变分法的发展与应用
第2章变分法
第二章变分法变分法（Variational calculus ）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合，若对于每一个函数Ω∈)(t x ，都有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在Ω上的泛函，记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合，Ω∈)(t x 称为宗量。
例 1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x yx y x y J π， 容许函数集合可表示为})(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω.第一章中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也称麦耶（Mayer ）型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=，2）积分型性能指标还称拉格郎日（Lagrange ）型性能指标⎰=1))(),(,()(0t t dt t xt x t f x J ， 3）混合型性能指标也叫包尔查（Bolza ）型性能指标⎰+Φ=1))(),(,()),(()(011t t dt t xt x t f t t x x J ， 它们都是泛函，并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ，它是如下微分方程初值问题的解.0)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x则拉格郎日（Lagrange ）型性能指标就化为⎰=≡Φ1))(),(,()()),((01011t t dt t xt x t f t x t t x ， 变成麦耶（Mayer ）型性能指标。
变分法在物理和数学中的应用
变分法在物理和数学中的应用变分法是数学和物理学中的一个重要理论工具，它的应用范围广泛，包含了各个领域。
变分法本身是一种优化方法，它通过寻找某个函数的最值来解决问题。
在数学中，变分法主要是在微积分和函数分析中应用，而在物理学中，变分法在最小作用量原理和哈密顿原理中有着广泛的应用。
本文将介绍变分法在物理和数学中的应用，以及它们的实际意义。
一、变分法在微积分中的应用在微积分中，变分法通常被用来求极值问题。
变分法首先会定义一个特定的函数，例如，f(x)=x²，然后找到它的变分，即f(x+ε)，ε为无穷小量。
如果函数的变分小于等于0，说明它是一个函数的极小值，反之则是函数的极大值。
例如，在计算微积分中的斯蒂尔切斯积分时，就需要使用变分法。
二、变分法在函数分析中的应用在函数分析中，变分法通常被用来计算最小化问题。
最小化问题主要是指将一个函数的值尽可能地减小到一个最小值，而变分法可以帮助我们找到函数的最小值。
例如，在偏微分方程和泛函分析中，变分法都有着广泛的应用。
三、变分法在物理学中的应用在物理学中，变分法的应用主要体现在最小作用量原理和哈密顿原理中。
最小作用量原理是物理学中的一个基本原理，它通过寻找某个力学系统的动力学路径来找到力学系统的实际路径。
而哈密顿原理则是描述力学系统中能量守恒的基本原理。
最小作用量原理最小作用量原理是物理学中的一个基本原理，它指出，在一个力学系统中，它的实际动力学路径是一条使作用量最小的路径。
那么，什么是作用量呢？简单地说，作用量就是系统在某个时间段内所采取的路径对系统的影响。
作用量通常用S来表示，即S=∫Ldt，其中L表示系统的拉格朗日量。
因此，最小作用量原理的本质就是通过寻找拉格朗日量中的最小值来寻找系统的实际动力学路径。
哈密顿原理哈密顿原理是物理学中另一个重要的原理，它描述了力学系统中能量守恒的基本原理。
哈密顿原理通常是以哈密顿量的形式表示，即H=p·v-L，其中p是系统的动量，v是系统的速度，L是系统的拉格朗日量。
变分法基础 老大中
变分法基础老大中变分法是数学和物理学中一种重要的数值计算方法，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍变分法的背景和重要性。
变分法源于数学中的变分计算问题，最早起源于___的变分问题。
它是一种求函数最值的方法，旨在寻找函数的极值点或稳定点。
变分法的发展历程经过了数学家们的不断研究和推导，逐渐形成了现代变分法的基础理论。
在物理学中，变分法广泛应用于解决各种力学和场的问题。
通过将物理问题转化为最值问题，可以用变分法来求解微分方程和泛函方程，从而获得物理系统的稳定解、极值解或最优解。
变分法在力学、电磁学、量子力学等领域起到了重要的作用。
在工程学中，变分法常用于优化设计问题和界面问题的求解。
通过对设计参数进行变分，可求解出具有最优性能的工程结构或系统。
变分法的应用可以降低系统的能耗、提高系统的效率，并优化系统与环境的交互效果。
总之，变分法作为一种重要的数值计算方法，在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用和重要的意义。
通过变分法的运用，可以获得优化问题的解析解或近似解，为各个领域的研究和实践提供有力的支持和指导。
泛函泛函是一个函数的集合，其中每个函数都将一个输入映射到一个输出。
在变分法中，我们将研究泛函的性质和优化问题。
变分变分是指对函数的微小变化。
在变分法中，我们将通过对函数进行变分来研究泛函的性质和优化问题。
变分法公式变分法公式是一种用于求解泛函优化问题的数学工具。
它涉及将变分应用于泛函，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
变分法公式可以表示为：对于给定的泛函 J[y]，寻找函数 y 使得 J[y] 取极值应用变分运算符，通过对函数 y 进行变分，得到变分问题求解变分问题，得到泛函 J[y] 的极值函数 y变分法是一种数学方法，广泛应用于不同领域，包括物理学和工程学。
下面列举了一些变分法在这些领域中的应用示例：物理学量子力学：变分法可以用于求解量子系统的基态能量和波函数形式。
经典力学：变分法可以用于求解约束系统的最小作用量路径。
变分法的发展与应用
变分法的发展与应用应用数学11XX班XXX 0XXXX摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。
变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。
变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。
近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。
因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。
关键词：起源；发展；应用1.引言变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。
它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。
变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。
它们在材料学中研究材料平衡中大量使用。
微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。
近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。
因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。
2.变分法的起源物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。
他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。
微分方程中的变分方法
微分方程中的变分方法
变分法是近代分析数学中一种十分重要的数学方法，它被广泛应用于微分方程的数值解析。
变分法的关键在于思想的革新，即尊重原求解空间内所有适当解，把求解问题转化为满足特定条件的最优化问题，从而避免了准确命题原型问题的复杂性。
变分法主要有线性和非线性变分法，在稳定性、准确度、计算时间等方面都具有优势。
线性变分法用于解决一类反问题，可以从不同的空间中发现数学实现；而非线性变分法用于解决更复杂的反问题，处理更复杂的最优化问题。
在微分方程中，变分方法是一种有效的数值解析方法。
它通过原求解空间收集所有符合目标问题的可行解的思想，将原始的微分方程转化为带有一些约束条件的情况，可以有效解决微分方程类型的问题。
它还可以使用准确性强、可维合、并行性好的数值计算方法来解决这些问题。
变分法是可以解决更难的分析、数值和统计问题的有力工具，也是一种具有一定独特性的数学理论。
它的应用已超越了基础的数学研究，在多学科方面具有重要的应用前景。
因此，推广变分法的研究以及应用是当前非常重要的一个研究方向。
变分方法在物理学中的应用
变分方法在物理学中的应用变分方法是一种求解极值问题的数学工具。
在物理学中，很多问题也可以用变分方法来求解，例如，拉格朗日力学中最小作用量原理、量子力学中的路径积分原理等。
本文将会讨论一些物理学中应用变分方法的例子。
一、最小作用量原理拉格朗日力学是一种描述物理系统运动的数学理论，它可以描述广泛的问题，包括力学、电动力学、热力学等。
在拉格朗日力学中，拉格朗日函数是一个描述系统物理运动的函数。
最小作用量原理是指自然界中的物理过程总是遵循作用量取极值的原则。
作用量是指在一定时间内系统受到的作用，也可以理解为系统的运动。
最小作用量原理描述了一个系统从初始状态到末态状态所需要遵循的轨迹是满足作用量取极值的轨迹。
最小作用量原理可以用数学表达式表示为：S = ∫L(x, x', t)dt其中，L(x, x', t) 是系统的拉格朗日函数，x 和 x' 分别是时间 t 中系统的位置和速度。
这个式子可以理解为系统的作用量是在一段时间内的拉格朗日函数积分。
二、路径积分原理路径积分原理是量子力学中的基本原理之一。
量子力学是对微观粒子运动和相互作用进行研究的学科。
路径积分原理描述了所有可能的微观粒子轨迹的贡献的总和是计算概率分布的基本量子力学计算量。
路径积分原理是从外向内建立量子力学的框架。
它表示粒子从时间 t1 到时间 t2 的所有可能路径的幅度的总和。
量子力学中的基本方程是薛定谔方程，但是并不是所有问题都可以用薛定谔方程解决。
在这种情况下，使用路径积分原理可以找到一些解决方案。
路径积分原理可以使用微积分的变分方法来描述。
三、最小能量原理最小能量原理是另一种应用变分方法的物理学原理。
在力学中，最小能量原理表示物理过程会遵循最小能量原理来完成。
这个原理的描述方式与最小作用量原理相似，但是它表述的是一个系统的能量状态。
在光学中，最小能量原理被应用于描述光的传播。
在光的传播时，光线会经过一定的路径，这个路径会让光的能量最小化。
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
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变分法的发展与应用
应用数学11XX班XXX 104972110XXXX
摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。
变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。
变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。
近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。
因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。
关键词：起源；发展；应用
1.引言
变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。
它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。
变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。
它们在材料学中研
究材料平衡中大量使用。
微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。
近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。
因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。
2.变分法的起源
物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。
他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。
受费尔马的影响，约翰伯努利研究了“最速降线”问题：给
定空间中的两个点,a b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。
变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。
但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。
3.变分法的发展
18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。
19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。
20世纪伊始，希尔伯
特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。
而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见莫尔斯理论)。
1744年，欧拉在“发现具有某种极大或极小性质的平面曲线的方法”一文中研究了使得积分
()()1
0,,(),()x x J y f x y x y x dx =⎰ 达到极大或极小的函数()y y x =的求解方法。
也就把“最速降线”问题化为求积分的极小问题。
假定给定的两个点是()0,1a =和()0,0b x =，其中0x >0;连接两点的曲线是()y y x =,满足()()001,0y y x ==;初始时,质点的速度为0,高度为1,根据能量守恒定律21/2E mgh mv =+有: 2211(())1022mgy x t mv mg m +=⨯+⨯
即 21(())2
gy x t v g += ① 而又有()()222222,21dx d dx dy dx dx v y x y dt dt dt dx dt dt ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
将其带入①式得()()()2,2112dx gy x t y g dt ⎛⎫+
+= ⎪⎝⎭
2dx dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2,211g y y -=
+ dt =
对两边进行积分可得到质点b 的时间为00()x T y =⎰
于是问题就转化为求上式积分达到极小值。
4.变分法的应用
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者
参考文献：
[1]H．伊夫斯著，欧阳绛，张理京译，数学史概论［M］．太原：山西人民出版社，1986．
[2]17．R柯朗，希尔伯特著，钱敏，郭敦仁译，数学物理方法(第一卷)[M]．北京：科学出版社，1958．
[3]老大巾编著，变分法基础[M]．北京：国防工业出版社，2004．
[4]陈传森,外推法及其分析[M],湘潭大学数学系讲义,1984.。