二次函数中的符号问题
二次函数中的符号问题
符号问题在数学竞赛中的应用
了解符号问题在数学竞赛中的常见考点，应用技巧和解题思路，提升数学竞 赛的得分。
负导数的影响
负导数导致抛物线开口向下，影 响函数的增减性。
对称轴的意义
对称轴确定了抛物线的对称性质， 影响函数的对称性。
方程组和符号
等于号
等于号用于表示方程组中的等 式，解决方程问题。
不等号
不等号用于表示方程组中的不 等式，解决不确定问题。
集合符号
交集、并集、补集符号在方程 组中的应用，理解问题的集合 关系。
函数的性质与符号
奇偶性
函数的奇偶性通过符号判断，帮助分析函数的对称性。
周期性
函数的周期性通过符号表示，查找规律和解决周期问题。
全域性
函数的定义域和值域，利用符号确定函Βιβλιοθήκη 的特性。不等式解法中的符号应用
了解不等式解法中，符号的应用技巧和常见错误，通过示例演示解决问题的思路。
数学符号在实际应用中的重要性
二次函数中的符号问题
探索二次函数中的符号问题，包括基本概念、符号的含义和使用方法，符号 对图像、方程组和函数性质的影响，以及在不等式解法和数学竞赛中的应用。
基本概念及定义
解析二次函数的基本概念，明确符号的含义和使用方法。应用示例和图像展 示，加深理解。
图像和符号的关系
正导数的影响
正导数导致抛物线开口向上，影 响函数的增减性。
26.1二次函数(7)有关符号的判断
精讲点拨：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： 交点在x轴上方 c>0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c<0
c=0
先定a的符号，由对称轴的位置确定 （3）b的符号：
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
开口向上
对称轴是：直线x 1
练习：
1.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）A . A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
2.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2 －4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ A ） A.y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a>0) C.y=-x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
课堂作业
1.已知二次函数y=ax2+bx+c， 写出a、b、c、△的符号。 2.二次函数y=ax2+bx+c的图
c 像如图所示，求点M（b, ) a 所在得象限
3、已知抛物线y=-2x2+3x-1，画出 抛物线的草图。
4、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
二次函数中的符号问题
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么 有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）b2 4ac _____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0；
二次函数中的符号问题.ppt
得分）
y
第(2)问：给出四个结论：
2
① abc<0； ②2a+b>0；
③a+c=1； ④a>1．
x
其中正确结论的序号是② ③ ④
-1 O 1
（答对得5分，少选、错选均
不得分）．
16
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
y
根据图像可得：
1、 a＞0
2、 b<0 3、 c>0
o
x 4、△=b²-4ac＝0
5 、 a+b+c 0
6 、 a-b+c>0
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △ 、 a-b+c的符号：
y
根据图像可得：
1、a>0
2、C>0
3、b<0
4 、△=b²-4ac>0
o
2又 、b>0
b
( 2- a
b 2a
＝1 1)
b 2a
34、 、(△C＜=2ba0²-)42ac＞40ac
c 0
o
x
x=1
12
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
x 5、a-b+c>0
8
二次函数符号问题
o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛
二次函数中的符号问题
3
数形结合 双壁辉映
二次函数的学习
4
y
Y=ax² (a>0)
0
x
5
Y
Y=ax² +bx+c(a>0) Y=ax² +bx+c (a>0)
0 0
X x
X=-b/2a
6
y
Y=ax²(a<0)
0 x
7
y
Y=ax² +bx+c (a<0)
0 x
X=-b/2a
8
三、二次函数 y=ax² +bx+c（a≠0） 的图象特征与a 、 b、c的关系。
15
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、2a
x
＜0
3、△=b² -4ac＞0 4、C＝0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
柑 坳 中 学
二次函数中的符号问题
1
基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
4a . 当a>0时，抛 轴是 4ac b 2 物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 2 . 二次函数y=ax b b 4ac b 2
9
九年级数学二次函数中的符号问题(教案)
二次函数的符号问题教学目标：1．通过学习，掌握不同函数在同一坐标系中可能存在的大致图像2．通过主动探究的学习，提高学生的独立性，培养学生独立完成任务的意识3．通过分类讲解，提升学生自我认知能力，引导学生掌握二次函数a 、b 、c 与图像的关系重难点:能根据二次函数图像正确判断二次函数中系数的符号知识回忆：一、二次函数的概念一般地，如果y 与x 的关系满足：2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
二、二次函数的图象、开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、增减性和最大最小值把二次函数2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，解析式变化成()k h x a y +-=2的形式。
2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++ 新课知识：一、二次函数图像与系数a 、b 、c 关系技法：对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负；①对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴；①与y 轴的交点由c 定，上正下负，c 为0时过原点。
1. 抛物线c bx ax y ++=2的图象如下图，则a 、b 、c 的符号为〔 〕Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b aC. 0,0,0=<>c b aD.0,0,0<<>c b a2. 假设a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为〔 〕3. 在同一直角坐标系内，二次函数()c x c a ax y +++=2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是〔 〕二、①的符号的判定ac b 42-的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，042>-ac b ；1个交点，042=-ac b ；没有交点，042<-ac b4. 以下图中⊿0<的是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5. 不管x 为何值,函数()02≠++=a c bx ax y 的值恒大于0的条件是( )A.a>0,①>0;B.a>0, ①<0;C.a<0, ①<0;D.a<0, ①<0 O y x O y x y x O yx O . .三、含a 、b 的代数式符号的判定 由对称轴公式a b x 2-=，可确定b a +2的符号 6.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，则①20a b +>①20a b +<①02b a-<①20a b -<①20a b ->中正确的___________.(请写出番号即可)7. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，则以下说法不正确的是〔 〕A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a-< 四、含a 、b 、c 的代数式符号的判定当1=x 时，可确定c b a ++的符号，当1-=x 时，可确定c b a +-的符号当2=x 时，可确定c b a ++24的符号，当2-=x 时，可确定c b a +2-4的符号8. 如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P 〔3，0〕，则c b a +-的值为〔 〕A. 0B. －1C. 1D. 29. 二次函数2y ax bx c =++〔0a ≠〕的图象如下图，有以下4个结论：①0abc >；①b a c <+；①420a b c ++>；①240b ac ->；其中正确的结论有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 抛物线c bx ax y ++=2的图象如下图，则以下结论正确的是〔 〕A ．0>++c b aB ．a b 2->C ．0>+-c b aD ．0<c –13 3 1 -1 O x =1 yx11. 抛物线c bx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ； ①0>++c b a ①0>+-c b a①042<-ac b ①0<abc ①c a >4；其中正确的为〔 〕 A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①知识小结： 二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定： 〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；开口向下,则a ＜0．〔2〕b 和a 共同决定对称轴的位置.(由对称轴公式x=判断符号．)a,b 同号时,对称轴在y轴左侧;a,b 异号时,对称轴在y 轴右侧;简称左同右异〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；交点在y 轴负半轴,则c ＜0．交点在原点, c=0.〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．〔6〕由对称轴公式a b x 2-=，可确定b a +2的符号． 板书设计： 二次函数的符号问题复习 含a 、b 的代数式符号的判定a 、b 、c 与图像的关系 含a 、b 、c 的代数式符号的判定①的符号的判定 知识小结。
中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)
二次函数判断符号问题大全1 函数y=ax + 1与y=ax 2+ bx + 1 （a 工0的图象可能是（）大而增大；④a - b ■ C ：：： 0，其中正确的个数（） A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个4、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，若点A （1, yj 、B （2, y ?）是它图象上的两点，贝V y i 与y 2的大小关系是（ 、A . y 1 ::: y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 y 2 D .不能确定 5、 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a 丰0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a > 0.②该函数的图象关于直线 x =1对称•③当x 二-1或x 二3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ 、A . 3 B . 2 C . 1 D . 02y = bx • b 2 -4ac 与反比例函数1Xo2、（3、 A .B .C .D .①ac 0 ；②方程ax 2 bx 0的两根之和大于 0 ；③y 随x 的增6、二次函数y =ax bx c的图象如图所示，则一次函数在同一坐标系内的图象大致为（①b ：：： 0②c0③b 2-4ac 0④a-b ，c ：：：0，其中正确的个数有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2①b ：：：0②c 0③b -4ac 0④a-b ，c ：：：O ，其中正确的个数有(2已知二(a = 0 )的图象如图4所示，有下列四个结论：7 题图 8 题图 9 题图8、已知=次函数y = ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5 个代数式：ac , a+b+c , 4a — 2b+c ,2a+b , 2a — b 中，其值大于0的个数为(B 3C 、4D 、52已知二次函数y = ax bx c(a = 0 )的图象如图所示，有下列四个结论：2a +b + c则一次函数 y = bx • b -4ac 与反比例函数 y 二10、二次函数y =ax bx c 的图象如图所示,A . 在同一坐标系内的图象大致为B .x C.xD .211、小强从如图所示的二次函数y =ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1） a ::： 0 ； （2）c 1 ； （ 3）b 0 ； （ 4） a b c 0 ；（ 5）a-b ・c 0.你认为其中正确信息的个数有A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个能是（）14、 二次函数y =ax 2 bx c 的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A . a v 0B. abc >0C. a b c > 0D. b 2 -4ac > 02J严：1 11 i/O ! 4\212、二次函数 y =ax bx c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误.的是13、在同一直角坐标系中，函数2B . 2a b=0C . b -4ac 0D . a -b c 02y = mx m 和函数 y = -mx 2x 2（m 是常数，且m = 0 ）的图象可12题图15、已知二次函数y =ax - bx - c的图象如图所示，有以下结论：① a b ： 0:② b c 1 :③abc 0 :④4a -2b • c ：：： 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是（）A .①②B .①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤15题图216、二次函数 y =ax bx c(a =0)B . b :: 017、二次函数y 二ax 2 - bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）D . b 2 -4ac ：：0 C . c ： 0)。
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第二十二章二次函数
22.1.4二次函数y= a x2+bx+c的图像和性质
第2课时：二次函数中的符号问题
【教学目标】
1.复习巩固二次函数的图象及其性质。
2.由a,b,c,△的符号确定抛物线的位置；由抛物线的位置确
定a,b,c,△等式子的符号。
【学情分析】
学生之前已经系统学习了二次函数的定义，图像及性质等基本知识，但是缺乏对知识之间内在联系的再认知，本节课内容的复习既是旧知识的再现，又是知识内部联系规律的生成，考虑到本节课要应用图像分析系数，要运用规律综合解决一些问题，所以在设计教学时有意识的注重思路、方法、规律的总结，重视原理的建构和方法的应用。
【教学重、难点】
教学重点是：掌握二次函数y=a x2+bx+c的图像与系数符号之间的关系。
教学难点是：运用数形结合思想，选用恰当的数学关系式解决不同类型的二次函数符号问题。
【教学方法】启发引导、观察、探索
【学法引导】化归迁移举一反三
【教学过程】
一、知识链接温故而知新
（一）回味知识点：
1、抛物线y=a x2+bx+c的开口方向与什么有关？
2、抛物线y=a x2+bx+c与y轴的交点是。
3、抛物线y=a x2+bx+c的对称轴是。
（二）归纳知识点：
抛物线y=a x2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定：
开口向上a>0
开口向下a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方c>0
交点在x轴下方c<0
经过坐标原点c=0
（3）b的符号：由对称轴的位置确定：
对称轴在y轴左侧a、b同号
对称轴在y轴右侧a、b异号
对称轴是y轴b=0
简记为：左同右异（4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点b2-4ac>0
与x轴有一个交点b2-4ac=0
与x轴无交点b2-4ac<0
抛物线y=a x2+bx+c的符号问题：
（5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定。
（6）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定。
你还可想到啥？
利用以上知识主要解决以下几方面问题：
（1）由a,b,c,△的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置；（2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,△等符号及有关a,b,c 的代数式的符号；
二、探究活动
【活动一】快速回答：
抛物线y=a x2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
【活动二】想一想
（2009年枣庄市）二次函数的图象如图所示，
则下列关系式中错误的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．＞0 D ．＞0
三 、 教学互动 效果检测
1.（2008甘肃兰州）已知二次函数
c bx ax y ++=2
（a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；② b ＜a ＋c ；③4a ＋2b+c ＞0；④b 2－4a c ＞0；其中正确的结论有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D
2.（2009丽水市）已知二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①
a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
c bx ax y ++=2
ac b 42-c b a ++
O
3．（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数
2
y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5
（第3题）
四、这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的联系；
2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想，即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联系等；
3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分析……
五、【当堂检测题】：
1. 若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=a x 2＋bx ＋c 经过
象限．
2.（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所
示，则下列关系式不正确的是
A ．a ＜0 B.abc ＞0 C.c b a ++＞0
D.ac b 42-＞0
3.（2009
年黄石市）已知二次函数
2
y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；
④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③
④⑤
4.（2009
年齐齐哈尔市）已知二次函数
2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程2
0ax bx c ++=的两
根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正
确的个数（） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5.（2009
年内蒙古包头）已知二次函数
2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；
④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．。