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高中新课程数学新课标人教A版选修微积分基本定理市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
普通地，原函数在[a，b]上改变量F(b)－
F(a)简记作F(x) 能够写成形式：
，b 所以微积分基本定理
a
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F
(b)
F (a)
第6页
例1.求y=sinx在[0,π]上阴影部分面积S.
解：S= 0 sin xdx
因为(－cosx)’=sinx， 所以－cosx是sinx一个原函数，
≈F ’[a+(n－2))△x]△x， hn=F(b)－F[a+(n－1)△x)
≈F ’[a+(n－1)△x]△x，
第4页
将上列n个近似等式相加，得到从A到
B所爬总高度
h=h1+h2+……+hn=F(b)－F(a)
n1
F '(a ix)x i0
由定积分定义可知：当△x→0时，
n1
b
F '(a ix)x F '(x)dx
解：首先要求出从刹车开始到停车经过了 多少时间。
当t=0时，汽车速度v(0)=32公里/小时 = 321000 米/秒≈8.88米/秒.
3600
第12页
刹车后汽车减速行驶，
其速度为 v(t)=v(0)－at=8.88－1.8t. 当汽车停住时，速度v(t)=0，
故从v(t)=8.88－1.8t=0解得 t= 8.88 4.93 秒.
假如总是用定义来求定积分，那将非
常麻烦，有时甚至无法计算。而求导数比
求定积分轻易得多。17世纪，牛顿和莱布
尼茨找到二者之间关系。
我们还是从爬山说起。
如图，把地平面取作
横坐标轴，y=F(x)是
同济六版高等数学下册9-3PPT课件
z Ax By o( )
其中 A, B不依赖于x, y 而仅与 x, y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数z f ( x, y)在点
( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y )在 点( x, y)的全微分，记为dz ， 1、判断函数可微的方法。2、
即 dz= Ax By. 如果可微，那么A,B是什么？
1x 2y
1 2 0 0,
1x 2y o( ), 故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
11
习惯上把自变量的增量用微分表示,故 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之 和这个事实称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元函数:
其中1为x, y的函数, 且当x 0, y 0时，1 0. 同理 f ( x, y y) f ( x, y) [ f y ( x, y) 2 ] y,
且当x 0, y 0时， 2 0 .
[ lim x x0
f x
A
f x
A ,
0(x
x0 )]
10
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
dx ，dy 时的全微分.
4
解
z y sin( x 2 y), x
4
二、全微分存在的必要条件和充分条件 定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在
点( x, y)可微分，则该函数在点( x, y)的偏导 数 z 、z 必存在，且函数z f ( x, y)在点
x y ( x, y)的全微分为
dz z x z y x y
5
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
其中 A, B不依赖于x, y 而仅与 x, y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数z f ( x, y)在点
( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y )在 点( x, y)的全微分，记为dz ， 1、判断函数可微的方法。2、
即 dz= Ax By. 如果可微，那么A,B是什么？
1x 2y
1 2 0 0,
1x 2y o( ), 故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
11
习惯上把自变量的增量用微分表示,故 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之 和这个事实称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元函数:
其中1为x, y的函数, 且当x 0, y 0时，1 0. 同理 f ( x, y y) f ( x, y) [ f y ( x, y) 2 ] y,
且当x 0, y 0时， 2 0 .
[ lim x x0
f x
A
f x
A ,
0(x
x0 )]
10
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
dx ，dy 时的全微分.
4
解
z y sin( x 2 y), x
4
二、全微分存在的必要条件和充分条件 定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在
点( x, y)可微分，则该函数在点( x, y)的偏导 数 z 、z 必存在，且函数z f ( x, y)在点
x y ( x, y)的全微分为
dz z x z y x y
5
证 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)可微分,
全微分ppt课件-精品文档
9.3 全微分
教学要求：理解多元函数全微分的概念；会求函 数的全微分；了解多元函数可微的必要条件和充 分条件.
一、全微分的定义
一元: y = f(x+x) - f(x) = f (x) x+(x)
增量
线性主部, dy
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x ,y ) x x
f ( x x , y ) f ( x , y ) z , lim A x 0 x x
同理可得
z B . y
所以，当函数可微时，全微分可写成
d z f ( x , y ) x f ( x , y ) y x y
若分别取 z = x 和 z = y ，则
f ( x x, y y) f ( x, y) x, y 的 为 函 数 在 点P对 应 于 自 变 量 增 量 全 增 z ， 量 ， 记 为 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
全微分的定义
如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于
x x
例如： S x 2
xx ( x ) 2
d S 2 x x
S x 2 xx
考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：Sxy 当两边长分别取得增量 x和 y时的改变量
y x x y x y S ( x x ) ( y y ) x y
xy (x2 y2 ) 0 | | 2 2
教学要求：理解多元函数全微分的概念；会求函 数的全微分；了解多元函数可微的必要条件和充 分条件.
一、全微分的定义
一元: y = f(x+x) - f(x) = f (x) x+(x)
增量
线性主部, dy
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x ,y ) x x
f ( x x , y ) f ( x , y ) z , lim A x 0 x x
同理可得
z B . y
所以，当函数可微时，全微分可写成
d z f ( x , y ) x f ( x , y ) y x y
若分别取 z = x 和 z = y ，则
f ( x x, y y) f ( x, y) x, y 的 为 函 数 在 点P对 应 于 自 变 量 增 量 全 增 z ， 量 ， 记 为 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
全微分的定义
如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于
x x
例如： S x 2
xx ( x ) 2
d S 2 x x
S x 2 xx
考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：Sxy 当两边长分别取得增量 x和 y时的改变量
y x x y x y S ( x x ) ( y y ) x y
xy (x2 y2 ) 0 | | 2 2
高数同济六版课件D93全微分
无条件极值
一阶必要条件
二阶充分条件
多元函数极值问题
要点三
条件极值
求函数$z=f(x,y)$在条件$varphi(x,y)=0$下的极值问题。
要点一
要点二
拉格朗日乘数法
构造函数$L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$，将条件极值问题转化为无条件极值问题，即求$L(x,y,lambda)$的极值点。
高数同济六版课件d93全微分
全微分概念及性质 多元函数微分法 全微分在几何中的应用 全微分在经济学中的应用 数值计算与误差估计 总结与展望
contents
目 录
01
全微分概念及性质
全微分定义与几何意义
全微分定义
几何意义
全微分描述了函数在一点附近的变化率，其几何意义是切平面上的增量。当函数在某点的全微分存在时，该点处的切平面与函数图像近似重合。
全微分的定义与几何意义
全微分的计算主要依赖于偏导数，通过求偏导数再乘以自变量的微分，最后相加即可得到全微分。
全微分的计算法则
难点问题剖析及解决思路
偏导数表示函数对某一自变量的偏导数，而全微分则表示函数对所有自变量的偏导数之和。理解这一关系是全微分计算的关键。
复合函数的全微分计算
对于复合函数，需要先求出中间变量的偏导数，再代入全微分的计算公式中进行计算。
微分中值定理与推广
微分中值定理是微分学中的基本定理之一，它揭示了函数值与导数之间的关系。了解这些定理及其推广有助于更好地理解全微分的计算法则。
01
02
03
拓展知识点推荐阅读资料
下一讲将介绍多元函数的极值与最值问题，包括无条件极值、条件极值以及最值问题的求解方法。
一阶必要条件
二阶充分条件
多元函数极值问题
要点三
条件极值
求函数$z=f(x,y)$在条件$varphi(x,y)=0$下的极值问题。
要点一
要点二
拉格朗日乘数法
构造函数$L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$，将条件极值问题转化为无条件极值问题，即求$L(x,y,lambda)$的极值点。
高数同济六版课件d93全微分
全微分概念及性质 多元函数微分法 全微分在几何中的应用 全微分在经济学中的应用 数值计算与误差估计 总结与展望
contents
目 录
01
全微分概念及性质
全微分定义与几何意义
全微分定义
几何意义
全微分描述了函数在一点附近的变化率，其几何意义是切平面上的增量。当函数在某点的全微分存在时，该点处的切平面与函数图像近似重合。
全微分的定义与几何意义
全微分的计算主要依赖于偏导数，通过求偏导数再乘以自变量的微分，最后相加即可得到全微分。
全微分的计算法则
难点问题剖析及解决思路
偏导数表示函数对某一自变量的偏导数，而全微分则表示函数对所有自变量的偏导数之和。理解这一关系是全微分计算的关键。
复合函数的全微分计算
对于复合函数，需要先求出中间变量的偏导数，再代入全微分的计算公式中进行计算。
微分中值定理与推广
微分中值定理是微分学中的基本定理之一，它揭示了函数值与导数之间的关系。了解这些定理及其推广有助于更好地理解全微分的计算法则。
01
02
03
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下一讲将介绍多元函数的极值与最值问题，包括无条件极值、条件极值以及最值问题的求解方法。
高等数学全微分方程精品PPT课件
dx x
dy y
0
即 d 1 d( ln x ) d( ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
练习题 解方程 y d x ( y x) d y 0.
解法1 积分因子法. 原方程变形为
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
(
x
y x2
)
dx
1 x
dy
0
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x, y) D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
高数 全微分_图文(稻谷书苑)
令f x ( x 1x, y y) f x ( x, y) 1 其中1 0(x 0, y 0)
13
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y f x ( x, y)x f y ( x, y)y 1x 2y
解 设z f ( x, y) x y , 利用函数 f ( x, y) x y
在点 ( x0 , y0 ) (1, 2)处的可微性, 可得
(1.04)2.02 f (1.04, 2.02) f (1, 2) z
f (1, 2) dz
f (1, 2) f x (1, 2)x f y (1, 2)y
答: 如果函数 z f ( x, y)在点( x, y) 可微分, 则函数在该点连续. 事实上, 由全微分的定义有
z Ax By o( )
可得 lim z limAx By o( ) 0
0
0
显然, 多元函数可微必连续
连续的定义
不连续的函数 一定是不可微的.
8
全微分
一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函回数忆的:一各元偏函导数数的存可在导与可全微微的分关存系在? ．
x y 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和 称为二元函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况. 如三元函数 u f ( x, y, z),则
du u dx u dy u dz. x y z
18
全微分
例 计算函数 z x2 e xy 在点 (1,2)的全微分.
z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
13
全微分
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时,2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y f x ( x, y)x f y ( x, y)y 1x 2y
解 设z f ( x, y) x y , 利用函数 f ( x, y) x y
在点 ( x0 , y0 ) (1, 2)处的可微性, 可得
(1.04)2.02 f (1.04, 2.02) f (1, 2) z
f (1, 2) dz
f (1, 2) f x (1, 2)x f y (1, 2)y
答: 如果函数 z f ( x, y)在点( x, y) 可微分, 则函数在该点连续. 事实上, 由全微分的定义有
z Ax By o( )
可得 lim z limAx By o( ) 0
0
0
显然, 多元函数可微必连续
连续的定义
不连续的函数 一定是不可微的.
8
全微分
一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函回数忆的:一各元偏函导数数的存可在导与可全微微的分关存系在? ．
x y 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和 称为二元函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况. 如三元函数 u f ( x, y, z),则
du u dx u dy u dz. x y z
18
全微分
例 计算函数 z x2 e xy 在点 (1,2)的全微分.
z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
高等数学下册-全微分课件
全微分的应用实例
01
近似计算
全微分可用于近似计算函数在某 一点的增量。
导数应用
02
03
物理应用
全微分与偏导数的关系可用于解 决实际问题中的优化问题，如最 值问题、极值问题等。
全微分在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、电磁场等物理 量的计算。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题部分
题目1
计算函数$f(x, y) = x^2 + y^2$在点$(2, -3)$的全 微分。
率。
全微分与偏导数的关系式
全微分等于所有偏导数与自变量增量乘 积的和。
全微分公式：(dz = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz)
全微分公式适用于多元函数的可微 性，是微积分中的基本概念。
02
全微分具有连续性，即当函数在某点处可微时，其全
微分在该点连续。
03
全微分具有局部性，即全微分只在函数可微的点处有
意义，且与自变量的具体取值无关。
02
CATALOGUE
全微分的计算
函数的全微分
定义
函数在某点的全微分是该函数在该点的微分的 线性主部。
计算方法
根据定义，全微分等于所有偏导数与相应变量 的乘积之和。
题目2
已知函数$f(x, y) = sin(x + y)$，求在点$(1, frac{pi}{2})$的全微分。
题目3
设函数$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$，求在点$(1, 1)$的全微分。
高等数学课件--D9_3全微分
x x
z x z y
lim xz x
x 0
x
A
Ax o ( x )
同样可证
2012-10-12
B , 因此有
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
xy
反例: 函数 f ( x, y )
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0,
x y 0
2 2
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
x y ( x) ( y )
2
x y ( x) ( y )
[ f ( x x, y y ) f ( x, y y )] [ f ( x, y y ) f ( x, y )]
f x ( x 1 x, y y ) x f y ( x, y 2 y ) y ( 0 1 , 2 1 ) [ f x ( x, y ) ] x [ f y ( x, y ) ] y
S a
δ
a
S b
δ b
S C
δC
1
2 2 2 a 12.5, b 8.3 , C 30, δ a δ b 0.01, δ C
b sin C δ a
1
a sin C δ b
1
ab cos C δ π
C
故绝对误差约为 又
1 2
1800
12.5 8.3 sin 30 25.94
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f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， A x B y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
二、可微的条件
定理 1（必要条件）
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点 ( x , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分 y z z 为 dz x y x y
可微分．
函数连续
偏导数存在
全微分存在
多元函数连续、 可导、可微的 关系
偏导数连续
作
业
P77 习题9-3
1(4)，2
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
如果函数 z f ( x , y ) 在点
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 .
例如, 三元函数 u f ( x, y, z ) 的全微分为 u u u x du y z x y z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u dz z
例1. 计算函数 解: d u 例2. 计算函数
y 1 ( 2 cos 2
的全微分.
ze y z ) d y
在点 (2,1) 处的全微分.
z xy y e , 解: x
z xy x e y
z e2 , x (2,1)
z 2e 2 y (2,1)
第九章 多元函数微分法及其应用 §9.3 全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
练习1 计算函数
的全微分.
1 x dz ( y )dx ( x 2 )dy y y
练习2 计算函数 在点(1,1)处的全微分.
z 2, x (1,1)
z 0 y (1,1)
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y
d z d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
二、可微的条件
定理 1（必要条件）
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点 ( x , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分 y z z 为 dz x y x y
可微分．
函数连续
偏导数存在
全微分存在
多元函数连续、 可导、可微的 关系
偏导数连续
作
业
P77 习题9-3
1(4)，2
z z 习惯上，记全微分为 dz dx dy. x y
如果函数 z f ( x , y ) 在点
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 .
例如, 三元函数 u f ( x, y, z ) 的全微分为 u u u x du y z x y z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u dz z
例1. 计算函数 解: d u 例2. 计算函数
y 1 ( 2 cos 2
的全微分.
ze y z ) d y
在点 (2,1) 处的全微分.
z xy y e , 解: x
z xy x e y
z e2 , x (2,1)
z 2e 2 y (2,1)
第九章 多元函数微分法及其应用 §9.3 全微分
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
练习1 计算函数
的全微分.
1 x dz ( y )dx ( x 2 )dy y y
练习2 计算函数 在点(1,1)处的全微分.
z 2, x (1,1)
z 0 y (1,1)
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x , y ) 的偏
z z ( x, y) 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点 x y