习题9 电磁感应与电磁场

习题99-1在磁感应强度B 为0、4T 的均匀磁场中放置一圆形回路,回路平面与B 垂直,回路的面积与时间的关系为:S ＝５t 2＋3(cm 2),求t=2s 时回路中感应电动势的大小？ 解:根据法拉第电磁感应定律得dtd m Φ-=εdt dSB =Bt 10=V 4108-⨯=ε９-2 如题9－２图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一导体半圆环Ｍe Ｎ与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a 、设半圆环以速度ｖ平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小与方向及MN 两端的电压U M -ＵN 、题９-2解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v方向运动时0d =m Φ ∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ ⎰+-<+-==ba ba MN ba ba Iv l vB 0ln 2dcos 0πμπε 所以MeN ε沿NeM 方向,大小为ba b a Iv -+ln20πμ M 点电势高于N 点电势,即ba b a Iv U U N M -+=-ln 20πμ题9－39-３ 如题9-3图所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈、两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以错误!的变化率增大,求:(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (２)线圈中的感应电动势、 解: 以向外磁通为正则(1) ]ln [lnπ2d π2d π2000dad b a b Ilr l r Ir l r Iab b ad d m +-+=-=⎰⎰++μμμΦ (2) tIb a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε题9-４9-４ 如题９-4图所示,长直导线通以电流Ｉ=5 A,在其右方放一长方形线圈,两者共面、线圈长ｂ=0．06 m,宽a ＝0.04 m,线圈以速度v ＝0.0３ m ／s 垂直于直线平移远离、求:d ＝0．05 ｍ时线圈中感应电动势的大小与方向、解: AB 、CD 运动速度v方向与磁力线平行,不产生感应电动势. DA 产生电动势⎰==⋅⨯=AD I vb vBb l B v d2d )(01πμεBC 产生电动势)(π2d )(02d a Ivbl B v CB+-=⋅⨯=⎰με∴回路中总感应电动势8021106.1)11(π2-⨯=+-=+=ad d Ibv μεεε V 方向沿顺时针、9-5 长度为l 的金属杆ａb 以速率v 在导电轨道a ｂｃｄ上平行移动、已知导轨处于均匀磁场Ｂ中,B 的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示),Ｂ的大小为Ｂ＝kt (k 为正常数)、设t ＝０时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小与方向.题9－5图解: ⎰==︒=⋅=22212160cos d klvt lv kt Blvt S B m Φ∴ klvt tm-=-=d d Φε 即沿abcd 方向顺时针方向.题９-6图9－6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B 的方向如题9-6图所示、取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t ＝0)、 解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时0d d <Φt,0>ε; 题9－6图(a)题９-６图(b)在磁场中时0d d =tΦ,0=ε; 出场时0d d >tΦ,0<ε,故t I -曲线如题9-６图(b)所示.９-7 导线ａb 长为l ,绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动、aO=3l,磁感应强度B 平行于转轴,如题９-7所示、试求:(1) ab 两端的电势差;(2) ａ,ｂ两端哪一点电势高？题９－7图解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段 则 ⎰==320292d l Ob l B r rB ωωε 同理 ⎰==302181d l Oa l B r rB ωωε ∴ 2261)92181(l B l B Ob aO ab ωωεεε=+-=+= (2)∵ 0>ab ε 即0<-b a U U ∴b 点电势高.9-8 北半球某地的磁场为4⨯10－5T,磁场方向与水平方向成６0ｏ,现将一根长1m 东西方向水平放置的均匀金属棒自由落下,求t ＝3s 时金属棒中感应电动势大小?解:根据动感电动势定义l d B v L⋅⨯=⎰)(ε自由下落,速度大小 gt v =,方向与重力加速度方向相同⎰⎰=⋅⨯=LLdl Bv l d B v 030sin )( ε当t=3ｓ时,V L Bv 4010630sin -⨯==ε9-9 两根平行长直导线,横截面的半径都就是a ,中心相距为d ,两导线属于同一回路、设两导线内部的磁通可忽略不计,证明:这样一对导线长度为l 的一段自感为0L=Inl d aaμπ-、题９-９图解: 如题9-9图所示,取r l S d d =则⎰⎰-----=--=-+=ad aad aad da a d Il r r r Ilr l r Ir πI)ln (ln 2πd )d 11(π2d ))d (π22(0000μμμμΦ aad Il-=lnπ0μ ∴ aad lIL -==lnπ0μΦ9-1０ 两线圈顺串联后总自感为1.0 H,在它们的形状与位置都不变的情况下,反串联后总自感为0、４ Ｈ.试求:它们之间的互感、 解: ∵顺串时 M L L L 221++= 反串联时M L L L 221-+='∴ M L L 4='-15.04='-=L L M H题９-11图９-11 一矩形截面的螺绕环如题7-11图所示,共有N 匝、试求:(１)此螺绕环的自感系数;(2)若导线内通有电流I ,环内磁能为多少？ 解:如题７-11图示(1)通过横截面的磁通为⎰==baab NIhr h r NIlnπ2d π200μμΦ 磁链 ab IhN N lnπ220μΦψ== ∴ ab hN IL lnπ220μψ==(2)∵ 221LI W m = ∴ ab hI N W m ln π4220μ=9-12 一无限长圆柱形直导线,其截面各处的电流密度相等,总电流为I 、求:导线内部单位长度上所储存的磁能. 解:在R r <时 20π2RI B rμ=∴ 4222002π82R r I B w m μμ== 取 r r V d π2d =(∵导线长1=l ) 则 ⎰⎰===RRm I R rr I r r w W 0204320π16π4d d 2μμπ9-13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R 1与R ２(R 1＜R 2),中间充满介电常数为ε的电介质、当两极板间的电压随时间的变化为=k dUdt时(k 为常数),求介质内距圆柱轴线为r 处的位移电流密度、解:圆柱形电容器电容 12ln 2R R lC πε=12ln 2R R lUCU q πε== 1212ln ln 22R R r U R R r lU S q D εππε===∴ 12ln R R r ktDj ε=∂∂=9-１４ 试证:平行板电容器的位移电流可写成d I =CdUdt、式中Ｃ为电容器的电容,Ｕ就是电容器两极板的电势差.如果不就是平板电容器,以上关系还适用不? 解:∵ CU q =SCUD ==0σ ∴ CU DS D ==Φ不就是平板电容器时 0σ=D 仍成立 ∴ tUCI D d d =还适用.9-1５ 半径为R ＝0．10 m 的两块圆板构成平行板电容器,放在真空中、今对电容器匀速充电,使两极板间电场的变化率为13=1.010dEdt⨯Ｖ／(m·ｓ)、求两极板间的位移电流,并计算电容器内离两圆板中心联线r (ｒ<R )处的磁感应强度Ｂｒ以及r ＝R 处的磁感应强度B R 、 解: (1) tEt D j D ∂∂=∂∂=ε 8.22≈==R j S j I D D D πA(2)∵ S j I l H SD ld d 0⋅+=⋅⎰∑⎰取平行于极板,以两板中心联线为圆心的圆周r l π2=,则tUC t ID D d d d d ==Φ22d d 2r t E r j r H D πεππ== ∴ t Er H d d 20ε=tEr H B r d d 2000εμμ== 当R r =时,600106.5d d 2-⨯==tER B R εμ T。