条边界直线重合，从而求解，利用这种方法求解时，切记要检验．5．(2015·湖北武汉汉水中学模拟)某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？导学号 25401421[答案] 甲台100分钟，乙台200分钟，最大收益70万元[解析] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为x 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图所示． 作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)＝70(万元)．故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．。