电磁感应——磁场的能量电磁场基本方程

二、麦克斯韦方程组 1、静电场与稳恒电流磁场规律 、
S
v v 静电场的高斯定理 ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρdV = q
静电场的环流定理 磁场的高斯定理 安培环路定理
v v V ∫ E ⋅ dl = 0
l
v v ∫∫ B ⋅ dS = 0
v v ∫ H ⋅ dl = I C
l
S
2、麦克斯韦假设 、麦克斯韦假设——涡旋电场与位移电流 涡旋电场 v v v dΦ ∂B v 静电场环流定理 ∫l E ⋅ dl = － dt = − ∫∫ ∂t ⋅ dS S v v v v dD v 安培环路定律 ∫l H ⋅ dl = I s = ∫∫S jc + dt ⋅ dS
v v B dE 2 ∫l H ⋅ dl = µ 0 2π r = π r ε 0 dt
B=
当r=R时 时
µ 0ε 0 dE
2
µ 0ε 0
r
L
r
R P
dt
B=
dE R = 5.6 × 10 − 6 T 2 dt
可见，虽然电场强度的时间变化率已经很大， 可见，虽然电场强度的时间变化率已经很大，但它所触发的 磁场仍然是很弱的，在实验中不易测量到。 磁场仍然是很弱的，在实验中不易测量到。
•方法 ，在实验基础上，提出新概念，建立与实验事实相符合 方法1，在实验基础上，提出新概念， 方法 的新理论； 的新理论； •方法 ，在原有定律的基础上，根据新观察到的实验现象，提 方法2，在原有定律的基础上，根据新观察到的实验现象， 方法 出合理的假设，对原有的定律作必要的修正，使矛盾得到解决。 出合理的假设，对原有的定律作必要的修正，使矛盾得到解决。
各向同性介质中， 各向同性介质中，介质方程
r r v D = ε E = ε rε 0 E r r v B = µ H = µr µ0 H v v j =σ E
三、麦克斯韦方程组的微分形式
v v ∇ ⋅ D＝ρ
v v v ∂B ∇ × E＝－ ∂t
v ∂ v ∂ v ∂ v i+ j+ k ∇= ∂x ∂y ∂z
v v ∇ ⋅ B＝0 v v v v ∂D ∇ × H＝ j + ∂t
小 结
• 磁场的能量 • 线圈贮存的能量——自感磁能 线圈贮存的能量 自感磁能 • 磁场的能量 • 互感磁能 • 位移电流、电磁场基本方程的积分形式 位移电流、 • 位移电流 全电流安培环路定理 • 麦克斯韦方程组 • 麦克斯韦方程组的微分形式
3、位移电流假设 、
以电容器放电为例： 以电容器放电为例：
-
+
dD/dt
dq d ( Sσ ) dσ Ic = = =S dt dt dt dσ jc = dt
电位移与电位移通量随时间的变化率
I
D B A
dD dσ = dt dt
dΨ dσ =S dt dt
dΨ/dt在数值上等于板 Ψ 在数值上等于板 内的传导电流； 内的传导电流； dD/dt在数值上等于板内 在数值上等于板内 的传导密度
定义磁场的能量密度: 定义磁场的能量密度
B wm = 2µ
磁场所储存的总能量: 磁场所储存的总能量
2
2
1r r wm = B ⋅ H 2
磁场所储存的总能量: 磁场所储存的总能量 v v
B Wm = ∫∫∫ wm dV = ∫∫∫ dV 2µ
H⋅ B Wm = ∫∫∫ dV 2 V
积分遍及磁场存在的全空间。 积分遍及磁场存在的全空间。
l S
ε
S2 l A σ s B
对于曲面S 对于曲面 1 对于曲面S 对于曲面 2
v v ∫l H ⋅ dlv = I v ∫ H ⋅ dl = 0
l
S1 I0
对于非稳恒电路，传导电流不连续， 对于非稳恒电路，传导电流不连续， 安培环路定理不成立。 安培环路定理不成立。
2、解决问题的方法： 、解决问题的方法：
1 2 1 2 Wm' = W2 +W1 +W21 = L2I2 + L1I1 + M21I2I1 2 2
这两种通电方式的最后状态相同， 这两种通电方式的最后状态相同，所以
Wm = Wm'
∴M12 = M21 = M
称MI1 I2 为互感磁能 M为互感系数 为互感系数
13-6 位移电流、电磁场基本方程的积分形式 位移电流、
3、麦克斯韦方程组 、 v v ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρdV = q S V v v v ∂B v ∫l E ⋅ dl = − ∫∫ ∂t ⋅ dS S
v v v v dD v ∫l H ⋅ dl = ∫∫S jc + dt ⋅ dS
S
v v ∫∫ B ⋅ dS = 0
经过上述步骤电流分别为I 的状态， 经过上述步骤电流分别为 1 和 I2的状态， 储存在磁场中的总磁能： 储存在磁场中的总磁能：
1 2 1 2 Wm = W1 +W2 +W12 = L1I1 + L2 I2 + M12I1I2 2 2
同理， 同理，先合开关 k2使线圈 2充电至 I2 ，然后再合 充电至 开关k 不变， 充电， 开关 1保持 I2 不变，给线圈 1 充电，得到储存在 磁场中的总能量为： 磁场中的总能量为：
2 1
三、互感磁能 先使线圈1电流从 到 电源1 先使线圈 电流从0到 I1 ，电源 N 1 电流从
做功，储存为线圈 的自感磁能 做功，储存为线圈1的自感磁能
N2
1 2 W 1 = L1 I 1 2
增大时, 合上开关k2电流 i2 增大时 在回路1中的互感电动势 中的互感电动势： 在回路 中的互感电动势：
麦克斯韦（ 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
•他提出了有旋电场和位移电流概 他提出了有旋电场和位移电流概 他提出了有旋电场 建立了经典电磁理论， 念，建立了经典电磁理论，并预 言了以光速传播的电磁波的存在。 言了以光速传播的电磁波的存在。 他的《电磁学通论》 他的《电磁学通论》与牛顿时代 自然哲学的数学原理》 的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱， 齐驱，它是人类探索电磁规律的 一个里程碑。 一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气 在气体动理论方面， 在气体动理论方面 体分子按速率分布的统计规律。 体分子按速率分布的统计规律。
例题．同轴电缆的磁能与自感（ 例题．同轴电缆的磁能与自感（P228） ）
同轴电缆中金属 芯线的半径为R 芯线的半径为 1， 金属圆筒半径为 R2，中间充满磁 导中为µ的磁介质， 导中为µ的磁介质， 若芯线与圆筒分 1 解：由题意知 别与电池两极相 Wm = LI 2 连，芯线与圆筒 2 r < R1 0 上的电流大小相 I µ R H＝ R1 < r < R2 方向相反， 等，方向相反， L= ln 2 2π r 2π R1 如略去金属芯线 0 r > R2 内的磁场， 内的磁场，求此 µI 2 1 同轴芯线与圆筒 w m = µH 2＝ 2 2 2 8π r 之间单位长度上 的磁能与自感系 R µI 2 µI 2 R2 数。 ln Wm＝ ∫ 2 2 2πr ⋅ 1 ⋅ dr = 8 r 4π R1 R π
S
dΨ dD dE 2 Id = =S = πR ε 0 = 1.4 A dt dt dt
r
R P
(2)磁场对两极板的中心轴线具有对称分布，在垂直于该轴的 磁场对两极板的中心轴线具有对称分布， 磁场对两极板的中心轴线具有对称分布 平面上，取以轴点为圆心， 为半径的圆作积分环路 为半径的圆作积分环路， 平面上，取以轴点为圆心，以r为半径的圆作积分环路，由对 称性，在此积分回路上磁感应强度的大小相等， 称性，在此积分回路上磁感应强度的大小相等，方向沿环路 的切线方向，且与电流成右手螺旋。 的切线方向，且与电流成右手螺旋。
I
二、磁场的能量
以长直螺线管为例：当流有电流 时 以长直螺线管为例：当流有电流I时
B = µ nI
2
B I= µn
长直螺线管的磁场能量: 长直螺线管的磁场能量
L = µ n 2V
B2 1 2 1 2 B Wm = LI = µn V µn = 2 µ V 2 2
对于一般情况： 对于一般情况：
v v dΨ ∫l H ⋅ dl = I S = I c + dt
v v v v dD v ∫l H ⋅ dl = I s = ∫∫S jc + dt ⋅ dS
磁场强度H沿任意闭合回路的环流， 磁场强度 沿任意闭合回路的环流，等于通过此闭合回所围 沿任意闭合回路的环流 面积的全电流，称为全电流安培定律 简称全电流定律 电流安培定律， 全电流定律。 面积的全电流，称为全电流安培定律，简称全电流定律。 例题：一平板容器两极板都是半径 的圆导体片， 例题：一平板容器两极板都是半径5.0cm的圆导体片，设充电原 的圆导体片 电荷在极板上均匀分布， 电荷在极板上均匀分布，两极间电场强度的时间变化率为 dE/dt=2.0×1013V•m-1•s-1，求(1)两极板间的位移电流； 两极板间的位移电流； × • 两极板间的位移电流 (2)两极板间磁感应强度的分布及极板边缘的磁感应强度。 两极板间磁感应强度的分布及极板边缘的磁感应强度。 两极板间磁感应强度的分布及极板边缘的磁感应强度 解：（1） ：（ ）
19世纪伟大的英 世纪伟大的英 国物理学家、 国物理学家、数 学家。 学家。经典电磁 理论的奠基人， 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。 始人之一。
一、位移电流 全电流安培环路定理 1、问题的提出 、
在稳恒电流的磁场中， 在稳恒电流的磁场中，安培环路定理为 l I0 R I0
v v v v ∫ H ⋅ dl = I = ∫∫ j ⋅ dS