2018届高考数学(理)二轮复习专题检测：(2) 函数的图象与性质
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-6函数的性质及图像 精品
[函数的周期性、对称性] (1)(2016·马鞍山质检)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝1，其 对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则 f(2 015)＋f(2 016) ＝________．
【解析】 令 x＝－3，故 f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又 f(－ 3)＝－f(3)，故 f(3)＝0，故 f(x＋6)＝f(x)，故 f(2 015)＝f(5)＝f(－ 1)＝－f(1)＝－1，f(2 016)＝f(0)＝0，故 f(2 015)＋f(2 016)＝－1.
【答案】 C
(5)(2016·郑州质检)已知函数 f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1
∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围
为( )
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【审题】 对∀x1，∃x2 使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
【解析】 由题意知，mx2－6mx＋m＋8≠0 对一切实数 x 都成立，即 mx2－6mx＋m＋8＝0 在实数集上无解．当 m＝0 时， 定义域为 R，满足题意；当 m≠0 时，由 Δ＝(－6m)2－4m(m＋8)<0， 解得 0<m<1.综上，实数 m 的取值范围是[0，1)．
【答案】 [0，1)
【答案】 A
【回顾】 (1)①若 f(x＋T)＝f(x)，则 T 为周期；②若 f(x＋ a)＝－f(x)，则 T＝2a；③若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a；④若 f(x ＋a)＝－f（1x），则 T＝2a.
(2)①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，即 f(x)＋f(2a －x)＝2b，则 y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称；②若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)成轴对称；③若 y＝f(x＋a)是偶函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称，若 y＝f(x＋a)是奇函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．
2018年高考理科数学通用版复习专题检测：(二) 函数的图象与性质 含解析
专题检测（二） 函数的图象与性质一、选择题1．函数f(x)＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1) 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≠0，x ≥0，∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)． 2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x|－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12|x| 解析：选B A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f(x)＝2×4x －a 2x 的图象关于原点对称，g(x)＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D ．14 解析：选B 由题意得f(0)＝0，∴a ＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＋1＋b ， ∴b ＝12，∴log 212＝－1.4．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋b ，x<－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f(－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a)＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5，x<－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.5．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，若f(x ＋2 017)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x<0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f(－7 983)＝( )。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题02函数与导数(练)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题二 函数与导数1.练高考1.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 2.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)23,+∞【答案】B3.【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞【解析】4.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈有2个零点，设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.所以a 的取值范围为(0,1).5.【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =-- . （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值. 【答案】(1)1a = ； (2)3 【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x =a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点，列方程解得1a = ； (2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知实数m 的最小值为36.【2017浙江，20】已知函数f (x )=（x 21x -e x -（12x ≥）． （Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f (x )在区间1[+)2∞，上的取值范围．【答案】（Ⅰ）x e x x x f ----=)1221)(1()('；（Ⅱ）[0， 1212e -]．【解析】（Ⅱ）由解得或．因为）又，所以f （x ）在区间[）上的取值范围是．2.练模拟1. 【2018届云南省师范大学附属中学高三12月】已知函数()()()3log ,0,{ 2,0,x x f x f x x -<=--≥则()2017f =（ ）A. 1B. 0C. 1-D. 3log 2 【答案】B【解析】()()()()()320172015201311log 10f f f f f =-===--=-= ,选B.2.设向量),1(x a =，)),((x x f b -=，且R x x g b a ∈=⋅),(，若函数)(x f 为偶函数，则)(x g 的解析式可以为（ ） A ．3x B ．x +1 C ．x cos D ．x xe 【答案】C【解析】由题意()()2x x f x g -=∙=,即()()2x x g x f +=.代入选项A 得,()23x x x f +=,为非奇非偶函数；选项B 得,()21x x x f ++=,为非奇非偶函数；选项C 得,()2cos x x x f +=,为偶函数；选项D 得,()2x xe x f x+=,为非奇非偶函数,故选C.3.【2018届江西省重点中学盟校高三第一次联考】已知函数是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数，设＝，，，则、、的大小关系为( )A. <<B. <<C. <<D. << 【答案】A4. 设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时， ()()()()0f x g x f x g x ''+>.且()30g =.则不等式()()0f x g x <的解集是（ ） A. ()(),30,3-∞-⋃ B. ()()3,00,3-⋃ C. ()(),33,-∞-⋃+∞ D. ()()3,03,-⋃+∞ 【答案】A【解析】因()()()()0f x g x f x g x ''+>.，即[f （x ）g （x ）]'＞0 故f （x ）g （x ）在（﹣∞，0）上递增，又∵f （x ），g （x ）分别是定义R 上的奇函数和偶函数，∴f （x ）g （x ）为奇函数，关于原点对称，所以f （x ）g （x ）在（0，+∞）上也是增函数． ∵f（3）g （3）=0，∴f（﹣3）g （﹣3）=0 所以f （x ）g （x ）＜0的解集为：x ＜﹣3或0＜x ＜3 故选A ．5.【2018届浙江省部分市学校高三上9+1联考】已知函数()3211132f x ax x x =+++（a R ∈），下列选项中不可能是函数()f x 图象的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】∵()3211132f x ax x x =+++（a R ∈） ∴()21f x ax x '=++当0a =时， ()1f x x '=+，易得()f x 在(),1-∞-上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，故A 可能； 当14a ≥时， 0∆≤， ()0f x '≥， ()f x 为增函数，故B 可能； 当0a <时， 0∆>， ()f x '有两个不相等且互为异号的实数根， ()f x 先递减再递增然后再递减，故C 可能； 当104a <<时， 0∆>， ()f x '有两个不相等的负实数根， ()f x 先递增再递减然后再递增，故D 错误. 故选D6.记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{}max 1010=．已知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,()242g x x x x a x a a ⎧⎫=+-+-++⎨⎬⎩⎭．（1）设21()()3()(1)2h x f x x x =---，求函数()h x 在(0,1]上零点的个数； （2）试探讨是否存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的 取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】（1）设2()12ln F x x x =--，22(1)(1)'()2x x F x x x x-+=-=， 令'()0F x >，得1x >，()F x 递增；令'()0F x <，得01x <<，()F x 递减． ∴min ()(1)0F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴2()1f x x =-．设21()3()(1)2G x x x =--，结合()f x 与()G x 在(0,1]上图象可知，这两个函数的图象在(0,1]上有两个交点，即()h x 在(0,1]上零点的个数为2．（2）假设存在实数(2,)a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对(2,)x a ∈++∞恒成立，则2223ln 4,213()244,22x x x a x a x a a x a ⎧+<+⎪⎪⎨⎪-+-++<+⎪⎩对(2,)x a ∈++∞恒成立， 即21ln 4,2(2)()0x x a x x a ⎧-<⎪⎨⎪+->⎩对(2,)x a ∈++∞恒成立， （i ）设1()ln 2H x x x =-，11'()2H x x =-22xx-=， 令'()0H x >，得02x <<，()H x 递增；令'()0H x <，得2x >，()H x 递减． ∴max ()(2)ln 21H x h ==-．当022a <+<，即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->， ∵0a <，∴ln 21(,0)4a -∈． 故当ln 21(,0)4a -∈时，1ln 42x x a -<对(2,)x a ∈++∞恒成立．当22a +≥，即0a ≥时，()H x 在(2,)a ++∞上递减，∴1()(2)ln(2)12H x H a a a <+=+--． ∵111(ln(2)1)'0222a a a +--=-≤+，∴(2)(0)ln 210H a H +≤=-< 故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对(2,)x a ∈++∞恒成立．3.练原创1.已知R m ∈，函数2|21|,1,()log (1),1,x x f x x x +<⎧=⎨->⎩2()221g x x x m =-+-，若函数(())y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.3(0,)5B.33(,)54C.3(,1)4D.(1,3)【答案】A【解析】函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=11log 1122x x x x x f 的图象如图所示，令()t x g =，()t f y =与m y =的图象最多有3个零点，当有3个零点，则30<<m ，从左到右交点的横坐标依次321t t t <<，由于函数有6个零点，1222-+-=m x x t ，则每一个t 的值对应2个x 的值，则t 的值不能为最小值，对称轴1=x ，则最小值221221-=-+-m m ，由图可知，m t -=+121，则211--=m t ，由于1t 是交点横坐标中最小的，满足2221->---m m ①30<<m ②联立得530<<m ，故答案为A.2.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ∀∈R ，都有2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，则不等式2()x f x e >的解是（ ） A ．ln 4x > B ．0ln 4x << C ．1x > D ．01x << 【答案】A【解析】设()()2x e x f x g =，则()()()()()22222222121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛⋅-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅'='x xx xx e x f x f e e ex f e x f x g ，由于()()2x f x f >'， ()0>'∴x g 在R 上恒成立，因此()()2x ex f x g =在R 上是增函数，()()12224ln 4ln 2ln 24ln ====e ef g ，由()2xe xf >，得()()12>=x ex f x g ，()()4ln g x g >∴，由于()x g 在R 上是增函数，4ln >∴x ，故答案为A.3．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）【答案】D【解析】当10<<x 时，1ln --=x ey x()111ln -+=--=-x xx e x ；当1≥x 时，1ln --=x e y x()11=--=x x ，因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+=1,110,11x x x xy ，由于111211≥-⋅≥-+x x x x ，对比图象，故答案为D. 4.已知R 上的连续函数g (x )满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立('()g x 为函数()g x 的导函数)；②对任意的x R ∈都有()()g x g x =-，又函数()f x 满足：对任意的x R ∈，都有(3)(3)f x f x =成立。
2018届高考数学二轮复习函数与导数函数的图象与性质(理)专题卷
解析：易知 f(x)＝
4 4 m 16 8 ＝2＋ ＝6，m＝f(4)＝2＋ ＝4，所以 ＝ ＝ . 3－2 4－2 M 6 3 答案：D e 5．(2017·太原市模拟试题)函数 f(x)＝ 的图象大致为(
x
x
)
e xe －e x－1e 解析： 由 f(x)＝ ， 可得 f′(x)＝ ＝ ， 则当 x∈(－∞， 0)和 x∈(0,1) 2 2
a
答案：A 10．奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，且 f(1)＝2 017，则 f(2 016)＋
f(2 017)的值为(
A．2
) B．2 017
C．－2 017 D．－2 解析：由函数 f(x)为 R 上的奇函数，可得函数 f(x)的对称中心为 O(0,0)，且 f(0)＝0. 又函数 f(x＋1)为偶函数，可知函数 f(x)的对称轴为 x＝1. 所以函数 f(x)的周期为 T＝4(1－0)＝4. 故 f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1＋4×504)＝f(1)＝2 017. 所以 f(2 016)＋f(2 017)＝0＋2 017＝2 017. 答案：B 11．(2017·广西三市第一次联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞， 0]上单调递增，若实数 a 满足 f(2log3a)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是( A．(－∞， 3) C．( 3，＋∞) B．(0， 3) D．(1， 3) )
fx1－fx2 [fx1－x1]－[fx2－x2] <1，可得 <0. x1－x2 x1－x2
令 F(x)＝f(x)－x，由题意知 F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数， 且 F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令 F(x)>0，得 x<－2 或 0<x<2.故选 C. 答案：C 9．已知函数 f(x)＝loga(3 ＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则 a，b 满足的关系 是( )
2018年高考数学二轮复习 专题2 函数、不等式、导数 第1讲 函数的图象与性质课后强化训练
专题二 第一讲 函数的图象与性质A 组1．(2017·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝fxlog 12－x的定义域为 ( B )A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)[解析] 要使函数y ＝fxlog 12－x≤6，－x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2． 故选B ．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是 ( C )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[解析] 由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误．故选C ．3．(2017·山西四校联考)函数y ＝2xπ2＋6x 4x－1的图象大致为 ( D )[解析] y ＝2xπ2＋6x 4x －1＝2x cos 6x 22x －1＝cos 6x2x －2－x ，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A ；又函数有无数个零点，可排除C ；当x 取一个较小的正数时，y >0，由此可排除B ，故选D ．4．(2017·湖北黄冈一模)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )．若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为 ( A )A ．12，2 B ．12，4 C ．22， 2 D ．14，4 [解析] (数形结合求解)f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1，根据()＝()(<)及()的单调性，知mn ＝1且0<m <1，n >1． f (m 2)>f (m )＝f (n )， ⎩⎪⎨log 3x 2＋t ，，t ＋，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为 ( B ) B ．12 D ．118[解析] 因为1>0，所以f (1)＝2(t ＋1)＝6，即t ＋1＝3，解得t ＝2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x 2＋，x <0，2×3x ，x ≥0，所以f (－2)＝log 3[(－2)2＋2]＝log 36>0，f (f (－2))＝f (log 36)＝2×3log 36＝2×6＝12．6．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( C )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0[解析] 由题中图象可知－c >0， 所以c <0，当x ＝0时，f (0)＝bc2>0⇒b >0， 当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－b a>0⇒a <0．7．(2017·淄博模拟)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围是__a ≥1__.[解析] 函数y ＝log 2(ax －1)由y ＝log 2u ，u ＝ax －1复合而成，由于y ＝log 2u 是单调递增函数，因此u ＝ax －1是增函数，所以a >0，由于u ＝ax －1>0恒成立，当x ＝1时，有最小值，ax －1>a －1≥0，所以a ≥1．8．(2017·云南昆明模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n ＝__－1__.[解析] a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1．9．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝a －22x ＋1．(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围． [解析] (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1．(2)因为f (x )的定义域为R ，所以任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝x 1－2x 2＋2x 1＋2x 2，因为y ＝2x在R 上单调递增且x 1<x 2， 所以0<2x 1<2x 2，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在R 上单调递增． (3)因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1， 解得a ＝1.(或用f (0)＝0去解) 所以f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)． 又因为f (x )在R 上单调递增， 所以x <2．B 组1．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝ ( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1． ∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数， ∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1． 故选C ．2．(2017·辽宁实验中学月考)函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是 ( B )A ．f (1)<f (52)<f (72)B ．f (72)<f (1)<f (52)C ．f (72)<f (52)<f (1)D ．f (52)<f (1)<f (72)[解析] ∵f (x ＋2)是偶函数， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (x )＝f (4－x )，∴f (52)＝f (32)，f (72)＝f (12)．又0<12<1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递增，∴f (12)<f (1)<f (32)，即f (72)<f (1)<f (52)．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)<x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为 ( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)[解析] 由条件式得(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0， ∴x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为减函数，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴不等式f (1－x )<0化为f (1－x )<f (0)， ∴1－x >0，∴x <1，故选C ．4．如图，过单位圆O 上一点P 作圆O 的切线MN ，点Q 为圆O 上一动点，当点Q 由点P 逆时针方向运动时，设∠POQ ＝x ，弓形PRQ 的面积为S ，则S ＝f (x )在x ∈[0,2π]上的大致图象是 ( B )[解析] S ＝f (x )＝S 扇型PRQ ＋S △POQ ＝12(2π－x )·12＋12sin x ＝π－12x ＋12sin x ，则f ′(x )＝12(cos x －1)≤0，所以函数S ＝f (x )在[0,2π]上为减函数，当x ＝0和x ＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x 从0逐渐增大到π时，cos x 逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x 从π逐渐增大到2π时，cos x 逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓，结合选项可知，B 正确．5．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则x 的取值范围是 ( C )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)[解析] 因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， 所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )， 即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0＋x ，x >0函数f (x )的图象如下：可判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1． 故选C ．6．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数． (1)对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立． 则下列3个函数中不是M 函数的个数是 ( B ) ①f (x )＝x 2 ②f (x )＝x 2＋1 ③f (x )＝2x－1A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 在[0,1]上，3个函数都满足f (x )≥0.当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时：对于①，f (x 1＋x 2)－f [f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足；对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选B ．7．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (log 2x )的定义域为(1,4)，则函数y ＝f (2sin x －1)的定义域是__{x |2k π＋π6<x <2k π＋5π6}，k ∈Z __.[解析] 因为y ＝f (log 2x )的定义域为(1,4)， 所以1<x <4，则0<log 2x <2， 即y ＝f (x )的定义域为(0,2)． 由0<2sin x －1<2，得12<sin x <32，即12<sin x ≤1， 解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z ，即函数y ＝f (2sin x －1)的定义域是{x |2k π＋π6<x <2k π＋5π6}，k ∈Z ．8．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0． 其中所有正确命题的序号是__①②__.[解析] 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确，由于f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1－x )， 结合f (x ＋1)＝f (x －1)得f (1＋x )＝f (1－x )， 故f (x )的图象关于x ＝1对称．当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ＝2x －1，单调递增，所以f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上是增函数，故②正确．由②知，f (x )在一个周期区间[0,2]上的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝f (2)＝12，所以函数f (x )的最大值为1，最小值为12，故③不正确．9．(2017·泰安模拟)已知奇函数f (x )的定义域为[－1,1]，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－(12)x . (1)求函数f (x )在[0,1]上的值域；(2)若x ∈(0,1]，y ＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1的最小值为－2，求实数λ的值．[解析] (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， 所以f (－x )＝－(12)－x ＝－2x．又因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以当x ∈(0,1]时，f (x )＝－f (－x )＝2x， 所以f (x )∈(1,2]． 又f (0)＝0，所以当x ∈[0,1]时函数f (x )的值域为(1,2]∪{0}．(1,2]， ，则12<t ≤1，λt ＋1＝(t －λ2)2＋1－λ24．(12)无最小值．g (t )min ＝g (2)＝1－4＝－2．解得λ＝±23舍去．③当λ2>1，即λ>2时，g (t )min ＝g (1)＝－2，解得λ＝4． 综上所述：λ＝4．。
2018届高考数学二轮复习 函数的图象专题
函数的图象专题[基础达标](30分钟50分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.下列函数f(x)的图象中，满足f14>f(3)>f(2)的只可能是()D【解析】因为f14>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除选项A，B；又选项C中，f14<f(0)=1，f(3)>f(0)，即f14<f(3)，所以排除选项C，故选项D正确.2.函数f(x)与g(x)在同一直角坐标系下的图象如图所示，则f(x)与g(x)的解析式可以是()A.f(x)=1+log2x与g(x)=21-xB.f(x)=1-log2x与g(x)=21-xC.f(x)=1+log2x与g(x)=21+xD.f(x)=1-log2x与g(x)=21+xA【解析】由于图中的两条曲线可分别视为f(x)=a x(0<a<1)与f(x)=log a x(a>1)分别向右移与向上移而得到，对比给出的函数解析式可知只有选项A符合，因为f(x)=1+log2x是由f(x)=log2x的图象向上平移一个单位得到，g(x)=21-x=2-(x-1)可视为函数f(x)=2-x的图象向右平移一个单位得到.3.函数y=x2(x<0)，2x-1(x≥0)的图象大致是()B【解析】当x<0时，函数的图象是抛物线y=x2(x<0)的图象；当x≥0时，函数的图象是指数函数y=2x(x≥0)的图象向下平移一个单位所得到的图象，所以选B.4f(x)=sin x·ln(x2+1)的部分图象可能是()B【解析】由题可知，f(x)为奇函数，且sin x存在多个零点导致f(x)存在多个零点，故函数f(x)为奇函数且其图象与x轴有多个交点.5f(x)=1x+1(0<x≤2)，ln x(x>2)，如果关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是()A.(1，+∞)B.32，+∞C.[e 32，+∞) D.[ln 2，+∞)B【解析】在同一坐标系中作出函数y=f(x)，y=k的图象如图，由图象可知当k≥32时，y=f(x)与y=k的图象有两个不同的交点，所以关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，故实数k的取值范围是32，+∞.6x轴上，另两个顶点在函数y=2x1+x(x>0)的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是()A.πB.π3C.π4D.π2A【解析】设矩形的高为k(0<k<1)，则2x1+x=k，即kx2-2x+k=0，则矩形的另一边长为|x1-x2|=4k2-4，将此矩形绕x轴旋转而成的几何体是圆柱，其体积为V=πk2|x1-x2|=2πk2·1k -1=2πk2-k4=2π- k2-122+14，当k2=12时，V max=2π14=π.7f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3的对称中心为()A.(-4，6)B.(-2，3)C.(-4，3)D.(-2，6)B【解析】由题意可得f(-x-4)=x+4x+3+x+3x+2+x+2x+1，则f(-x-4)+f(x)=2x+6x+3+2x+4x+2+2x+2x+1=6，则函数f(x)的图象关于点(-2，3)对称.二、填空题(每小题5分，共15分)8.若函数y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象的对称轴方程是.x=1【解析】因为函数y=f(2x+1)是偶函数，所以f(-2x+1)=f(2x+1)，记t=2x，则f(1-t)=f(1+t)，则函数y=f(t)的对称轴为t=1，所以函数y=f(x)的图象的对称轴方程是x=1.9.已知x2>x 1，则实数x的取值范围是.(-∞，0)∪(1，+∞)【解析】分别画出函数y=x2与y=x 1的图象，如图所示，由于两函数的图象都过点(0，0)，(1，1)，则由图象可知不等式x2>x 1的解集为{x|x<0或x>1}.10.若函数y=12|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是.[-1，0)【解析】首先作出y=12|1-x|的图象如图，若y=12|1-x|+m的图象与x轴有交点，则-1≤m<0.[高考冲关](25分钟40分)1.(5分P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的重心，设点P走过的路程为x，△OAP 的面积为f(x)(当A，O，P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为()A【解析】当x∈[0，a]时，f(x)=12x×36a=312ax，对应图象是线段，排除B；由题意当x=32a时，f(x)=0，当x∈ a，32a 时，f(x)=12×23×32a×32a-x =34a2-36ax，对应图象是线段，排除C和D.2.(5分y=f(x)的曲线如图所示，则方程y=f(2-x)的曲线是()C【解析】由题可知作f(x)关于y轴对称的图象，得到y=f(-x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y=f(-(x-2))=f(2-x)的图象，结合选项知选C.3.(5分f(x)=|x e x|，又g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R)，若满足g(x)=-1的x有四个，则t的取值范围为()A.-∞，-e 2+1 eB.e 2+1e，+∞C.-e 2+1e，-2D.2，e 2+1 eA【解析】f(x)=|x e x|=x e x(x≥0)，-x e x(x<0)，易知f(x)在[0，+∞)内是单调递增函数，当x∈(-∞，0)时，f(x)=-x e x，f'(x)=-e x·(x+1)，故f(x)在(-∞，-1)上是增函数，在(-1，0)内是减函数，作出f(x)的图象如图，且f(-1)=1e，若方程f2(x)+tf(x)+1=0有四个实根，则关于m的方程m2+tm+1=0有两个不相等的实根m1，m2，且m1∈0，1e，m2∈1e ，+∞，所以0+0+1>0，1e2+te+1<0，解得t<-e2+1e.4.(12分)已知a>0，且a≠1，f(x)=x2-a x，当x∈(-1，1)时，均有f(x)<12，求实数a 的取值范围.【解析】由题知，当x∈(-1，1)时，f(x)=x2-a x<12，即x2-12<a x.在同一坐标系中分别作出二次函数y=x2-12，指数函数y=a x的图象，当x∈(-1，1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需满足0<a<1，a≥12，或a>1，a-1≥12，解得12≤a<1或1<a≤2，故实数a的取值范围是12，1∪(1，2].5.(13分)已知函数f(x)=2x-a2x.将y=f(x)的图象向右平移两个单位，得到y=g(x)的图象.(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)若函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象关于直线y=1对称，求函数y=h(x)的解析式.【解析】(1)由题可知g(x)=f(x-2)=2x-2-a2x-2.(2)设(x，y)在y=h(x)的图象上，其关于直线y=1对称的点(x1，y1)在y=g(x)的图象上，则x1=x，y1=2-y，即2-y=g(x)，y=2-g(x).即h(x)=2-2x-2+a2x-2.。
最新-2018届高三数学二轮复习 专题高效升级卷2 函数的图象和性质课件 文 新人教A版 精品
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
11.定义在 R 上的函数 （f x）满足 （f － x）＝－f（x），f（x－2）＝f（x＋2），且 x
∈（－1，0）时，（f x）＝2x＋
1 5
，则
（f log220）
等于（ ）
A.1
B. 4
5
答案：C
C.－1
D.－ 4 5
12.已知函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f （x＋y2）＝f（x）＋2［f（y）］2，且 f（1）≠0，则f（2 010）2x－4x，x∈［0，1］.
（2）∵f（x）＝a·2x－4x，x∈［0，1］，
令 t＝2x，t∈［1，2］，
∴g（t）＝a·t－t2＝－（t－ a ）2＋ a2 .
2
4
当
a 2
≤1，即
a≤2
时，g（t）max＝g（1）＝a－1.
当
1＜
a 2
＜2，即
2＜a＜4
时，g（t）max＝g（
（3）f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，f（16×4）＝f（16）
＋f（4）＝3，
又∵f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3，即 f［（3x＋1）（2x－6）］
≤f（64），
∴f（|（3x＋1）（2x－6）|）≤f（64）.
∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴ 解得 x 的取值范围为［－ ，－ ）∪（－ ， (3x 1)(2x 6) 0, | (3x 1)(2x 6) | 64.
a 2
）＝
a2 4
.
当
a 2
≥2，即
a≥4
时，g（t）max＝g（2）＝2a－4.
综上，当 a≤2 时，f（x）最大值为 a－1，
专题02 函数的图像与性质(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(解析版)
函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．预计2018年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．1．函数(1)映射：集合A(A 中任意x)――→对应法则f集合B(B 中有唯一y 与A 中的x 对应)．(2)函数：非空数集A ―→非空数集B 的映射，其三要素：定义域A 、值域C(C ⊆B)、对应法则f. ①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零； (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(Ⅴ)正切函数y ＝tan x 中，x 的取值范围是x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z.②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法．③函数图象在x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y 轴上的正投影对应函数的值域． 2．函数的性质 (1)函数的奇偶性如果对于函数y ＝f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，那么函数f (x )就叫做奇函数(或偶函数)．(2)函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(或f (x 1)>f (x 2))，则称f (x )在区间D 上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增(减)函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f (x )在给定区间(a ，b )上恒有f ′(x )>0(f ′(x )<0)，则f (x )在区间(a ，b )上是增(减)函数，(a ，b )为f (x )的单调增(减)区间．判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等． (3)函数的周期性设函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．(4)最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (或f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值(或最小值)． 3．函数图象(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． (2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )，y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k .③对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.考点一 函数表示及定义域、值域例1、(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12，选B.答案：B(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12【变式探究】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78C.34D.12解析：基本法：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.答案：D考点二 函数的奇偶性 对称性例2、【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使()11f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足()121f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.【变式探究】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：基本法：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B.|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.速解法：y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|为偶函数． 故f (x )·g (x )＝奇，A 错，|f (x )|g (x )＝偶，B 错． f (x )|g (x )|＝奇，C 正确． 答案：C【变式探究】已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，若g (x )＝f (x )＋2 016，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．1C ．2 016D ．4 032答案：D考点三 函数单调性、周期性与对称性例3、(1)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：基本法：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )对任意x 恒成立， 令x ＝1，得f (1)＝f (3)＝3， ∴f (－1)＝f (1)＝3.速解法：由题意y ＝f (x )的图象关于x ＝0和x ＝2对称，则周期T ＝4. ∴f (－1)＝f (－1＋4)＝f (3)＝3. 答案：3(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2]解析：基本法：∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.答案：C 【方法技巧】1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x ＜，a －x ＋4a x满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是________．解析：基本法：因为对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，所以f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0a －＋4a ，解得0＜a ≤14，即a ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：⎝⎛⎦⎤0，14 考点四 比较函数值的大小例4、(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：基本法：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1， ∴c ＞a ＞b .故选D.速解法：分别作出y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，在图象中作出a 、b 、c 的值，观察其大小，可得c ＞a ＞b .答案：D(2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x【变式探究】设a ＝，b ＝2，c ＝3，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：基本法：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝＞0，∴a ＞b ＞c ，选A.答案：A考点五 指数函数、对数函数图象的变换与应用例5、【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 【变式探究】(1)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4答案：C(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析：基本法：易知0＜a ＜1，则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12＞2，解得a ＞22， ∴22＜a ＜1，故选B.速解法：若a ＞1，∵x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，显然log a x ＜0，原不等式不成立，∴0＜a ＜1. 若a ＝12，当x ＝12时，log a x ＝1,4x ＝412＝2，显然不成立，∴故只能选B.答案：B【变式探究】若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案：B1.【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使()11f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足()121f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.2.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 3.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A4.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m=单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 5.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 2.【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C【解析】A ：由0>>y x ，得y x 11<，即011<-yx ，A 不正确； B ：由0>>y x 及正弦函数的单调性，可知0sin sin >-y x 不一定成立； C ：由1210<<，0>>y x ，得y x )21()21(<，故0)21()21(<-y x ，C 正确； D ：由0>>y x ，得0>xy ，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C. 3.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D4.【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C 。
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专题检测（二） 函数的图象与性质一、选择题 1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析：选B A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D ．14解析：选B 由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b ， ∴b ＝12，∴log 212＝－1.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln x ＋a ，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln x ＋2 ，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.5．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg －x ，x <0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016解析：选C 由题意得，f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4. 6．函数y ＝sin xx，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )解析：选A 函数y ＝sin x x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B 、C ，又当x 趋近于π时，y ＝sin x x趋近于0，故选A.7．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意知，当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝fx －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.8．如图，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B 设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.9．(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 10．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析：选C ∵f (x )＝ax ＋bx ＋c2的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝b c2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f x 1 －f x 2x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：选 C (转化法)由f x 1 －f x 2 x 1－x 2<1，可得[f x 1 －x 1]－[f x 2 －x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题 13．函数f (x )＝ln1|x |＋1的值域是________． 解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0，即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]14．(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝________.解析：因为log 49＝log 23>0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1315．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.答案：(1,2]16．(2017·惠州三调)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为____________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数，④错误．故真命题的序号为①②③. 答案：①②③。