相遇、追及问题精讲精练

v1 v2 ）做匀速运动，司机立即以加速度 a 紧急刹车，要使两车不相撞， a 应满足什么条件？
3．A、B 两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B 车在前，车速 v2=10m/s，A 车在后，车速 72km/h，当 A、 B 相距 100m 时，A 车用恒定的加速度 a 减速。求 a 为何值时，A 车与 B 车相遇时不相撞。
2.速度大者追速度小者 匀减速追匀速 开始追及时， 后面物体与前面物体间 的距离在减小，当两物体速度相等时，即 t=t0 时刻： ①若Δ x=x0,则恰能追及，两物体只 能相遇一次， 这也是避免相撞的临界条件 ②若Δ x<x0,则不能追及，此时两物 体最小距离为 x0-Δ x ③若Δ x>x0,则相遇两次，设 t1 时刻Δ x1=x0,两物体第一次相遇 ，则 t2 时刻两 物体第二次相遇
考点 2 相遇问题
相遇问题的分析思路： 相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同． （1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系． (2)利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系． (3)寻找问题中隐含的临界条件． (4)与追及中的解题方法相同． 【例 2】甲、乙两物体相距 s，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度为 a1 的匀加速 直线运动，乙在后做初速度为 υ 0，加速度为 a2 的匀加速直线运动，则 （ A．若 a1＝a2，则两物体可能相遇一次 B．若 a1＞a2，则两物体可能相遇二次 C．若 a1＜a2，则两物体可能相遇二次 D．若 a1＞a2，则两物体也可相遇一次或不相遇 【实战演练 1】A、B 两棒均长 1ｍ，A 棒悬挂于天花板上，B 棒与 A 棒在一条竖直线上，直立在地面，A 棒 的下端与 B 棒的上端之间相距 20ｍ，如图 1-5-3 所示，某时刻烧断悬挂 A 棒 的绳子，同时将 B 棒以 v0=20ｍ/ｓ的初速度竖直上抛，若空气阻力可忽略不计 2 ，且 g=10m/s ，试求： （1）A、B 两棒出发后何时相遇？ （2）A、B 两棒相遇后，交错而过需用多少时间？
小者追速度大者 类型 匀加速追匀速 图象 说明 ①t=t0 以前， 后面物体与前面物体间 距离增大 ②t=t0 时， 两物体相距最远为 x0+Δ x ③t=t0 以后， 后面物体与前面物体间 距离减小 匀速追匀减速 ④能追及且只能相遇一次
匀加速追匀减速
3
）
A
l=1 m
L=2 0m
B
图 1-5-3
l=1 m
【例 3】 （易错题） 经检测汽车 A 的制动性能： 以标准速度 20m/s 在平直公路上行驶时， 制动后 40s 停下来。 现 A 在平直公路上以 20m/s 的速度行驶发现前方 180m 处有一货车 B 以 6m/s 的速度同向匀速行驶，司机立 即制动，能否发生撞车事故？
4．辆摩托车行驶的最大速度为 30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在 4 分钟内追上它前方相距 1 千米、 正以 25m/s 的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？
5
高一物理相遇、追及问题精讲精炼
例一【解析一】 物理分析法 A 做 υ A＝10 m/s 的匀速直线运动，B 做初速度为零、加速度 a＝2 m/s 的匀加速直线运动．根据题意， 开始一小段时间内，A 的速度大于 B 的速度，它们间的距离逐渐变大，当 B 的速度加速到大于 A 的速度后， 它们间的距离又逐渐变小；A、B 间距离有最大值的临界条件是 υ A＝υ B． 设两物体经历时间 t 相距最远，则 υ A＝at ② 把已知数据代入①②两式联立得 t＝5 s 在时间 t 内，A、B 两物体前进的距离分别为 ①
【实战演练 2】(2011·东北三校联考)从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度—时 间图象如图所示．在 0～t2 时间内，下列说法中正确的是( A．Ⅰ物体的加速度不断增大，Ⅱ物体的加速度不断减小 B．在第一次相遇之前，t1 时刻两物体相距最远 C．t2 时刻两物体相遇 D．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是 )
【实战演练 2】甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地 面的 v－t 图象如图所示，关于它们的运动，下列说法正确的是( )
A．甲车中的乘客说，乙车先以速度 v0 向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动 B．乙车中的乘客说，甲车先以速度 v0 向西做匀减速运动，后做匀加速运动 C．根据 v－t 图象可知，开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到 v0 时，两车恰好平齐 D．根据 v－t 图象可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离先增大后减小，当乙车速度增大到 v0 时，两车恰好平齐
★解题模型★ 考点 1 追击问题
求解追及问题的分析思路 (1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物体运动时间之 间的关系． (2)通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式．追及的主要条件 是两个物体在追上时位置坐标相同． (3)寻找问题中隐含的临界条件．例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离； 速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等等．利用这些临界条件常能简化解题 过程． (4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二 次 函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解． 【例1】 物体 A、B 同时从同一地点，沿同一方向运动，A 以 10m/s 的速度匀速前进，B 以 2m/s 的加速度 从静止开始做匀加速直线运动，求 A、B 再次相遇前两物体间的最大距离．
6
2 2 2 2
1 2
1 2
图可知，A 、B ＝5 s． 错误!．
1 2 1 2 【例 2】 【解析】 设乙追上甲的时间为 t，追上时它们的位移有υ 0t＋ a2t － a2t ＝s 2 2 上式化简得：(a1－a2)t －2υ 0t＋2s＝0 2υ 0± 4υ 0 －8s(a1－a2) 解得：t＝ 2(a1－a2) (1)当 a1＞a2 时，差别式“△”的值由 υ 0、a1、a2、s 共同决定，且 △＜2υ 0，而△的值可能小于零、 等于零、大于零，则两物体可能不相遇，相遇一次，相遇两次，所以选项 B、D 正确． －2υ 0± 4υ 0 －8s(a2－a1) （2）当 a1＜a2 时，t 的表达式可表示为t＝ 2(a2－a1) 显然，△一定大于零．且 △＞2υ 0，所以 t 有两解．但 t 不能为负值，只有一解有物理意义，只能相遇 一次，故 C 选项错误． (3)当 a1＝a2 时，解一元一次方程得 t＝s/υ 0，一定相遇一次，故 A 选项正确． 【答案】A、B、D 【点拨】注意灵活运用数学方法，如二元一次方程△判别式．本题还可以用 v—t 图像分析求解。 【实战演练 1】 【解析】本题用选择适当参考系，能起到点石成金的效用。 由于 A、B 两棒均只受重力作用，则它们之间由于重力引起的速度改变相同，它们之间只有初速度导致的 相对运动，故选 A 棒为参考系，则 B 棒相对 A 棒作速度为 v0 的匀速运动。 则 A、B 两棒从启动至相遇需时间
【实战演练 1】在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在 t=0 时同时经过某一个路标，它们的位 移随时间变化的规律为：汽车 x=10t-t2，自行车 x=5t，(x 的单位为 m，t 的单位为 s)，则下列说法 正确 的是( )
A.汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动 B.经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后 C.在 t=2.5 s 时，自行车和汽车相距最远 D.当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标 12.5 m
v1＋v2
2
4
练习： 1、在十字路口，汽车以 0.5 m s 的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以 5 m s 的速度 匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： （1） 什么时候它们相距最远？最远距离是多少？ （2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？
2
2、火车以速度 v1 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 S 处有另一列火车沿同方向以速度 v 2 （对地、且
匀速追匀加速
1
匀减速追匀加速
说明： ①表中的Δ x 是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移； ②x0 是开始追及以前两物体之间的距离； ③t2-t0=t0-t1; ④v1 是前面物 体的速度，v2 是后面物体的速度. 二、相遇问题 第一类:同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题. 第二类:相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇. 解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还 要注意该物体是否停止运动了.
2
sA＝υ At＝10×5 m＝50 m sB＝ at2＝ ×2×52 m＝25 m
A、B 再次相遇前两物体间的最大距离为 Δ sm＝sA－sB＝50 m－25 m＝25 m 【解析二】 相对运动法 因为本题求解的是 A、B 间的最大距离，所以可利用相对运动求解．选 B 为参考系，则 A 相对 B 的初速 度、末速度、加速度分别是 υ 0＝10 m/s、υ t＝υ A－υ B＝0、a＝－2 m/s ． 根据 υ t －υ 0＝2as．有0－10 ＝2×(-2)×sAB 解得Ａ、B 间的最大距离为 sAB＝25 m． 【解析三】 极值法 1 2 1 2 5 物体 A、B 的位移随时间变化规律分别是 sA＝10t，sB＝ at ＝ ×2×t ＝t . 2 2 4×(－1)×0－10 2 则 A、B 间的距离Δ s＝10t－t ，可见，Δ s 有最大值，且最大值为Δ sm＝ m＝25 m 4×(－1) 【解析四】 图象法 根据题意作出 A、B 两物体的 υ -t 图象，如图 1-5-1 所示．由 再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是 υ A＝υ B，得 t1 A 、 B 间 距 离 的 最 大 值 数 值 上 等 于 Δ Oυ AP 的 面 积 ， 即 【答案】25 m 【点拨】相遇问题的常用方法 (1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，按（解法一）中的思路分析． (2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系． (3)极值法：设相遇时间为 t，根据条件列方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若 △＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若△＝0，说明刚好追上或相碰；若△＜0，说明追不上或不能 相碰． (4)图象法：将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解． 【实战演练 1】:【解析】从图象可知两图线相交点 1s 末和 4s 末是两物速度相等时刻，从 0→2s，乙追赶 甲到 2s 末追上，从 2s 开始是甲去追乙，在 4s 末两物相距最远，到 6s 末追上乙．故选 B． 【答案】B 【实战演练 2】 【答案】A 【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初速度 v0 向西做减速运动，速 度减为零之后，再向东做加速运动，所以 A 正确；乙车中的乘客以乙车为参考系，相当于乙车静止不动， 甲车以初速度 v0 向东做减速运动，速度减为零之后，再向西做加速运动，所以 B 错误；以地面为参考系， 当两车速度相等时，距离最远，所以 C、D 错误．