1.1.1相似三角形判定定理
数学人教B版教材目录(必修选修)
数学人教B版教材目录（必修选修）人教B版-----------------------------------必修1-----------------------------------第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图形（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点求函数零点2.4.2近似解的一种方法----二分法第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）-----------------------------------必修2-----------------------------------第一章立体几何初步1．1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1．2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2．3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2．4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式-----------------------------------必修3-----------------------------------第一章算法初步1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1．2基本算法语句1.2.1赋值、输入、输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2．2用样本估计总体2.2.1用样本的频率估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2．3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3．1随机现象3.1.1随机事件3.1.2时间与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3．2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3．3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3．4概率的应用-----------------------------------必修4-----------------------------------第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1．2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系1.2.4诱导公式1．3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2．1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与向量坐标运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线的条件2．3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2．4向量的应用2.4.1向量在集合中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3．2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3．3三角函数的积化和差与和差化积-----------------------------------必修5-----------------------------------第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2．2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的.第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2．3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的几何性质第三章导数及其应用3．1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何含义3．2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3．3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法与除法第四章框图,4.1流程图4.2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的.第二章锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常用函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数学特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行切割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定第二章圆锥、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义-----------------------------------选修4-2-----------------------------------第一章二阶矩阵与平面图形的变换1.1二阶矩阵1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.1二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.2矩阵变换1.2.3几类特殊的矩阵变换1.3二阶方阵的乘法1.3.1二阶方阵的乘法1.3.2矩阵乘法的运算律第二章逆矩阵及其应用2.1逆矩阵2.1.1逆矩阵的定义2.1.2逆矩阵的性质2.1.3用二阶行列式求逆矩阵2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.1二元一次方程组解的含义2.2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.3解的存在性与唯一性第三章变换的不变量3.1平面变换的不变量3.1.1特征值与特征向量3.1.2特征值与特征向量的求法3.1.3特征值的不变性n3.2A?的简单表示-----------------------------------选修4-4-----------------------------------第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆a,?1.4.2圆心在点?2?处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程-----------------------------------选修4-5-----------------------------------第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.3.1，a某?b，≤c,，a某?b，≥c型不等式的解法1.3.2，某?a，+，某?b，≤c,，某?a，+，某?b，≥c型不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法1.5.1比较法1.5.2综合法和分析法1.5.3反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明内努利不等式。
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.1相似三角形判定定理学业分层测评新人教B版选修4_1
1.1.1 相似三角形判定定理(建议用时：40分钟)[学业达标] 一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1111，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图1111【解析】 △ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，∠ABC ＝135°.选项A 的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和2，根据相似三角形的判定定理知，两三角形相似，故选A. 【答案】A2.如图1112，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BM CN ，下列结论中正确的是( )图1112A.△ABM ∽△ACBB.△ANC ∽△AMBC.△ANC ∽△ACMD.△CMN ∽△BCA【解析】 ∵CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM ， ∵∠AMB ＝∠CNM ＋∠MCN ， ∠ANC ＝∠CMN ＋∠MCN ， ∴∠AMB ＝∠ANC .又AM AN ＝BM CN ，∴△ANC ∽△AMB . 【答案】B3.如图1113，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO 等于( )图1113 A.255B.13C.23 D.12 【解析】 ∵AF ⊥DE ， ∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ，∴AO DO ＝AE DA ＝12. 【答案】D4.如图1114所示，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为( )图1114 A.4 B.4.5 C.5D.6 【解析】 ∵E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由平行线的性质，得△FEG ∽△CBG ， ∴FG GC ＝EF BC ＝12. 又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6. 【答案】D 二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1115所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝________(用a ，b 表示).。
对顶角的相似三角形-概述说明以及解释
对顶角的相似三角形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在几何学中，顶角的概念是非常重要的。
顶角是指两条边的交点所形成的角度，它能够帮助我们理解三角形的形状和性质。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，而顶角相似三角形则是指具有相似顶角的三角形。
本文将探讨顶角相似三角形的定义、性质以及其在实际应用中的重要性。
通过对顶角相似三角形的研究，我们可以更好地理解几何学中的基本概念，并且能够应用到实际问题中去解决。
1.2 文章结构文章结构部分描述了整篇文章的组织框架，其中包括引言、正文和结论三个主要部分。
在引言部分，我们将介绍文章的背景和目的，引导读者进入主题。
正文部分将详细讨论顶角的概念、相似三角形的定义以及顶角相似三角形的性质，通过解释和举例来帮助读者理解相关概念。
最后，在结论部分，我们将对文章进行总结，讨论相似三角形在实际生活中的应用及其重要意义。
整篇文章的结构清晰，逻辑性强，旨在帮助读者全面了解和掌握对顶角的相似三角形的理解。
1.3 目的：本文旨在探讨对顶角的相似三角形的性质及应用，通过对顶角概念和相似三角形定义的介绍，深入研究顶角相似三角形的性质，以便读者更好地理解和应用这一概念。
通过本文的研究，我们将能够更清晰地认识相似三角形在几何学中的重要性和实用性，为进一步学习和应用几何知识打下基础。
同时，通过具体的例子和实际应用，我们也将展示对顶角相似三角形在实际生活和工作中的应用场景，为读者提供更多的思考和启发。
通过本文的阐述，我们旨在帮助读者深入理解对顶角的相似三角形，拓展他们的思维和解决问题的能力。
2.正文2.1 顶角的概念:在几何学中，顶角是指两条直线相交形成的两个相邻的角中的一个角。
通常我们用字母来表示顶角，比如∠A和∠B是相邻的两个角，其中∠A被称为顶角。
顶角的大小通常是以度或弧度来表示，度是常用的角度单位，而弧度则是以圆的弧长作为度量单位。
顶角在几何学中有着重要的作用，在研究三角形的相似性时，顶角的概念尤其重要。
《1.1.1相似三角形判定定理》教学案1
《1.1.1相似三角形判定定理》教学案【教学目标】1.使学生理解相似三角形和相似比的概念，掌握相似三角形的判定定理，会灵活运用这些定理解决一些简单的证明和计算问题.会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似.2.通过相似三角形判定定理的学习，要求了解类比方法的作用，认识类比方法是获取新知识的一种重要方法.【重点和难点】相似三角形的有关概念及相似三角形的基本定理.【教学过程】一、相似三角形【知识要点】1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”.3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比.4.相似三角形的判定定理：定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，(简叙为两角对应相等两三角形相似).定理2：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似.)定理3：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)二、思考探究(1)相似三角形的定义中突出的一个特征是“形状相同但大小不一定相同”，这是和全等三角形的重点区别，以下表中我们也可以看出：全相(2)表示两个三角形相似时注意通常要把表示对应顶点的字母写在相应的位置上，这样比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.例如：如图图中A 对应着P ，B 对应着M ，C 对应着N .因此两个三角形相似应写为△ABC ∽ △PMN .三、相似三角形的判定定理.(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.这就是从一个基本问题出发运用类比，联想特殊到一般反过来指导特殊的思维方法.从而发散我们的思维.提高我们分析问题和解决问题的能力.四、典型例题例1 已知点A ，B ，C 在∠O 的一边l 上，点A ’，B ’，C ’在另一边l ’上，并且直线AB ’//BA ’，BC ’//CB ’.求证：AC ’//CA ’.证明：因为AB ’//BA ’，BC ’//CB ’，所以'','',OAB OBA OBC OCB ∆∆∆∆∽∽ (相似三角形的判断定理1).设两对相似三角形的相似比分别为12,,k k 则112211222112,'',,'',OA ()OC,''()OA','.'OA k OB OB k OA OB k OC OC k OB k OB k k OC k OB k k OA OC k k OC OA ==========所以所以又因为∠O 为△AOC ’和△COA ’的公共角，所以 △OAC ’ ∽ △OCA ’，(判定定理2) 所以∠OAC ’=OCA ’. 因此，AC ’//CA ’.例2 求证：顺次连接三角形三边中点所得三角形与原三角形相似. 已知：如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点. 求证：△DEF ∽ △ABC.证明：因为D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，所以DE ，EF ，FD 都是△ABC 的中位线，因此111//,//,//,222.EF BC DF CA DE AB AB BC CADE EF FD==因此△DEF ∽ △ABC .(判定定理2)五、课堂小结。
相似三角形几年级的内容-概述说明以及解释
相似三角形几年级的内容-概述说明以及解释1.引言1.1 概述相似三角形是初中数学中一个重要的概念。
它是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间的边长和角度比例保持不变。
在几何学中，相似性是一种特殊的比例关系，它帮助我们研究和解决与形状和比例有关的问题。
在初中数学的学习中，相似三角形通常是在初二或初三这两个年级进行学习。
通过学习相似三角形，我们可以深入理解三角形的性质和特点。
相似三角形的研究不仅帮助我们提高几何思维能力，还为我们解决实际问题提供了一种思路和方法。
在本文中，我将详细介绍相似三角形的定义、性质、判定方法以及应用。
通过对相似三角形的深入研究，读者将能够理解相似三角形的几何特征，并能够熟练运用相似三角形的性质和定理来解决实际问题。
本文将按照以下结构进行阐述。
首先，在引言部分，我将简要概述相似三角形的概念和重要性，以及本文的结构和目的。
接下来，在正文部分，我将详细介绍相似三角形的定义和性质，包括比例关系、判定方法和相似三角形的特殊定理。
最后，在结论部分，我将探讨相似三角形的应用领域和重要性。
通过阅读本文，读者将能够全面了解相似三角形的概念和性质，并能够正确应用相似三角形的知识解决实际问题。
同时，本文也将帮助读者培养几何思维和分析问题的能力，为进一步学习和研究数学打下坚实的基础。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下结构进行展开讨论：引言部分将概述相似三角形的基本概念和应用领域，并介绍本文的主要内容。
正文部分将详细介绍什么是相似三角形以及相似三角形的性质。
首先，我们将给出相似三角形的定义，并指出其与全等三角形的区别。
然后，我们将探讨相似三角形存在的条件，包括AA（角-角）相似定理、SAS（边-角-边）相似定理和SSS（边-边-边）相似定理。
接着，我们将讨论相似三角形的比例关系，包括边比例、角比例和面积比例。
最后，我们将探索一些常见的相似三角形性质，如相似三角形的对应角相等、对应边成比例等。
三角形相似的判定数学教学教案
三角形相似的判定数学教学教案第一章：三角形相似的概念介绍1.1 引入新课：通过展示两组形状相似的三角形，让学生观察并思考它们的共同特点。
1.2 讲解三角形相似的定义：两个三角形如果对应角度相等，对应边长成比例，则这两个三角形相似。
1.3 举例说明：通过具体的三角形例子，解释相似三角形的判定条件。
1.4 练习：让学生解决一些判断三角形相似的问题，巩固所学知识。
第二章：AA相似定理2.1 引入新课：通过展示两组形状相似的三角形，引导学生思考它们的边长比例关系。
2.2 讲解AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2.3 举例说明：通过具体的三角形例子，解释AA相似定理的应用。
2.4 练习：让学生解决一些判断三角形相似的问题，运用AA相似定理。
第三章：SAS相似定理3.1 引入新课：通过展示两组形状相似的三角形，引导学生思考它们的边长和角度关系。
3.2 讲解SAS相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，并且夹角对应的边成比例，则这两个三角形相似。
3.3 举例说明：通过具体的三角形例子，解释SAS相似定理的应用。
3.4 练习：让学生解决一些判断三角形相似的问题，运用SAS相似定理。
第四章：SSS相似定理4.1 引入新课：通过展示两组形状相似的三角形，引导学生思考它们的边长关系。
4.2 讲解SSS相似定理：如果两个三角形的三条边分别成比例，则这两个三角形相似。
4.3 举例说明：通过具体的三角形例子，解释SSS相似定理的应用。
4.4 练习：让学生解决一些判断三角形相似的问题，运用SSS相似定理。
第五章：三角形相似的应用5.1 引入新课：通过展示一些实际问题，引导学生思考三角形相似的应用。
5.2 讲解三角形相似在实际问题中的应用：例如，通过相似三角形的性质解决几何图形的面积、角度等问题。
5.3 举例说明：通过具体的实际问题，解释三角形相似的应用。
5.4 练习：让学生解决一些实际问题，运用三角形相似的性质。
相似三角形的性质和应用
个性化辅导教案例2.相似三角形的性质（1）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则 四边形BCED 的面积为（ ）A.32B.33C.34D.36（2）如图所示，□ ABCD 中，AE ：EB =1：2,求△AEF 和△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求：S △CDF .例3（1）已知两个相似三角形对应边上的高的比为1：2，那么这两个三角形对应中线的比为_______,对应角平分线的比为_________。
（2）两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为 。
（3）如图，已知：△ABC ∽△A ´B ´C ´,且AB ：A ´B ´=3：2，若AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ´B ´C ´的对应中线①你发现还有哪些三角形相似? ②若AD =9cm ,则A ＇D ＇的长是多少？③若AD 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD 与△A ´B ´D ´成立吗？ 故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。
FD CBAE 例2（1）A BCDE例4如图，已知DE ∥FG ∥MN ∥BC ，且AD ＝DF ＝FM ＝MB ，求S 1:S ２:S ３:S 4课堂练习1.一个三角形改变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的_________倍.2.一个三角形的三边之比为2∶3∶4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的边长是 ，周长是 。
3.若△ABC ∽△A ‘B ‘C ’，且∠A ＝45０，∠B ＝30０，则∠C ′＝ 。
4.两个相似五边形的面积比为16：25，其中较大的五边形的周长为30cm ，则较小 的五边形的周长为______ cm .5.（2011苏州）如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.第5题图D S4S3S2S1A BCEF GMN6.四边形 ABCD 是平行四边形，点E 是BC 的延长线上的一点，而且CE ：BC =1：3，若△DGF 的面积为9，试求：（1）△ABG 的面积.（2）△ADG 与△BGE 的周长比和面积比.7.如图，△ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC =40cm ,AD =30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M . (1) 求证：;AM HGAD BC(2) 求这个矩形EFGH 的周长.8.两个相似菱形的边长的比为4：1，那么它们的面积之比为 。
相似三角形
如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与 那么△ △ABC∽△A/B/C/,如果 ∽ 如果 那么
1 的相似比为_________. △ABC的相似比为 的相似比为 2
预备定理: 预备定理 ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. ∥ ∽ 3.相似三角形的判定方法 相似三角形的判定方法 判定定理1,2,3. 判定定理 相似三角形的传递性. 相似三角形的传递性
A C E
N
A
第六种作法： 第六种作法：
M D
B
C N E
理由： 理由： （1） ∠ADE=∠ACB ） ∠ 或∠AED=∠ABC ∠ （2）AE：AB=AD：AC ） ： ：
第七种作法：
A （1）∠ACD=∠B ） ∠ （2）∠ADC=∠ACB ） ∠ （3）AD：AC=AC：AB ） ： ： C B N M D
相似三角形基本图形的回顾： 相似三角形基本图形的回顾：
A D B A D E B E
E A B
D C
C
△ADE绕点A
E
旋转 A
D
点 重 E 移 到 与 C 点 合
C
B A D
ACB=Rt CD AB
C A
D B
B
C
如图， 是 △ 斜边上的高， 为 的中点 的中点， 例1 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点， 斜边上的高 ED交CB的延长线于 。 的延长线于F。 交 的延长线于 这个图形中有几个相似三角形的基本图形 求证： 求证：BD·CF=CD·DF
E B
D
· O
C
(5)已知 四边形 已知:四边形 内接于⊙ 连结 连结AC和 已知 四边形ABCD内接于⊙O,连结 和BD 内接于 交于点E,且 平分 平分∠ 则图中共有_____对 交于点 且AC平分∠BAD,则图中共有 6 则图中共有 对 三角形相似. 三角形相似
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D
E C B′ C′
B
知识要 点 判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似.可以简单说成：两角对应相等，两 三角形相似.
探究
A
A'
判定定理1是从三角形的三 个角来证明三角形相似，能不能 从三角形的角和边一起考虑，来 B 证明相似呢？
C B'
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过相似三角形的定义，推导出其它的判定 定理. 2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识， 推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
重点
相似三角形的判定定理和性质.
难点
灵活应用相似三角形的性质和判定进行计算和 证明.
研讨
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论， ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为 DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
新课导入
回顾旧知
以上图形相似，怎么才能判断相似呢？
观察
A
A
B
C
B
C
有什么方法判断两图形相似？定义法？
相似三角形的定义？ 如果 A A ', B B ', C C '
AB BC AC A' B ' B 'C ' A'C '
那么
ΔABC∽ΔA′B′C′ A A
A'
直角三角形 相似，如何 判定！
B
思 考
C B'
C'
知识要 点 定理
B
C
B
C
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.
探讨
判断两三角形相似的方法？ 定义法
A
A
定义法太复杂! 还有其它方法 吗？
B
C
B
C
思考
教学目标
知识与能力
1．掌握相似三角形的定义以及3个判定定理. 2．掌握直角三角形的特殊性质及判定. 3. 掌握相似三角形的性质.
过程与方法
1．通过初中学习相似三角形的定义，进一步学 习和掌握相似三角形的判定和性质.
DE B' C ' EA C ' A' , . BC BC CA CA DE B' C ' , EA C ' A'. ADE A' B' C '. 原结论即证 .
B
A
A'
C B'
C'
结论
三边对应成比例，两三角形相似.
研讨
直角三角形是一种特殊的三角形，有一个角 是直角，三条边满足勾股定理.所以，在判断两个 直角三角形相似，可不可以类推一般三角形相似 的判断定理，条件可不可以简化呢？ A
证明这两个三角形相似.
A A'
B
C B'
C'
一个角， 两条边，证 明相似？
知识要 点 判定定理2
对于任意两个三角形，如果一个三角 形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似．即两边对应成比例，且夹角相等，两 三角形相似.
探究
A A'
判定定理2是从三角形的一 个角和两条边来证明三角形相似， 能不能从三角形的三条边来证明 B 相似呢？
另一个是预备定理. 怎样满足预备 定理的条件？
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取 AD=A′B′,AE=A′C′，连结DE.
∵AD=A′B′,∠A=∠A′，AE=A′C′ ∴ ΔA DE≌ΔA′B′C′， ∴ ∠ADE=∠B′， 又∵ ∠B′=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC. ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
C'
角和边！
思 考
已知：在△ABC 和△A ' B ' C ' 中,
A' B ' A'C ' A A ', AB AC
A A'
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
D B
E C B'
C'
分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C'，要证题 目结论，只需要证明ADE∽ABC. 根据预备定理，只要证明DE//BC，题意即证. 由AD=A'B',AE=A'C'及条件
AD AE 有：AB AC AD AE 能否由 AB AC A' B' A' C ' AB AC
推出DE//BC?
思 考
证明
ΔABC，D,E分别在边AB、AC上，
AD AE , AB AC
求证：DE//BC
A
证明 过D点作DE'//BC,交AC于E'，根据平 D 行线分线段成比例定理的推论，
平行于三角形一边的直线与三角形的 其它两边（或两边的延长线）相交，所截 得的三角形与原三角形相似.
已知：在△ABC 和△A′B′C′中,
A A′
A A', B B '
求证:ΔABC∽ΔA′B′C′ B C B′
C′
分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径.
一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；
A
根据相似三角形的定义：
D E C
ΔADE∽ΔAB据平行线分线段成比例推论， ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为 DE//BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∠A是对顶角.
D E A
根据相似三角形的定义： ΔADE∽ΔABC
B
C
以上能得出 什么结论？
知识要 点 预备定理
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
E
C B' C'
证明
B
在ΔABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B',过D点作 DE//BC,交AC于E点，于是有：
AD AE DE ; ADE与ABC相似； AB AC BC AD A' B' AD A' B' , . AB AB A' B' B' C ' C ' A' 又 , AB BC CA
C B'
C'
三条边！
思 考
知识要 点 判定定理3
对于任意两个三角形，如果一个三角 形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例，那么这两个三角形似．即三边对 应成比例，两三角形相似.
已知：在△ABC 和△A ' B ' C '中,
A' B' B' C ' C ' A' AB BC CA
A A' D
AD AE ' AB AC AD AE AB AC
E E' C
B
所以：AE=AE',E和E'重合， 因此，DE//BC.
知识要 点 引理
如果一条直线截三角形的两边（或两 边的延长线）所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
由以上引理，就可以解决之前提出的：
已知两条边对应成比例，且夹角相等