边值问题的变分形式
5.1 5.2两点边值问题
在 上满足
以 乘（1.1）两端multiplyby，得到
（6）
利用边值条件，得到
定义双线性形式：
则（6）可写成
。
定理2设 是上述边值问题的解的充要条件是： 且满足变分方程
。对任意
5.3 Ritz-Galerkin方法
思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。
变分原理：求 ，使
（8）
例利用Ritz-Galerkin方法求解边值问题：
本问题有精确解：
Ritz-Galerkin方法通常选取的子空间有两种，一种其基底选为
另外一种基底选为
为使 满足边值条件，取
将 表成
： ， 满足方程
从而得到
： ， 代到方程（14），得到Ritz-Galerkin方程：
解得 ，故
表1计算结果比较
0.044
考虑混合边值问题。在 上满足
在 上满足
以 乘（1.1）两端multiplyby，得到
（6）
利用边值条件，得到
定义双线性形式：
则（6）可写成
。
定理2设 是上述边值问题的解的充要条件是： 且满足变分方程
。对任意
5.3 Ritz-Galerkin方法
思想：有穷空间维近似代替无穷维空间。
变分原理：求 ，使
（8）
证明：注意当 时，
（16）
如果 是边值问题（10）的解，则 ，从而
，对任意
由（14），有
这说明 使 达到极小值。
反之，若 使 达到极小值，则由（14）及（16），得
对任意 （18）
取 ，则
，对任意
根据变分法基本原理， 满足方程
，
所以，（18）化为
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题一、引言在数学中，微分方程是研究自然界中变化和发展的重要工具。
它描述了物体在不同变化条件下的行为规律，并被广泛应用于物理、工程、经济等领域。
边值问题是微分方程中的一个重要分支，它关注的是在一定边界条件下的解。
二、常微分方程常微分方程是指只含有关于一个自变量的一阶或高阶导数的方程。
一般形式为：[F(x, y, y’, y’’, , y^{(n)}) = 0]其中，x是自变量，y是未知函数。
常微分方程的求解可以分为两种类型：初值问题和边值问题。
三、边值问题的定义边值问题是指在一定边界条件下，求解微分方程的解。
对于二阶常微分方程，边值问题的一般形式为：[y’‘(x) = f(x, y, y’)， a < x < b， y(a) = , y(b) = ]其中，a和b是给定的边界点，()和()是给定的边界值。
四、边值问题的求解方法边值问题的求解可以分为两种方法：迭代方法和直接方法。
4.1 迭代方法迭代方法是通过不断迭代逼近的方式求解边值问题。
常用的迭代方法有有限差分法和有限元法。
4.1.1 有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为差分方程进行求解的方法。
它将求解域离散化，并通过差分近似来近似微分项，最终通过迭代逼近求得边界值。
有限差分法的基本思想是将求解域划分为若干个离散的网格点，然后使用近似公式将微分项替换为差分项，从而得到差分方程。
通过迭代求解差分方程，最终得到边界条件下的解。
4.1.2 有限元法有限元法是一种将微分方程转化为代数方程组进行求解的方法。
它通过将求解域划分为有限个小区域，然后在每个小区域上选择一个试验函数来代表解，在满足边界条件的情况下，通过最小化误差的方法得到近似解。
有限元法的基本思想是将求解域划分为若干个小单元，然后在每个小单元上选择一个适当的试验函数，通过建立弱形式和加权残差方法得到代数方程组，最终通过迭代求解代数方程组得到边界条件下的解。
4.2 直接方法直接方法是通过对微分方程进行直接求解的方法，其中最常用的方法是变分法。
数值分析中的变分法及其收敛性
数值分析中的变分法及其收敛性在数值分析中，变分法（Variational Method）是一种通过变分问题求解数值解的方法。
它利用泛函分析的理论和方法，通过构建一个被最小化的泛函，来求解给定问题的最优解。
本文将介绍变分法的基本原理，并讨论其在数值分析中的应用以及收敛性。
一、变分法的基本原理变分法的基本原理可以通过极小化泛函的方法进行描述。
对于一个给定的泛函J[y]，其中y是一个函数，我们的目标是找到一个y*，使得J[y*]达到最小值。
为了找到这个最小值，我们可以将问题转化为一个极小化问题，即找到一个y*，使得对于任意的形状变化δy，J[y*]的变化率为零。
这可以通过求解变分问题来实现：δJ[y*] = 0，对任意δy通过变分法，我们可以通过求解变分问题来得到原问题的最优解。
二、变分法在数值分析中的应用1. 最小化问题：变分法可以用于最小化问题的求解。
例如，对于一个函数y(x)，我们可以通过构建一个泛函J[y]，然后使用变分法来求解最小化问题。
2. 边值问题的求解：变分法在边值问题的求解中也有广泛的应用。
通过构建适当的泛函，我们可以将边值问题转化为一个变分问题，并通过变分法来求解。
3. 偏微分方程的数值解：变分法在偏微分方程的数值解中也有重要的应用。
通过构建适当的泛函，并选择合适的试验函数空间，我们可以使用变分法来求解偏微分方程的数值解。
三、变分法的收敛性在使用变分法求解数值问题时，我们更关注的是变分法的收敛性。
收敛性指的是在一系列逼近过程中，逼近的解是否趋近于真实的解。
对于变分法而言，它的收敛性与使用的试验函数空间以及变分问题的性质有关。
1. 试验函数空间的选择：试验函数空间的选择对于变分法的收敛性至关重要。
通常，我们会选择适当的空间，使得试验函数满足一定的光滑性和边界条件。
选择合适的空间可以提高解的逼近精度，从而提高收敛性。
2. 变分问题的性质：变分问题的性质也会影响到变分法的收敛性。
如果变分问题满足一定的正则性条件，如强解的存在性和唯一性等，那么变分法的收敛性可以得到保证。
应用PDE讲义10_变分形式
考虑满足 Euler 特征方程的曲线这种曲线叫极值曲线．对于变分 学的基本问题，通过给定点 存在一族单参数极值曲线．现在假定判 是我们寻求极大或极小曲线的两端点之一．给了任一极值曲线，当其 他极值曲线趋来越接近这极值曲线时，其他极值曲线的交点的极限就
变分基本问题的 Lagrange 的方法，问题是使作用积分
，，
极大或极小，其中 ， 的新曲线
待定。Lagrange 引进通过端点 ， 和
而不是去改变极大或极小化曲线的个别坐标。其中， 是 Lagrange 引
进的特殊符号，用来表示整个曲线 的变分．在积分 的被积
函数中引进了一条新的曲线，当然就改变了
“ 的系数必须为 0”，即
0 就这样，Lagrange 得到了 Euler 方程，这一推导方法及其记号，至今 还在使用．
9
再按 Lagrange 的思路考察变端点问题。对于下列形式的作用积 分
，，
在端点 ， 和 ， 的取值不定。则一阶变分
0
由于
，
和 都是独立的变分，
数必须为 0”就推得 Euler 方程
1.1 最初的问题.................................................................................................... 3 1.2 Euler 的贡献................................................................................................... 5 1.3 Lagrange 方法论........................................................................................... 7 §2 边值问题的变分原理 ...................................................................................... 13 2.1 动力学的等价原理 ................................................................................... 13 2.2 Dirichlet 原理 ............................................................................................ 18 2.3 边值问题变分原理 .................................................................................. 24 §3 Sturm—Liouville 问题变分形式 ................................................................. 32 3.1 Rayleigh 商................................................................................................... 32 3.2 最小特征值变分原理 ............................................................................. 33 3.3 非减特征值序列变分原理.................................................................... 35 练习 10......................................................................................................................... 39
常微分方程边值问题的解法
常微分方程边值问题的解法常微分方程是描述自然科学、工程技术和经济管理等领域中各种变化规律的一个基础理论。
而边值问题是求解一些微分方程的重要问题之一，涉及到数学、物理、化学等多个领域。
在本文中，我们将讨论常微分方程边值问题的解法。
1. 边值问题的定义在微分方程解的过程中，边值问题（Boundary Value Problem, BVP）是指在区间 $[a,b]$ 上求解微分方程的解，同时已知$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$ 的问题。
边值问题是对初值问题（Initial Value Problem, IVP）的一种自然延伸，在一定范围内对变量的取值进行限制，使得解的可行域更为明确。
举例来说，对于经典的二阶线性微分方程$$ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad a<x<b $$ 如果边界条件是$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$，则这个微分方程就是一个边值问题。
2. 常用解法对于一般的常微分方程边值问题，没有通用的方法可以求出其解析解，必须采用一些数值计算的方法进行求解。
常用的边值问题的解法大致有以下几种：（1）求解特殊解的方法这种方法常用于求解具有周期性边界条件的问题。
如果问题中的边界条件满足：$y(a)=y(b)=0$，则可以将问题转化为一个周期问题，即 $y(a+k)=y(b+k)$，其中 $k=b-a$。
这时，边值问题就变成了求解这个方程的周期解，例如，可以使用Fourier 级数来求解。
（2）变分法变分法是一种基于求解最小值的方法，可以用来求解一类线性边值问题。
其基本思路是将原问题转化为求一个积分的最小值。
对于一般的边值问题 $y''+f(x)y=g(x)$，可以构造一个变分问题：$$ \delta\int_a^b \left(y'^2-f(x)y^2-2gy\right) \mathrm{d}x=0 $$ 这个问题的解可以通过对变分问题的欧拉方程求解而得到。
分数微分方程的初值问题和边值问题
分数微分方程的初值问题和边值问题一、初值问题初值问题指的是给定一个微分方程和一个初始条件，求解出满足初始条件的特解的问题。
分数微分方程的初值问题通常形式如下：$D^{\alpha}y(t) = f(t, y(t)), y(0) = y_0$其中$D^{\alpha}$表示分数阶导数，$f(t, y(t))$是关于$t$和$y(t)$的函数，$y(0) = y_0$是初始条件。
解决这个问题的关键在于对分数阶导数进行变换和处理。
对于初值问题，我们需要基于给定的微分方程和初始条件，通过数值求解或者变换换元求解等方法得出满足初始条件的特解。
在实际问题中，初值问题常常出现在动力学系统、生态学模型和物理问题中。
通过求解初值问题，我们可以得到系统的初始状态，进而进行进一步的分析和预测。
二、边值问题边值问题是指给定微分方程在一定范围内的边界条件，求解出满足边界条件的特解的问题。
分数微分方程的边值问题一般形式如下：$D^{\alpha}y(t) = f(t, y(t)), y(a) = y_1, y(b) = y_2$其中$D^{\alpha}$表示分数阶导数，$f(t, y(t))$是关于$t$和$y(t)$的函数，$y(a) = y_1, y(b) = y_2$是边界条件。
对于这类问题，通常需要借助特殊的边值求解方法，如变分法、极值原理等来求解。
边值问题在工程领域的应用非常广泛，比如悬链线问题、热传导问题等都可以建模为边值问题来求解。
通过求解边值问题，我们可以得到系统在特定边界条件下的特解，进而为工程实践提供参考和指导。
总结回顾分数微分方程的初值问题和边值问题在数学和工程领域都具有重要意义。
通过求解初值问题，我们可以得到系统的初始状态，进行进一步分析；而通过求解边值问题，我们可以得到系统在特定边界条件下的特解，为工程实践提供指导。
个人观点初值问题和边值问题都是分数微分方程中的经典问题，对于深入理解和应用分数微分方程非常重要。
变分形式
i =1 n
k = 1, 2, L, n
不难看出, 若令
1 J ( x ) = ( Ax, x ) − (b, x ) 2
则二次函数J(x)于x0取极值的必要条件是: x0是
(1.1)
Ax = b
(1.2)
的解。 为进一步研究二次函数J(x)于x0的极值性质， 考虑实变量函数
x ∈R
(1.4)
其中J(x)是由(1.1)定义的二次函数 (2)求下列方程组
Ax = b
(1.5)
J(x)称为Rn上的二次泛函。
, 它由矩阵A J(x)由两部分组成: 第一部分是两次项 决定; 第二部分是一次项(b,x) ,它由向量b决定。 下面证明定理1.1: 1 ϕ ( λ ) = J ( x0 + λx ) = ( A( x0 + λx ), ( x0 + λx )) − (b, ( x0 + λx )) 2 λ2 λ 1 λ = ( Ax0 , x0 ) + ( Ax0 , x ) + ( Ax, x0 ) + Ax, x ) − ( b, x0 ) − λ ( b, x ) ( 2 2 2 2
第2章 边值问题的变分形式
第二章 边值问题的变分形式 从本章开始, 将逐步涉及用有限元方法求解微分方程的边值问 题，这种方法属于变分法的范畴, 是古典的变分法与分片多项式 差值相结合的产物。 这种结合使得有限元方法不仅保持了变分法 的优点, 而且可以通过一种标准的过程在电子计算机上实现, 从 而弥补了古典变分方法的不足。 “有限元方法” (Finite Element Method) 这一术语首次出 现于R. W. Clough 1960年9月发表的一篇讨论平面弹性力学问题 的力学论文中。 然而, 这种方法的思想却早已有之。 故“谁首 先”、“在何时” 提出有限元方法的问题在数学家、物理学家 和工程师之间就有三种不同的答案。
数学中的变分法
数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。
本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。
一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。
所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。
泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。
1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。
泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。
二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。
欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。
2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。
2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。
这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。
三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。
其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。
例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。
3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。
例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。
四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。
我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。
4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。
通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。
4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。
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(0) (Ax, x)0,对任意非零向 x量Rn
故A必为正定矩阵。
反 之 ， 设A是 正 定 矩 阵 ，x0是 方 程 组(1.2)的 解 ，
即 Ax0 b 0，
则 由(1.3)得
( )
J(
x0 )
2
2
( Ax,
x)
(0) 2 ( Ax, x) (0), 0, x 0
和边值条件u(0) 0,u(l) 0 (2.2)
这 样 ， 求 弦 的 平 衡就位归置结 为 解 两 点
边 值 问 题 (2.1),(2.2). 另一方面，由力学“极 小位能原理”弦的平衡 位置
u* u* ( x )是满足边值条件的一切 可能位置中，使位能 最小。设弦任意位置 u u( x ), 它的总位能为
零 的 函 数 类 。 对 于于任[a一 ,b]一 次 连 续 可 微 的
函 数f (x)和 任 意 C0(I)， 用 分 部 积 分 法 ， 有
b
b
a f (x)(x)dx a f (x)(x)dx (2.5)
F(1(0)
,(0),(0)
2
n
)
k
n
(aik
i1
aki)
(0)
iபைடு நூலகம்
bk
0
k 1,2,,n.
假定aik aki，即A为对称矩阵，则
n
2
aki
(0)
i
bk
i1
k 1,2,,n.
若 令 J(x) 1(Ax, x)(b, x) 2
(1.1)
则 二 次 函J数(x)于x0取 得 极 值 的 必 要 条：件 是
( f ,g) f g
广义导数概念
设f L2(I)， 若 存 g在 L2(I)， 使 等 式
bg(x)(x)dx b
a
a
f(x)(x)dx，
对
任 意 C0(I)
(2.6
恒 成 立 ， f(x则 )于I说 有 广 义g导 (x)， 数记 为
f(x)dfg(x) 用C0(I)表 示d于Ix无 穷 次 可 微 ， 且 在a端 ,b的点 某 一 邻 域 内 （ 邻 域与大具小体 函 数 有 关 ） 等 于
x0是 线 性 方 程 组 Ax b
(1.2)
的解
为了进一步J(研 x)的 究极值性质，考量虑 的实变 二次函数()J(x0 x)
其中 x是任n一 维非零向 . 量
若J(x)于x0取极小值，则对 0任 ，何 ()J(x0 x)J(x0)(0),即()于0取极小值
反之 ， ()于 若 0取极小值，零 则向 对 x， 量 任 J(x0x)（ 1） (0)J(x0),即 J(x)于 x0取极小值
第三章边值问题的变分形式
§1 二次函数的极值 §2 两点边值问题 §3 二阶椭圆型边值问题
§1 二次函数的极值
在 n维欧氏空间 R n中引入向量、矩阵记号 ：
x (1 , 2 , n )T
b (b1 , b2 , bn )T
a11 a12
A
a
21
a 22
a
n1
an2
a1n
a
2
n
2
这 说 明J ( x)于x0取 极 小 值 。
定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两 个问题等价：
(1) 求x0 Rn 使
J
(
x0
)
min
x0Rn
J(
x)
(1.4)
其中J ( x)是由(1.1)定义的二次函数。
(2) 求下列方程组的解：
Ax b
(1.5)
J ( x)是 定 义 在 全 空 间 上 的 二次 函 数 ， 称 为 上 的 二 次泛 函
在I上 的 平 方 可 积 的 可 测 函数 组 成 的 空 间 。
内 积
( f , g)
b
f gdx,
f , g L2(I )
a
范 数
f
(f, f) [
b
f
1
2 dx]2 , f L2(I )
a
L2 ( I )关于“加法”及“数乘 ”运算是线性空间， 关 于 (, )是 完 全 内 积 空 间 ， 因 此 L2 ( I )是 Hilbert 空 间 。
J (u ) W W 1
l
T
( u) 2 dx
l
f udx
20
0
1
l
[T
(u)2
2 uf
]dx
20
(2.3)
据极小位能原理， u* u* ( x )是下列变分问题的解：
J ( u* ) min J ( u )
(2.4)
2.2 Sobolev空间H m (I )
设I (a, b), I [a, b].用L2(I )表示由定义
所谓的完全，是指Cauchy收敛定理在
L2(I )成立。就是说，L2(I )中任一函数列{ fn}， 如果关于度量（ 即按L2(I)度量）满足Cauchy
条件： fn fm 0 (n, m )
则必有f L2(I)使 fn f 0 (n )
记为
lim
n
fn
f
Schwarz 不等式 设 L2 ( I )，则乘积 f g L1 ( I ), 且
现在研J(究 x)存在极小值的充 条分 件必 。要
显然()J(x0)2[(Ax0,x)(Ax,x0)2(b,x)] 2
(Ax,x) 2
因 A 为 是 对 称 矩 阵 ， 故
()J(x0x)J(x0)(A0xb,x)
2
(A,xx) 2
(1.3)
若J(x)于x0取极小值，则
(0) (Ax0 b, x) 0 对任意 xRn
或 简 称 泛 函 数 。 泛 函 数J ( x)由 两 部 分 组 成 ： 第 一 部分 是 二
次 项1 ( Ax, x)， 它 由 矩 阵A决 定 ； 第 二 部 分 是 一 次项(b, x)， 2
它 由 向 量b决 定.
§2 两点边值问题
2.1 弦 的 平 衡
考 察 一 根 长l的 为弦 ， 其 两 端 固 定 在 点
A(0,0)和B(l,0)。 设 有 强 度f为 (x)的 外
荷 载 垂 直 向 下 作 用上在，弦发 生 形 变 。
用u u(x)表 示 在 荷f载(x)作 用 下 弦 的 平 衡 位 置 。
A
B
0
l
xx
u
根 据 力 的 平 衡 条u件(x)， 满 足 微 分 方 程
(2.1) Tu f (x), 0 x l T是弦的张力。
a
nn
( )T 表示括号内向量或矩阵
的转置。令
y
(
，
1
2
,n
)T
n
定义 x, y的内积为 ( x, y ) i i i1
考 虑 n个 变 量 的 二: 次 函 数
n
n
F(x)F(1,2,n) aijij bii
i,j1
i1
(Ax,x)(b,x)
它 在 x0 (1(0),2(0),n(0))T取 得 极 值 的 必 要:条 件