常微分方程第三版
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常微分方程第三版全文
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
高等数学(第三版)课件：常微分方程的基本概念
y 1 (e2x e2x ). 4
y' |xx0 y'0 , 或 y'(x0 ) y'0 , 其中x0 , y0 , y'0都是已知值. 一般地，对于n阶微分方程需给出n个初值条件：
y(x0 ) y0，y'(x0 ) y'0 ,，y(n1) (x0 ) y0(n1) .
4.微分方程的解的几何意义 微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通
(11)
的特解.
解 将函数y C1e2x C2e2x分别求一阶及二阶导数， 得 y' 2C1e2x 2C2e2x，
y" 4C1e2x 4C2e2x，
把它们代入微分方程(10)的左端，得
y" 4 y 4C1e2x 4C2e2x 4C1e2x 4C2e2x 0
所以函数y C1e2x C2e2x是所给微分方程(10)的解. 又因这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数
微分方程的基本概念
一、引例 二、微分方程的一般概念
一、引例
例1 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y y(x).由导数的几何意义得
dy 3x2 , d(1,2)，故y y(x)应满足条件：
解 设物体在时刻t所经过的路程为s s(t), 根据牛顿 第二定律可知，作用在物体上的外力mg(重力) 应等于物体的质量m 与加 速度的乘积，于是得
m d2s mg，即 d2s g
(5)
dt 2
dt 2
其中g是重力加速度.
将上式改写为
d dt
ds dt
g，
因此可得
《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案
e 8 : dy = −
y2 +3x
dx
y
解：变量分离，得 y dy = − 1 3x + c
e e y2
3
9 : x(ln x − ln y)dy − ydx = 0
解：方程可变为：− ln y • dy − y dx = 0
x
x
令u = y ,则有：1 dx = − ln u d ln u
x
x
1 + ln u
两 边 积 分 得 arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以 x(t)=tg[x’(0)t+c] 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42）
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11. dy = (x+ y)2 dx 解：令x + y = t,则 dy = dt + 1
dx dx 原方程可变为：dt = 1 + 1
dx t2
变量分离得： 1 dt = dx, 两边积分arctgt = x + c
t2 +1
代回变量得：arctg(x + y) = x + c
12． dy = 1
所以 x(0)=0. x’(t)= lim x(t + Δt) − x(t) = lim x(Δt)(1 + x2 (t)) = x'(0)(1 + x2 (t) )
Δt
Δt[1 − x(t)x(Δt)
dx(t) = x'(0)(1 + x2 (t)) dt
常微分方程(第三版)
常微分方程（第三版） 习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
《常微分方程》第三版答案
《常微分方程》第三版答案习题1.2 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y =ce x11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d( 21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2 y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明：令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程1.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程.第3版
常微分方程.第3版
出版社高等教育出版社
《常微分方程（第三版）》是由王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，朱思铭、王寿松、李艳会修订，高等教育出版社2006年出版的“十一五”国家级规划教材、“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。
该书可作综合大学和师范院校数学与应用数学专业，以及师范专科学校数学系常微分方程课程的教材和各高校数学模型课程的参考资料。
全书共分七章，主要包括一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程、一阶线性偏微分方程、边值问题等内容。
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即 f(x)2xd x C x2C .
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式
子求得 u与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
.
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
因为 I dQ , 于是得到 dt
d2I RdI I 1d(et)
d2tLdtLC L
. dt
这就是电流强度I与时间t所满足的. 数学关系式.
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
.
解: 电路的Kirchhoff第二定律:
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L dI , RI, Q, 其中Q 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 dt C
e(t)LdIR IQ0. dt C
.
解: 设t时该时镭元素的量为R(t),
由于镭元素 是 R 的 (t)对 衰时 变间 律的 d就 (R t变 ), dt
依题目中给出镭元衰 素变 的律可:得
dR
dt
k R,
R(0)R0
这里 k0,是由R于 (t)随时间的增加.而减少
解之得: R(t)R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
.
假设在疾病传考 播察 期地 内区 所的N不 总变 ,人数 时间以天为计 ,假量 设单 条位 :件为
(1 )在 时 刻 t人 群 中 易 感 染 者 (健 康 )和 已 感 染 者 (病 人 )在 总 人 数 中 所 占 比 例 分 别 为 s(t)和 i(t).
(2)每个病人每天的 有平 效均 接人 触 , 数是 称日接.触率 .
教材及参考资料 教 材：常微分方程，(第二版）（97年国家教委一等奖），
王高雄等编（中山大学), 高教出版社。 参考书目： 常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。
常微分方程稳定性理论. ，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人.
由于病人总人数为 Ni(t),
所以每天共ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ns(t)个健康者被感染.
于是病人增加率为
N di Nsi,
dt
又因 s(t)i(t)1,再由初始条件得
di i(1i)
dt
i(0) i0 .
思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u (t ). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
ddut k(uua),
其中 k 0为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
u 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间的函数关系,而只是
常微分方程
常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
.
例1 镭的衰变规律:
设镭的衰变规律该 与现 该有 时的量成, 正比 且已知 t 0时,镭元素的量 R0克 为,试确定在 任意t时该时镭元素. 的量
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
u0 150C,10分钟后测量得温度为u1100C.试决定此物
体的温度 u和时间 t 的关系.
Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一
的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程.
解: 过点(x, y)的切线的横截距与距纵分截别:为
x
y y'
和y
x
y'.
由题目条件有: 12(xyy' )(yxy')a2
.
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲 线所满足的微分方程.
解: 设所求的曲线方程为 y f(x). 由导数的几何意义, 应有
.
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代 数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。