12《数学物理方法》十二讲Delta函数和符号法
符号法《数学物理方法》课件完整清晰
6.1 符号法
Hale Waihona Puke 6.2 拉普拉斯变换故
6.2 拉普拉斯变换的性质
符号法《数学物理方法》课 件完整清晰
第六章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子 微积分）是在19世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥 维赛(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出 现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法国数 学家拉普拉斯(place)给出了严密的数学定义，称之 为拉普拉斯变换方法。
辅助函数 delta函数
辅助函数delta函数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：δ函数（delta function）是一种特殊的数学函数，其定义是在自变量为0处取无穷大值，而其他地方取值为0。
这种函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，在处理信号处理、微分方程、概率论等方面起到重要的作用。
δ函数最早由德国物理学家泡利（Pauli）在20世纪20年代引入，并由英国数学家施瓦茨（Schwartz）在20世纪50年代进行完善和推广。
δ函数的定义形式如下：\delta(x) = \left\{\begin{aligned}& +\infty, && x=0 \\& 0, && x \neq 0\end{aligned}\right.上面的定义只是一种形式上的定义，并不是数学上严格的定义。
在数学上，可以通过一系列趋近于δ函数的函数序列来严格定义δ函数。
可以取一个由函数序列{f_n(x)}构成的函数族，使得当n \rightarrow\infty时，f_n(x)逐渐趋近于δ(x)。
δ函数虽然在自变量为0时取值无穷大，但其积分却是有限的，即\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx = 1。
δ函数是一种质量集中在x=0处的分布函数，可以表示某种单位质量或概率质量。
在物理学和工程学中，δ函数被用来描述冲击、脉冲等瞬时现象，比如在电路中描述瞬间输入的电流或电压信号。
在信号处理中，δ函数也被广泛应用。
卷积运算是一种信号处理中常见的操作，而δ函数在卷积运算中起着重要的作用。
在微分方程求解中，δ函数常常作为绿函数（Green's function）的一部分，用来表示特定的微分方程解。
在泛函分析中，δ函数是一种广义函数（generalized function）的代表，用来描述一些奇异函数、分布函数等。
除了以上的应用之外，δ函数还在概率论和统计学中有着重要的作用。
微积分中的Delta扩展初步了解
微积分中的Delta扩展初步了解微积分是数学和自然科学中最为重要的学科之一，它是研究函数、变化和极限的学科，对于研究自然现象和解决实际问题具有重要的应用价值。
在微积分中，Delta扩展是一个非常重要的概念，本文将对 Delta扩展的一些基础知识进行介绍。
一. Delta符号的含义Delta符号是希腊字母Δ，表示一个算子。
在微积分中，Delta符号通常用来表示一个极小的变化，例如一个极小的距离、一个极小的时间段或一个极小的增量。
Delta符号意味着我们正在考虑一些微小的变化，这些变化可以在极限意义下被理解。
在微积分中，Delta符号通常和极限和导数相关联。
它可以用来描述一个无限小的变化，它的大小比我们可以看到或测量的物理量要小得多。
二. 微积分中的Delta扩展Delta扩展是微积分中一种重要的思想。
它可以帮助我们更好地理解微积分中的一些概念，例如函数的连续性、导数和积分。
Delta扩展通常被用来描述一个数量随着另一个数量变化而变化的趋势。
在微积分中，Delta扩展的形式通常是一个极限表达式。
它表示当一个变量趋近于另一个变量时，一个函数的极限会趋近于一定的值。
Delta扩展通常用于求解导数和积分，以及其他微积分问题。
三. Delta扩展的应用1. 求解导数在微积分中，导数是一个函数在某个点上的变化率。
导数可以用Delta扩展来求解，对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为：f’(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x)) / Δx这个极限表达式在Delta扩展中提供了极小的增量，用这个增量来描述f(x)在x点附近的各种变化。
2. 求解积分在微积分中，积分是求解一个函数在一段区间内的面积。
积分可以用Delta扩展来求解，对于函数f(x)，它在区间[a,b]内的积分可以表示为：∫a->b f(x) dx = lim Δx→0 ∑f(xi)Δx其中，Δx是一个趋近于0的增量，而∑f(xi)Δx则表示将函数f(x)分割成Δx个部分，每个部分都有一个面积，将这些面积加起来就得到了整个区间[a,b]内的积分值。
delta函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
Delta函数及其性质(精)
u x, y, z, t |r B f r , t
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中,若在一端的温度为 T0e ,则
t
u x, t |xl T0e
x0
t
又如在两端固定的弦的振动问题中,相应的边界条件为
u x, t
0, u x, t
第七章 数学物理定解问题
3
物理学中常见的数学物理方程
静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 波的传播问题中的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动规律的Schrödinger和Dirac方程 弹性力学中的de Saint-Venant方程组 二阶线性偏微分方程（组）
回 顾
1、Delta函数及其性质
x x0 dx 1, x x0 f x dx f x0
2、Laplace变换及其性质
pt L f t F p f t e dt , 0 pt f t L F p f t e dt i 1
（P159）
21
4
静电势的Laplace方程或Poisson方程
由静电场的性质：E , E
E 2 或者:
2
稳定问题
在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：
0
在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：
可得
utt Yu xx 0
delta函数
补充材料：δ函数 见曾谨言一、问题的提出在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。
“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。
”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。
点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。
瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。
……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。
下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答：二、δ函数的定义为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。
在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下：⎩⎨⎧=-∞≠-=-)0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ⎩⎨⎧<<=-⎰)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。
但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。
这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。
数学性质上δ函数是很奇异的。
没有一个平常的函数具有此奇异性。
严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。
在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理例 )(lim 1lim 22/0x e e x δπαπσαασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 24/x e e x i i δπααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4))(lim 2x x δπαα=∞→ (6) )(21lim /0x e x δεεε==-→ (7) )(lim 220x x πδεεε=+=→ (8)δ函数还可用阶梯函数的微商来表示。
数学物理方法课件 第十二章-球函数 -2
§12.3 勒让德多项式的应用举例勒让德多项式在物理学领域中的应用：电磁学：计算静电场分布；热学：计算温度场分布；量子力学：计算粒子的波函数；量子力学计算粒子的波函数原子分子物理：计算原子分子的碰撞截面；等离子体物理：计算电子的能量分布函数；等离子体物理计算电子的能量分布函数核物理：计算中子输运；……如下仅讨论勒让德函数在计算静电场分布中的应用。
思考题：一个半径为r=a 的导体球壳，球面上的电势分布：0 0/2(,)u u a θπθ<<⎧=⎨−求球壳内任一点的电势分布。
0 /2u πθπ<<⎩例3 设一个半径为a 的均匀介质球，其介电常数为ε 。
在离球心为 b 的地方放置个电量为求在介质球内外的电势分布方放置一个电量为q 的点电荷( b>a )。
求在介质球内外的电势分布。
rθ分析：（1）取介质球的球心为坐标原点，z 轴通过点电荷所在的位置见右图显然该问ozbq a通过点电荷所在的位置，见右图。
显然该问题具有轴对称性，与方位角度无关，即具有轴对称性。
（2）点电荷的存在将在球面上产生极化电荷，但这种极化电荷只存在球面上，因此极化电荷产生的电势满足拉普拉斯方程：)()()∞⎧2(,)0p u r θ∇=01(,(cos l p l l l l u r A r P r a θθ=∞−−=<⎪⎪⎨⎪=∑0(,)(cos )()p l ll u r D r P r a θθ=>⎪⎩∑1. 球函数的定义：实数形式的球函数：⎧cos (,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)sin mml l m Y P m l l m ϕθϕθϕ⎫===⎨⎬⎩⎭记号{}表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其一。
记号{ } 表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其。
||(,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)m m im l l Y P e m l l ϕθϕθ==±±±±=复数形式的球函数：可见：对于给定的l 值，共有2l+1个线性无关的球函数。
数学物理方程
⎧y ⎪
t=0
=d
= v0
⎨
⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒ vy = v0 − gt
⇒
y
=
v0t
−
1 2
gt 2
(2) 对斜向上抛：
⎧⎪x t=0 = v0 cosθ = c
⎨ ⎪⎩x
t=0
=
c'
=
0
⇒ vx = v0 cosθ ⇒ x = (v0 cosθ )t
⎧y ⎪
t =0
=
d
=
v0
sin θ
x
= SY[∂u(x + dx,t) − ∂u ] = SY ∂ [u(x + dx,t) − u(x,t)]= SY
∂ [u(x + dx,t) − u(x,t) dx] = SY
∂x
dx
∂2u ∂x2
dx
由牛顿第二定律： ma = F (a = ∂2u , m = ρdv = ρ sdx)
⇒ vy = v0 sinθ − gt
⎨ ⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒
y
=
v0
sin θ
t
−
1 2
gt 2
5
结论：不同的初始条件 ⇒ 不同的运动状态，但都服从
牛顿第二定律。
综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理
规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z) 和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。
20
(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系
例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力，其边界条件为
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若不求积分，而先求极限，则有：
( x ) lim l ( x ) lim
l 0 l 0
rect (
)
{
0
由此可以看出质点线密度分布函数的直观图像 它在 x 0 处为
，在 x 0 处为 0 .它的积分为m
可以让
( x) ( x)
于是：
o
x
------数学物理方法十二讲------
现在以从 t a 持续作用到 t b 的作用力 f ( t ) 为例加以说明。将时间区间 [ a , b ] f f 分为许多小段， 在某一个从 到 d 的短时间段上，力 ( t ) 的冲量是 ( ) d ， 既然 d 很短，可以将这段短时间上的作用力看做瞬时作用力，记作 f ( ) ( t ) d 这许多前后相继的瞬时力的总和就是持续力 f ( t )
于是在严密的基础上证明了 函数的一些重要性质 按照广义函数理论， 函数的确切意义应是在积分 运算下来理解。 将自变量 x 平移 x 0 右图是 ( x x 0 ) 的函数图象， 曲线的峰无限高，但宽度无限窄；曲线下的面积 是有限值 1。
------数学物理方法十二讲------
(x)
f ( ) ( t 0 ) d f ( t 0 )
f ( ) ( t 0 ) d
t0 t0 t0
f ( ) ( t 0 )d f ( ) ( t 0 ) d
t0 t0
l ( x ) {m /l
0
( x l / 2) ( x l / 2)
即 l (x)
m
rect ( ) l l
x
------数学物理方法十二讲------
将 l ( x ) 对 x 积分，则得到总质量：
l ( x)dx
l/2 l/2
m l
dx m
o
x0
x
有了 函数，位于 x 0 而质量为m的质点的线密度分布为 m ( x x 0 ) ； 位于 x 0 电量为q的点电荷的线密度为 q ( x x 0 )； 作用于时刻 t 0 而冲量为K的瞬时力为 K ( t t 0 )
（二）、 函数的一些性质：
（1）、 ( x ) 是偶函数，它的导数是奇函数，
3
e
R L
t
( 1
4
R L 1!
t)
(
R L 2!
t)
2
(
R L 3!
t)
3
t R t 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 e L 于是： L 1! L 2! L 3! L 4!
R
j
E R
(1 e
R L
t
)
这样就解出了微分方程
1 P
在上述计算过程中，用到了算符P 或
对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一瞬时的 抽象模型，在物理学中引入 函数以描述起密度：
(x)
( x) {
0
x 0 x 0
b a
( x)dx {
0 1
( a , b都 0 , 或 都 0 ) (a 0 b)
o
x
这函数未免有悖常规，其后在数学上引入了广义函数的概念。
即
f (t )
b a
f ( ) ( t ) d
------数学物理方法十二讲------
第六章：拉普拉斯变换
1、符号法： 1.1、微分算符和积分算符
函数 ( t ) 的n 阶导数可以看成求导算符 P
P (t )
n
微分算符 P
d dt
积分算符
1 P
在函数
(t ) 上作用
3
(
R L
)
4
1 P
4
4
}1 利用
1 P
1
1 n!
t
n
R t 2 3 j { t( ) ( ) ( ) } R L L 2! L 3! L 4!
------数学物理方法十二讲------
E
R
R
t
2
R
t
3
e 1
z
z 1!
R t
z
2
R
z
3
2
2!
3!
t R t
( x) ( x)
'( x ) '( x )
x
（2）、研究积分 H ( x ) 当 x 0 ，积分值为1。
( t ) d t ，当积分上限 x 0 ，积分值为零；
H (x)
H (x)
x
(t ) d t {
0 1
x 0 x 0
无线电工程师亥维赛把符号法应用于求解线性微分方程，大大促进了符号 法的应用。例如： 电阻R和自感L串联电路微分方程是： L 即 (L
d dt R) j E
dj dt
Rj E
说明：E为电势，j为电流，自感电动势 L L
j 1 1 t E LP R
2
dj dt
利用符号法，可改写为：( L P R 号法（2学时）
（一） 函数
物理学常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度
例如：质量密度(通常简称为密度）、电荷密度、每单位时间传递的动量 （即力)等等。
但是，物理学中又常常运用质点，点电荷，瞬时力等抽象模型，他们不连
续分布于空间和时间中，而是集中在空间中的某一点或时间的某一瞬时。 它们的密度如何描述？ 若质量m均匀分布在长为 l 的线段 [ l / 2, l / 2 ] 上，则其线密度 l ( x ) 可表 示为：
f ( ) ( t 0 ) d
t0
f ( ) ( t 0 )d
lim
0
t0 t0
令 0 ，则积分变为：
f ( ) ( t 0 ) d f ( t 0 )
（4）、连续分布的质量、电荷、或持续作用力也可用 函数表示出来。
法与复数的联系。
，在运算中不能交换次序，符
号法中的算符 P 实际上是一个复数，这将在拉普拉斯变换中得到符号
作业：P89
第2题
------数学物理方法十二讲------
Class is over!
Thanks for are your attention
------数学物理方法十二讲------
n 次的结果。
d dt
n n
(t )
1
则解释为积分算符，( t )
P 1
例如：
算符P的“倒数” P
1 P 1 P 1 P
n 2
t 0
( ) d
1
t 0
1d t
t t 0
1
0
1d d
1 2
t
2
1 1 n! t
n
------数学物理方法十二讲------
其中： l ( x )
m
rect ( ) l l
x
如果让上述线段长度 l 0 ，我们将得到位于坐标原点质量为m的质点，而 线密度函数就成为质点的线密度函数。将它记为 ( x ) ,则：
lim
l 0
l ( x)
( x)dx m
m l x l
x 0 x 0
j E LP R
E LP
j E R { R 1 L P
1
3
1
E LP
R
1
R
1 R LP
1
利用
1 t t t
R LP
得 j
{1
(
R L
2
) (
2
R LP
) }1
3
在大括号内每项都乘 在大括号外乘
LP R
n
LP
( )
LP
1 P
2
(
R L
)
3
1 P
称为阶跃函数或亥维赛单位函数。
H (x)
是 ( x ) 的原函数， ( x ) 是 H ( x ) 的导数。
(x)
dH ( x) dx
------数学物理方法十二讲------
（3）、 函数的选择性 对于任何一个定义在 ( , ) 上的连续函数
f ( )
证明：