一类函数极值的应用
极值的应用问题
f
( x)
x
1 x
1
ln x2
x
，
令
f ( x) 0 ,得唯一驻点x e
,
导数左正右负，故 x e 为 f (x) 的极大值点,
由于其唯一性,该点也是f (x) 的最大值点.
又e 2.71828,故 所 求 的 最 大 项 只 可 能是 2, 3 3之 一 ，
而 ( 2)6 8 ,(3 3)6 9 , 所以 2 3 3 ,
x
a
a2x
5
例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小 正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容 积最大？最大值为多少？ 解 设小正方形的边长为 x，则方盒的容积为
V x(a 2 x)2 ， x (0, a ) ， 2
求导得 V (a 2x)(a 6x)，
x
a 2x
6
例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小 正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容 积最大？最大值为多少？
1,最小值为 1 2 p1
,
故
1 2 p1
f ( x) 1，即 1
2 p1
x p (1 x) p
1.
10
例11 求 数 列{n n }的 最 大 项.
分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化 为连续函数,再求导.
1
解 设 f ( x) x x x x ( x 1 ), 利用对数求导法,得
例10 设 0 x 1 , p 1 ,证明不等式:
1 2 p1
xp
(1
x)p
1
解 设 f ( x) x p (1 x) p ,则
f ( x) px p1 p(1 x) p1 令 0 ， x 1 .
一元函数微分学几何应用（一）--单调性与极值
⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义在数学中，一元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
极值点可以是函数的局部最大值或局部最小值，也可以是函数的全局最大值或全局最小值。
下面我们将详细介绍一元函数的极值定义及其应用。
一元函数的极值定义对于一个一元函数f(x)，如果在某个点x=a处，f'(a)=0且f''(a)≠0，那么我们称点x=a为函数f(x)的极值点。
如果f''(a)>0，则称点x=a 为函数f(x)的局部最小值点；如果f''(a)<0，则称点x=a为函数f(x)的局部最大值点。
如果f(x)在定义域内的任意点处都比点x=a处的函数值大（或小），则称点x=a为函数f(x)的全局最小值点（或全局最大值点）。
应用一元函数的极值在数学和实际问题中具有重要意义。
在数学中，通过求函数的极值点，我们可以找到函数的最值，进而推导出函数的性质和特点。
在实际问题中，极值点可以用来解决最优化问题，比如在经济学中，找到成本函数或收益函数的最大值点可以帮助企业做出最佳决策；在物理学中，找到能量函数或路径函数的最小值点可以帮助预测物体的运动轨迹。
除了通过求导数的方法找到极值点外，我们还可以通过二分法、牛顿法等数值方法来寻找函数的极值点。
这些方法在实际问题中也有着重要的应用价值。
总结一元函数的极值定义为函数在某个点处取得的最大值或最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点，并进一步推导出函数的性质和特点。
极值点在数学和实际问题中都具有重要意义，可以帮助我们解决最优化问题，预测物体的运动轨迹等。
希望通过本文的介绍，读者能对一元函数的极值有一个更加深入的理解。
函数极值在经济学中的应用
单位产品销售所获得的总收入的增量．
设 P 为商品价格，Q 为商品的数量，
R 为总收益，R＇ 为边际收益，则需求函数
P＝P（Q）．总收益函数 R＝R（Q），边际收益
函数 R＇＝R（＇ Q）．边际收益的经济意义是：
和收入函数为
C（q）＝ ３０００＋ ２００q＋
１ ５
q２，R
（q）＝ ３５０q＋
１ ２０
q２，
定理指出：若 f 存在偏导数，则其极 值点必是稳定点．但稳定点并不一定都是
极值点．但是在经济学的实际问题中只有
一个稳定点的情况下，该稳定点便是所求
极值点．
例 ２ 设某一行业的垄断者面临的需 求函数和成 本 函 数 分 别 是 P＝１ ００－ ３Q＋
４ 姨A 和 TC＝４Q２＋１ ０Q＋A，其中，A 是厂 商的广告支出费用，求利润极大时的 A，Q 和 P 的值．
４４ 数学教育 SHUXUEJIAOYU
函数极值在经济学中的应用
安徽省蚌埠第五中学 代 峥
关键词：经济学 函数极值 应用
R＝ R（Q）＝ P（Q）Q．
又知 TC＝４Q２＋１ ０Q＋A，
经济学中有很多求最优量的问题，比
例 １ 某公司生产某产品的成本函数
则 MC＝（TC）＇＝（４Q２＋１ ０Q＋Ａ）＇＝８Q＋１ ０，
［Ｍ］． 上 海 ． 复 旦 大 学 出 版 社 ．２００３ 年 ． １ ９７￣ １ ９８ 页．２６４ 页
［３］ 华东师范大学数学系．数学分析． 上册［Ｍ］．北京．高等教育出版社．２００１ 年． ８８ 页
［４］ 华东师范大学数学系． 数学分析． 下册［Ｍ］．北京．高等教育出版社．２００１ 年． １ ３６ 页．１ ６４￣ １ ６５ 页
可以看出在（０，＋ ∞）内只有一个极大
一元函数求极值与应用
一元函数求极值与应用在数学中，一元函数求极值是一个重要的概念和应用。
它在多个学科和领域都有广泛的应用，例如经济学、物理学、工程学等。
本文将对一元函数求极值的概念、方法以及其应用进行论述。
一、一元函数求极值的概念一元函数是指只有一个自变量的函数，其一般形式可以表示为f(x)。
在一元函数中，我们关注的是函数在某个特定区间内的最大值和最小值，也就是极大值和极小值。
在求解一元函数的极值时，我们首先需要找到函数的驻点和临界点。
驻点是指函数在某一点上的导数等于零的点，也就是函数的极值点。
临界点是指函数在某一点上不存在导数的点，也可能是函数的极值点。
通过求解驻点和临界点，我们可以找到一元函数的极大值和极小值。
二、一元函数求极值的方法1. 导数法导数法是一种常用的求解一元函数极值的方法。
通过函数的导数，我们可以得到函数的斜率信息。
当函数的导数为零或不存在时，这些点可能是函数的极值点。
具体的求解方法是：(1) 求取函数的导数。
(2) 解方程f'(x)=0，求得函数的驻点。
(3) 确定驻点的类型，通过二阶导数或图像的凹凸性进行判断。
(4) 检查区间端点和临界点是否为极值点。
2. 区间划分法区间划分法是一种直观且容易理解的求解一元函数极值的方法。
通过将函数的定义域进行划分，分别求解每个子区间内的极值，最后比较得到全局的极值。
具体的求解方法是：(1) 将函数的定义域进行划分，可以选择等分或根据函数特性自行划分。
(2) 在每个子区间内求解极值，可以通过求导、构造等方法进行。
(3) 比较子区间内的极值，得到全局的极值。
三、一元函数求极值的应用1. 经济学中的应用在经济学中，很多问题都可以转化为一元函数求极值的问题。
比如，生产厂商要最大化利润，可以通过求解成本、收入等一元函数的极值来确定最佳生产规模。
又如，消费者要最大化满意度，可以通过求解效用函数的极值来确定最佳消费组合。
2. 物理学中的应用在物理学中，一元函数求极值被广泛应用于求解物理系统的最佳状态。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。
用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。
正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。
一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。
1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。
使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。
当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。
定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。
（1）若当时，当时，则在点取得最小值。
（2）若当时，当时，则在点取得最大值。
定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。
（1）若，则在取得极大值。
（2）若，则在取得极小值。
由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。
这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。
在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。
因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。
三角函数的极值和最值问题
三角函数的极值和最值问题三角函数是数学中常见的一类函数，其在解决各种实际问题中起着重要的作用。
本文将探讨三角函数的极值和最值问题，帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、极值问题的引入在开始我们的讨论之前，我们首先来了解下什么是极值。
在数学中，对于一个函数而言，当其在某个区间内取得最大值或最小值时，称该值为函数的极值。
对于三角函数而言，我们主要关注的是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）在一定区间内的极值问题。
二、正弦函数的极值问题正弦函数的图像是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，正弦函数的极大值为1，极小值为-1。
当我们需要求解正弦函数的极值时，首先要找到其周期。
正弦函数的周期为2π，即在[0, 2π]内，正弦函数呈现出一个完整的周期性。
因此，在该区间内，我们可以找到无穷多个极大值和极小值，均为1和-1。
三、余弦函数的极值问题余弦函数的图像也是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，余弦函数的极大值为1，极小值为-1。
与正弦函数类似，我们需要先找到余弦函数的周期。
余弦函数的周期同样为2π，在这个区间内，余弦函数的极大值和极小值也为1和-1。
因此，在[0, 2π]内，余弦函数也有无穷多个极大值和极小值。
四、正切函数的极值问题正切函数的图像呈现出周期性，其周期为π，即在[0, π]、[π, 2π]、[2π, 3π]等区间内，正切函数的极值问题也呈现出周期性。
在每个π的区间内，正切函数的极值均为无穷大，其中极小值是负无穷，极大值是正无穷。
所以，在正切函数的图像上，我们将无法找到具体的极值点。
五、总结与应用通过以上的分析，我们可以得出以下结论：1. 正弦函数和余弦函数在其周期内有无穷多个极值点，分别为1和-1。
2. 正切函数在其周期内没有具体的极值点。
在实际问题中，我们可以利用三角函数的极值和最值来解决一些优化问题。
例如，在物理中，我们可以通过极值问题来求解质点的最大位移、速度或加速度等。
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．
当 Ｙ＝ ） 点 ＝‰ 处 取得 极小 值时 的证 法 在
与取得 极大 值 的情形相 仿． ［ 明 ］ 根据 重 根 与 极 值 关 系 定 理 及 其 证 明 说 ：
过 程可 知 ： 对于 在 ０（ ， ） ８ 的二 阶 可微 函数 ） ，
关键词 ： 函数 ； 值 ； 根 极 重
中图 分 类 号 ： ７ ０ １４
文 献 标 识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：６ １ ６ ３ （ ０ ８ ０ ０ ７ ０ １ ７ — １２ ２ ０ ） ６— ０ ６— ２
本文将 讨论 连续 函数 Ｙ＝ （ 在点 ‰ 取 得 极 ／ ） 值与 方程 ）一 。 ）＝０的根 ＝ 。的重 数 的关
．
厂 。 ０ （ ）＝ 的偶 次 重根．
根 据极 值与重 根 的关 系 定 理 ，（ ｆ ）一 （ ）： ｆ 。 （ ‰）ｇ ） ｎ为 偶 自然 数 ， 。 ≠０ ． （ｉ 一 （ （ ｇ（ ） ） 由 ｉ ） ） 在 。 可微 ， 对该 式两 边求 导得
／ （ ＝ｎ — ） 一 （ ） （ 。 ）＋（ — 。 ） ｇ ）ｇ （ ，
２ 重 根 与 极 值 关 系 定 理 应 用 之 一
２ １ 费尔 玛定 理 的证 明 设 （ ） ． ｉ 函数 Ｙ＝ （ 在 ／ ） 点 。 极 大值 或 极 小 值 ； ｉ Ｙ＝ （ 在 点 。可 有 （ｉ ） ／ ） 微 ， 么／ （ 那 ）： ． ０ 证明 若 Ｙ＝ ） 点 ＝ 取 得 极 大值 ， 在 。 即 ） 。． ≤ ） 存在８＞ ， ０ 当 ∈０（ 。８ 时 ，）
维普资讯
第 ７卷 第 ６期
２００８牟 ６月
南 阳师 范学院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ Ｕ ｉ ｅ ｓ ｙ ｏ ｒ ａ ｆＮａ ｙ ｎ ｒ ｌ ｎ ｖ ｒｉ ｔ
Ｖｏ ． ． １７ Ｎｏ ６
Ｊｎ ２ ０ ｕ ． ０ ８
证明 由／ ）一 （ ）＝（ — ）ｇ ） ｎ∈ ． （ ｆ 。 。 （ （
（ ） — 。 当 ＞ 。 为正 ， 时 当 ＜ 。时为 负． 而 ， 从
次 重根 ， 则
）一 。 ）＝（ ）ｇ ） 其 中 ｎ为 — 。 （ ； ）一 。 ＝０的偶 ）
自然数 ， （ 为 连续可 微 函数且 ｇ ‰） ． ｇ ） （ ≠０
充分 性 ： 若 ： 是 方 程 。
且／ （ 口 ）＝（ 。 ｎ （ — ） 一［ ｇ ）＋（ ） ） ， — （ 根 与 极 值 关 系 定 理 ） 设 函 数 Ｙ＝ 重
） 在 。的某 ６邻 域 ０（ 。８ 内 可微 ， ｆ ） ，） 则 （ 在
。
取 得 极 值 的充 要 条 件 为 ＝ 。是 方 程 ｆ（ ）一 证明 若 ＝ 。为方 程 ｆ ）一 （ 。 ０的 ｎ （ ／ ）＝
从 而／ （。 ０ ）＝ ．
次 重 根 ， 即 ｎ为 偶 数 ， 而 ／（ 亦 从 ）一 。 ／（ ）＝
（ — ） （ （ ∈Ｎ） 若 ｇ ）＞ 因 为 ｇ ） 。 ｇ ） ｋ ． （ 。 ０， （ 为
连续 函数 ， 则存在 ８＞ 当 ∈０ ‰ ，） （ ）＞ ； ０， （ ８ 时ｇ ０
厂 在点 。 取得 极小值 ． （ ） 处 若 ｇ 。 ０ 则 ｆ ） （ ）＜ ， （ 在 。 取得 极 大 值 （ 处 证 法与 ｇ 。 ０的情形相 仿 ） （ ）＞ ．
贝 ／ ）一 （ ）＝（ — ）ｇ ） ｎ∈Ｎ， 。 ≠ ０． （ ／ 。 。 （ （ ｇ（ ）
０ ， ｎ为奇 数 ， ）若 则 。 不是 ）
） 的极 值 ； ｎ为 若
必要 性 ： Ｙ： （ 在 。处 取得 极 值 ， 妨设 若 ／ ） 不 其 取得 极 小 值 ， 存 在 ８＞０， ∈０（ ， ） 即 当 。 ８ 时
）一 。 Ｉ０ 且 ｇ ）＞ ） ， ＞ （ ０或 ｇ ）＜ （ 者 必 （ ０ 二 居其 一且 只其一 ） ． 若 ＝ 为 ％ 式 ）一 。 ０的奇次 重根 ， ）＝ 即等 ）一 ‰）＝（ — 。 （ 中 的 ｎ为 奇数 ， ）ｇ ） 则
一
类 函 数 极 值 的 应 用
肖泽 昌 ，吕冰 清
（ ． 阳理 工 学 院 ， 南 南 阳 ４ ３ ０ ； ． 南工 业 职 业 技 术 学 院 ， 南 南 阳 ４ ３ ０ ） １南 河 ７ ０９ ２ 河 河 ７０ ０
摘
要 ： 一 类 函数 极 值 与 重根 的关 系作 比较 深 入 的 探 讨 ， 就 并对 这 些 关 系作 一 些应 用研 究．
偶 数． 假 设 Ｙ＝ ） 点 。 取 得 极 大值 的情 形下 在 处
系 ， 利用 这 种 关 系 证 明微 分 中值 定 理 的基 本 定 并 理—— 费尔 玛定理 、 值 判 别法 两 个 定 理 ， 一 步 极 进 给出一些 函数 极值 的简 明求法．
的证 明方法 与取得 极小 值 的情形相 仿．
偶 数且 ｇ ）＞０ 则 。为极 小 点 ， ｎ为偶 数 且 （。 ， 若 ｇ ）＜０ 则 。为 极 大 点 （ 值 点 的 判 别 法 之 （。 ， 极
三 ） ．
２ ２ 极值 点 的第 二 判 别 法 定 理 的证 明 设 函数 ．
） 点 ‰ 二 阶 可 微 ， 且 ／ （ ）＝０ 如 果 在 并 。 ． ／” 。 ０ 那 么 。是 极 大 值 点 ； （ ）＜ ， 如果 ／” ）＞０ （ ， 那 么 ‰ 是极 小值点．