专题训练 二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题
专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( )图2－ZT －1A ．a ＜0B ．b ＞0C ．b 2－4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜03．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2－2(b －2)x ＋b 2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是( )A ．b ≥54 B ．b ≥1或b ≤－1C ．b ≥2D ．1≤b ≤24．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝a －b －cx在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －35．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( )图2－ZT －46．2017·烟台二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( )图2－ZT －5A ．①④B ．②④C ．①②③D ．①②③④7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0，其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．2017·齐齐哈尔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图2－ZT －7所示，则下列结论：①4a －b＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示，则a 的取值范围是________．图2－ZT －810．2017·天水如图2－ZT －9是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x (ax ＋b )≤a ＋b .其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT －911．2017·株洲如图2－ZT －10，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A (－1，0)，C (x 2，0)，且与y 轴交于点B (0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c ＝－1；④当|a |＝|b |时，x 2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________．图2－ZT －1012．如图2－ZT －11，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C .在下面五个结论中：①2a －b ＝0；②a ＋b ＋c >0；③c ＝－3a ；④当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT －11三、解答题13．如图2－ZT －12，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于B ，C 两点，交y 轴于点A .(1)根据图象确定a ，b ，c 的符号；(2)如果OC ＝OA ＝13OB ，BC ＝4，求这个二次函数的表达式．图2－ZT －1214．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个函数的图象与x 轴交点的情况是怎样的？若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x 轴的哪个半轴上．详解详析专题训练(二) 二次函数图象与a ，b ，c ， b 2－4ac 等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下，则a ＜0，所以A 选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，则b ＞0，所以B 选项的关系式正确； 抛物线与x 轴有2个交点，则b 2－4ac ＞0，所以C 选项的关系式正确； 当x ＝1时，y ＞0，即a ＋b ＋c ＞0，所以D 选项的关系式错误． 3．[答案] A 4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y ＝bx 的图象上，当x ＝1时，y＝b ，即公共点的坐标为(1，b)．又点(1，b)在抛物线上，得a ＋b ＋c ＝b ，即a ＋c ＝0.由a≠0知ac ＜0，一次函数y ＝bx ＋ac 的图象与y 轴的交点在负半轴上，而反比例函数y ＝bx的图象的一支在第一象限，故b ＞0，一次函数的图象满足y 随x 的增大而增大，选项B 符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上，所以a>0.抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，所以b<0，所以ab ＜0.所以①正确；②抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac>0，所以b 2＞4ac.所以②正确；③由图象知，当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c<0.又抛物线与y 轴交于负半轴，所以c<0，所以a ＋b ＋2c ＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时，y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a ＝1，所以b ＝－2a ，所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知，正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时y ＝c ，∴C(0，c)，∴OC ＝－c.∵OB＝OC ，∴B(－c ，0)．∵A(－2，0)，∴－c ，－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0，∴a ＝12，②正确；∵－c ，－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧，∴－b 2a ＜0，∴b ＞0，∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋b c ＜0，④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，∴－b 2a ＝－2，∴4a －b ＝0，故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，∴另一个交点位于(－1，0)和(0，0)之间，∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方，∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a.∵当x ＝－3时，y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0，故③正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a ，∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数，a ＜0，∴a(t ＋2)2≤0，∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0，∴at 2＋bt≤4a－2b ，即4a －2b≥at 2＋bt ，∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，∴将它们描在图象上可得由图象可知：y 1<y 3<y 2，故⑤错误． 综上所述，正确的有3个．故选B. 9．[答案] －1＜a ＜0[解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0. ∵函数图象过点(0，1)，∴c ＝1. ∵函数图象过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c)＝－(a ＋1)．由题意知，当x ＝－1时，应有y ＞0， ∴a －b ＋c ＞0， ∴a ＋(a ＋1)＋1＞0， ∴a ＞－1，∴a 的取值范围是－1＜a ＜0. 10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴交点可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，故abc ＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝1；③根据抛物线的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)；④根据函数图象，当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝3≥x(ax＋b)＋c ，∴x(ax ＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知，a ＞0，且抛物线经过点A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b 2a >0，即a －b ＝2，b ＜0，故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2，将其代入0＜a ＜2中，得0＜b ＋2＜2，即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b.又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，即有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2， 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴AB ＝4，对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知，当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，而b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时，b ＝－1，c ＝－32，抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E ，∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32，得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)，∴AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC ，当AB ＝BC ＝4时，∵BO ＝3，△BOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－7，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时，∵AO ＝1，△AOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－15，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝153； 当AC ＝BC 时，在△AOC 中，AC 2＝1＋c 2，在△BOC 中，BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC ，∴1＋c 2＝c 2＋9，此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上，∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b2a <0，∴a ，b 同号，即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0. 综上所述，a>0，b>0，c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB ，BC ＝4，∴点A 的坐标为(0，－1)，点B 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(1，0)．把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．解：∵a＞0，b ＜0，c ＜0，∴b 2－4ac ＞0， ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)． ∵x 1·x 2＝ca ，a ＞0，c ＜0，∴x 1·x 2＜0，∴这个函数图象与x 轴有两个交点，一个交点在x 轴的正半轴上，另一个交点在x 轴的负半轴上．。
二次函数系数abc与图像的关系练习题
二次函数系数a、b、c与图像的关系知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜37．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c ＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专数形结合．题：分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c ＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。
中考——二次函数图像特征与a、b、c、△符号的关系
二次函数专题训练1——图像特征与a、b、c、△符号的关系（1）1、已知二次函数y =ax2+ bx + c，如图所示，若a0 ，c0 ，那么它的图象大致是（）C．第三象限D．第四象限3、已知二次函数y = ax + bx+ c的图象如下，则下列结论正确的是（）Aab< 0 B bc< 0Ca+ b+ c> 0 D a- b+ c< 0 4、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；^ ③b2-4ac>0，其中正确的个数是（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个c5、二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图1，则点M（b，a）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D．第四象限6、二次函数y = ax + bx + c的图象如图所示，则（）A、a0，b 2-4ac0 B、a0，b2-4ac0C、a0，b2-4ac0 D、a 0，b2-4ac02、已知二次函数y = ax +bx + cA．第一象限B．第二象限7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax2+bx+1 的图象大致为（）9、二次函数y = ax +bx+c（a 0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2-4ac 0 B．a 0-b 012、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2>4ac；② 2a＋b=0；③ a－b＋c=0；④5a<b．其中正确结论是（）．A ②④B ①④C ②③D ①③28、已知函数y = ax正确的是（A．a>0，c>0C．a<0，c>0C．c0D．2aA. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个13、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>^ 0，^ ③4a+2b+c>0，④（a+c）2<b2．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个14、如图，抛物线y =ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x =1，且经过点P（3，0），则a -b+c的值为（）A. 0B. －1C. 1D. 219、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，^ 则下列结论：①a、b 同号；②当x=1 和x=3 时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是( )))23、函数y=ax+b 与y=ax2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( )A. ab>0,c>0B. ab<0,c>0A．B．C．D．二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系（2）5、在同一直角坐标系中，函数y=mx+ m 和y = -mx 2 +2x +2（m 是常数，且m 0） 的图象可．能．是（ ） ）1、 ，则它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）2、已知函数 y=ax 2+ax 与函数 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．a6、次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a与正比例函数y＝（b＋c）x9、如图为二次函数y=ax2＋b x＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2＋b x＋c=0 的根是x1= －1, x2= 3③a＋b＋c>0 ④当x>1 时，y 随x 的增大而增大。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题二次函数系数问题(解析版)
专题03 二次函数系数问题【知识点梳理】1、二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系2、常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：（2）韦达定理：若二次函数y =ax 2+bx +c 图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（x 1，0）和（x 2，0），则x 1+x 2=−ba，x 1⋅x 2=ca。
（3）赋值法：在二次函数y =ax 2+bx +c 中，令x =1，则y =a +b +c ；令x =−1，则y =a −b +c ；令x =2，则y =4a +2b +c ；令x =−2，则y =4a −2b +c ；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。
【典例分析】【例1】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a-b=0；⑥b2-4ac ＞0．下列结论一定成立的是【答案】①②③⑥【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴ac＜0，故①正确；②由图象可知，二次函数与x轴的交点横坐标为-1和3，∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3，故②正确；③当x=1时，y＜0∴a+b+c＜0，故③正确；④∵方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3∴对称轴为x=x1+x22=−1+32=1由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误；⑤∵对称轴−b2a=1∴b=-2a，2a+b=0，故⑤错误；⑥∵二次函数与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＞0，故⑥正确。
故答案为：①②③⑥【练1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C 点，OA=OC．则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②4ac-b2＞0；③a-b+c＞0；④ac+b+1=0．其中正确的个数是（）A.4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知，二次函数与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0故②错误；③当x=-1时，y＞0∴a-b+c＞0，故③正确；④∵C（0，c），OA=OC，∴A（c，0）∴当x=c时，y=0，即（c）²+bc+c=0∵c≠0正确错误.故答案为：B.【练2】小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0．你认为其中正确的信息是（）A.①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ②③④⑤【答案】A【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，故①正确；②abc＞0，故②正确；③由图象可知当x=-1时，y＞0∴a-b+c＞0，故③正确；④∵对称轴−b2a =13∴3b=-2a，2a+3b=0，故④错误；⑤∵当x=2时，y＞0即4a+2b+c＞0∵3b=-2a∴2×（-3b）+2b+c=c-4b＞0，故⑤正确.故答案为：A.【例2】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−1，其图象如图所示．下列结论：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点，则当|x1+1|>|x2+1|时，y1<y2；④抛物线的顶点坐标为(−1,m)，则关于x的方程ax2+bx+c=m−1无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】解：①∵抛物线图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在直线y轴左侧，∴a，b同号，b>0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c<0，∴abc<0，故①正确．②(4a+c)2−(2b)2=(4a+c+2b)(4a+c−2b)，当x=2时ax2+bx+c=4a+2b+c，由图象可得4a+2b+c>0，当x=−2时，ax2+bx+c=4a−2b+c，由图象可得，4a−2b+c<0∴(4a+c)2−(2b)2＜0，即，(4a+c)2<(2b)2故②正确．③|x1+1|=|x1−(−1)|，|x2+1|=|x2−(−1)|，∵|x1+1|>|x2+1|∴点(x1，y1)到对称轴的距离大于点(x2，y2)到对称轴的距离，∴y1>y2，故③错误．④∵抛物线的顶点坐标为(−1,m)，∴由图象知，y＞m，∴ax2+bx+c>m，∴ax2+bx+c=m−1无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故答案为：B．【练1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示．已知图象经过点(−1,0)，其对称轴为直线x =1．下列结论：①abc <0；②4a +2b +c <0；③8a +c <0；④若抛物线经过点(−3,n )，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为−3，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：①由图象可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x = −b2a =1，且图象与x 轴交于点（﹣1，0）， ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a ， ∴根据图象，当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，故②错误；③根据图象，当x =﹣2时，y =4a ﹣2b +c =4a +4a +c =8a +c ＜0，故③正确； ④∵抛物线经过点(−3,n )，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点(5,n )，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =n 的交点坐标为（﹣3，n ）和（5，n ）， ∴一元二次方程ax 2+bx +c −n =0(a ≠0)的两根分别为−3，5， 故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④， 故答案为：C ．【练2】已知抛物线y =ax 2+bx +c （a,b,c 是常数，a ≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x =−2时，与其对应的函数值y >1．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程ax 2+bx +c −3=0有两个不等的实数根；③a +b +c >7．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c （a,b,c 是常数，a ≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x =−2时，与其对应的函数值y >1． ∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1， ∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵ax2+bx+c−3=0,∴△=b2−4a(c−3)=b2+8a＞0,∴ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故答案为：D．【例3】抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)（−2< m<−1），下列结论：①2b+c>0；②2a+c<0；③ a(m+1)−b+c>0；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，则244ac b a-<．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0把A(1,0)，B(m,0)代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=0am2+bm+c=0，∴am2+bm=a+b∴am2+bm−a−b=0(m−1)(am+a+b)=0∵−2<m<−1∴am+a+b=0∴am=c,a(m+1)=−b∴c>0∴−1<m+1<0∵m+1<0∴−12<m+12<0∴−12<−b2a<0∴1>ba>0∴a<b<0①2b+c=2b−a−b=b−a>0，故①正确；②2a+c=2a−a−b=a−b<0，故②正确；③ a(m+1)−b+c=−2b+c=−2b−a−b=−3b−a>0，故③正确；；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，即ax2−a(m+1)x+am−1=0Δ=a2(m+1)2−4a(am−1)=a2(m+1)2−4a2m+4a=b2−4a2⋅−a−ba+4a=b2+4a2+4ab+4a=b2+4a(a+b)+4a=b2−4ac+4a>0∴4ac−b2<4a，故④正确，即正确结论的个数是4，故答案为：A．【练1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①abc >0；②﹣2＜b<−53；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，∴a＞0，∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），∴对称轴x=−b2a=1，∴b=-2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c＜-2＜0，>0；故①正确；∴abc∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），∵b=-2a，∴c=3b2＜-2，∴-3＜3b2∴﹣2＜b<−4，故②错误；3∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），∴a-b+c=0，∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；∵a＞0，∴-a＜0∵b=-2a∴3a+2b=-a＜0∴2c﹣a＞2（a+b+c），∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），∴a+b+c=n，∴2c﹣a＞2n；故④错误；故答案为：B【练2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2−4ac ＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+（b−1）x+c＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故①正确；∵抛物线与x轴没有交点∴b2−4ac＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）{a+b+c=19a+3b+c=3∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x交于这两点∴ax2+(b−1)x+c＜0可化为ax2+bx+c<x，根据图象，解得：1＜x＜3故④错误．故答案为：A．【练3】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A(−2,0)>0；②2b−4ac=1；和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：①a−bc；④当−1<b<0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点③a=14M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①从图像观察，开口朝上，所以a>0，对称轴在y轴右侧，所以b＜0，图像与y轴交点在x轴下方，所以c<0<0，所以①不正确；∴a−b>0,a−bc②点A(−2,0)和点B，与y轴的负半轴交于点C(0,c)，且OB=2OC设B(−2c,0)代入y=ax2+bx+c,得：4ac2−2bc+c=0∵c≠0∴2b−4ac=1，所以②正确；③∵A(−2,0)，B(−2c,0)设抛物线解析式为：y=a(x+2)(x+2c)过C(0,c)∴c=4ac∴a=14，所以③正确；④如图：设AN,BM交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，根据抛物线的对称性，△APB是等腰直角三角形，∵A(−2,0)，B(−2c,0)∴AB=2−2c，PQ=12AB=1−c又对称轴x=−2+(−2c)2=c+1∴P(c+1,c−1)由顶点坐标公式可知D(c+1,4ac−b24a)∵a=14∴D(c+1,c−b2)由题意c−b2<c−1，解得b>1或者b<−1由①知b<0∴b<−1，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故答案为：B．【例4】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为x=12，且经过点(2,0)．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(−12,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1<y2；⑤14b+c>m(am+b)+c（其中m≠12）．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，∴a<0,c>0，∵抛物线的对称轴为x =−b 2a =12，∴b=-a ＞0，∴abc <0，则结论①正确；将点(2,0)代入二次函数的解析式得：4a +2b +c =0，则结论③错误；将a =−b 代入得：−2b +c =0，则结论②正确；∵抛物线的对称轴为x =12，∴x =32和x =−12时的函数值相等，即都为y 1，又∵当x ≥12时，y 随x 的增大而减小，且32<52，∴y 1>y 2，则结论④错误；由函数图象可知，当x =12时，y 取得最大值，最大值为14a +12b +c =−14b +12b +c =14b +c ，∵m ≠12， ∴14b +c >am 2+bm +c ，即14b +c >m(am +b)+c ，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故答案为：B ．【练1】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②4a −2b +c <0，③()a b x ax b -≥+，④3a +c <0，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即−b 2a =−1，∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，∴a-b+c≥ax2+bx+c，∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；故答案为：C．【练2】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为x=−1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0；②a−2b+c<0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为-3和1；④若点(−4,y1)，(−2,y2)，(3,y3)均在二次函数图象上，则y1<y2<y3；⑤a−b<m(am+b)（m为任意实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0)，∴当x=1时，a+b+c=0，故结论①正确；根据函数图像可知，当x =−1，y <0，即a −b +c <0，对称轴为x =−1，即−b 2a =−1，根据抛物线开口向上，得a ＞0，∴b =2a ＞0，∴a −b +c −b <0，即a −2b +c <0，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)，对称轴为x =−1可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别为-3和1， 故结论③正确；根据函数图像可知：y 2<y 1<y 3，故结论④错误；当x =m 时，y =am 2+bm +c =m(am +b)+c ，∴当m =−1时，a −b +c =m(am +b)+c ，即a −b =m(am +b)，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故答案为：C ．【练3】如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）经过点(2,0)，且对称轴为直线x =12，有下列结论：①0abc >；②a +b >0；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】解：①图像开口朝上，故a >0 ，根据对称轴“左同右异”可知0b <， 图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <0∴abc >0故①正确；②x =−b 2a =12得a =−b∴a +b =0故②错误；③∵y =ax 2+bx +c 经过(2,0)∴4a+2b+c=0又由①得c <0∴4a +2b +3c <0故③正确；④根据抛物线的对称性，得到x =2与x =−1时的函数值相等∴当x =−1时y =0，即a −b +c =0∵a=-b∴2a +c =0即c 2a =−1∴y =ax 2+bx +c 经过(c 2a ，0)，即经过(−1,0)故④正确；⑤当x =12时,y =14a +12b +c , 当x =m 时,y =am 2+bm +c∵a >0∴函数有最小值14a +12b +c∴am 2+bm +c ≥14a +12b +c 化简得4am 2+4bm −b ≥0，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【练4】已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc ；②b 2<4ac ；③2c <3b ；④a +2b >m(am +b)（m ≠1）；⑤若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【解析】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点∴b2−4ac>0∴b2>4ac，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b2a=1，∴a=−12b由图象得，当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−12b−b+c<0∴2c<3b，故③正确；④当x=1时，y=a+b+c的值最大，∴当x=m(m≠1)时，a+b+c>am2+bm+c，∴a+b>m(am+b)（m≠1），∵b＞0，∴a+2b>m(am+b)（m≠1），故④正确；⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，∴所有根之和为2×（-ba ）=2×2aa=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A【例5】函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】解∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2+bx+c ＜x ，∴x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故答案为：B【练1】已知抛物线y =ax 2+bx +c(a >0)，且a +b +c =−12,a −b +c =−32．判断下列结论：①abc <0；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当2≤x ≤3时，y 最小=3a ；⑤该抛物线与直线y =x −c 有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】解：∵a +b +c =−12,a −b +c =−32，∴两式相减得b =12，两式相加得c =−1−a ，∴c <0，∵a >0,b >0,c <0，∴abc <0，故①正确；∴2a +2b +c =2a +2×12−1−a =a >0，故②正确；∵当x =1时，则y =a +b +c =−12，当x =-1时，则有y =a −b +c =−32， ∴当y =0时，则方程0=ax 2+bx +c 的两个根一个小于-1，一个根大于1， ∴抛物线与x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线x =−b 2a =−14a <0，∴当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，有最小值，即为y =4a +2b +c =4a +1−1−a =3a ，故④正确；联立抛物线y=ax2+bx+c及直线y=x−c可得：x−c=ax2+bx+c，整理得：ax2−1x+2c=0，2−8ac>0，∴Δ=14∴该抛物线与直线y=x−c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故答案为：D．。
中考——二次函数图像特征与a、b、c、△符号的关系
二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系（1）1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ）yy y yx x x xA B C D2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下， 则下列结论正确的是 （ ）A 0ab <B 0bc <C 0a b c ++>D 0a b c -+<4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，ca ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ） A 、0a >，240b ac -< B 、0a >，240b ac ->C 、0a <，240b ac -<D 、0a <，240b ac ->7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论 正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a -< 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b．A ．1B 2C .3 D. 411、已知二次函数的图象如图所示，有下列5 个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（?? ）A. 2个??????????B. 3个??????????C. 4个??????????D. 5个12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．A ②④???????????B ①④???????????C ②③???????????D ①③13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）A. 0B. －1C. 1D. 215、已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为（ ）A .－1B ． 1C . －3D . －416、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个17、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 418、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 419、已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20、已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为（ ）A .－1B ． 1C . －3D . －4 21、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）22、函数2y kx k =-和(0)k y k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 23、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中 正确的是( )A. ab>0,c>0B. ab<0,c>0C. ab>0,c<0D. ab<0,c<024、已知反比例函数xk y =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系（2）1、)0(≠+=ab bax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为 （）yyy yO xOx O x O xA B C D 2、已知函数y=ax 2+ax 与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是( )3、在同一坐标系中，)0(2>++=+=b c bx ax y c ax y 和的图象大致是（ ）4、函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是5、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ） 6c ）x A ． B ． C ． D ．7、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（?? ）A ．B ．C ．D ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：(1)b_______0(填“>、”、“<”、“=”)；(2)当x满足______________时，ax2+bx+c>0：(3)当x满足______________时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．9、如图为二次函数y=ax2＋b x＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋b x＋c=0的根是x1=－1, x2= 3③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。
二次函数专题训练1——图像特征与a、b、c、△符号的关系
二次函数专题训练1——图像特征与a、b、&、△符号的关系1 1、已知二次函数y ax2 bx c,如图所示，若a 0, c 0,那么它的图象大致是( )2、二次函数y=ax2+bx+c (a^0)的图象如图所示，则下列结论：①a>0;②c>0孑③b2-4ac>0，其中正确的个数是()A. 0 个B 1个C . 2个D . 3个3、二次函数y2 ax bx c的图象如图所示，贝U()A、a 0, b24ac0B2、a 0 b 4ac0C、a 0, b24ac0D2、a 0 b 4ac04、二次函数y 2ax bx c(a0)的图象如图所示，则卜列说法不止确的是()A. b2 4ac0B. a0bC. c 0D.2a5 二次函数y = ax2+ bx + c的图象如图,则下列各式中成立的个数是 (b(1) abc v0; (2) a + b+ c v 0; (3) a+ c>b; (4) a v—2 .x6已知二次函数_'' ■' '，P'' * -的图象如图所示，有下列5个结论：①-兀：-:② 上■；：二一二：③ 4立+二：一；：;•〔； ④ 亠一 •；：三 ；⑤」，（叱的实数）其中正确的结论有（）A. 2 个D. 5个7、如图是二次函数 y = ax 2+ bx + c 图象的一部分，图象过点A （- 3, 0）, 对称轴为 x =— 1.给出四个结论： ①b 2>4ac ；②2a + b =0；③a - b + c =0； ④5a v b .其中正确结论是（）.A ②④B ①④ C10、已知二次函数 y ax 2 bx c （a 0）的图象如图所示,则下列结论：①a,b 同号；②当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y 2时，x 的值 只能取0.其中正确的个数是（）A. 1C .3 D. 4A.1 个B.2 个C. 3D. 411、已知二次函数 y ax 2 bx c （ a 0）的图象如图所示，有下列结论:① b 2 4ac 0 :② abc 0 :③ 8a c 0 :④ 9a 3b c 0 .其中，正确结论的个数是（ ）A . 1B . 2C . 3 D. 4②③ D ①③8、二次函数y=ax +bx+c （a 丰0）的图象如图所示，下列结论：①②b>?0, ?®4a+2b+c>0,a+c ） 2<b 2.其中正确的有（9、如图，抛物线 y ax 2 bx c （a 0）的对称轴是直线 x 经过点P （3,c 的值为 （）A. 0B. -1C. 1D. 2B. 3 个C. 41i y212、已知一次函数y ax c与y ax bx c,它们在同一坐标系内的大致图象是（）, k 2 213、已知反比例函数y —的图象如右图所示，则二次函数y 2kx x k的图象大致x为（）1、y ax b（ab 0）不经过第三象限,O2 bx c(b 0）的图象大致是（yyy yxxxxDA CB 的图象可能是（3、在同一直角坐标系中，函数 y mx m 和 y mx 2 2x 2 （ m 是常数，且 m 0）小关系为（1） ____ b0（填 >、、 <、 =）；（2） ___________________ 当 x 满足时，ax +bx+c>0 :⑶ 当x 满足 _______________ 时，ax 2+bx+c 的值随x 增大而减小.6、二次函数 y =ax2+ bx + c 的图象如图 8所示，且 P =| a - b + c | +1 2 a + b | , Q =| a + b + c | + | 2 a - b |，贝U P Q 的大 4、如图，二次函数 根据图象回答:2y=ax +bx+c 的图象与 x 轴相交于两个点,5、如图为二次函数 ① ac v 0; ③ a + b + c > 0 正确的说法有④当x > 1时，y 随x 的增大而增大。
中考——二次函数图像特征与a、b、c、△符号的关系
二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系(1)1、已知二次函数2y ax bx c =++,如图所示,若0a <,0c >,那么它的图象大致就是( )y y y yx x x xA B C D2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、已知二次函数2yax bx c 的图象如下, 则下列结论正确的就是 ( ) A 0ab B 0bcC 0a b cD 0a b c4、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a>0;②c>0;•③b 2-4ac>0,其中正确的个数就是( )A.0个B.1个C.2个D.3个5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1,则点M(b,ca )在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则( ) A 、0a >,240b ac -< B 、0a >,240b ac ->C 、0a <,240b ac -<D 、0a <,240b ac ->7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限,那么y=ax 2+bx+1的图象大致y x 0为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论 正确的就是( )A.a ＞0,c ＞0B.a ＜0,c ＜0C.a ＜0,c ＞0D.a ＞0,c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示, 则下列说法不正确的就是( )A.240b ac ->B.0a >C.0c >D.02b a -<10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图,则下列各式中成立的个数就是( )(1)abc ＜0; (2)a ＋b ＋c ＜0; (3)a ＋c ＞b;(4)a ＜－2b.A.1 B 2 C 、3 D 、 411、已知二次函数的图象如图所示,有下列5 个结论:① ;②;③ ;④ ;⑤ ,(的实数)其中正确的结论有( )A 、 2个B 、 3个C 、 4个D 、 5个12、如图就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A (－3,0),对称轴为x ＝－1.给出四个结论:①b 2＞4ac ;②2a ＋b =0;③a －b ＋c =0;④5a＜b .其中正确结论就是( ).A ②④B ①④C ②③D ①③13、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论:①c<0,②b>•0,•③4a+2b+c>0,④(a+c)2<b 2.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图,抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴就是直线1=x ,且经过点P (3,0),则c b a +-的值为 ( )A 、 0B 、 －1C 、 1D 、 215、已知:二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一,则a 的值为( )A 、－1B . 1C 、 －3D 、 －416、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =与3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0、其中正确的个数就是( )A 、1个B 、2个C 、 3个D 、 4个17、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示,有下列结论:①240b ac ->;②0abc >;③80a c +>;④930a b c ++<.其中,正确结论的个数就是( )A 、 1B 、 2C 、 3D 、 418、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象,如图所示,下列结论:①a+b+c>0;②a-b+c>0;③abc<0;④2a-b=0,其中正确结论的个数就是( )A 、 1B 、 2C 、 3D 、 419、已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,•则下列结论:①a 、b 同号;②当x=1与x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0、其中正确的个数就是( )A.1个B.2个C.3个D.4个20、已知:二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一,则a 的值为( )A 、－1B . 1C 、 －3D 、 －4 y –1 3 3 O xP 1yx O 1x = 1- 2-21、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++,它们在同一坐标系内的大致图象就是( )22、函数2y kx k =-与(0)k y k x =≠在同一直角坐标系中图象可能就是图中的( )23、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的就是( )A 、 ab>0,c>0B 、 ab<0,c>0C 、 ab>0,c<0D 、 ab<0,c<0 24、已知反比例函数xk y =的图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系(2)1、)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限,那么bx ax y +=2的图象大致为 ( )y y y yO x O x O x O xA B C D 2、已知函数y=ax 2+ax 与函数,则它们在同一坐标系中的大致图象就是( )y O x y Ox y O x yO x y O x A. B. C.D. xO y3、在同一坐标系中,函数)0(2>++=+=b c bx ax y c ax y 和的图象大致就是( )4、函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致就是( )5、在同一直角坐标系中,函数y mx m =+与222y mx x =-++(m 就是常数,且0m ≠)的图象可能．．就是( ) 6、次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,反比例函数y ＝ a x与正比例函数y ＝(b ＋c )x 在同一坐标系中的大致图象可能就是() A. B. C. D.7、在同一坐标系中一次函数与二次函数的图象可能为( )8、如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于两个点,根据图象回答:(1)b_______0(填“>、”、“<”、“=”);(2)当x 满足______________时,ax 2+bx+c>0:(3)当x 满足______________时,ax 2+bx+c 的值随x 增大而减小.9、如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象,在下列说法中:①ac ＜0; ②方程ax 2＋b x ＋c=0的根就是x 1= －1, x 2= 3 O xy DA O x y O x y O xy x yO Ａ. xy O Ｂ.x y O Ｃ. x y O Ｄ.③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时,y随x的增大而增大。
二次函数系数a、b、c与图像的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式abx 2-=判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0． （4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．一．选择题（共9小题） 1．（2014•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a ﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是（ ） A ． ③④ B ． ②③ C ． ①④ D ． ①②③ 3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．（2014•襄城区模拟）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论：①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2． 其中说法正确的是（ ）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤11、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案：CBDCD DCDDD 11、C一．选择题（共9小题）1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0 ∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；答：②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a ﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c ＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a ≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。
判定二次函数中的a,b,c的符号
二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：；．（2）C决定抛物线与轴交点的位置，抛物线交轴于；抛物线交轴于；．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当同号时对称轴在轴；对称轴为；异号对称轴在轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，c，△的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b _______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，c，△的符号判断抛物线的位置：D例1．若，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）例2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac 0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）BDCA1．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是(A、 B、C、 D、3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点在．（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数在同一坐标系中的图象大致是( O5．二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图，下列结论①②③④其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个16．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于系数有下列不等式①②③④⑤其中正确个数为．7．已知直线y=ax2+bx+c不经过第一象限，则抛物线一定经过（）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、二象限 D．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2-3x＋a2-1的图象，那么a的值是__．9. 若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在x轴上，则b的值为______若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在y轴上，则b的值为______10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c=2；；④b＜1．其中正确的结论是(A．①② B．②③ C．②④ D．③④11.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b＞0；③a ＋c＝1；④a＞1．其中正确的结论是(A、1个B、2个C、3个D、4个12. 二次函数y＝ax2 －2x－1与x轴有交点，则k的取值范围________。
初中数学精品试题：二次函数与系数a,b,c的关系
专题02 二次函数与系数a 、b 、c 的关系【知识梳理】知识梳理一、二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的基本认知b 2-4ac =0知识梳理二、关于a 、b 、c 代数式的取值问题．a 、b 、m知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类）（1）通过给出的系数系数信息，判断图像共存（2）通过给出的图像判断系数，再判断图像共存（3）不给出任何系数信息，通过题意判断【例题精讲】例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．例3．函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．例4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．例5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．例6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），例7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．例8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号．例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．例10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有：．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．【专项训练】1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（）A．B．C．D．7．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝6ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于（）A．﹣1B．1C．D．13．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．14．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．15．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．17．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．18．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．20．下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（）A．B．C．D．21．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．第21题图第22题图22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．23．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．其中结论正确是．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ab c＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．26．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的番号）27．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是（填序号）．30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）。
2021年中考——二次函数图像特征与a、b、c、△符号的关系
二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系（1）欧阳光明（2021.03.07）1、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ）y y y yx x x xA B C D2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在 （）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、已知二次函数2y ax bx c 的图象如下，则下列结论正确的是 （ ）A 0abB 0bcC 0a b cD 0a b c4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 y x 05、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M（b ，ca ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ）A 、0a >，240b ac -<B 、0a >，240b ac ->C 、0a <，240b ac -<D 、0a <，240b ac -> 7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论 正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a -<10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0； （2）a ＋b＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－2b．A ．1B 2C .3 D. 411、已知二次函数的图象如图所示，有下列 5 个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．A ②④B ①④C ②③D ①③13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 215、已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为（ ）A.－1 B ． 1 C. －3 D. －416、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③y –1 3 3 O x P 140a b +=④当2y =-时,x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个 17、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ）A . 1B . 2C . 3 D. 418、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D. 419、已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20、已知：二次函数()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为（ ）A.－1 B ． 1 C. －3 D. －421、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）22、函数2y kx k =-和(0)k y k x =≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )23、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( )A.ab>0,c>0B.ab<0,c>0yx O 1x =1- 2-C.ab>0,c<0D.ab<0,c<024、已知反比例函数x k y =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系（2） 1、)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为 （ ）y y y yO x O x O x O xA B C D2、已知函数y=ax 2+ax 与函数，则它们在同一坐标系中的大致图象是( )3、在同一坐标系中，函数)0(2>++=+=b c bx ax y c ax y 和的图象大致是（） 4、函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ） 5、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ） 6、次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a x 与正y O x y O x y O x yO x y Ox A ．B ．C ． A O x y yy y y比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．7、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：(1)b_______0(填“>、”、“<”、“=”)；(2)当x满足______________时，ax2+bx+c>0：(3)当x满足______________时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．9、如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3③a＋b＋c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大。