数学物理方法 13 变分法
力学教学笔记之变分法从另一种观点来看力学
力学教学笔记之变分法:从另一种观点来看力学亢龙有悔，盈不可久也。
我觉得，力学中用到的数学方法就只有三个半。
首先是变分法，当然也就包括了微积分，单变量的和多变量的。
变分法可以从最小功原理重新推导出整个牛顿力学，还可以推广到光学、电磁学乃至量子力学，其实，朗道讲义就是这么做的。
其次就是微扰论，当然也就包括了各种近似算法。
精确解是很少的，你要知道怎么在精确解的基础上进行外推。
海王星就是这么发现的，最近预言的太阳系第九大行星(不是冥王星!)也正在等待验证。
第三个就是混沌理论，即非线性动力学。
相似的原因导致相似的结果?错!拉普拉斯的梦想?永远都只是梦想了!最后的半个是狭义相对论，也就是时空变换方法。
爱因斯坦改变了我们的时空观，但是力学里确实用得不多。
我们谈谈变分法，介绍几个最简单的极值问题，最后是拉格朗日方程——从另一种观点来看力学。
先从微积分讲起。
微积分最关键的一点就是，如果我们知道了某个函数y=f(x)在x0处的数值，如果推断它附近的一点x0+δx处的数值。
搞物理的都是这么猜的，二者的差别是：其中的f′(x0)就是所谓的一阶导数了。
然后，我们就把余量(也就是省略号的部分)直接去掉了，至于说这么做合不合法，有多大误差，那就是数学家的事情了。
如果这两者的差别为零，也就是说f′(x0)=0，这就是极值条件。
光的反射定律和折射定律可以从光程最短原理得到(费马原理)，用微分求极值的方法很容易证明，可是，你真的试过用几何方法证明吗？Try it。
上面就是单变量微积分的全部内容。
多变量微积分与此相似，只不过现在的函数有好几个自变量。
随便举个例子吧。
函数z=f(x,y)在(x0,y0)和(x0+δx,y0+δy)处的差别就是：其中，f′x和f′y就是所谓的偏微分?f/?x和?f/?y。
然后就可以用它去求解多变量的极值问题了。
至于说合不合法、误差有多大，还是那句话，不关我们的事儿，都拜托数学家了。
变分法是泛函分析里的方法。
变分法
他们本身是弹性体各点的函数,U这样的 积分依赖于这些函数取得不同的数值,这样的 积分通常称为泛函.一般的函数只依赖于自变 量的值.
13
§10-2 位移变分方程与极小势能原理
一 变分及其性质
高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的 增量。那么什么是变分呢？变分是函数的增量，通 常用δ表示。变分具有以下的性质：
1
第十章
能量原理与变分法
§10-1 弹性体的变形比能与形变势能 §10-2 位移变分方程与极小势能原理 §10-3 位移变分法
§10-4 应力变分方程与应力变分方法
1
§10-1 弹性体的变形比能与形变势能
一 变形比能 在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力 分量 x , y, z , yz , zx , xy 。根据能量守恒定理，形变 势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于 应力及形变的最终大小。从而有弹性体的形变势能密 度或比能： 1 x x y y z z yz yz zx zx xy xy 2 ij 1 ij d ij ij ij 或 0 2 比能用应力分量表示
U Xu Yv Zwdxdydz X u Yv Zw dS
这个方程就是所谓位移变分方程。其中X,Y,Z为体力分 量，X , Y , Z 为面力分量。
7
虚功方程
在给定体力、面力和约束情况下， 如果找到两种状态:
第一种状态：在给定的体力 fi和面力 X i 已知（找到）可能应力状态ij(k1)，在V内：
则 We=Wi
虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。 虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种 为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。
数学物理方法13变分法
其中 即
为常数，若
为路径的切线和铅垂线所构成的角度，
（13.3.4）
若如果折射率
是位置的连续函数，这意味着
沿着路径是一常数．若应用到分界面上，就得到光学中的 折射定律（Snell’s law）
（13.3.5）
在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到 （13.3.6）
的泛函，记为
必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的
因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取
形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数
本身的变化
（即从A到B的不同曲线） 所引起的．它的值既不取决于某一个
值，也不取决 于某一个 与 的函数关系． 泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式（13.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为 (13.1.2) 其中 称为泛函的核． 值，而是取决于整个集合C中
普通函数对 的变分定义为
的求极值的问题．同时，函数曲线
(13.1.3) 因此可得 (13.1.4) 这里 所以 即变分和微分可以交换次序． 代表对 求一阶导数． (13.1.5)
四、 泛函的变分
定义： 泛函的变分 泛函的增量 变分问题 泛函的变分定义为 (13.1.6)
在极值曲线
附近，泛函
的增量，定义为
而当
时，
对应于式(13.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有 的极值问题．由函数
即有
（13.2.2）
1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数
的积分形式
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，
（13.1.2） 若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点
数学物理方法参考答案
数学物理方法参考答案数学物理方法参考答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，通过数学方法来解决物理问题。
在物理学的研究中，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将为读者提供一些数学物理方法的参考答案，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、微积分微积分是数学物理方法中最基础也是最重要的一部分。
它包括了导数、积分和微分方程等内容。
在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动、求解力学问题、计算电磁场等等。
下面是一些常见的微积分问题的参考答案：1. 求解函数的导数：对于一个函数f(x)，求它的导数f'(x)。
可以使用导数的定义，即f'(x) =lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
也可以使用求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
2. 求解定积分：对于一个函数f(x)，求它在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx。
可以使用定积分的定义，即将区间[a, b]划分为若干小区间，然后对每个小区间求和，再取极限。
也可以使用定积分的性质，如线性性、区间可加性、换元积分法等。
3. 求解微分方程：对于一个微分方程，求它的通解或特解。
可以使用常微分方程的解法，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
也可以使用偏微分方程的解法，如分离变量法、特征线法、变换法等。
二、线性代数线性代数在数学物理方法中也扮演着重要的角色。
它包括了矩阵、向量、线性方程组等内容。
在物理学中，线性代数可以用于描述物体的旋转、变换、矢量运算等。
下面是一些常见的线性代数问题的参考答案：1. 求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，求它的解x。
可以使用高斯消元法，将线性方程组转化为阶梯形或行最简形，然后逐步求解。
也可以使用矩阵的逆，即x=A^(-1)b。
2. 求解特征值和特征向量：对于一个矩阵A，求它的特征值和特征向量。
可以使用特征方程，即det(A-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
变分法推导
j
(3)
(3)式中，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。
(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移
中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得：
k r i mi ai qj q j 1 j n
m a r
由此，可得另外一个关系式：
d ri dt q
ri ri q j q t j 1 q q j
2 k 2
i r r d i q j dt q j
(8)
i r ri j q j q
k
L q j qj 0 q j (11a)
V Qj 广义力： 代入(11a)式中，而拉格朗日 q j 函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又可以写为：
d L j 1 dt q j
ri ri (q1, q2 ,, qk , t )
(i 1,2,n)
(1)
n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的 虚位移δri表示为广义坐标的变分 q j ( j 1,2,, k， )
求(1)式的变分：
ri ri q j j 1 q j
k
(i 1,2,, n)
(5)
为推导拉氏方程，先证明 ri 与 d ri 之间 的两个关系式:
q j
dt q j
k r ri (1) i i j (ri ri (q1 , q2 ,, t ) r q t j 1 q j (6)
j 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率， q
数学物理方法 百科
数学物理方法百科数学物理方法百科数学物理方法是研究物理现象的数学方法，它是物理学的重要分支之一。
数学物理方法的应用范围非常广泛，包括量子力学、相对论、统计力学、流体力学、电磁学等领域。
本文将介绍数学物理方法的一些基本概念和应用。
1.微积分微积分是数学物理方法中最基本的工具之一。
它是研究物理现象的数学方法中最常用的方法之一。
微积分的主要应用包括求导、积分、微分方程等。
在物理学中，微积分被广泛应用于研究物理现象的变化和运动规律。
2.线性代数线性代数是数学物理方法中另一个重要的工具。
它主要研究向量、矩阵、线性方程组等。
在物理学中，线性代数被广泛应用于研究物理现象的空间结构和变换规律。
3.偏微分方程偏微分方程是数学物理方法中最重要的工具之一。
它主要研究物理现象的变化和运动规律。
在物理学中，偏微分方程被广泛应用于研究物理现象的波动、传播、扩散等。
4.变分法变分法是数学物理方法中另一个重要的工具。
它主要研究物理现象的最小化问题。
在物理学中，变分法被广泛应用于研究物理现象的最小化问题，如能量最小化、作用量最小化等。
5.群论群论是数学物理方法中另一个重要的工具。
它主要研究物理现象的对称性和变换规律。
在物理学中，群论被广泛应用于研究物理现象的对称性和变换规律，如对称群、李群等。
数学物理方法是研究物理现象的数学方法，它是物理学的重要分支之一。
数学物理方法的应用范围非常广泛，包括量子力学、相对论、统计力学、流体力学、电磁学等领域。
本文介绍了数学物理方法的一些基本概念和应用，希望能够对读者有所帮助。
数学物理方法
数学物理方法
在许多科学领域，特别是数学和物理学中，有许多强大的方法和技巧可用于解决各种问题。
这些方法通常以数学为基础，并被广泛应用于理论和实践中。
一种常用的数学方法是微积分。
微积分是研究函数及其性质的数学分支，广泛应用于物理学中。
通过求导和积分，我们可以得到函数的斜率、最大值、最小值以及曲线下的面积等重要信息。
另一个重要的数学工具是线性代数。
线性代数研究向量空间和线性变换的性质。
在物理学中，线性代数常用于描述物理系统的变换和相对关系。
概率论和统计学也是数学物理中经常使用的方法。
通过概率论，我们可以描述随机事件的发生概率，并对其进行建模和预测。
统计学则通过收集和分析数据来推断总体的特征和规律。
在物理学中，还有许多其他的数学工具和技术被广泛应用。
例如，微分方程用于描述自然界中的变化和运动；复数分析在电磁学和量子力学等领域中发挥重要作用；变分法用于求解极值问题等等。
总的来说，数学和物理学密不可分，数学提供了解决问题的工具和框架，而物理学为数学提供了实际应用的背景和意义。
通过运用数学方法，我们可以更深入地理解物理现象并解决各种科学问题。
数学物理中的变分法
摘要数学物理中的变分方法是把一个数学物理方程的定解问题归结为变分问题——求泛函的极值问题。
变分方法是解数学物理方程定解问题的常用方法。
变分原理描述微分方程定解问题与一定条件下泛函的极值问题之间存在着一种等价关系，从而可以通过求解相应泛函的极值问题（即变分问题）得到微分方程定解问题的解。
本文首先介绍了变分原理及其在边值问题中的应用，阐述了Dirichlet原理、正定对称算子的变分原理以及其它边值问题的变分原理；其次讨论的变分方法的基本问题；接着着重介绍了数学物理中常见的两种变分方法：Ritz方法和Galerkin方法及其在解本证值和边值问题中的应用；最后给出了其他一些变分近似方法：Kantorovich法、最速下降法、最小平方法及Courant法等。
关键词：变分方法；Dirichlet原理；Ritz方法；Kantorovich法AbstractV ariational methods in mathematical physics is due to the variational problem - seek the extremal of the functional definite solution of a mathematical physics equations. The variational method is commonly used method for solving mathematical physics EQUA TION. V ariational principle to describe the differential equation definite solution of the problem under certain conditions, functional extremal problem there is an equivalence relation, thus solving the problem of the extreme value of the corresponding functionals (ie, change of sub-issues) to get the differential equation given solution of the problem solution.This paper first introduces the application of the variational principle and its Boundary Problems on the Dirichlet principle, the variational principle of symmetric positive definite operator, and the other boundary value variational principle; followed by discussion of the variational method; then focuses on mathematical physics in two of the variational method: the Ritz method and Galerkin method and its application in the solution of the value of the card and Boundary V alue Problems; Finally, some other variational approximation methods: of Kantorovich method, the steepest descent method, the least squares method and the Courant law.Key words:variational methods; Dirichlet principle; Ritz method; Kantorovich method目录目录 (I)第1章概述 (1)第2章变分原理 (2)2.1膜平衡问题 (9)2.2 Dirichlet原理 (3)2.3正定对称算子的变分原理 (5)2.4其它边值问题的变分原理 (7)2.4.1 Neumaan问题的变分原理 (7)2.4.2 第三类边值问题的变分原理 (8)第3章变分方法的基本问题 (9)3.1 泛函与泛函极值的基本问题 (9)3.2 Euler-lagrange方程 (10)3.3 多个变量的变分问题 (11)3.4变端点问题和自然边界条件 (13)第4章常见的两种变分方法及其应用 (15)4.1 Ritz方法 (15)4.1.1 Ritz方法在本征值问题中的应用 (17)4.1.2 Ritz方法解边值问题 (20)4.2 Galerkin方法 (21)4.2.1 Galerkin方法解本征值问题 (22)4.2.2 Galerkin方法解非齐次边值问题 (24)第5章变分的其他近似方法 (26)5.1 Kantorovich法 (26)5.2 最速下降法 (27)5.3 最小平方法及Courant法 (29)5.4 有限元方法 (30)5.4.1 区域的剖分 (30)5.4.2 线性插值基函数 (31)5.4.3 有限元方程的形成 (33)5.4.4 求解有限元方程 (34)结论 (35)参考文献 (36)致谢 (37)第1章概述数学物理中的变分方法是把一个数学物理方程的定解问题归结为变分问题——求泛函的极值问题。
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所以极值曲线为
13.3 光学中的泛函极值典型例子
泛函极值问题的求解,通常有两种结果：
（i）解析解 由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的．
但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解．因为历史悠
久，它自有一套办法． （ii）近似解 所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程， 直接求得所需要的解——极值曲线 因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法．
把泛函的极值问题称为变分问题． 注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分 条件．如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、 负值,但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的 存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存 在性是不成问题的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极
且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等
高技术领域都有十分广泛的应用．
有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，
然后通过电子计算机求定解问题的数值解．
模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，
而在模型上实测解的数值．
变分法是这些方法中最为重要和切实有效的方法，
已经广泛应用于科学研究和工程计算之中，限于篇幅故 本书主要详细介绍经典变分法的基本概念和理论．
解目前，我们只能用间接方法来求解，由于 不显含 ，故其E-L方程为（13.2.7）式
令
故有
令
分离变量得到 再令 代入上式得到
即得到
此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置 （图13.1的A,B两点）决定．
13.2.2泛函的条件极值问题
在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件 的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制
定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解
其实也是某种程度的近似．
如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别
甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用微扰法求近 似解．量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限于课时，
这里就不再重复介绍．
近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等．
变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变
定义：泛函 泛函的核
二、泛函的极值――变分法
对于不同的自变量函数 ，与此相应的泛函 ，使泛函
也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数
具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大 值统称为泛函的极值． 引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函 的极小值问题．物理学中常见的有光学中的费马(Fermat) 原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值 问题．
从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形 状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条 件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了 一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似 解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已 经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，
（13.3.3）
其中 即
为常数，若
为路径的切线和铅垂线所构成的角度，
（13.3.4） 若如果折射率 是位置的连续函数，这意味着
沿着路径是一常数．若应用到分界面上，就得到光学中的 折射定律（Snell’s law） （13.3.5） 在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到 （13.3.6）
值．
E-L方程除了上面给出的形式(13.2.6)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) 且 因为
不显含
若
E-L方程等价于
（13.2.7）
(2) 且不依赖于则E- Nhomakorabea方程化为
（13.2.8）
(3)
不依赖于 则E-L方程化为
且
（13.2.9）
由此可见 (4)
仅为
的函数．
关于
是线性的：
则E-L方程化为 （13.2.10） 对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量 函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：
泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的．因为它与泛 函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数 等相关．另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且 约束条件的类型也有不同，等等．下面我们首先讨论泛函的 极值的必要条件．
一、 泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程
设 的极值问题有解 （13.2.1） 现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法 研究泛函极值问题的重要一环．设想这个解有变分 则 可视为参数 的函数
2. 泛函表示为多个函数的积分形式
则与此泛函极值问题相应的E-L方程为 （13.2.11）
3. 泛函的积分形式中含有高阶导数
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（13.2.12）
4.泛函的积分形式中含有多元函数
设 为
的二元函数，则
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（13.2.13）
例2 试求解最速降线落径问题，即变分问题
的求极值的问题．同时，函数曲线
(13.1.3)
因此可得 (13.1.4) 这里 所以 即变分和微分可以交换次序． 代表对 求一阶导数． (13.1.5)
四、 泛函的变分
定义： 泛函的变分 泛函的增量 变分问题 泛函的变分定义为 (13.1.6) 在极值曲线 附近，泛函 的增量，定义为 (13.1.7) 依照上述约定，当 时，泛函增量 的线性
定义： 变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法． 研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法， 即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题转化为 求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分．
三、 变分
定义： 变分 如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 并定义与函数曲线 邻近的曲线（或略为变形的
泛函中
为
，即
由于两端固定，所以要求
．由(13.1.8)，有
（13.2.3）
式(13.2.3)的积分号下既有 应用分部积分法可使积分号下出现
，又有
，对第二项
(13.2.4)
根据（17.2.2）,所以 （13.2.4）故有
,再根据
（13.2.5）
因为
并且
是任意的，所以
(13.2.6) 上式(13.2.6)称为欧拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange） 方程，简称为E-L方程． 此即泛函取极值的必要条件．即泛函 必须是满足泛函的变分 的函数类 的极值函数 ．因此，
图13.1
我们知道，此时质点的速度是
因此从 A滑到B所需的时间为
即为 （13.1.1）
式中
代表对
求一阶导数． 我们称上述的 为可取的函数类，为泛函
为
的泛函，而称
的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数
的那种含义）．
一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合， 如果对于C的任一元素 则称 为 在B中都有一个元素 与之对应，
的泛函，记为
必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的
因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取 形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数 本身的变化
（即从A到B的不同曲线） 所引起的．它的值既不取决于某一个 值，也不取决 于某一个 与 的函数关系． 泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式（13.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为 (13.1.2) 其中 称为泛函的核． 值，而是取决于整个集合C中
(3)
变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，
其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由 直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的 是里茨 （Ritz）法． 由于里茨法中的试探函数的选 取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机
的展，又迅速发展了一种有限元法；
(4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而
条件
（13.2.14）
即所谓的等周问题：
(13.2.15) （注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源 于求一条通过两点，长度固定为l的曲线 使面积
取极大值）
其中
为常数．此类问题可以仿照普通函数的
条件极值问题的拉格朗日乘子法．即将附加条件(13.2.14)乘以 参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到
主要部分定义为泛函的变分，记为 (13.1.8)
在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样 在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用．因此，通常 称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法． 例 1 计算泛函的变分
解
注意：最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即
13．2 泛函的极值
于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题．
其对应的E-L方程为
这是通过
和
两点的
在附加条件（13.2.14）
之下使泛函取极值的必要条件．它实际上是一个关于 的二阶常微分方程．其通解中含有三个参数，即 和两个积分
常数．它们可由条件
和附加条件
（13.2.14）来确定 .
例3
求
的极值，其中 ，且已知
曲线）作为比较曲线，记为
其中
是一个小参数；
是一个具有二阶导数的任意
选定函数，规定 它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛 函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将 而令 变化，这样规定的好处在于：建立了由参数 固定，
到泛函
就成为了参数
值之间的对应关系，因此泛函
的普通函数．原来泛函的极值问题就成为
普通函数对 的变分定义为
而当
时，
对应于式(13.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有 的极值问题．由函数