2020年人教版数学九年级下册 第二十八章 能力提优测试卷(含答案)
2020春人教版九年级数学下册第二十八章检测试卷
九年级下册·数学(RJ)第二十八章检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共1.2sin 60°的值等于A.1B.C.D.22.若α为锐角,且cos α=0.4,则A.0°<α<30°B.30°<α<45°C.45°<α<60°D.60°<α<90°3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是A.sin A=B.cos A=C.tan A=D.tan B=4.在△ABC中,∠C=90°,cos A=,则sin B=A. B. C. D.5.李红同学遇到了这样一道题:tan(α+20°)=1,请你猜想锐角α的度数应是A.40°B.30°C.20°D.10°6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD.若cos ∠BDC=,则BC的长是A.10B.8C.4D.27.如图,从海岛B分别同时沿北偏西20°方向,北偏东40°方向驶出甲、乙两艘货船,若两艘货船的速度均为20海里/时,两小时后,两艘货船A,C之间的距离为A.60海里B.40海里C.30海里D.20海里8.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC的中点,DE⊥AB于点E,则tan ∠BDE=A.B.C.D.9.某测量队在山脚A处测得山上树顶B的仰角为45°(如图),测量队在山坡上前进600米到D处,再测得树顶的仰角为60°,已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,则树顶B 到水平面的距离BC为(精确到1米,≈1.732)A.585米B.1014米C.820米D.835米10.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.在Rt△ABC中,2sin(α+20°)=,则锐角α的度数为40°.12.如图,在△ABC中,sin B=,tan C=,AB=3,则AC的长为.13.如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB 的长约为5.1米.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)14.一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得:sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β;sin(α-β)=sin α·cos β-cos α·sin β.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin 60°·cos 30°+cos 60°·sin 30°==1.类似地,可以求得sin 15°的值是-.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:3sin 60°-2cos 30°-tan 60°·tan 45°.解:原式=3×-2××1=-.16.计算:cos245°+sin 60°·tan 30°--.解:原式=-(-1)=2-.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=2+2,c=4,求锐角A的度数.解:锐角A为30°或60°.18.如图所示,在建筑物顶部有一块长方形广告牌架CDEF,已知CD=2 m,在地面上A处测得广告牌上端C的仰角为37°,前进10 m到达B处,在B处测得广告牌架下端D的仰角为60°,求广告牌架下端D到地面的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 37°≈0.75,取1.73)解:延长CD交AB的延长线于点H,则CD⊥AB,设DH=x,则CH=x+2.在Rt△DHB中,BH=x,∴AH=AB+BH=x+10.在Rt△CAH中,tan ∠CAH=,即≈0.75,解得x≈9.7.答:广告牌架下端D到地面的距离约为9.7 m.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图所示,某施工队要测量隧道BC的长度,已知AD=600米,AD⊥BC,施工队站在点D 处看向点B,测得仰角为45°,再由点D走到点E处测量,DE∥AC,ED=500米,测得仰角为53°,求隧道BC的长.(sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈).解:分别过点C,B作CM⊥ED,BN⊥ED,垂足分别为M,N,则CM=BN=AD=600,BC=MN.在Rt△CME中,ME=≈600×=450.在Rt△BND中,DN==600,∴MN=ME+ED-DN=450+500-600=350,∴BC=350(米).答:隧道BC的长为350米.20.“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm,低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到 1 cm,参考数据:sin 82.4°≈0.991,cos 82.4°≈0.132,tan 82.4°≈7.495,sin 80.3°≈0.986,cos 80.3°≈0.168,tan 80.3°≈5.850)解:在Rt△ACE中,AE=≈21(cm).在Rt△DBF中,BF==40(cm),∴EF=AE+AB+BF=21+90+40=151(cm).易得四边形CEFH是矩形,∴CH=EF=151(cm).答:高、低杠间的水平距离CH的长为151 cm.六、(本题满分12分)21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tan B=.(1)求AD的长;(2)求sin α的值.解:(1)由tan B=可设AC=3x,BC=4x.又AC2+BC2=AB2,∴(3x)2+(4x)2=52,解得x=-1(舍去),或x=1,∴AC=3,BC=4.∵BD=1,∴CD=3,∴AD==3.(3)过点D作DE⊥AB于点E,∵BD·AC=AB·DE,∴DE=,∴sin α=.七、(本题满分12分)22.如图,某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一艘可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡査此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.解:(1)作CE⊥AB于点E,则∠CEA=90°.由题意得AB=60×1.5=90,∠CAB=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∠CBE=60°,∴CE=AE,CE=BE,BC=2BE.设BE=x,则CE=x,AE=BE+AB=x+90,∴x=x+90,解得x=45+45,∴BC=2x=90+90.答:B,C两处之间的距离为(90+90)海里.(2)作DF⊥AB于点F,∴DF=CE=x=135+45,∠DBF=90°-60°=30°,∴BD=2DF=270+90,∴海监船追到可疑船只所用的时间为=3+(小时).答:海监船追到可疑船只所用的时间为(3+)小时.八、(本题满分14分)23.(1)如图,锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定,也随着其变化而变化,试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值的变化规律.(2)根据你探索到的规律,试分别比较18°,34°,52°,65°,88°这些角的正弦值的大小和余弦值的大小.(3)比较大小(在空格处填“<”“>”或“=”):若∠α=45°,则sin α=cos α;若∠α<45°,则sin α<cos α;若∠α>45°,则sin α> cos α.(4)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系,比较下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.解:(1)在图1中,令AB1=AB2=AB3,B1C1⊥AC于点C1,B2C2⊥AC于点C2,B3C3⊥AC于点C3,显然有B1C1>B2C2>B3C3,∠B1AC>∠B2AC>∠B3AC.∵sin ∠B1AC=,sin ∠B2AC=,sin ∠B3AC=,而,∴sin ∠B1AC>sin ∠B2AC>sin ∠B3AC.在图2中,在Rt△ACB3中,∠C=90°,cos ∠B1AC=,cos ∠B2AC=,cos ∠B3AC=,∵AB3<AB2<AB1,∴,即cos ∠B3AC>cos ∠B2AC>cos ∠B1AC.(2)sin 88°>sin 65°>sin 52°>sin 34°>sin 18°; cos 88°<cos 65°<cos 52°<cos 34°<cos 18°.(4)cos 30°>sin 50°>cos 70°>sin 10°.。
人教版九年级数学下册第二十八章检测卷(含答案)
第二十八章检测卷时间：120分钟 满分：150分题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．tan30°的值等于( ) A.13 B.22 C.33 D.322．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为( )A.12B.22C.32D ．1第2题图 第6题图 第7题图3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，则cos B 的值为( )A.74 B.34 C.35 D.454．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －322＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A2的值是( )A.35B.45C.34D.546．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105D ．1 7．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米8．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为( )A ．503米B ．51米C ．(503＋1)米D ．101米9．如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( )A.65B.85C.75D.23510．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan A ＝12.点P 是斜边AB 上一个动点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC (或边CB )于点Q .设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则tan B ＝________．12．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cos θ＝________．13．如图，一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为____________海里/时．14．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y .据此判断下列等式成立的是__________(填序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y .三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算： (1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.16．根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝36，b＝9 2.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．巢湖为我国五大淡水湖之一，是皖中著名的旅游胜地．如图，某同学欲测量巢湖的东西向长度，于是他选择了巢湖沿岸三个地点A，B，C，并测得B，C两地直线距离为40km，∠A＝45°，∠B＝30°，求巢湖东西向长度AB(结果精确到0.1km，参考数据：3≈1.73)．课题测量教学楼高度方案一二图示测得数据CD＝6.9米，∠ACG＝22°，∠BCG＝13°.EF＝10米，∠AEB＝32°，∠AFB＝43°.参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23.sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93.请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度(结果保留整数)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．20．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图②是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．六、(本题满分12分)21．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC .若CD ＝3，BD ＝26，sin ∠DBC ＝33，求对角线AC 的长．七、(本题满分12分)22．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，如图，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．八、(本题满分14分)23．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C、A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.C 9．B 解析：连接BD .∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，∴∠ADB ＝90°，OB ＝2.∵OC ∥AD ，∴∠A ＝∠BOC ，∴cos A ＝cos ∠BOC .∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝25，∴cos A ＝cos ∠BOC ＝25.又∵cos A ＝AD AB ，AB ＝4，∴AD ＝85.故选B. 10．B 解析：当点Q 在AC 上时，∵在Rt △APQ 中，tan A ＝12，AP ＝x ，∴PQ ＝12x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x ·12x ＝14x 2；当点Q 在BC 上时，∵AP ＝x ，AB ＝10，∴BP ＝10－x .在Rt △BPQ中，tan B ＝AC BC ＝1tan A ＝2，∴PQ ＝2BP ＝20－2x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x (20－2x )＝－x 2＋10x ，∴该函数图象前半部分是抛物线，开口向上，后半部分也为抛物线，开口向下，并且当Q 点在C 时，x ＝8，y ＝16.故选B.11.125 12.45 13.40＋403314．②③④ 解析：cos(－60°)＝cos60°＝12，故①错误；sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝12×22＋32×22＝24＋64＝2＋64，故②正确；sin2x ＝sin(x＋x )＝sin x ·cos x ＋cos x ·sin x ＝2sin x ·cos x ，故③正确；sin(x －y )＝sin x ·cos(－y )＋cos x ·sin(－y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y ，故④正确．故答案为②③④.15．解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝3＋12－3＝12.(4分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(8分) 16．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6 6.(8分)17．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.(1分)∵在Rt △BDC 中，∠B ＝30°，BC ＝40km ，∴CD ＝BC ·sin B ＝40×12＝20(km)，BD ＝BC ·cos B ＝40×32＝203(km)．(4分)∵在Rt △ADC 中，∠A ＝45°，CD ＝20km ，∴AD ＝CD ＝20km ，∴AB ＝AD ＋BD ＝20＋203≈54.6(km)．(7分)答：巢湖东西向长度AB 大约是54.6km.(8分)18．解：若选择方法一，解法如下：∵在Rt △BGC 中，∠BCG ＝13°，BG ＝CD ＝6.9米，tan ∠BCG ＝BG CG ，∴CG ＝BG tan13°≈6.90.23＝30(米)．(3分)∵在Rt △ACG 中，∠ACG ＝22°，CG ≈30米，tan ∠ACG ＝AGCG ，∴AG ＝CG ×tan22°≈30×0.40＝12(米)，(6分)∴AB ＝AG ＋BG ＝12＋6.9≈19(米)．(7分)答：教学楼的高度约为19米．(8分)若选择方法二，解法如下：∵在Rt △AFB 中，∠AFB ＝43°，tan ∠AFB ＝AB FB ，∴FB ＝ABtan43°≈AB 0.93.(3分)∵在Rt △ABE 中，∠AEB ＝32°，tan ∠AEB ＝AB EB ，∴EB ＝AB tan32°≈AB0.62.(5分)∵EF ＝EB －FB ＝10米，∴AB 0.62－AB 0.93＝10，∴AB ≈19米．(7分)答：教学楼的高度约为19米．(8分)19．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB .(3分)∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x .在Rt △ACD中，tan D ＝2，∴ACCD ＝2，∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.(7分)由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455.(10分)20．解：过点P 作PN ⊥AB 于点N .(1分)由题意可得∠APB ＝∠90°，ABP ＝30°，AB ＝8cm ，∴AP ＝4cm ，BP ＝AB ·cos30°＝43cm.(4分)∵S △APB ＝12AB ·PN ＝12AP ·BP ，∴PN ＝AP ·BPAB ＝4×438＝23(cm)，(8分)∴9－23≈5.5(cm)．(9分)答：容器中牛奶的高度约为5.5cm.(10分)21．解：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，(1分)则∠E ＝90°.∵在Rt △BDE 中，sin ∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝22，∴BE ＝BD 2－DE 2＝4.∵在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝22，∴CE ＝CD 2－DE 2＝1，∴BC ＝BE －CE ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB .(4分)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD .同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是菱形．(7分)设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ＝6，(10分)∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2OC ＝2 3.(12分)22．解：过点E 作EF ⊥AC ，EG ⊥CD ，垂足分别为点F ，G .(1分)∵在Rt △DEG 中，DE ＝1620尺，∠D ＝30°，∴EG ＝DE ·sin D ＝1620×12＝810(尺)．(3分)由题意可得BC ＝857.5尺，CF ＝EG ＝810尺，∴BF ＝BC －CF ＝857.5－810＝47.5(尺)．∵在Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF EF ，∠BEF ＝30°，∴EF ＝3BF .(7分)设AB ＝x 尺．∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝60°，tan ∠AEF ＝AFEF，∴AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝3EF ＝3BF ，∴x ＋47.5＝3×47.5，∴x ＝95.(11分)答：雕像AB的高度为95尺．(12分)23．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(2分)设AE＝x海里．在Rt△AEC中，∠CAE＝60°，∴CE＝AE·tan60°＝3x海里，AC＝AEcos60°＝2x海里．(4分)在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴BE＝CE＝3x海里．∵AB＝AE＋BE＝100(3＋1)海里，∴x＋3x＝100(3＋1)，解得x＝100.∴AC＝200海里．(6分)在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.设AF＝y海里．在Rt△AFD中，∠DAF＝60°，∴AD＝2y海里，DF＝3y海里．在Rt△CFD中，∠DCF＝45°，∴CF＝DF＝3y海里．∵AC ＝AF＋CF＝200海里，∴y＋3y＝200，解得y＝100(3－1)，∴AD＝2y＝200(3－1)海里．(9分)答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(3－1)海里．(10分)(2)没有．(11分)由(1)可知DF＝3AF＝3×100(3－1)≈127(海里)．(13分)∵127海里＞100海里，∴巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中没有触暗礁危险．(14分)。
人教版九年级数学册 第二十八章测试卷(附答案)
初中数学人教版九年级下学期第二十八章测试卷一、单选题（共7题；共14分）1.tan30°的值等于( )A. B. C. D.2.如图，AB是⊙O的直径，C, D是⊙O上AB两侧的点，若∠D＝30°，则tan ∠ABC的值为( )A. B. C. D.3.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A. AF= CFB. ∠DCF=∠DFCC. 图中与△AEF相似的三角形共有5个D. tan∠CAD=4.在锐角中，，则（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°5.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（）A. B. C. D.6.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A. B. 51 C. D. 1017.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AC的长为（）A. 6B. 5C.D.二、填空题（共3题；共3分）8.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶2，则AB的长是________．9.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的余弦值是________．10.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.三、计算题（共3题；共20分）11.计算：6tan30°+cos245-sin60°12.计算：13.计算：（1）。
（2）。
四、综合题（共2题；共15分）14.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o 方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．15.为积极参与文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图。
人教版九年级数学下第二十八章综合能力检测题含答案
人教版九年级数学下第二十八章综合能力检测题含答案时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．sin 60°等于( D ) A.12 B.22 C ．1 D.322．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则下列等式中正确的是( D )A ．cos A ＝a cB ．sin B ＝c bC ．tan B ＝a bD ．以上都不正确 3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( C ) A.55 B. 5 C.12D ．2 第3题图第6题图第7题图4．下列等式成立的是( C )A ．sin45°＋cos45°＝1B ．2tan30°＝tan60°C ．2sin30°＝tan45°D ．sin45°cos45°＝tan45° 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，a ＋b ＝46，则c 等于( A )A ．4 3B ．4C ．2 6D ．4 26．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边上一点，∠DAC ＝30°，BD ＝2，AB ＝23，则AC 的长是( A )A. 3 B ．2 2 C ．3 D.3228．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB交AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( D ) A ．1 B.203 C ．3 D.163 第8题图第9题图第10题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 边上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33B.233C.533D ．5 3 10．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A 是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE 会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE ＝127°，已知AB ⊥BC ，支架AB 高1.2米，大门BC 打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？( C )(栏杆宽度，汽车反光交镜忽略不计)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，车辆尺寸：长×宽×高)A ．宝马Z4(4200 mm×1800 mm×1360 mm)B ．奇瑞QQ(4000 mm×1600 mm×1520 mm)C ．大众朗逸(4600 mm×1700 mm×1400 mm)D ．奥迪A4(4700 mm×1800 mm×1400 mm)二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC 中，∠B ＝45°，cos A ＝12，则∠C 的度数是__75°__． 12．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__492__cm 2.第12题图第14题图第15题图13．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为__125__． 14．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝__12__． 15．如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则sin ∠AFG 的值__32__． 16．(2015·德州)如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38 m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为__7.2__m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)第16题图第17题图17．一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20(3＋1)海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为__2__海里/分．18．已知：在△ABC 中，AC ＝1，AB 与BC 所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC 所在直线形成的夹角的余弦值为255(即cos C ＝255)，则BC 边的长是__355或55___． 解：点拨：分两种情况：作AD ⊥BC ，垂足为点D.①在△ABC 的内部，∠ABD ＝45°；②在△ABC 外∠ABD ＝45°.这两种情况，解直角△ACD 与直角△ABD ，得到BC 的长．三、解答题(共66分)19．(6分)已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋⎝⎛⎭⎫13－1的值．解：∵sin (α＋15°)＝32，∴α＝45°，∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3. 20．(8分)在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知：c ＝83，∠A ＝60°，求∠B 及a ，b 的值；(2)已知：a ＝36，c ＝63，求∠A ，∠B 及b 的值．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43；(2)∠A ＝∠B ＝45°，b ＝3 6.21．(9分)(2015·长春)如图，海面上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向．一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin 43°＝0.68，cos 43°＝0.73，tan 43°＝0.93)解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB ＝43°.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝90°，∴AB ＝AC•tan ∠ACB ＝36×0.93≈33.5(海里)．故A ，B 两岛之间的距离约为33.5海里．22．(9分)(2014·重庆)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为点D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴tanA ＝CD AD ＝6AD ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝12－4＝8.在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝90°，BD ＝8，CD ＝6，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝10，∴sinB ＝CD BC ＝35，cosB ＝BD BC ＝45，∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75. 23．(10分)一副三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解：过点B 作BM ⊥DF 于点M.∵∠BCA ＝90°，∠A ＝45°，∴∠ABC ＝45°，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝45°.在Rt △BCM 中，BM ＝BC·sin45°＝12.在Rt △BCM 中，∵∠BCM ＝45°，∴∠MBC ＝45°，∴CM ＝BM ＝12.在Rt △BMD 中，∠BDM ＝60°，∴DM ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －DM ＝12－4 3. 24．(11分)(2015·上海)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS )的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ，如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)解：(1)连接PA.由题意知，AP ＝39 m ．在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(米)；(2)由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan30°＝153(米)．在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin30°＝3912＝78(米)．则PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)．故高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．25．(13分)如图，某小学门口有一直线马路，交警在门口设有一条宽度为4米的斑马线，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE ＝15°和∠FAD ＝30°，司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E ，D ，C ，B 四点在平行于斑马线的同一直线上)(参考数据：tan 15°＝2－3，3≈1.732，2≈1.414)解：∵∠FAE ＝15°，∠FAD ＝30°，∴∠EAD ＝15°.∵AF ∥BE ，∴∠AED ＝∠FAE＝15°，∠ADB ＝∠FAD ＝30°.设AB ＝x ，则在Rt △AEB 中，EB ＝AB tan15°＝x tan15°.∵ED ＝4，ED ＋BD ＝EB ，∴BD ＝x tan15°－4.在Rt △ADB 中，BD ＝AB tan30°＝x tan30°，∴x tan15°－4＝x tan30°，即(12－3－133)x ＝4，解得x ＝2，∴BD ＝2tan30°＝2 3.∵BD ＝CD ＋BC ＝CD ＋0.8，∴CD ＝23－0.8≈2×1.732－0.8≈2.7＞2，故符合标准．故该旅游车停车符合规定的安全标准．。
人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元提优测试含答案
人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元提优测试含答案一、选择题（共10题；共30分）1.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判断正确的是（）A. ∠A=90°B. ∠A=45°C. cotA=D. tanA=2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A. B. C. D.3.如果△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列最确切的结论是( )A. △ABC是直角三角形B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形4.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A. B. 2 C. D.5.cos30°=（）A. B. C. D.6.如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）A. 120°B. 135°C. 150°D. 160°7.Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于( )A. B. C. D.8.在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=60°，a=3时，c的值是（）A. c=4B. c=5C. c=6D. c=79.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的影子CD的长为1米，阳光线与地面的夹角∠ACD = 60°，则AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b= ，则∠A=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（共8题；共24分）11.根据图示填空：（1）sinB=CD/（________ ）=（________ ）/AB（2）cos∠ACD=CD/（________ ）12.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=________13.①代数式3x2﹣3x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为________②比较大小：tan62°﹣cot61°________ 1（可用计算器）．14.若α为锐角，已知cosα=，那么tanα=________ .15.2cos30°=________16.计算：tan45°﹣2cos60°=________．17.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于________．18.已知tanβ=22.3，则β=________（精确到1″）三、解答题（共6题；共36分）19.求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．20.如图是某小区的一个健向器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）21.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米）．22.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高BE=8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）23.如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD的高度．参考数据：≈1.41，≈1.73．24.如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？四、综合题（共10分）25.在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？参考答案一、选择题1.D2. B3.C4.B5.C6. C7.A8.C9.B 10.A二、填空题11.（1）BC；AC（2）AC 12.13. 7；＞14. 15.16.0 17.18.87°25′56″三、解答题19.解：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；（2）∵cosθ=0.7845，∴∠θ≈38.3°．20.解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，∵OD⊥CD，∠BOD=70°，∴AE//OD，∴∠A=∠BOD=70°，在Rt△AFB中，AB=2.7，∴AF=2.7cos70°=2.7×0.34=0.918,∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1（m）.答：端点A到地面CD的距离约是1.1m.21.解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，∴∠CDA=∠EBA=90°，∵∠E=30°，∴AB=AE=8米，∵BC=1.2米，∴AC=AB﹣BC=6.8米，∵∠DCA=90°﹣∠A=30°，∴CD=AC×cos∠DCA=6.8× ≈5.9米．答：该校地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．22.解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．i=，∵BE=8，AE=6，DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5．又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7，∴CA≈9.15≈9.2（米）．答：CA的长约是9.2米．23.解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，∵∠EBC=45°，∴BE=x米，∵∠EAC=30°，∴AE==x米，由题意得，x﹣x=400，解得x=200（+1）米，则CD=800﹣200（+1）≈254米．答：大楼CD的高度约为254米．24.解：过P作PD⊥AB．AB=18× =12海里．∵∠PAB=30°，∠PBD=60°∴∠PAB=∠APB∴AB=BP=12海里．在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=12× =6 海里．∵6 ＞8∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．四、综合题25.（1）解：在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC= = =100，∵OC= ×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里（2）解：作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB= BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM= AB=15，AM= BM=15 ，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15 海里（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH= x，∵BM=15，∴15= x+2x，x=30﹣15 ，∴AN=30 ﹣30，BN= =15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤ ，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．。
人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷含答案
人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列实数中是无理数的是()A．tan 30°B．38 C．17D．492．(母题：教材P84复习题T1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A等于()A．35B．45C．34D．433．[2023·太原五中模拟]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝3，则∠B等于()A．15°B．45°C．30°D．60°4．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin B的值为()A．22B．33C．12D． 35．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A．34B．43C．35D．456. 为出行方便，近日来越来越多的市民使用了共享单车，图①为单车实物图，图②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为20 cm，当BC＝60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为()(结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)A．80 cm B．72 cm C．76 cm D．70 cm7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( ) A ．12B ．22C ．32D ．338．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC 的边OB 在x 轴上，∠AOB ＝60°，B (4，0)，点D ，E 分别是边OB ，OA 上的点，将△OED 沿DE 折叠，使点O 的对应点F 落在边AC 上，若AE ＝AF ，则点F 的坐标为( ) A ．(23，23) B ．(23，4) C ．(3，4) D ．(23，3)9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为( )A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．[2022·泸州]如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，且tan ∠ABE ＝43，若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为( ) A ．y ＝3xB ．y ＝－34x ＋152 C ．y ＝－2x ＋11 D ．y ＝－2x ＋12二、填空题(每题3分，共24分)11. 如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m 高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)12．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－cos B 2＝0，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C ＝________.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，sin A ＝513，以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A ，B 两点一点在圆 内，一点在圆外，那么R 的取值范围是__________．14．(母题：教材P69习题T8)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ⊥BD ，AB ＝4，sin A ＝34，则平行四边形ABCD 的面积是______．15．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在CB 的延长线上的点D ′处，那么tan ∠BAD ′等于________．16．[2023·连云港]如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝kx (x <0)的图象上，顶点B ，C 在第一象限，对角线AC ∥x 轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是6，cos ∠OAC ＝23，则k ＝________．17．[2022·桂林]如图，某雕塑MN 位于河段OA 上，游客P 在步道上由点O 出发沿OB 方向行走，已知∠AOB ＝30°，MN ＝2OM ＝40 m ，当观景视角∠MPN 最大时，游客P 行走的距离OP 是________m.18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 边上的动点，过点E 作EF ⊥AE交CD 于点F ，点G 在AE 上，且EG ＝EF ，点M ，N 分别为GF ，CD 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为________．三、解答题(20题8分，21题10分，其余每题12分，共66分) 19．(母题：教材P68习题T3)计算： (1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°； (2)(3－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|＋tan 60°.20．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．21．[2022·鄂尔多斯]如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC的中点，连接OE，DE，B D．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝45，求OE的长．22．[2023·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？23．[2023·潜江]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝34是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)24. “十四五”开局，全面推进乡村振兴，加快农村农业现代化，无人机遥感数据采集引领农业精准发展．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为120 m的A处测得试验田一侧边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田另一侧边界M处俯角为48°，已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．(参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73，结果精确到0.1 m)答案一、1．A2．B3．D【点拨】根据直角三角形的边角关系，求出tan B的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．4．A【点拨】过点A作BC的垂线，与BC的延长线交于点D，在Rt△ABD中，由AD＝3，BD＝3，可得△ABD是等腰直角三角形，计算即可得出答案．5．D6．C【点拨】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH，再求出CH＋AP即可得到答案．7．A8．A【点拨】过A作AH⊥OB于H，作AG⊥EF于G.根据四边形AOBC是菱形，∠AOB＝60°，B(4，0)，可得∠OAC＝120°，OH＝12OA＝2，AH＝3OH＝23，则A(2，23)．又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，EF＝2EG.∴EG＝AE·cos30°＝32AE.故EF＝3AE.由将△OED沿DE折叠，使点O的对应点F落在边AC上，有OE＝EF＝3AE，从而3AE＋AE＝4，则AE＝23－2，即AF＝23－2，可得F(23，23)．9．D【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝12，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝12，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.10．D 【点拨】连接OB ，AC ，它们交于点M ，连接AE ，BF ，它们交于点N ，作直线MN ，则直线MN 为符合条件的直线l ，如图．∵四边形OABC 是矩形， ∴OM ＝BM .∵点B 的坐标为(10，4)， ∴M (5，2)，AB ＝10，BC ＝4. ∵四边形ABEF 为菱形， ∴BE ＝AB ＝10.如图，过点E 作EG ⊥AB 于点G .在Rt △BEG 中，∵tan ∠ABE ＝43，∴EG BG ＝43. 设EG ＝4k ，则BG ＝3k ， ∴BE ＝EG 2＋BG 2＝5k . ∴5k ＝10.∴k ＝2. ∴EG ＝8，BG ＝6. ∴AG ＝4.∴E (4，12)．∵点B 的坐标为(10，4)，AB ∥x 轴， ∴A (0，4)．易知点N 为AE 的中点，∴N (2，8)． 设直线l 的解析式为y ＝ax ＋b ， ∴⎩⎨⎧5a ＋b ＝2，2a ＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝12.∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋12.故选D ．二、11.21 【点拨】∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12A B ．在Rt △ACD 中，∠CAD ＝37°，CD ＝3 m ，∴AC ＝CD sin 37°≈30.6＝5(m)，AD ＝CD tan 37°≈30.75＝4(m)， ∴CA ＝CB ≈5 m ，AB ＝2AD ≈8(m)， ∴AC ＋CB ＋AB ＋CD ≈5＋5＋8＋3＝21(m)． ∴共需钢材约21 m. 12．105°13．5＜R ＜12 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，sin A ＝513，∴BC ＝AB ×sin A ＝13×513＝5. ∴AC ＝AB 2－BC 2＝12.∵以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A ，B 两点一点在圆内，一点在圆外， ∴5＜R ＜12. 14．3715. 2 【点拨】由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝ 222＝ 2. 16．－83 【点拨】如图，作AE ⊥x 轴于点E .∵矩形OABC 的面积是6， ∴△AOC 的面积是3，∵∠AOC ＝90°，cos ∠OAC ＝23， ∴OA AC ＝23.∵对角线AC ∥x 轴，∴∠AOE ＝∠OA C ． ∵∠OEA ＝∠AOC ＝90°，∴△OEA ∽△AOC ， ∴S △OEA S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA AC 2，∴S △OEA 3＝49.∵S △OEA ＝12|k |，k <0，∴k ＝－83. 故答案为－83. 17．20318.2 【点拨】如图，连接AC ，BD 交于点O ，由题意得∠BCD ＝90°，∠ACD ＝45°，连接ME ，CM ，由EG ＝EF ，EF ⊥AE ，点M 为GF 的中点，可知EM ⊥GF ，∠MEF ＝45°，所以∠EMF ＝∠BCD ＝90°，故E ，M ，F ，C 在以EF 为直径的圆上，所以 ∠MCN ＝∠MEF ＝45°，则M 在线段AC 上运动，当NM ⊥AC 时，MN 最短，从而可得答案．三、19.【解】(1)原式＝33×12＋1×32＝36＋32＝233.(2)原式＝1＋9＋2－3＋3＝12.20．【解】过C 点作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，∴∠CDB ＝90°. ∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝180°－∠ABC ＝60°. ∵BC ＝2，∴sin ∠CBD ＝CD BC ＝CD 2，cos ∠CBD ＝BD BC ＝BD2， 即sin 60°＝CD 2＝32，cos 60°＝BD 2＝12.∴CD ＝3，BD ＝1.∵AB ＝4，∴AD ＝AB ＋BD ＝4＋1＝5.∴AC ＝AD 2＋CD 2＝52＋(3)2＝27，即AC 的长为27.21．(1)【证明】如图，连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∴∠BDC ＝90°.∵E 是BC 的中点，∴DE ＝BE ＝EC ＝12B C ． ∵⊙O 与BC 相切于点B ，∴∠ABC ＝90°.在△DOE 和△BOE 中，⎩⎨⎧OD ＝OB ，DE ＝BE ，OE ＝OE ，∴△DOE ≌△BOE (SSS) .∴∠ODE ＝∠ABC ＝90°.∴OD ⊥DE .又∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°.由(1)知∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C＋∠CBD＝90°，BC＝2DE＝10. ∴∠C＝∠ABD．在Rt△ABC中，AC＝BCcos C＝BCcos∠ABD＝1045＝252.∵OA＝OB, BE＝CE，∴OE＝12AC＝254.22．【解】(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米．在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝AFcos 45°＝1022＝102≈10×1.41≈14(千米)．∴AD的长度约为14千米；(2)小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，∴AE＝AB·tan 30°＝24×33＝83(千米)，∴EB＝2AE＝163千米．按线路①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；按线路②A －E －B 走的路程为AE ＋EB ＝83＋163≈24×1.73＝41.52(千米)． ∵38千米<41.52千米，∴小明应该选择线路①.23．【解】如图，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，由题意得AF ⊥BC ，DE ＝AF ，∵斜面AB 的坡度i ＝3∶4，∴AF BF ＝34.设AF ＝3x 米，则BF ＝4x 米， 在Rt △ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝(3x )2＋(4x )2＝5x (米)，在Rt △DEC 中，∠C ＝18°，CD ＝20米，∴DE ＝CD ·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)．∴AF ＝DE ≈6.2米，∴3x ≈6.2，解得x ≈3115.∴AB ≈5×3115＝10.3(米)．∴斜坡AB 的长约为10.3米．24．【解】如图，延长AB 交MN 于点O ，则AO ⊥MN .由题意得∠N ＝60°，∠M ＝48°，AO ＝120 m ，AB ＝40 m ，则BO ＝AO －AB ＝80(m)．在Rt △AON 中，tan N ＝AO NO ＝tan60°，∴NO＝AOtan60°≈69.36 m.在Rt△BOM中，tan M＝BOMO＝tan48°，∴MO＝BOtan48°≈72.07 m.∴MN＝MO＋NO≈72.07＋69.36≈141.4(m)．答：试验田边界M，N之间的距离约为141.4 m.。
人教版数学九下第二十八章综合提优测评卷(B卷)及答案解析
D．４５２５５２３３４４３５时间:４５分钟满分:１００分题序一二三总分结分人核分人得分一、选择题(每题３分,共２４分)１．如图所示,△A B C的顶点是正方形网格的格点,则s i n A的值为()．A.１１０１０B.５D．２５２．如果在△A B C中,s i n A＝c o s B＝２,那么下列最确切的结论是()．A．△A B C是直角三角形B．△A B C是等腰三角形C．△A B C是等腰直角三角形D．△A B C是锐角三角形３．在△A B C中,∠C＝９０°,t a n B＝１,则c o s A等于()．(第１题)１０１０B．２C．３３１０１０４．如图,在四边形A B C D中,E、F分别是A B、A D的中点,若E F＝２,B C＝５,C D＝３,则t a n C 等于()．A.３B.４C.３(第４题) (第５题) (第６题)５．如图,某水库堤坝横断面迎水坡A B的坡比是１:３,堤坝高B C＝５０m,则迎水坡面A B的长度是()．A．１００m,B．１００３m C．１５０m D．５０３m６．兴义市进行城区规划工程师需测某楼A B的高度,工程师在D处用高２m的测角仪C D,测得楼顶端A的仰角为３０°,然后向楼前进３０m到达E,又测得楼顶端A的仰角为６０°,楼A B 的高度为()．A．(１０３＋２)m B．(２０３＋２)mC．(５３＋２)m D．(１５３＋２)m第二十八章综合提优测评卷锐角三角函数C．A．D．．B．２组＝３０°△A B C７．为了测量被池塘隔开的A、B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如下图形,其中AB⊥B E,E F⊥B E,A F交B E于D,C在B D上．有四位同学分别测量出以下四组数据:①B C,∠A C B;②C D,∠A C B,∠A D B;③E F,D E,B D;④D E,D C,B C．能根据所测数据,求出A、B 间距离的有( )A．１组C．３组D．４组(第７题) (第８题)８．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要()．A．４５０a元B．３７５a元C．１５０a元D．３００a元二、填空题(每题３分,共２４分) ９．s i n４５°的值是．(结果保留根号)１０．已知∠α的顶点在原点,一条边在x轴上,另一边经过点P(３,－４),则s i nα＝．１１．如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线O M交于点A,再以点A为圆心,A O长为半径画弧,两弧交于点B,画射线O B,则c o s∠A O B的值等于．(第１１题)(第１２题)(第１３题)１２．如图,在R t△A B C中,斜边B C上的高A D＝４,c o s B＝４,则A C＝．１３．如图,在R t△A B C中,∠A B C＝９０°,∠A C B,将５绕点A按逆时针方向旋转１５°后得到△A B１C１,B１C１交A C于点D,如果A D＝２２,那么△A B C的周长等于．１４．在R t△A B C中,∠C＝９０°,B C＝１０,且S△A B C＝５０３,则∠A＝．１５．如图,已知△A B C,A B＝A C＝１,∠A＝３６°,∠３的平分线BD 交A C于点D ,则AD 的ABC长是,c o s A的值是．(结果保留根号)(第１５题)(第１６题)c o s６０°＋１t a n４５°１６．某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A 射出的光线AB、A C与地面MN 所夹的锐角分别为８°和１０°,大灯A与地面离地面的距离为１m则该车大灯照亮地面的宽度B C是m．(不考虑其他因素)(参考数据:s i n８°≈４;t a n８°≈１;s i n１０°≈９;t a n１０°＝５)三、解答题(第２５８７题５０,５２２８１７．计算:１７~２１题每题分,第２２１２分共分)(１)２c o s６０°－６s i n４５°s i n６０°;(２)c o s４５°－s i n３０°．２１８．如图,在R t△A B C中,∠C＝９０°,A C＝８,∠A的平分线A D＝求∠B的度数及边B C、AB 的长．(第１８题)１９．校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超载和超速．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使C D与l垂直,测得C D的长等于２１米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠C A D＝３０°,∠C B D＝６０°．(１)求A B的长(精确到０．１米,参考数据:３＝１．７３,２＝１．４１);(２)已知本路段对校车限速为４０千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时２秒,这辆校车是否超速? 说明理由．(第１９题)４２０．如图,定义:在直角三角形A B C中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作c t a nα,即c t a nα＝角α的邻边＝A C,根据上述角的余切定义,角α的对边B C解下列问题:(１)c t a n３０°＝;(２)如图,已知t a n A＝３,其中∠A为锐角,试求c t a n A的值．(第２０题)２１．已知B港口位于A观测点北偏东５３．２°方向,且其到A观测点正北方向的距离B D的长为１６k m．一艘货轮从B港口以４０k m/h的速度沿如图所示的B C方向航行,１５m i n后到达C 处．现测得C处位于A观测点北偏东７９．８°方向．求此时货轮与A观测点之间的距离A C 的长．(精确到０．１k m)(参考数据:s i n５３．２°≈０．８０,c o s５３．２°≈０．６０,s i n７９．８°≈０．９８,c o s７９．８°≈０．１８,t a n２６．６°≈０．５０,２≈１．４１,５≈２．２４)(第２１题)２２．如图,一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上,小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为６０°,然后他从P处沿坡角为４５°的山坡上走到C处,这时,P C＝３０m,点C与点A在同一水平线上,A、B、P、C在同一平面内．(１)求居民楼A B的高度;(２)求C、A之间的距离．(精确到０．１m,参考数据:２≈１．４１,３≈１．７３,６≈２．４５)(第２２题)１９AB B CA DB 是４等 腰三角形,且 D A ＝D B ＝B C ,可 证 A C B C AB ＝A D －B D ＝３６．３３－１２．１１＝２４．２２ １５,５＋１ 提示:由已知条件,可知△B DC 、 △ ∽△A B C ,则有B C ＝D C ,设B C ＝x ,则D C ＝１－x ,因此x ＝１－x ,即x ２＋x －１＝０,解得x １１ x２不合题意,舍去),即 A D ２ ２AB c o s A ＝A ２D１６．１．４ １７．(１)－ １ ５－１２(２)２－ １ ２ ２ ２１８．在 R t △A C D 中,∵ c o s ∠C A D ＝A C ＝ ８ ∠C A D 为锐角, A D ∴ ∠C A D ＝３０°,∠B A D ＝ ∠C A D ＝３０°, 即 ∠C A B ＝６０°．∴ ∠B ＝９A ０°C－ ∠C A B ＝３０°． ∵ s i n B ＝A B , ∴ A B ＝ A C＝ ８ ＝１６．s i n B s i n ３０° 又 c o s B ＝B C ,∴ B C ＝A B c o s B ＝１６ ３＝８ ３． ,A D ＝ C D ＝２１＝２１ ３＝３６．３３, t a n ３０°３在 R t △B D C 中, B D ＝ C D ＝２１＝７ ３＝１２．１１, t a n ６０° ３ ∴ () ≈２４．２(米); ,２ 汽车从A 到B 用时２秒 所以速度为２４．２÷２ ＝１２．１(米/秒), , 因为１２．１×３．６＝４３．５６ / , /第二十八章 综合提优测评卷(B卷) ．B ２．C ３．A ４．B ５．A ６．D ７．C ８．B 所以该车速度为４３．５６千米 小时 大于４０千米 小时,所以此校车在A B 段超速． ２０．(１)设B C ＝１,∵ α＝３０°,４ １ ∴ A B ＝２,,９．２ １０．５ １１．２ １２．５１３．６＋２ ３ １４．６０°∴ 由勾股定理得AC ＝ ３ ∴ c t a n ３０°＝A C＝ ３;１△B D C４ ６０AB２ ３AH AH (２)∵ t a n A ＝ ３ , ∴ 设B C ＝３,A C ＝４, ∴ c t a n A ＝A C ＝ ４．B C ３２１．B C ＝４０×１５＝１０．在 R t △A D B 中, s i n ∠D A B ＝D B ,s i n ５３．２°≈０．８,∴ A B ＝ D B ≈１．６＝２０．s i n ∠D A B ０．８(第２１题)如图,过点B 作B H ⊥A C ,交A C 的延长线于点H ． 在 R t △A H B 中,,∠B AH ＝７９．８°－５３．２°＝２６．６°t a n ∠B AH ＝B H ,０．５＝B H ,A H ＝２B H ．B H ２＋A H ２＝A B ２,B H ２＋(２B H )２＝２０２,B H ＝４ ５, ∴ AH ＝８ ５,在 R t △C H B 中,B H ２＋C H ２＝B C ２,C H ＝ １０２－８０＝２ ５,∴ A C ＝AH ―CH ＝８ ５― ２ ５＝６ ５() ≈１３．４(k m )． ,２２． １ 过点C 作C G ⊥B P 于点G 在 R t △P C G 中,C G ＝P C s i n ４５°＝３０× ２＝１５ ２,∴ A B ＝１５ ２＝２１．２(m ); (２)P G ＝P C c o s ４５°＝３０× ２＝１５ ２,B P ＝１５ ２＝５ ６,∴ C 、A 之间的距离＝B P ＋P G ＝１５ ２＋５ ６＝３３．５(m )．。
人教版九年级数学下册 第28章 达标检测卷(含答案)
人教版九年级数学下册 第28章 达标检测卷(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ ．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为 ．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 .12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．16．有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A，点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ 3 km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝1313，MN＝213 km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．(1)求l2和l3之间的距离；(2)若城际火车平均时速为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时(结果用分数表示)．六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( A ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( A )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( B )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( C )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ 12．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为__20°__．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 17 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 2.9 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 45.12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 ②③④ (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；解：原式＝(32)2＋1－32×32－(3)2 ＝34＋1－34－3 ＝－2.(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.解：原式＝12－(22)2＋34×(33)2＋(32)2＝12－12＋34×13＋34 ＝1.15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．解：∵∠C ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴∠DBC ＝45°，∴DC ＝BC ＝6.又∵sin A ＝25，∴BC AB ＝25，∴AB ＝15.15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：∵AD ⊥BC ，∴△ADC 为直角三角形，故sin C ＝AD AC ＝1213，设AD ＝12k ，则AC ＝13k ，∵AC ＝BD ，∴DC ＝BC －BD ＝12－13k ；由勾股定理得(13k)2＝(12k)2＋(12－13k)2，整理得6k 2－13k ＋6＝0，解得k ＝23或32；∴AD ＝8或AD ＝18(不合题意，舍去)． 故AD ＝8.16．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D. 在Rt △ABD 中，∠A ＝30°，则AD ＝3BD. 在Rt △BCD 中，∠C ＝45°，则CD ＝BD.∵AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)， ∴BD ＝2，2<2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1 m 的圆形门．17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝23，则EF ＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(10分)(益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．(1)证明：∵∠CAB ＝∠ACB ，∴AB ＝CB ， ∴▱ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.(2)解：在Rt △AOB 中，cos ∠CAB ＝AO AB ＝78，AB ＝14，∴AO ＝14× 78＝494， 在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ＝AB AE ＝78，AB ＝14，∴AE ＝87AB ＝16，∴OE ＝AE －AO ＝16－494＝154.19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝15，cos A ＝35，∴AB ＝15cos A ＝25.又∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝252.(2)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DC ＝DB ＝252，∴∠DCB ＝∠DBC .又∵∠E ＝∠ACB ＝90°，∴△BEC ∽△ACB ，∴EC BC ＝BCAB.又BC ＝AB 2－AC 2＝252－152＝20，∴EC 20＝2025，∴EC ＝16.∵CD ＝252，∴DE ＝16－252＝72.∴在Rt △DEB 中，sin ∠DBE ＝72×225＝725.20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．解：在Rt △APC 中，AC ＝PC · tan ∠APC ≈30×2.90＝87(米)． 同理求得BC ≈21米．∴AB ＝AC －BC ＝87－21＝66(米)．∴汽车的速度为666＝11(米/秒)＝39.6(千米/时)．∵39.6<40，∴该车没有超速．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°， CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACH ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH.∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55；(2)∵sin B ＝55，∴AC ∶AB ＝1∶ 5.又∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2. 设CE ＝x(x>0)，则AE ＝5x ，则在Rt △ACE 中，有x 2＋22＝(5x)2，∴x ＝1，即CE ＝1.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3.22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 与直线l 1，l 2，l 3都垂直，垂足分别为点A ，点B 和点C ，l 2上的点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝ 3 km ，l 3上的点N 位于点M 的北偏东α方向上，且cos α＝1313，MN ＝213 km ，点A 和点N 是城际铁路线L 上的两个相邻的站点．(1)求l 2和l 3之间的距离； (2)若城际火车平均时速为150 km /h ，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要多少小时(结果用分数表示)．解：(1)过点M 作MD ⊥NC 于点D.∵cos α＝1313，MN ＝213， ∴cos α＝DM MN ＝DM 213＝1313，解得DM ＝2 km .答：l 2和l 3之间的距离为2 km .(2)∵点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝3，∴tan 30°＝BM AB ＝3AB ＝33，解得AB ＝3，可得，AC ＝3＋2＝5.∵MN ＝213，DM ＝2，∴DN ＝（213）2－22＝43，则NC ＝DN ＋CD ＝DN ＋BM ＝53，∴AN ＝CN 2＋AC 2＝（53）2＋52＝10(km )．∵城际火车平均时速为150 km /h ，∴10150＝115.答：市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要115 h .六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．。
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培优卷 2020年人教版数学九年级下册 第二十八章 能力提优测试卷一、选择题1．(2019上海静安一模，3)在Rt △ABC 中，∠C= 90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC 等于 ( )A ．3sin αB ．3cos αC ．αsin 3 D ．αcos 32．(2019山东淄博临淄一模，6)在△ABC 中，∠ACB= 90°，∠ABC= 26°，BC=5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．3.(独家原创试题)△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则下列三角函数值错误的是 ( ) A ．sinA=21 B ．cos B=23 C ．tanA=33D ．tan B=3 4．(独家原创试题)定义：在直角三角形中，斜边与锐角A 的对边的比叫做∠A 的余割，记作cscA ，即cscA=的对边斜边A ∠，在Rt △ABC 中，∠C=90°，csc A=35，则tan A 的值为 ( )A ．45 B ．35 C ．34 D ．435．(20 19北京海淀月考，5)如图，若△ABC 和△DEF 的面积S ₁、S ₂，则 ( ) A.S ₁>S ₂ B.S ₁<S ₂ C.S ₁=S ₂ D.无法确定6．(2018河南南阳淅川期末，5)在Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，则cos A 的值等于 ( ) A ．53 B ．47 C ．54或47 D ．54或772 7．图1是一个小朋友玩“滚铁环”游戏的示意图，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2所示，已知铁环的半径为25 cm ，设铁环中心为O ，铁环钩与铁环相切点为M ，铁环与地面接触点为A ，∠MOA =α，且sin α=53，若小朋友的站立点C 与点A 的水平距离AC 等于55 cm ，则铁环钩MF 的长度为 cm. ( )A ．46B ．48C ．50D ．528．(2019重庆南岸月考，9)重庆朝天门码头位于重庆市东北的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头．如图，小王在码头某点E 处测得朝天门广场上的某高楼AB 的顶端A 的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC 走了26 m 到达坡顶C 处，到C 处后继续朝高楼AB 的方向前行了16 m 到D 处，在D 处测得高楼的顶端A 的仰角为74°，则此时小王到高楼的距离BD 约为 m ． ( )(结果精确到1 m ，参考数据：sin74°≈0.96，cos 74°≈0.28，tan 74°≈3.49) A ．12 B ．13 C ．15 D ．169．(2019重庆綦江一模，10)如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC 的高度．他们从点A 出发沿着坡度i=1：2.4的斜坡AB 步行26 m 到达点B 处，此时测得建筑物顶端C 的仰角α= 35°，建筑物底端D 的俯角β= 30°.若AD 为水平的地面，则此建筑物的高度CD 约为 m ．(参考数据：3≈1.7，sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7) ( )A. 20.2B.22.1C.23.6D.3010.(独家原创试题)如图，已知点F 是正方形ABCD 的边CD 的中点，BE ⊥AF 于E ，点G 、H在直线AF 上，且AE=EG=GH ，连接DE 、CG 和CH ，则下列结论：①tan ∠ABE=21；②tan ∠CGH=1；③cos ∠DEH=22；④sin ∠GCH=23，其中正确的是 ( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①②③④ D ．①③④二、填空题11.如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，tan F=1，sin C=0.5，则∠DBC=____.12.(独家原创试题)如图，直线y=kx+b 与x 轴交于点A(-2，0)，与双曲线y=x4交于点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若S S BOC AOB △△ ，则tan ∠BAC=____．13.(独家原创试题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，若菱形ABCD 的周长为20，tan ∠DAO=43，则DE=___.14．如图，在△ABC 中，BC= 12，tan A=43，∠B=30°，则△ABC 的面积为___．15.(2019江苏苏州张家港模拟，16)如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶12 km 至B 地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，则B 、C 两地的距离为___km.(结果保留根号)16.(独家原创试题)如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶的高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残疾人士，拟把门前台阶右侧改成斜坡，台阶的下起点为A 点，斜坡的上起点为B 点，下起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度i=1:5，则下起点C 在A 点前方___cm 处．17.(2018重庆南岸模拟，17)如图是一座建筑物的剖面图，其中A 、B 、E 、F 四点在同一条直线上，CB ⊥AB ，DE ⊥EF ，在A 处测得D 处的仰角为54°，AC 的坡度i=2.4，BE=AC ，AB= 10 m ，则DE 的高度约为___ m(参考数据：sin 54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan 54°≈1.38)．18.(2019黑龙江哈尔滨南岗月考，20)如图，Rt △ABC 中，∠ACB= 90°，过C 作CH ⊥AB 于点H ，取BC 的中点F ，作∠DCB= ∠BCH ，且DF ∥CH ，若53EH CE ，则tan ∠DAB=___.三、解答题19．(1)︒+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒+-45tan 42136sin 20；(2)︒-︒︒-︒45cos 460tan30sin 30cos 22220.(2019江西新余一模，16]如图，射线OA 放置在4×4的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B ，并连接OB 、AB 使△AOB 为直角三角形，并且： (1)使tan ∠AOB 的值为1； (2)使tan ∠AOB 的值为21．21.(2019江苏宿迁宿豫期中，27)在△ABC 中，∠ABC= 90°，tan ∠BAC=21. (1)如图1，分别过A 、C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M 、N ，若点B 恰好是线段MN 的中点，求tan ∠BAM 的值；(2)如图2，P 是边BC 的延长线上一点，∠APB= ∠BAC ，求tan ∠PAC 的值．22.(2019江苏无锡惠山月考，24)如图所示，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔塔尖C 的仰角为60°，该人沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45°，已知OA= 120 m ，山坡坡度i=1：2，且O 、A 、B 在同一条直线上，求电视塔OC 的高度以及点P 所在位置的铅直高度.(测角仪高度忽略不计，结果保留根号)23.如图，港口B 位于港口A 的南偏西45°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向、港口B 的南偏东45°方向的D 处，它沿正北方向航行18.5 km 到达E 处，此时测得灯塔C 在E 的南偏西70°方向上，求E 处距离港口A 有多远．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)第二十八章 能力提优测试卷 1.B ∵∠A=α，AB=3，∴cos α=ABAC，∴AC =AB ·cos α= 3cos α，故选B. 2．D 由tanB=BCAC，得AC=BC ·tan B=5×tan 26°，故选D ． 3．B ∵在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，∴设∠A =x ，则∠B= 2x ，∠C=3x ，∵∠A+∠B+∠C=180°，即x+2x+3x= 180°，解得x=30°，∴∠A=30°，∠B=60°，∴ sin A=sin 30°=21，cos B=cos 60°=21， tan A=tan30°=33，tanB=tan 60°=3，故B 错误，故选B ． 4.D 如图，∵Rt △ABC 中，∠C=90°，csc A=35=BC AB ，∴设BC= 3x ，则AB=5x ，∴AC=4x ，故tanA=4343==x x AC BC ，故选D ．5．C 过点A 作AG ⊥BC 于G ，过点D 作DH ⊥FE ，交FE 的延长线于H.在Rt △ABG 中，AG=AB ·sin 40°= 5sin 40°，在Rt △DHE 中，∠DEH= 180°-140°= 40°，∴DH= DE ·sin 40°= 8sin 40°，∴S 1=21×8×5sin 40°= 20sin 40° ，S 2=21×5×8sin 40°=20sin 40°，则S 1=S 2．故选C ．6．C 当△ABC 为直角三角形时，存在两种情况：①当AB 为斜边时，∠C=90°，∵AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=BC AC 22+=6822+=10．∴cosA=54108==AB AC ；②当AC 为斜边时，∠B=90°，∴由勾股定理得AB=72682222=-=-BC AC ，cosA= 47872==AC AB .综上所述，cosA 的值等于54或47．故选C. 7．C 如图，过M 作与AC 平行的直线，与OA 、FC 分别相交于H 、N.在Rt △OHM 中，∵∠OHM= 90°，OM= 25，HM=OM ·sin α=15，∴OH= 20，所以MB=HA=25 -20=5，∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH= ∠OMH+∠FMN=90°，∴∠FMN=∠MOH =α，∴FMFN=sin α=53，∴FN=53FM ，在Rt △FMN 中，∠FNM= 90°，MN= BC= AC -AB= 55 - 15= 40．∵FM ²= FN ²+MN ²，∴FM ²=(53FM)²+40²，解得FM=50，∴铁环钩FM 的长度为50cm ．故选C ．8．A 如图，过E 作EH ⊥AB 交AB 的延长线于H ，过C 作CG ⊥EH 于G ，则CG=BH ，BC=GH ，∵CE=26，4.2:1=EGCG，∴CG=10，EG=24，∴BH=CG=10，设BD=x ，在Rt △ABD 中，∵∠ADB= 74°，∴AB=tan 74°·x ≈3.49x ，∴AH=AB+BH=3.49x+10，∵∠AHE=90°，∠AEH=45°，∴AH=EH ，∵EH=EG+GH=24+16+x ，∴3.49x+10= 24+16+x ，解得x ≈12，即小王到高楼的距离BD 约为12 m ．故选A ．9．B 如图，过点B 作BN ⊥AD 于N ，BM ⊥DC 于M ，∵i=1：2.4，AB=26，∴设BN=x ，则AN= 2.4x ，∴AB= 2.6x ，则2.6x= 26，解得x= 10，故BN= DM= 10 m ，在Rt △BMD 中，tan 30°= 3310==BM BM DM ，解得BM=103，在Rt △BCM 中，tan 35°=310CM BM CM =≈0.7，解得CM ≈12.1，故DC=MC+ DM=12. 1+ 10=22.1( m)．故选B ．10.A ∵BE ⊥AF ，∴∠ABE+ ∠BAE= 90°，∵∠DAF+ ∠BAE= ∠BAD= 90°，∴∠ABE=∠DAF ，∵F 是CD 的中点，∴DF= FC=21CD ，∴tan ∠ABE=tan ∠DAF=AD DF =21，故①正确；连接BG ，∵AE=EG ，BE ⊥AF ，∴BE 垂直平分线段AG ，∴AB=BG ，∠ABE= ∠GBE ，∵AB=BC ，∴BG=BC ，过点B 作BK ⊥CG 于K ，则∠CBK= ∠GBK ，∴∠EBK= ∠EBG+ ∠GBK=21∠ABC=21×90°= 45°，在四边形BKGE 中，∠EGK=360°-90°×2-45°=135°，∴∠CGH=180°-∠EGK= 180° - 135°= 45°，∴tan ∠CGH=1，故②正确；连接DG ，∵tan ∠ABE=BE AE =21，∴BE =2AE ，∵AG=AE+EG=2AE ，∴AG=BE ，在△ABE 和△DAG 中，BA=AD ，∠EBA=∠GAD ，BE=AG ，∴△ABE ≌△DAG(SAS)，∴DG=AE ，∠DGA= ∠AEB=90°，∵AE=EG ，∴DG=EG ，∴△DEG 是等腰直角三角形，∴∠DEH= 45°，∴cos ∠DEH=22，故③正确；连接DH ，∵EG=GH ，∴DG 垂直平分EH ，∴∠GDH= ∠GDE=45°，∵∠DGA=90°，∴∠GDF+∠DFG= 90°，又∵∠DFG+∠DAF= 180°- 90°= 90°，∴∠GDF=∠DAF ，∵tan ∠GDF= 21=DG GF ，∴GF=21DG ，∵DG=EG=GH ，∴GF=21GH ，∴GF=FH ，又∵F 是CD 的中点，∴DF= FC=21CD ，∴四边形CHDG 是平行四边形，∴∠GCH= ∠GDH=45°，∴sin ∠GCH=22，故④错误，综上所述，正确的有①②③．故选A ．11.答案：105°解析：∵tanF=1，sinC=0.5，∴∠F= 45°，∠C= 30°.∵CE ⊥AF ，∴∠A= 90°-∠C=60°，∵∠DBC 是△ABF 的外角，∴∠DBC= ∠A+∠F=60°+45°=105°. 12.答案：21 解析：∵S S BOC AOB △△=，A(-2，0)，∴OC=OA ，∴C(2，0)，∴AC=4. ∵点B 在双曲线y=x 4上，BC ⊥x 轴，把x=2代入y=x4得y=2， ∴BC=2.在Rt △ABC 中，tan ∠BAC=2142==AC BC . 13.答案：524 解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=BC ，AC ⊥BD ，AO=OC ，DO=BO ，∴菱形ABCD 的周长为20，∴ AD=BC=5，∴tan ∠DAO=43=AO DO ，∴设DO= 3x ，则AO= 4x ，∵DO ²+AO ² =AD ²，即(3x)²+(4x)²=5²，解得x=1(舍负)，∴AC=8，BD=6，∴S ABCD 菱形=21×AC ×BD=BC ×DE ，∴21×6×8= 5×DE ，解得DE=524． 14．答案：24+183解析：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △BCD 中，∠B= 30°，BC= 12，∴CD=21BC=6．∴BD=3CD=63，在Rt △ACD 中，tan A=43=AD CD ， ∴AD=34CD=8，∴AB=AD+BD=8+63， ∴ S ABC △=21×AB ×CD=21×(8+63)×6= 24+183.15．答案：66解析：过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △ABD 中，sin ∠DAB=ABBD，∴BD=AB ·sin ∠DAB=63，在Rt △CBD 中，cos ∠CBD=BC BD ，∴BC=CBDBD∠cos =66( km)．16．答案：270解析：如图，过B 作BH ⊥CA ，交CA 的延长线于H ，由题意得BH= 18×4= 72( cm)， ∴斜坡BC 的坡度i=1：5，∴CH= 72×5= 360( cm)，∴AC=360-30×3=270(cm).17．答案：49.68解析：在Rt △ABC 中，∵BC ：AB=2.4，AB=10，∴ BC=24，∴AC=BC AB 22+= 26，∴BE= AC= 26，∴AE= 36.在Rt △ADE 中，DE=AE ·tan 54°≈49.68( m)，即DE 的高度约为49.68 m ．18．答案：825 解析：如图，作直线DF 交AC 的延长线于K ，交AB 于M ，∵CH ∥DF ，CH ⊥AB ，∴DF ⊥AB ， ∠HCF=∠CFD ，∵∠DCB= ∠BCH ，∴∠BCD=∠CFD ，∴CD=DF ，∵53=EH CE ，∴设CE=3x ，EH=5x ，则CH=8x ，∵F 是BC 的中点，FM ∥CH ，∴HM=BM ，∴FM=21CH=4x ，∵CH ∥KM ，∴DMEH AD AE DK CE ==，在Rt △KCF 中，∵∠DCF=∠DFC ，∠DCF+∠DCK=90°=∠DFC+∠K ，∴∠K=∠DCK ，∴CD=DK ，设KD=DF=y ，∴x y x y x 453+=，即y=6x ，∴DM=6x+4x=10x ，∵EH ∥DM ，∴21==AM AH DM EH ，∴AH=HM=BM ，易得∠ACH=∠B ，又∵∠AHC= ∠CHB=90°，∴△AHC ∽△CHB ，∴BH CH CH AH =，∴CH ²=AH ·BH ，∴(8x)²=AH ·2AH ，∴AH=42x ，∴tan ∠DAB=8252810==x x AM DM .19．解析：(1)原式=2+1-2+1 =2．(2)原式：()22322312232143222432123222+=-=--⨯=⨯--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯. 20.解析：(1)如图①所示．(2)如图②所示．21.解析：(1)∵AM ⊥MN ，CN ⊥MN ，∴∠M= ∠N=90°，∴ ∠MAB+∠ABM=90°， ∵∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABM=90°，∴∠MAB= ∠NBC ，∴△AMB ∽△BNC ，∴ABBC AM BN ==tan ∠BAC= 21. ∵点B 是线段MN 的中点，∴BM=BN ．∴在Rt △AMB 中，tan ∠BAM=AM BM =21． (2)过点C 作CD ⊥AC 交AP 于点D ，过点D 作DE ⊥BP 于点E ．∵tan ∠BAC=21，∠APB=∠BAC ， ∵tan ∠BAC= 21=AB BC ，tan ∠APB=21=BP AB . 设BC=x ，则AB=2x ，BP=4x ，则CP= BP -BC= 4x -x= 3x.与(1)同理，可得∠BAC= ∠ECD ，∴∠APB= ∠ECD.∵DE ⊥BP ，∴ CE=EP= 21CP= 23x. 与(1)同理，可得△ABC ∽△CED ， ∴43223===x x AB CE AC CD ∴在Rt △ACD 中，tan ∠PAC=AC CD = 43．22.解析：过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ．在Rt △AOC 中，OA=120m ，∠CAO= 60°，∴CO=AO ·tan60°=1203m ．设PE=x m ，∵tan ∠PAB=21=AE PE ，∴AE=2x m. 在Rt △PCF 中，∠CPF=45°，CF=(1203-x)m ，PF=OA+AE=(120+2x)m ， ∵PF=CF ，∴120+2x=1203-x ．解得x=403-40.故电视塔OC 的高度为1203m ，点P 所在位置的铅直高度为(403 -40)m ．23.解析：如图，过点B 作BM ⊥AD ，垂足为M ，过点C 作CN ⊥AD ，垂足为N. 设CN =x km ．在Rt △ACN 中，∠A= 45°，∵tan 45°= AN CN ，∴AN=︒=︒45tan 45tan x CN =x km ， 在Rt △ECN 中，∠CEN= 70°．∵tan70°=ENCN ， ∴EN=︒=︒70tan 70tan x CN km ， ∵CN ⊥AD ，BM ⊥AD ，∴∠ANC= ∠AMB=90°，∴CN ∥BM ，∴AMAN BM CN AB AC ==， 又∵C 为AB 的中点，∴AB=2AC ，AC=BC ，∵BM=2CN=2x km ，AN=MN=x km ，由题意可知在Rt △BMD 中，∠MDB=45°，∵tan 45°=DM BM ，DM=︒=︒45tan 245tan x BM =2x km ，∵DE -DM -EN=MN ， ∴18.5-2x -︒70tan x =x ，∴x=︒⨯+︒⨯70tan 3170tan 5.18≈5.5， ∴AE=AN -EN=5.5-︒70tan 5.5≈3.5km ， 故E 处距离港口A 大约为3.5 km.。