变分法简介

xB
L
xA
1


dy dx
2

dx
y=y(x)不同，曲线的长度就会不同，也就是说L是曲线y=y(x)的 函数，这就是泛函。
下面不加证明的给出泛函问题的一些定义:
一、泛函 其值由一个或几个函数确定的函数称为泛函。简单记： 泛函-函数的函数。 对前述例题，记为:
xB
L y x
建立控制方程；然后结合具体的定解条件(边界条件和初始条件)求 解控制方程。显然，问题的物理实质不同，控制方程和定解条件也 就不同。然而，它们可被一般地表示为(图2．2)
A1 u
A

u


A2

u



0
M

B1 u
B

u


B2

u



0
M

结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领 域。 前面以弹性力学平面问题为例，阐释了有限单元法的 基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏系统性和深刻 性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述 有限单元法的基本原理，
内容包括： (1)介绍定解问题的微分方程提法； (2)根据微分方程的等效积分形式，推导虚位移原理及势能变
其中，C，D，E，F是微分算子。通常上式称为微分方程的弱形式(weakform)， 相对而言，定解问题的微分方程称为强形式(strong form)。
由于分部积分的缘故，场函数u的导数的阶次在弱形式中比在等效积分形 式中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续性。当然，
降低对u的连续性要求是以提高 v和 v的连续性要求为代价的。不过，由 于原来对 v和 并v 无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。
从本质上讲，有限单元法是求解微分方程的数值方法，即 在物理或工程问题的数学模型之基础上进行近似计算。因此， 有限元计算的精度并不意味着实际问题求解的精度。在采用有 限单元法解题时，必须时刻牢记：问题的分析模型具有根本的 重要性。
4．1．2 微分方程的形式 连续介质问题的分析方法是：首先从介质中取微元进行分析，
分原理，从而建立定解问题的泛函变分提法； (3)基于势能变分原理推导位移有限单元法的普遍公式，并对 位移有限元解的性质和收敛性作简要说明；
4.1微分方程提法 在物理或工程问题中，位移、应力、温度、电流等物
理量称为场变量，它们在一定区域内满足某些控制方程； 在域边界上满足给定的边界条件，有时还有初始条件，它们统 称为定解条件； 控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程或数学模型， 这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提法。
为了获得数学模型，必须引入某些前提假设以建构几何模 型、物理模型或力学模型等，它们统称为分析模型。
4．1．1 结构分析模型 对任何复杂事物的研究，出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想
化以建构分析模型；而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各 种控制条件和参数的正确反映。
何谓模型? 待分析的事物称为原型，其理想化的替代物就是模型。 任何模型都是为了某种特定目的而将原型的某些特征信息简缩、提炼而构造 出来的。 原型有各方面的因素和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关 的那些因素和层次。模型成功的关键是必须反映原型事物的主要属性和特 征，而什么是主要属性和特征则与我们所关注的问题有关。
函数 F(x, y认, y为) 是三阶可微的。根据变分定义，因为:
x2
I[ y y] F[x, y y, y y]dx x1
所以有:
I


I[ y
y]

x2
x2
[
y
F(x, y
y, y
y)]
y [ F(x, y y, y y
所示一维泛函实现极值的条件，即：
F d (F ) 0 y dx y
七、变分原理
变分原理是说明求某泛函的极值与求解特定的微分方程及其边界
条件等价的原理。
上面证明一维泛函取极值条件时已经体现了变分原理：
一维泛函式：
x2
I[ y(x)] F[x, y(x), y(x)]dx x1
条件是在该曲线上有 I ，0 即:

I[ y0 (x) g
y]
0
0
可见泛函取极值的条件与函数取极值的条件是类似的，但它们之间有本 质的差别。函数的极值条件为自变量在某点处的增量 x 时0 函数将 以一定的方式趋于零，即 y f (x0 x) ； f而(x0泛) 函0取极值的条件 为y=y(x)在某处的变分 y 时0，泛函以某种方式趋于零。
下面举一个历史上著名的变分命题的例子，以帮助对泛函和变分等概念的理解。 [例] 最速降线问题
在铅垂平面上有A、B两点，它们不在同一水平线和同一铅垂线上。如图所示。 设有一重物在重力作用下从A点沿某一曲面下滑到B点，不计重物与曲面间摩擦力。 显然，从A点到B点的下滑时间随下滑曲面的不同而不同。曲面与铅垂平面的交线
y)] ydx
若令 ，0 则：
I I [ y y] x2 [F y F y]dx

0 x1 y
y
在上式右端，因为：
x2
F

ydx
x2

F
d (
y)
x1 y
x1 y
所以，利用分步积分公式有：
x2
4.3 泛函与变分的基本概念
在工程中常常遇到 z=f(x)
类型的函数，这时因变量z的值由自变量x的值来确定。 但有时我们还会遇到另外一种特殊类型的函数，它的因变量的值 是由一个函数y=y(x)或几个函数(y1(x)，y2(x)，…)来确定。 例如，求平面上任意给定的两点A和B之间曲线的长度L，由数学 分析知识，有
I I y(x) g y

0
其中 为任意小的正数。
五、泛函取极值的条件
从数学分析中可知，可微函数y=f(x)在x=x0处取极值的必要 条件是该点处dy=0，即:

f
x0 gx
0
0
对于有变分的泛函I=I[y(x)]来说，在 y y上0(x达) 到极值的必要
取极值的条件就是微分方程式：
F d (F ) 0 y dx y
及其边界给定条件。
换句话说，满足微分方程式：
F y

d dx
(Fy（) 欧0 拉方程）
及其给定边界条件的函数y(x)一定使泛函式：
x2
I[ y(x)] 取F[极x, y值(x。), y(x)]dx x1
在 内 在 内
本待求解的未知函数u可以是标量场(例如温度)，也可以是 若干变量组成的向量场(例如位移、应力)。A和B为对于独立变 量(例如空间坐标)的微分算子。
上述微分方程可以是单个方程，也可以是一组方程。 如直角坐标系下弹性静力问题的控制方程和边界条件，其建立 方法可参考弹性力学教科书。
4．2 泛函变分提法
y(x)或 及 y(x) 等。 y(x)
利用变分法基本预备定理，可证明一维泛函(只与一个函数y(x) 有关的泛函取极值的条件。
设泛函
x2
I[ y(x)] F[x, y(x), y(x)]dx x1
其中，确定泛函的曲线的边界点是已知的，即
y(x1) y1, y(x2 ) y2
xA
1


dy dx
2
dx
图 两点间的曲线长度
二、泛函的极值 我们知道函数有极值问题，同样道理泛函也有极植问题。 泛函的极值问题就是要求出使泛函取得最大值或最小值的函数
y=y(x)(或y1(x)，y2(x)，…) 因此，泛函极值即求使泛函取最大(小)值的函数。
三、变分法 研究函数的极值问题用的是微分学，研究泛函极值的方 法是变分法。因此，变分法即研究泛函极值的方法。
就 是下滑曲线。所要求解的下滑时间最短的曲线就是最速降线。
解：设A点与坐标原点重合，B点的坐标为(x1，y1)。
重物下滑到任一点P (x，y )时的速度为v，则 重物从A点到P点失去的位能为mgy，获得的动能为1 mv2 。
2
由能量守恒定律，有：
mgy 1 mv2 2
或
v 2gy
从另一方面看，若A点到任意一点(x，y)的曲线 弧长为s，则弧长对时间的导数即为速度。有：
x1
T[ y x] 0
1
六、变分法基本预备定理
如果函数F(x)在线段(x1，x2)上连续，且对于只满足某 些一般性条件的任意选定的函数 y(有x)
x2
F(x) y(x)dy 0
x1
则在线段 x1 x上 Fx2(x)=0。 其中， y所(x满) 足的一般性条件是：
一阶或若干阶可微; 在线段端点处为零;
F
d (
y)
[ F

x2
y]

x2

yd ( F )
x1 y
y
x1
x1
y
由固定边界条件可知 y(x1) y,(即x2 ) 0
又因：
d (F ) d (F )dx y dx y

F y

y
x2 x1
0
故得：
x2 F ydx x2 y
四、变分 研究函数y=f(x)在一点的性态用的是微分。其中包括 自变量的微分dx和函数的微分dy，函数的微分可写为:
dy f (x xg )

0
其中 为任意小的正数。 类似地，研究泛函在一点的性态用变分。自变函数y=y(x)的 变分记为 y ，泛函的变分记为 I 。 I 的定义为: