12.3.2角平分线的性质(2)(19)
角平分线的性质(二)
§12.3 角平分线的性质（二）【教学目标】1、让学生理解角平分线性质的逆定理并能灵活应用进行有关的计算和证明；2、能够按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明并规范学生书写；3、经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
【教学重点与难点】教学重点：角平分线性质的逆定理的证明和应用；教学难点：角平分线性质的逆定理的应用；【教学手段】多媒体。
【教学方法】讨论法、讲授法、情境教学法。
【教学过程】【复习回顾】首先请同学回忆上节课内容，角平分线的性质是什么？我们是如何证明的？简单回顾一下。
如图，在△ABC 中，AB=AC,AD 是∠BAC 的角平分线DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E 、F ，有下列四个结论：①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的结论是：_____学生回答：教师总结：本题综合运用了三角形全等和角平分线性质定理来解题，那么同学们要注意理解角平分线的性质定理。
今天这节课我们接着来探讨角平分线的性质定理。
【讲授新课】思考：我们知道，命题有原命题和逆命题，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，它的逆命题成立吗？你能把它写出来吗？1.讨论归纳：学生自主探究，教师提醒。
2.多媒体展示并证明逆定理注意让学生明确命题中的已知和求证，把文字语言转化数学语言，图形结合，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
教师总结：已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的平分线上．B A E DC F证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠ QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上教师总结：所以，我们发现角平分线的性质逆定理是成立的，即角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意数学符号语言是怎么表示的。
角平分的性质(第2课时)
12.3.2 角平分线的性质（2）教学设计一、内容和内容解析1.内容角平分线的性质的逆定理，即角平分线的判定。
2.内容解析角平分线的性质的逆定理是在学生学习了角平分线性质的基础上，进一步研究角平分线的判定方法。
角平分线的性质的逆定理的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质的逆定理提供了思路和方法。
这是全等三角形知识的运用和延续。
角平分线的性质的逆定理证明，运用了三角形全等的“HL”判定方法和全等三角形的性质。
角的平分线的性质的逆定理提供了之前所学“三角形三条角平分线交于一点”的猜想的证明，同时还能得到这个交点到三角形三边的距离相等的结论，是今后学习圆的内心的基础。
基于以上法分析，确定本节课的教学重点：证明角平分线的性质的逆定理。
二、目标和目标解析1、目标（1）证明角的平分线的性质（2）能用角的平分线的性质的逆定理解决简单问题。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能在教师的引导下或与同学合作，经历猜想、验证的过程，并能运用三角形全等的“HL”的判定方法和全等三角形的性质证明角平分线的性质的逆定理。
达成目标（2）的标志是：能直接利用角平分线的性质的逆定理进行简单的计算和相关的证明。
三、教学问题诊断分析在本课的学习中，学生在解决问题时，对应当使用角平分线的性质还是角平分线的性质的逆定理常常感到很困难，其主要原因是没有理解好这两者之间的区别和联系。
教学时，教师在引入课题部分，通过类比设置疑问的方式引起学生对此问题的注意；在证明定理后，又引导学生从两个定理的已知、结论、作用等方面进行对比、分析；在巩固练习时，带领学生从已知及求证的内容出发分析问题，对应当使用何种定理进行判断，从而使学生能准确运用角平分线性质定理的逆定理解决问题。
基于以上分析，确定本节课的教学难点：运用角平分线的性质的逆定理解决问题。
四、 教学过程设计1、 知识回顾如图，已知点P 是∠AOB 的平分线上的一点，PD ⊥AO,PE ⊥BO ，垂足分别为D ，E 。
12.3角的平分线的性质(2)
12.3角的平分线的性质(2)〖课前回顾〗如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 ．若AC ∶AB ＝3∶5,则S △AC D S △ADB =〖学习目标〗 1.能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，2能够利用角平分线的性质和判定解决一些实际问题〖自主学习〗。
1.阅读课本P49思考，完成下列问题．角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：几何语言：2.阅读课本P50的例题并完成书中问题：点P 在∠BAC 的平分线上吗？3题图 DC B A巩固练习：1.如图，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ．求证：点D 在∠BAC 的角平分线上．2.如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD 相交于点O,OB=OC, 求证∠1=∠2〖课堂小结〗本节课你有什么收获？〖自我测试〗1.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有： ( )A ．1个B ．2个C 3个D ．4个A B CD EF课后作业:1、下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，求证DF=EF.3、已知，如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，ME ⊥AD 。
12.3.2角平分线的性质(2)
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE
A
D
C P O E B
P到OA的距离 角平分线上的点 P到OB的距离
不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
再 见
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G. 求证: AD平分∠BAC. A
D M 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， 结论：三角形的三条角平分线交于 C B E 一点，并且这点到三边的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理，PE=PF. 想一想，点P在∠A的平分线上 ∴PD＝PE=PF. 吗？这说明三角形的三条角平分线 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 有什么关系？ N P F
课堂练习
12.3 角的平分线的性质 第2课时 角平分线的判定
面积
周长
条件
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.这个交点叫作三角形的内心.
到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
B
变式：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
角的平分线的性质(第2课时)精选教学PPT课件
A M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则
OQ是∠AOB 的平分线；
(X )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题： （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能ห้องสมุดไป่ตู้明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
应用角平分线性质定理的逆定理
距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．(√ )
A
M
Q
O
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路的距离相等．
（1） 这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可 建多少个？
S
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两 条公路的距离相等．
P NM
变式拓展
变式2 如图，P 点是△ABC
A
的两个外角平分线 BM，CN 的交
点，求证：点 P 在∠BAC 的平分 B
C
线上．
P NM
变式拓展
变式3 如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建 在何处？
人教版数学八年级上册知识分类训练-12.3-角平分线的性质(含详案)
人教版八年级上册知识分类训练12.3 角平分线的性质1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．5、尺规作角的平分线：画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．所以，射线ＯＣ即为所求．针对训练1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（ ）A．4B．3C．2D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）A．12B．18C．24D．363．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（ ）A．3.9B．4C．4.3D．5.54．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1B．2C．3D．45．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为（ ）A．15B．12C．8D．66．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．A．24B．27C．30D．337．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD ＝ ．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为 ．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为 ．10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 ．11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明AP＝AQ．15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P作PE⊥AO于E，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，∴PE＝PD＝2，∴点P到OA的距离是2．故选：C．2．解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，∴PQ≥4，∴PQ的长不可能3.9．故选：A．4．解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝4，∵BC＝6，∴△BCD的面积＝BC•DE＝×6×4＝12，故选：B．6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝h，∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，∴AB•h+AC•h＝14，即×5h+×2h＝14，解得h＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×5×4＝10．故答案为：10．8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝10，△ADB的面积是15，∴，∴DE＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4，故答案为：4．10．解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，故答案为：10．11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，又∵AB＝6，BC＝4，∴＝．12．证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD是△ABC的角平分线．13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；（2）证明：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠BAC＝90°∴∠AQP+∠ABQ＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠CBQ+∠BPD＝90°，∵∠ABQ＝∠CBQ，∴∠AQP＝∠BPD，又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠AQP＝∠APQ，∴AP＝AQ．15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．17．（1）解：∵∠ACB＝110°，∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∵∠CEH＝55°，∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF；（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB•EM＝．。
人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质教学设计
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给出一些实际的几何问题，让学生运用角平分线的性质进行解决。例如，证明一条线段是某个角的平分线，或者求解一个角的度数等。学生会在小组内进行讨论和合作，共同解决问题。通过这样的讨论，学生能够更好地理解和运用角平分线的性质，并培养他们的合作和交流能力。
2.实践性作业：我会设计一些实际问题，让学生运用所学的角平分线性质进行解决。例如，设计一道题目要求学生测量一张纸张的某个角的平分线长度，或者求解一个实际图形中某个角的度数等。通过这样的实践性作业，学生能够将所学的知识运用到实际问题中，提高他们的实践操作能力。
3.合作性作业：我会设计一些需要学生合作完成的作业，让他们在小组内进行讨论和交流。例如，设计一道题目要求学生共同探究角平分线的性质，并用自己的语言进行描述和证明。通过这样的合作性作业，学生能够培养合作和交流的能力，提高他们的团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
在本节课的教学中，学生将培养以下情感态度和价值观：
1.对数学学习的兴趣：学生通过观察和实验，发现角平分线的性质，增强对数学学习的兴趣；
2.探究精神：学生在探索角平分线的性质的过程中，培养独立思考和解决问题的能力；
3.合作意识：学生在与同伴的合作与交流中，培养团队协作的能力，提高沟通和表达能力；
4.严谨态度：学生在学习和证明角平分线的性质时，培养严谨的科学态度，注重细节和逻辑性。
二、学情分析
在开展人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质的教学之前，对学生的学情进行分析是必要的。首先，学生在之前的学习中已经掌握了角的概念、线段的长度等基础知识，具备了一定的几何图形观察和推理能力。然而，对于角平分线的性质，他们可能还没有直观的认识，需要通过观察、实验和证明来建立。
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12.3.2角平分线的性质（2）班级___ ___姓名座号_____ 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
2.根据图1填空：
（1）∵⊥，⊥，
且＝，
∴OQ平分∠AOB
2.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一
定正确的是（）
A.AE=BE
B.DB=DE
C.AE=BD
D. ∠BCE=∠ACE
3.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．
°．
5. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
第2题图第3题图第4题图第5题图
6．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．
7. 如图，AB AC
，表示两条相交的公路，现要在BAC
的内部建一个物流中心．设计时
图1
_D
_C
_Q
_B
_A
_O
要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1 000米． （1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置P ．
第8题图 第7题图
8．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有几处，请用尺规作图将地址标出 9. PB ，PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于P ．求证：P 在∠A 的平分线上
10.已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠． （1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论． （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．。