12《数学物理方法》十二讲Delta函数和符号法

o
x0
x
有了 函数，位于 x 0 而质量为m的质点的线密度分布为 m ( x x 0 ) ； 位于 x 0 电量为q的点电荷的线密度为 q ( x x 0 )； 作用于时刻 t 0 而冲量为K的瞬时力为 K ( t t 0 )
（二）、 函数的一些性质：
（1）、 ( x ) 是偶函数，它的导数是奇函数，
数学物理方法第十二讲
Delta函数&符号法（2学时）
（一） 函数
物理学常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度
例如：质量密度(通常简称为密度）、电荷密度、每单位时间传递的动量 （即力)等等。
但是，物理学中又常常运用质点，点电荷，瞬时力等抽象模型，他们不连
续分布于空间和时间中，而是集中在空间中的某一点或时间的某一瞬时。 它们的密度如何描述？ 若质量m均匀分布在长为 l 的线段 [ l / 2, l / 2 ] 上，则其线密度 l ( x ) 可表 示为：
3
e

R L
t
( 1
4
R L 1!
t)
(
R L 2!
来自百度文库t)
2
(
R L 3!
t)
3

t R t 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 e L 于是： L 1! L 2! L 3! L 4!
R
j
E R
(1 e

R L
t
)
这样就解出了微分方程
1 P
在上述计算过程中，用到了算符P 或
( x) ( x)
'( x ) '( x )
x
（2）、研究积分 H ( x ) 当 x 0 ，积分值为1。

( t ) d t ，当积分上限 x 0 ，积分值为零；
H (x)
H (x)

x
(t ) d t {
0 1
x 0 x 0
称为阶跃函数或亥维赛单位函数。
H (x)
是 ( x ) 的原函数， ( x ) 是 H ( x ) 的导数。
(x)
dH ( x) dx
------数学物理方法十二讲------
（3）、 函数的选择性 对于任何一个定义在 ( , ) 上的连续函数
f ( )

证明：
即
f (t )

b a
f ( ) ( t ) d
------数学物理方法十二讲------
第六章：拉普拉斯变换
1、符号法： 1.1、微分算符和积分算符
函数 ( t ) 的n 阶导数可以看成求导算符 P
P (t )
n
微分算符 P
d dt
积分算符
1 P
在函数
(t ) 上作用
(x)
若不求积分，而先求极限，则有：
( x ) lim l ( x ) lim
l 0 l 0
rect (
)
{
0
由此可以看出质点线密度分布函数的直观图像 它在 x 0 处为

，在 x 0 处为 0 .它的积分为m
可以让
( x) ( x)
于是：
o
x
------数学物理方法十二讲------
f ( ) ( t 0 ) d

t0
f ( ) ( t 0 )d
lim
0

t0 t0
令 0 ，则积分变为：
f ( ) ( t 0 ) d f ( t 0 )
（4）、连续分布的质量、电荷、或持续作用力也可用 函数表示出来。
l ( x ) {m /l
0
( x l / 2) ( x l / 2)
即 l (x)
m
rect ( ) l l
x
------数学物理方法十二讲------
将 l ( x ) 对 x 积分，则得到总质量：


l ( x)dx

l/2 l/2
m l
dx m
j E LP R
E LP
j E R { R 1 L P
1
3
1
E LP
R
1
R
1 R LP
1
利用
1 t t t
R LP
得 j
{1
(
R L
2
) (
2
R LP
) }1
3
在大括号内每项都乘 在大括号外乘
LP R
n
LP
( )
LP
1 P
2
(
R L
)
3
1 P
n 次的结果。
d dt
n n
(t )
1
则解释为积分算符，( t )
P 1
例如：
算符P的“倒数” P
1 P 1 P 1 P
n 2

t 0
( ) d
1

t 0
1d t
t t 0
1

0
1d d
1 2
t
2

1 1 n! t
n

------数学物理方法十二讲------
现在以从 t a 持续作用到 t b 的作用力 f ( t ) 为例加以说明。将时间区间 [ a , b ] f f 分为许多小段， 在某一个从 到 d 的短时间段上，力 ( t ) 的冲量是 ( ) d ， 既然 d 很短，可以将这段短时间上的作用力看做瞬时作用力，记作 f ( ) ( t ) d 这许多前后相继的瞬时力的总和就是持续力 f ( t )
对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一瞬时的 抽象模型，在物理学中引入 函数以描述起密度：
(x)
( x) {
0
x 0 x 0

b a
( x)dx {
0 1
( a , b都 0 , 或 都 0 ) (a 0 b)
o
x
这函数未免有悖常规，其后在数学上引入了广义函数的概念。
其中： l ( x )
m
rect ( ) l l
x
如果让上述线段长度 l 0 ，我们将得到位于坐标原点质量为m的质点，而 线密度函数就成为质点的线密度函数。将它记为 ( x ) ,则：

lim
l 0

l ( x)

( x)dx m
m l x l
x 0 x 0


f ( ) ( t 0 ) d f ( t 0 )


f ( ) ( t 0 ) d

t0 t0 t0
f ( ) ( t 0 )d f ( ) ( t 0 ) d

t0 t0
3
(
R L
)
4
1 P
4
4
}1 利用
1 P
1
1 n!
t
n
R t 2 3 j { t( ) ( ) ( ) } R L L 2! L 3! L 4!
------数学物理方法十二讲------
E
R
R
t
2
R
t
3
e 1
z
z 1!
R t

z
2

R
z
3

2
2!
3!
t R t
法与复数的联系。
，在运算中不能交换次序，符
号法中的算符 P 实际上是一个复数，这将在拉普拉斯变换中得到符号
作业：P89
第2题
------数学物理方法十二讲------
Class is over!
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------数学物理方法十二讲------
于是在严密的基础上证明了 函数的一些重要性质 按照广义函数理论， 函数的确切意义应是在积分 运算下来理解。 将自变量 x 平移 x 0 右图是 ( x x 0 ) 的函数图象， 曲线的峰无限高，但宽度无限窄；曲线下的面积 是有限值 1。
------数学物理方法十二讲------
(x)
无线电工程师亥维赛把符号法应用于求解线性微分方程，大大促进了符号 法的应用。例如： 电阻R和自感L串联电路微分方程是： L 即 (L
d dt R) j E
dj dt
Rj E
说明：E为电势，j为电流，自感电动势 L L
j 1 1 t E LP R
2
dj dt
利用符号法，可改写为：( L P R ) j E